2024年山東省日照市高考數(shù)學模擬試卷及答案解析

2024年山東省日照市高考數(shù)學模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.（5分）雙曲線/-1=：!的兩條漸近線的夾角的大小等于（）

717127r57r

A.-B.-c.—D.—

6336

T1T則晶=（）

2.（5分）在平行四邊形ABC。中，點E滿足=

3T1一2-1T

A.-AB--ADB.-TAB+^AD

44q4

T1—T1T

C.AB-^ADD.-AB+^AD

4q

14

3.（5分）已知隨機變量t?N（l,。2）,且尸（《W0）=尸鰭2°），則一+——（OVxVa）的最小值為（）

XCL—X

9

A.9B.-C.4D.6

2

4.（5分）已知a,6CR,則“a=l”是“直線依+y-1=0和直線x+（/-2）y-1=0垂直”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

5.（5分）已知函數(shù)/'（x）=+0）（3>0,|如〈號）的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)/（x）的圖象

向右平移9（0>0）個單位長度后所得曲線關(guān)于y軸對稱，則0的最小值為（）

nn3TTT

A.-B.-C.—D.

8482

6.（5分）秋冬季節(jié)是某呼吸道疾病的高發(fā)期，為了解該疾病的發(fā)病情況,疾控部門對該地區(qū)居民進行普

查化驗，化驗結(jié)果陽性率為1.97%,但統(tǒng)計分析結(jié)果顯示患病率為1%.醫(yī)學研究表明化驗結(jié)果是有可

能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗結(jié)果呈陽性的概率為0.01,則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗

結(jié)果呈陽性的概率為（）

A.0.96B.0.97C.0.98D.0.99

7.（5分）已知曲線Cl：久2+y2-4x+2y=o與曲線。2：f（久）=久2在第一象限交于點A,在A處兩條曲

線的切線傾斜角分別為a,0,則（）

A.a+0=2B.\ct-0|=2C.a+S=wD.|oc_p|=

8.（5分）設(shè)/為某正方體的一條體對角線，S為該正方體的各頂點與各棱中點所構(gòu)成的點集，若從S中任

選兩點連成線段，則與/垂直的線段數(shù)目是（）

A.12B.21C.27D.33

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

（多選）9.（6分）已知一組數(shù)據(jù)尤1,瑯，…，xn是公差不為0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)斑，則（）

A,中位數(shù)不變B.平均數(shù)不變

C.方差變大D.方差變小

（多選）10.（6分）已知平面aCl平面0=/,A,Bea且A,B^l,C,DEp>C,Dil,E,Fei,且AE

±1,BFLl,下列說法正確的有（）

A.若AC_L0,貝UCEU

B.若AB〃CD,則幾何體ACE-瓦）尸是柱體

C.若CE_U,DFLl,則幾何體ACE-2。尸是臺體

D.若且AC=A。，則直線AC,AD與0所成角的大小相等

（多選）11.（6分）定義在R上的函數(shù)/（x）與g（無）的導函數(shù)分別為/（%）和g'（x）,若g（尤）-f

（3-尤）=2,f（x）—g'（x-1）,且g（-x+2）--g（x+2）,則下列說法中一定正確的是（）

A.g（尤+2）為偶函數(shù)B.f（x+2）為奇函數(shù)

C.函數(shù)無）是周期函數(shù)D.Z^024g（k）=0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）已知復數(shù)z=也當誓咽（8eR）的實部為0,貝|tan20=.

13.（5分）若函數(shù)無）=|/w|x-a的四個零點成等差數(shù)列，則。=.

14.（5分）設(shè)A,8,C是一個三角形的三個內(nèi)角，則cosA（3sin8+4sinC）的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）如圖所示數(shù)陣，第加。G1）行共有機+1個數(shù)，第機行的第1個數(shù)為C〉i，第2個數(shù)為《，第

n（〃23）個數(shù)為喘之一2—編片_2.規(guī)定：CS=1.

C留

以廢廢-c°

「Of162_

L2L3L4~L4L5—L5

c^clcl—c羽—盤夕-Cj

以盤靠--G黨-cm-俏

以盤廢程黨-

-c°c1-clcl0-GoC&—cfi

(1)試判斷每一行的最后兩個數(shù)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)求證：每一行的所在數(shù)之和等于下一行的最后一個數(shù).

