復(fù)變函數(shù)與積分變換課件(南昌大學(xué))

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》

ComplexFunctionsandIntegralTransforms課程的安排教學(xué)內(nèi)容和考試內(nèi)容：前五章為啥呢？理由有三：1.課時(shí)原因（32-（2，4）實(shí)習(xí)）2.學(xué)習(xí)必要的基礎(chǔ)知識(shí)，后面需要時(shí)可自學(xué)。3.期末考試簡單。期末考試1.閉卷考試2.平時(shí)成績大約3成，期末卷面成績7成3.平時(shí)成績就是課堂表現(xiàn)和點(diǎn)名！歡迎，來到復(fù)（虛數(shù)）數(shù)的世界，如果你來了，你聽了，你會(huì)……*1.高等數(shù)學(xué)的后繼課程。*2.沒什么新概念，其實(shí)就是把以前的概念，在復(fù)域中驗(yàn)算一遍！*3.復(fù)域的神奇，體會(huì)復(fù)域的優(yōu)勢(shì)。*4.在未來的研究中，你可能用得到哦！*5.增加2個(gè)學(xué)分??！但是，你也會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果你……*1.翹課，打瞌睡，玩手機(jī)…后果就是:*1.啥也沒學(xué)會(huì)啊，老師是誰?。可睹謥?？*2.掛科警報(bào)！*3.考試時(shí)忐忑不安,左顧右盼!復(fù)數(shù)的起源先從一元二次方程談起:

公元前400年，巴比倫人發(fā)現(xiàn)和使用

則當(dāng)時(shí)無解，當(dāng)時(shí)有解．二千多年沒有進(jìn)展：尋找三次方程

的一般根式解．

G.Cardano(1501-1576):“怪才”,精通數(shù)學(xué),醫(yī)學(xué),語言學(xué),文學(xué),占星學(xué).在1545年<<ArsMagna>>（《大術(shù)》）中解方程x3+mx+n=0得G.Cardano還發(fā)現(xiàn)沒有根，形式地表為這樣一個(gè)數(shù)被Cardano引入后，在很長一段時(shí)間內(nèi)不被人們所理睬，并得到了大家的一片“噓聲”，若干重要人物開始登場你所能想到的國外著名數(shù)學(xué)家，都有誰呢？

R.Descartes(笛卡兒)(法國,1596-1650),是偉大的哲學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、生理學(xué)家。解析幾何的創(chuàng)始人。

1637他稱一個(gè)負(fù)數(shù)的開方為虛數(shù)(imaginarynumber).

L.Euler(瑞士，1707-1783):史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，886本書籍和論文,其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占11%，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占3%.13歲入大學(xué)，17歲獲碩士,30歲右眼失明，60歲完全失明．1748年：Euler公式1777年：首次使用"i"表示，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論，并應(yīng)用到水利學(xué)，地圖制圖學(xué)

．

C.Wessel(挪威1745-1818)和R.Argand(法國1768-1822）將復(fù)數(shù)用平面向量或點(diǎn)來表示．K.F.Gauss(德國1777-1855)與W.R.Hamilton(愛爾蘭1805-1865)定義復(fù)數(shù)為一對(duì)有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對(duì)復(fù)數(shù)真實(shí)性的懷疑，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)王子高斯

Cauchy(1798-1857):法國數(shù)學(xué)家.他是被認(rèn)為在數(shù)學(xué)論文數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書.主要貢獻(xiàn)如下:單復(fù)變函數(shù),分析基礎(chǔ),常微分方程等。于1825年的一本小冊(cè)子《關(guān)于積分限為虛數(shù)的定積分的報(bào)告》，可看成是復(fù)分析發(fā)展史的第一座里程碑。Riemann(1826-1866):德國數(shù)學(xué)家,Gauss晚年的學(xué)生.19世紀(jì)極富創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)家之一.在復(fù)變函數(shù)論、傅立葉級(jí)數(shù)、幾何學(xué)基礎(chǔ)、素?cái)?shù)分布等方面都有重要貢獻(xiàn).Riemann猜想(數(shù)學(xué)中最重要的問題)1859年，黎曼提出了關(guān)于黎曼－ζ函數(shù)的6個(gè)猜想，包括著名的黎曼猜想：

的全體非平凡零點(diǎn)都位于Re(s)=1/2直線上。黎曼廣泛使用解析函數(shù)的工具研究數(shù)論，開創(chuàng)了解析數(shù)論這一新的分支。1851年,Riemann的博士學(xué)位論文<<單復(fù)變函數(shù)一般理論基礎(chǔ)>>“包含了現(xiàn)代復(fù)變函數(shù)論主要部分的萌芽,而且開啟了拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究,革新了代數(shù)幾何,并為Riemann自己的微分幾何研究鋪平了道路”(L.V.Ahlfors評(píng)語).是他才真正使Cauchy-Riemann方程成為復(fù)分析大廈的基石。這篇論文一個(gè)突出特征是其中的幾何觀點(diǎn).由于Riemann曲面概念遠(yuǎn)非是直觀的,它無法在高維空間里準(zhǔn)確表示,為此還曾遭到Weierstrass的反對(duì):"幾何幻想物".Riemann的博士論文:Weierstrass(德國1815-1897)