16.(15分)已知橢圓C：:*l(a>b>O)的右焦點為R左頂點為A,短軸長為2后且經(jīng)過點(1,

分

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點/的直線/(不與x軸重合)與C交于P,。兩點，直線AP,A。與直線x=4的交點分別為

M,N.記直線MF,NF的斜率分別為左1,to,證明：依?比為定值.

17.(15分)如圖，三棱柱ABC-AiBiCi中，側(cè)面A88L4I_L底面ABC,AB=BBi=2,AC=2百，ZBiBA

=60"，點。是棱481的中點，BC=4BE,DELBC.

(1)證明：AC1BB1；

(2)求直線B81與平面OEA1所成角的正弦值.

18.(17分)已知曲線C：f(x)=，-尤/在點A(1,/(D)處的切線為/.

(1)求直線/的方程；

(2)證明：除點A外，曲線C在直線/的下方；

(3)設(shè)/(尤1)=/(X2)=t,X1#X2,求證：Xi+%2W2t—5—1.

19.(17分)已知常數(shù)pe(0,1),在成功的概率為P的伯努利試驗中，記X為首次成功時所需的試驗次

數(shù)，X的取值為所有正整數(shù)，此時稱離散型隨機變量X的概率分布為幾何分布.

(1)對于正整數(shù)上求P(X=8,并根據(jù)E(X)=￡連1kP(X=k)=lim(^kP(X=k)),求E(X)；

n->oo=1

(2)對于幾何分布的拓展問題，在成功的概率為p的伯努利試驗中，記首次出現(xiàn)連續(xù)兩次成功時所需

的試驗次數(shù)的期望為良，現(xiàn)提供一種求E2的方式：先進行第一次試驗，若第一次試驗失敗，因為出現(xiàn)

試驗失敗對出現(xiàn)連續(xù)兩次成功毫無幫助，可以認為后續(xù)期望仍是反，即總的試驗次數(shù)為(及+1);若第

一次試驗成功，則進行第二次試驗，當?shù)诙卧囼灣晒r，試驗停止，此時試驗次數(shù)為2,若第二次試

驗失敗，相當于重新試驗，此時總的試驗次數(shù)為(3+2).

(z)求E2；

(?)記首次出現(xiàn)連續(xù)〃次成功時所需的試驗次數(shù)的期望為防，求扁.

2024年山東省日照市高考數(shù)學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

2

1.（5分）雙曲線/-號=1的兩條漸近線的夾角的大小等于（)

717127r5TT

A.-B.-C.—D.

6336

【解答】解：雙曲線X2-*=1的兩條漸近線的方程為＞=土聲龍,

,_._TC

由直線y=區(qū)的斜率為百，可得傾斜角為7

27r

y=—V3x的斜率為-遮，可得傾斜角為三,

71

所以兩條漸近線的夾角的大小為

故選：B.

—〔一＞—＞

2.（5分）在平行四邊形ABC。中，點E滿足4E=露。，貝|BE=（)

4

3T1-*3T]T

A.-AB--ADB.~4AB+4AD

44

T1TT1T

C.ABADD.-AB+^AD

44

【解答】解：因為A5CD為平行四邊形,

所以AC=4B+4D,

則有ZE=^AC=^AB+AD),

1—?—?—?3,1—>

BE=AE—AB=^x(AB^AD}-AB=

444

故選：B.

14

3.（5分）已知隨機變量S?N（l,o2）,且尸（《W0）=尸鰭三°）,則一+——（OVcVa）的最小值為（

XCL—X

9

A.9B.-C.4D.6

2

【解答】解:己?N（l,。2）,可得正態(tài)分布曲線的對稱軸為x=l,

a…

又尸（柒0）=P麓三。），=1,即a=2.

1414_。+2)(3.-2)

令/(x)=1+卅(0<x<2),則/(x)=—以+

(2-x)2x2(2—x)2

2

當xE（0,一）時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

3

2

當xE（一，2）時，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

3

39

--

則/（X）的最小值為了（［）22

故選：B.

4.（5分）已知a,bER,則“a=l”是“直線依+y-1=0和直線x+（a2-2）y-1=0垂直”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【解答】解：直線ax+y-1=0和直線x+-2）j-1=0垂直，可得：a+a2-2=0,解得a=l或-2.

“。=1”是“直線"+y-1=0和直線x+（d-2）y-1=0垂直”的充分不必要條件.

故選：A.

5.（5分）已知函數(shù)/'（%）=&sin（3久+|如V*）的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)/（x）的圖象

向右平移e（e>0）個單位長度后所得曲線關(guān)于y軸對稱，則0的最小值為（）

/丁3-A

【解答】解：由圖，得[兀4,解得3=2,cp=-J,

-g-(A)+(p=71

.*./(x)=V2sin(2x—5),

X/(x-0)=V2sin[2(x-0)—^]=V2sin(2x-20—^)為偶函數(shù),

???-20-^=hi+^(jtGZ),

qz

?**0=-(蛇z),又e>o,

71

?=

?Qmin8,

故選：A.

6.(5分)秋冬季節(jié)是某呼吸道疾病的高發(fā)期，為了解該疾病的發(fā)病情況，疾控部門對該地區(qū)居民進行普

查化驗，化驗結(jié)果陽性率為1.97%,但統(tǒng)計分析結(jié)果顯示患病率為1%.醫(yī)學研究表明化驗結(jié)果是有可

能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗結(jié)果呈陽性的概率為0.01,則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗

結(jié)果呈陽性的概率為()

A.0.96B.0.97C.0.98D.0.99

【解答］解：設(shè)&="患有該疾病"，B="化驗結(jié)果呈陽性”,

由題意可知尸(A)=0.01,P(B)=0.0197,P(Z)=0.99.

VP(B)=P(A)P(B|A)+P(X)P

.,.0,0197=0,01XP(B|A)+0.99X0.01,解得尸(B|A)=0.98.

患有該疾病的居民化驗結(jié)果呈陽性的概率為0.98.

故選：C.

7.(5分)已知曲線%2+3/2一4刀+2丫=0與曲線。2；/(x)=/在第一象限交于點A,在A處兩條曲

線的切線傾斜角分別為a,B，則(

TT

B.\a-p\=JD.la-0|=/

X2+y2—4x+2y=0

【解答】解：由

y=x2

解得％=y=0,或x=y=l,又A在第一象限，所以A(1,1),

一一1

由曲線。的圓心為Ci(2,T),所以=-2,所以tana=彳

一71

由，(無)=2尤得tanB=/'(1)=2,所以a,pe(0,-),即(0,n),

1

tana+tan+2

fan(a+R)-P_2不存在,所以a邛泛］

口l-tanatan/31—1'

故選：A.

8.(5分)設(shè)/為某正方體的一條體對角線，S為該正方體的各頂點與各棱中點所構(gòu)成的點集，若從S中任

選兩點連成線段，則與/垂直的線段數(shù)目是()

A.12B.21C.27D.33

【解答】解：正方體A2CD-48ICLDI中，設(shè)直線/為直線雙)1,如圖所示:

對應(yīng)棱上的點為棱的中點，連接2。，

因為四邊形為正方形，所以

因為。。11?平面ABC。，ACu平面A8CD,所以ACLLOOi,

又DDiCBD=D,DD\,BOu平面瓦辦，所以AC_L平面BOOi,

因為BDiu平面BODi,所以ACLBOi,同理可證

XABinAC=A,ABi,ACu平面AB1C,所以8。/平面ABC

故所有與BDi垂直的直線在平面AB1C內(nèi)或與平面A81C平行，

因為與平面A81C平行的平面有平面KP/、平面EFGHMM平面A1G。、平面OQR,

所以滿足條件的且與對角線BDi垂直的線段共4或+盤=27（個）.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

（多選）9.（6分）已知一組數(shù)據(jù)尤1,尤2,…，xii是公差不為0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)尤6,則（）

A.中位數(shù)不變B.平均數(shù)不變

C.方差變大D.方差變小

1

【解答】解：對于4原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為尤6,去掉無6后的中位數(shù)為5（/+%）=與，即中位數(shù)沒變，

故A正確；

對于B,原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為元=^（%1+%2+-??+久11）=去XIlf1）=X6，

去掉X6后的平均數(shù)為X'=^（%!+%2+?1?+相+乂7+尤8"I-------H久11）=義1。（%1廣1"=維=元，即

平均數(shù)不變，故8正確；

1

2x2

對于C,則原數(shù)據(jù)的方差為S?=五］（%］-x6）+（%2_6）+…+（X11-%6溝，

、、1

去掉X6后的方差為名=而［（%1一分）2+（久2-久6>++（久5一久6產(chǎn)+（%1—久6產(chǎn)+…+011-久6月，

故S2〈SQ即方差變大，故C正確，。錯誤.

故選：ABC.