.他的工作以嚴(yán)格著稱,獲得了"現(xiàn)代分析之父"的稱號(hào).他不僅拒絕使用Cauchy通過復(fù)積分所獲得的結(jié)果,也不能接受Riemann提出的那種幾何"超驗(yàn)"方法.他相信函數(shù)論的原理必須建立在代數(shù)真理的基礎(chǔ)上,所以他把目光投向了冪級(jí)數(shù),為復(fù)變函數(shù)論開辟了又一條研究途徑.研究復(fù)分析的中國著名數(shù)學(xué)家（及華人）熊慶來(1893-1969):中國數(shù)學(xué)界的一代宗師.主要從事函數(shù)論方面的研究,國際公認(rèn)有“熊氏無窮數(shù)”,“熊氏定理”,“熊氏不等式”等.我國許多著名科學(xué)家,如數(shù)學(xué)家徐寶祿、段學(xué)復(fù)、莊圻泰,華羅庚，陳省身,楊樂,張廣厚等,物理學(xué)家嚴(yán)濟(jì)慈、趙忠堯、錢三強(qiáng)、趙九章，化學(xué)家柳大綱等均是他的學(xué)生.華羅庚(1910-1985年)中國著名數(shù)學(xué)家。中國科學(xué)院院士。主要從事解析數(shù)論、矩陣幾何學(xué)、典型群、自守函數(shù)論、多復(fù)變函數(shù)論、偏微分方程、高維數(shù)值積分等領(lǐng)域的研究與教授工作并取得突出成就.他在多元復(fù)變數(shù)函數(shù)論方面的貢獻(xiàn)，影響到世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。他在解析數(shù)論方面的成就尤其廣為人知，國際間頗有名氣的"中國解析數(shù)論學(xué)派"即以華羅庚為首開創(chuàng)的學(xué)派.鐘家慶(1937～1987),研究方向甚廣,重點(diǎn)在于多元復(fù)變函數(shù)論,復(fù)流形與微分幾何。榮獲首屆"陳省身數(shù)學(xué)獎(jiǎng)".

陸啟鏗(1927-2015):中國科學(xué)院院士.主要從事多復(fù)分析,數(shù)學(xué)物理研究.獲得華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng).50年代引入了Schwarz解析不變量的概念;與華羅庚合作建立了典型域上調(diào)和函數(shù)的系統(tǒng)理論。1966年提出了"陸啟鏗猜想"。70年代指出物理上規(guī)范場與數(shù)學(xué)上的主纖維叢的聯(lián)絡(luò)的關(guān)系,證明楊振寧的規(guī)范場的積分定義等價(jià)于沿一曲線的平行移動(dòng);在有界域解析映照的固有微分的估值研究方面取得重要成果.楊樂:中國科學(xué)院院士.在函數(shù)模分布論、輻角分布論、正規(guī)族等方面的研究成果突出獲得華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)和陳省身數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。蕭蔭堂（Yum-TongSiu）哈佛大學(xué)教授，是目前世界上最一流的數(shù)學(xué)家之一。主要從事復(fù)幾何與代數(shù)幾何的研究。曾獲得美國國家科學(xué)院院士，并在國際數(shù)學(xué)家兩次大會(huì)主講。復(fù)變函數(shù)論的應(yīng)用復(fù)變函數(shù)論其它學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，有很多復(fù)雜的計(jì)算都是用它來解決的。如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場的計(jì)算。俄國的茹柯夫斯基用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題，在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn)。復(fù)變函數(shù)論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對(duì)它們的發(fā)展很有影響。數(shù)學(xué)中的一朵奇葩就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一?！稄?fù)變函數(shù)》是數(shù)學(xué)所有專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程,理工科學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)學(xué)科。

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算定義對(duì)任意兩實(shí)數(shù)x、y,稱z=x+iy或z=x+yi為復(fù)數(shù)。1.復(fù)數(shù)的概念虛數(shù)單位的特性:……

一般,任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。復(fù)數(shù)z的實(shí)部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)復(fù)數(shù)的模判斷復(fù)數(shù)相等注意：例1解令定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代數(shù)運(yùn)算四則運(yùn)算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.運(yùn)算規(guī)律復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。（與實(shí)數(shù)相同）即，共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)3.共軛復(fù)數(shù)定義若z=x+iy,稱

z=x-iy

為z的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)二、復(fù)數(shù)的幾何表示1.復(fù)平面的定義2.復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值)顯然下列各式成立滿足的θ0稱為輻角Argz的主值，記作θ0=argz。3.