（多選）10.（6分）已知平面an平面B=Z,A,Bea且A,B生I,C,Dep5.C,D生I,E,Fei,且AE

±1,BF±l,下列說法正確的有（）

A.若AC_L0,貝!!CE_L/

B.若42〃CD,則幾何體ACE-BZ)廠是柱體

C.若CE_U,DFM,則幾何體ACE-雙牙是臺體

D.若a，0,且AC=A。，則直線AC,A。與0所成角的大小相等

【解答】解：A：若ACL0,由于仁印故LAC,由于且ACCAE=A,

故/_L平面ACE,又CEu平面ACE,貝l|CELI,故A對；

B-.要使幾何體ACE-BZ5F是柱體，由定義知AB=CZ),但反推不一定成立,

如圖：

C：AELI及CE_Ll,則/_L平面ACE,同理可知/_L平面BDF,則平面ACE〃平面BDF,

但當/時，為三棱柱，故C錯；

D：由于a±p且aCB=/,AEcia,AE±l貝!IA￡±p知EC,￡Dcp,及AC=A。，知Rt/XACE^RtAADE,

得/ACE=/ADE,

故直線AC、A￡)與0所成的角大小相等，故。對.

故選：AD.

(多選)11.(6分)定義在R上的函數(shù)f(x)與g(x)的導函數(shù)分別為了(%)和g'(x),若g(x)-f

(3-x)=2,f(x)=g'(尤-1),且g(-x+2)--g(x+2),則下列說法中一定正確的是()

A.g(尤+2)為偶函數(shù)B.f(尤+2)為奇函數(shù)

C.函數(shù)無)是周期函數(shù)D.求驗4g(k>=0

【解答】解：Vg(-x+2)+g(x+2)=0,

；.g(無)關(guān)于(2,0)對稱，則g(x+2)為奇函數(shù)，A錯；

\'g(x)=f(3-x)+2,貝I]g'(x)=-f(3-x),

.".g'(x-1)=-f(4-x),

：.f(x)=-f(4-x),則/(x)+f(4-x)=0,

:.f(x)關(guān)于(2,0)對稱,

：.f(x+2)關(guān)于(0,0)對稱，則/(尤+2)為奇函數(shù)，B對；

,:f(x)+f(4-x)=0,

則|/(無)-f(4-x)]'=0,：.f(x)-f(4-x)=c,

x=2時，f(2)-f(2)=c=0,

：.f(x)-f(4-x)=0,

(x)—f(4-x),即/(x)關(guān)于尤=2對稱，/(3-x)=g(x)-2①,

又g(x)關(guān)于(2,0)對稱，j\3-(4-x)]=g(4-x)-2,

即/'(x-1)=g(4-x)-2②，

①+②，/(3-x)V1)=-4,

(x)關(guān)于(1,-2)對稱,

：.f(x)是周期函數(shù)且T=4,C對;

g'(X-1)=f(x),則g(x-1)=f(x)+M,又/(3-x)=g(x)-2,

(x)=g(3-x)-2,

；.g(尤-1)—g(3-尤)-2+M,x—1時，g(1)—g(1)-2+M,

；.M=2,g(x-1)—g(3-尤)，即g(x)關(guān)于尤=1對稱，

：.g(x)的周期為4,g(1)+g(3)=0,g(2)+g(4)=0+0=0,

y,2024

g(k)=0.

乙K=1

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(5分)已知復數(shù)z=2cos；；廣皿(8eR)的實部為0,貝Utan26=_1_

r型，物、(T.cosd+isind^l—i)2cos0+sm0+(sm0—2cos0)i

【斛口】斛：z=(1+0(1_0=2'

2cos0+sin0=O,tanO=-2,

2tan3_—4_4

tan20=

l—tan201-43,

4

故答案為：

13.(5分)若函數(shù)/G)=|/川的四個零點成等差數(shù)列，則。=_石

【解答】解：由/(%)=0,得|/川x||=m由函數(shù)/(%)有4個零點，得?！?,

即有仇國="或/小|=。,則/(x)的4個零點從小到大依次為-本,-e

依題意，ea-e-a^2ea,即《2。=3,解得a=等,

所以a=竽.

故答案為：等

14.(5分)設(shè)4B,C是一個三角形的三個內(nèi)角，則cosA(3sinB+4sinC)的最小值為—―需

【解答】解:cosA(3sinB+4sinC)=cosA[3sinB+4sin(n-A-B)]

=cosA(3sinB+4sinAcosB+4cosAsinB)

=cosA[(3+4cosA)sinB+4sinAcosB],

令3+4cosA=a,/?=4sinA,

所以cos4(3si7i8+4smC)=cosA(asinB+bcosB)=Va2+b2cosAsin(3+B),

要想cosA(3sinB+4sinC)有最小值，顯然A為鈍角，

即cosAVO,于是有+Z^cosAsin(0+B)>Va2+b2cosA,

設(shè)/⑷=Va2+b2cosA=cosXV9+24cosA+16cos2A+16sin2A=cosAy/25+24cosA,

因為cosA<0,所以/(Z)=—y/25cos2A+24cos3A,

令cosA=/(-IWO),

即/(t)=25e+24汽-1<Z<O,

fG)=50/+72p=2/(25+36/),

當—lvtv—II時，f⑺>0,函數(shù)/G)單調(diào)遞增，

當一flvtV0時，f(f)<0,函數(shù)/(f)單調(diào)遞減，

因此當t=—我時，函數(shù)了⑺有最大值等件，

所以/(A)的最小值為一”?遜=一號浮，此時cos4=—1|今今V4V第

、36x3

c,，“2,V671

a=3+4cosZ=g，b=―—,

即存在tcme=殍86(9分

顯然存在B,使得8+0=y,即cosA(3sinB+4sinC)的最小值為一崎^.

ZlUo

故答案為：-喘^

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）如圖所示數(shù)陣，第機（機21）行共有〃2+1個數(shù)，第力行的第1個數(shù)為叫T，第2個數(shù)為4,第

n（〃23）個數(shù)為就之_2—緇胃_2.規(guī)定：C°=1.

C鳴

以廢廢—以

廣0廣1,廣2_6063_「1

G2G3G4—G4G5—G5

c^clcl-c^cf-戊韻-酷

以程北-c鳴-的讖-cm-Cl

盤盤^—C鳴-程以-C鴻LC?oC&_Cfi

（1）試判斷每一行的最后兩個數(shù)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

（2）求證：每一行的所在數(shù)之和等于下一行的最后一個數(shù).

【解答】解：（1）第1行最后兩數(shù)以=盤=1,第2行的最后兩數(shù)廢=廢-以=2.

第m（相）行的第m個數(shù)為嚼弱一。痂第〃計個數(shù)為嚼—。笫，

23311T4

猜測：嘮占-嚼3=福…-嚼之.

法一：

證明：播T-C如痂21-C痂32,

口旁亞；工日日「加?rm-1_rm-l_r-m-2?^m-3_r^m-3

八而女klE明”772—2十L2m-2-c2m-2-L2m-2十L2m-2-L2m-2?

只要證明C笫-2=6匯2,該式顯然成立,

6FrPJrm_r-m-l_pm-2_pm-3

?I1^'G2?n-l-L2m-2-L2m-1-c2m-29

所以每行最后兩個數(shù)相等.

法二:

(2m—1)!(2m—1)!

證明：因為期痂

cT-Cm!(m—1)!(m—2)!(m+l)!

=息部[機(機+1)-m(m-1)]

2m(2m—1)!_(2m)!

m!(m+l)!-m!(m+l)!

(2m—2)!(2m—2)!

又因為儂3-c痂(m-l)!(m—1)!(m—3)!(m+l)!

⑺*1GX)![(a+1)山一(小一1)(巾一2)]

(4m—2)(2m—2)!

(m—l)!(m+l)!

_2(2zn-l)!_(2*！

一(m—l)!(m+l)!-m!(m+l)!*

pnf'm-1_廣?71_3_「m_r-m-2

習J：G2m-2-G2m-2-G2m-1—G2m-1-

所以每一行的最后兩個數(shù)相等.

(2)證明：第1行所有數(shù)之和為C,+盤=2,第2行的最后一個數(shù)為廢—/=3—1=2,此時結(jié)論

成立.

因為以一】+以=以+】，

第m行的m+1個數(shù)之和為：

Cm-1+Cm+(Cm+1-Cm+1)+(Cm+2-Cm+2)+…+(。笫-1-C2in-1)

=(C?n-1+Cm+Cm+1+…+播-1)-(喘+1+Cm+2+…+C2^n-1)

=CCm+Cm+Cm-1+…+C2^i-1)-(Cm+2+Cm+2+…+C2^T-1)

=(CA+1+Cm+1+…+CzJn-l)~(,Cm+3+Cm+3+…+

=?=喏n-C第2.

而第m+1行倒數(shù)第二個數(shù)為C笫-C航2,

由(1)得每行最后兩個相等，所以結(jié)論得證.