復(fù)數(shù)的輻角說明計(jì)算argz(z≠0)

的公式輻角不確定.練習(xí)：求下列復(fù)數(shù)的輻角主值oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z14.由向量表示法知3.三角表示法4.指數(shù)表示法例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2)顯然,r=|z|=1,又因此練習(xí)：寫出的輻角和它的指數(shù)形式。解：很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.例1將通過兩點(diǎn)z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來表示.

[解]

通過點(diǎn)(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為因此,它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成

z=z1+t(z2-z1).(0

t1)取得知直線段的中點(diǎn)為例2求下列方程所表示的曲線:解：設(shè)z=x+iy

,

方程變?yōu)?iOxy幾何上,該方程表示到點(diǎn)2i和-2的距離相等的點(diǎn)的軌跡,所以方程表示的曲線就是連接點(diǎn)2i和-2的線段的垂直平分線,方程為y=-x,也可用代數(shù)的方法求出。Oxy-22iy=-x設(shè)z=x+iy

,那末可得所求曲線的方程為y=-3.Oyxy=-3注:這里A是復(fù)數(shù),B是實(shí)數(shù).x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).用直線將復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z與N相連,必與球面相交于P點(diǎn),則球面上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,

而N點(diǎn)本身可代表無窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作.

這樣的球面稱作復(fù)球面.擴(kuò)充復(fù)數(shù)域---引進(jìn)一個(gè)“新”的數(shù)∞:擴(kuò)充復(fù)平面---引進(jìn)一個(gè)“理想點(diǎn)”:無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

∞.約定:

注:若無特殊說明,平面均指有限復(fù)平面.定理1

兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。證明設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)

1.乘積與商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2§1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根

幾何意義將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度

Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。定理1可推廣到n個(gè)復(fù)數(shù)的乘積。oxy(z)z1z2z2例：設(shè)則：即k=m+n+1則有等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2的意思是等式的兩邊都是無限集合,兩邊的集合相等,即每給定等式左邊的一個(gè)數(shù),就有等式右邊的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng),反之亦然.;按照乘積的定義,當(dāng)z10時(shí),有定理2兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商,兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差.練習(xí)：解設(shè)z=reiθ，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證明zn=rn(cos

nθ+isin

nθ)=rn

einθ。2.復(fù)數(shù)的乘冪定義n個(gè)相同的復(fù)數(shù)z的乘積，稱為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個(gè)）。定義特別：當(dāng)|z|=1時(shí)，即：zn=cosnθ+isinnθ，則有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

一棣模佛(DeMoivre)公式。問題給定復(fù)數(shù)z=rei

，求所有的滿足ωn=z的復(fù)數(shù)ω。3.復(fù)數(shù)的方根（開方）——乘方的逆運(yùn)算當(dāng)z≠0時(shí)，有n個(gè)不同的ω值與相對(duì)應(yīng)，每一個(gè)這樣的ω值都稱為z的n次方根，當(dāng)k=0，1，…，n-1時(shí)，可得n個(gè)不同的根，而k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。幾何上，的n個(gè)值是以原點(diǎn)為中心，為半徑的圓周上n個(gè)等分點(diǎn)，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。練習(xí)：計(jì)算[解]因?yàn)樗约此膫€(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)半徑為21/8的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn).1+iw0w1w2w3Oxy1.區(qū)域的概念鄰域復(fù)平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)

內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為點(diǎn)z0的δ（去心）鄰域。記為Ｕ(z0,δ)即，§1.4復(fù)平面上的點(diǎn)集內(nèi)點(diǎn):對(duì)任意z0屬于E，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于E，則稱z0是E的內(nèi)點(diǎn)。設(shè)E是一平面上點(diǎn)集

聚點(diǎn)與孤立點(diǎn)邊界點(diǎn)與邊界開集與閉集連通是指區(qū)域

設(shè)E是一個(gè)開集，且E是連通的，稱

E是一個(gè)區(qū)域。E-區(qū)域內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)P區(qū)域有界區(qū)域與無界區(qū)域若存在R>0,對(duì)任意z∈E,均有z∈E={z||z|<R}，則E是有界區(qū)域；否則無界。閉區(qū)域

區(qū)域E與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,例1例2例3例42.簡單曲線（或Jardan曲線)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;則曲線方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線。重點(diǎn)設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，對(duì)于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當(dāng)t1≠t2時(shí)，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點(diǎn)。定義稱沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C為簡單曲線或Jardan曲線;若簡單曲線C滿足z(a)=z(b)時(shí)，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線。z(a)=z(b)簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線,3.單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質(zhì)任一條簡單閉曲線C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的部分：一個(gè)是有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個(gè)是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個(gè)是它們的公共邊界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部外部邊界定義

復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B，如果B內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域。例如

|z|<R（R>0）是單連通的；

0≤r<|z|≤R是多連通的。單連通域多連通域多連通域單連通域1.復(fù)變函數(shù)的定義—與實(shí)變函數(shù)定義相類似定義

§1.5復(fù)變函數(shù)例1例2oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：定義域函數(shù)值集合

2.映射的概念——復(fù)變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。

在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩對(duì)變量u，v

與x，y

之間的對(duì)應(yīng)