16.(15分)已知橢圓C：與+4=l(a>b〉O)的右焦點為R左頂點為A,短軸長為2?且經(jīng)過點(L

ab

分

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點尸的直線/(不與x軸重合)與C交于P,0兩點，直線AP,A。與直線x=4的交點分別為

M,N.記直線MRNF的斜率分別為h,fe,證明：七?上為定值.

【解答】解：(1)因為26=2V3,所以6=V3,

Q%2y213

將點(1,亍)代入W+工-=L得W+7=L

2ya23a24

解得/=4,故橢圓C的方程為了+—=1.

43

證明：(2)由題意可設(shè)/：x=ty+\,P(xi,yi),Q(X2,>2),

x=ty+1

聯(lián)立卜2y2,可得(3尸+4)『+60-9=0,

E+至=i

二匚I、Ii6t9

所以月+%=一而？y】為=一許'

又因為A(-2,0),F(1,0),

所以直線PA的方程為y=一%(%+2)，

X］十乙

令x=4,則y=62,即M(4,

十z

同理N(4,

6yl

所以依=吾=6yl6y2

3(b1+3)3(3+3)'

36

故k、-b=36yly24yly23t2+4

狄"K29(飯+3)32+3)29t218t2+9

tyiy2+3t(y1+y2)+9

3t2+43t2+4

17.(15分)如圖，三棱柱ABC-AiBiQ中，側(cè)面ABBiAiJ_底面ABC,AB=BBi=2,AC=2百，NBiBA

=60°，點。是棱AiBi的中點，BC=4BE,DEIBC.

(1)證明：AC±BBi；

(2)求直線881與平面DEAi所成角的正弦值.

【解答】解：(1)證明：連接D4,EA,

DAi=l,AAi=2,ZDAiA=60°,DE=Vl2+22-2x1X2cos60°=V3,滿足吊=人用，所

以￡>A_LZMi,BPDALAB.

平面ABB14_L底面ABC,且交線為AB,由。A_LA8,得ZM_L平面ABC,由8Cu平面ABC,得D4_L

BC,又DELBC,S.DAC\DE=D,

所以BC_L平面D4E,由AEu平面ZME,BC±AE.

設(shè)BE=t,CE=3f,WBA2-r^AC2-(3/)2,解得：f=L

所以8c=4,BA2+AC2=BC2,BPACLAB,所以AC_L平面4881Al.

由BBiu平面ABBiAi,得AC±BBi；

—>—>—>

(2)以A為坐標原點，AB,AC,4。為z軸的正方向建立空間直角坐標系,

1—3V3f—TT5/—

D(0,0,V3),E(-,―,0),Ai(-1,0,V3),。&=(-1,0,0),EAr=(一去一學，V3).

，->_—X—Q

設(shè)平面的法向量蔡=(x,y,z),由『飛1=°,即同白⑶7取z=l,得到平

1/E&=0卜三％一個+8Z=0

面。EAi的一個法向量￡=(0,2,1),

_77

又B%1==(-1,0,次),設(shè)直線221與平面OEA1所成角為仇則sine=|cos—,B%i>|=，?呵

\n\-\BBr\

B_V15

70=w

V15

所以直線BB1與平面DEA1所成角的正弦值為力.

10

18.(17分)已知曲線Cf(x)在點A(1,/(D)處的切線為/.

(1)求直線/的方程；

(2)證明：除點A外，曲線。在直線/的下方；

(3)設(shè)/(XI)=f(X2)=t,X1W12,求證：xr+x2<2t—1.

【解答】解：(1)V/(X)=區(qū)-％",?"(1)=0,

f(x)=-xe^,則，(1)=-e,

二?直線I的方程為：y-0=~e(x-1),即y=-ex+e.

(2)證明：令g(x)=-ex+e-/+xd，

則g'(x)=-e-ex+ex+xex=-e+xe^,令h(x)=g'(x),

則h(x)=(x+1)由h'(x)>0,解得x>-1,由(x)<0,解得xV-1,

:.h(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

當％f—8時，h(x)-—e,h(1)=0,

?'g(%)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

???g(x)2g(1)=0,當且僅當冗=1等號成立，

???除切點A之外，曲線。在直線/的下方.

(3)證明：由/(x)=-x/>0,解得x〈0,f(x)=-xe^VO,解得x>0,

.*./(X)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，f(x)max=f(0)=1,/(1)=0,

當x—f8時，/(x)f().

V/(XI)=f(X2)=t,X1W%2,則0<7Vl,不妨令％l<0,0<X2<l.

???曲線C在(1,0