重慶市重慶一中2024-2025學年高一數(shù)學上學期10月第一次周考試題含解析

PAGE19-重慶市重慶一中2024-2025學年高一數(shù)學上學期10月第一次周考試題（含解析）一、選擇題1.已知集合，，則A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：集合，而，所以，故選C.【考點】集合的運算【名師點睛】集合的交、并、補運算問題，應(yīng)先把集合化簡再計算，經(jīng)常借助數(shù)軸或韋恩圖進行處理.2.若，則等于（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】采納換元法：令，將用表示出來，然后即可得到的解析式，則可求.【詳解】令，所以，所以，所以，故選：D.【點睛】已知的解析式，求解的解析式時，可采納換元法處理：令，將全部的用的形式表示，即可得到的解析式，由此可得的解析式.3.設(shè)全集，集合，，則下列運算關(guān)系正確是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求解出集合中表示元素的范圍，則集合可知，然后對選項逐個推斷即可，留意每個集合中的表示元素是哪一個.【詳解】因為中，所以，所以；因為中，所以，所以；A．，錯誤；B．因為，所以，錯誤；C．，正確；D．因為，所以，錯誤；故選：C.【點睛】本題考查集合的交并補混合運算對錯的推斷，難度一般.用描述法表示的集合肯定要留意其表示元素是哪一個.4.下列四個函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】A，B可干脆通過一次函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的單調(diào)性進行推斷；C利用以及平移的思路去推斷；D依據(jù)的圖象的對稱性推斷.【詳解】A．在上是減函數(shù)，不符合；B．在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，不符合；C．可認為是向左平移一個單位所得，所以在上是增函數(shù)，符合；D．圖象關(guān)于軸對稱，且在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，不符合；故選：C.【點睛】（1）一次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性干脆通過的正負推斷；（2）二次函數(shù)的單調(diào)性推斷要借助函數(shù)的對稱軸和開口方向推斷；（3）困難函數(shù)的單調(diào)性推斷還可以通過平移、翻折等變換以及圖象進行推斷.5.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先確定二次函數(shù)的對稱軸和開口方向，分類探討區(qū)間為增、減區(qū)間的狀況，然后對所求的的范圍取并集.【詳解】因為的對稱軸為且開口向下，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當單調(diào)增區(qū)間時，，所以，當為單調(diào)減區(qū)間時，，所以，綜上：.故選：A.【點睛】本題考查依據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解參數(shù)范圍，難度一般.探討二次函數(shù)的單調(diào)性首先要確定好二次函數(shù)的對稱軸和開口方向.6.若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求的定義域轉(zhuǎn)化為求與分式定義域的交集.【詳解】由函數(shù)的定義域是可知要使有意義，則，解得，所以有意義的條件是，解得或故選D.【點睛】對于抽象函數(shù)定義域的求解，（1）若已知函數(shù)的定義域為，則復(fù)合函數(shù)的定義域由不等式.（2）若復(fù)合函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為在上的值域.7.已知集合，集合，則下列，集合關(guān)系正確的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將每個集合中的表示元素變形，，，分析與對應(yīng)的取值關(guān)系從而確定出間的集合關(guān)系.【詳解】對于集合，對于集合，又因為可以取到一切整數(shù)，只能取到奇數(shù)，且整數(shù)包含奇數(shù)，所以.故選：C.【點睛】推斷集合間的關(guān)系時，從集合的表示元素入手，當集合的表示元素所表示的數(shù)具有肯定特點的時候，可以從數(shù)學的大小、正負、類型（整數(shù)、分數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等）去推斷.8.已知函數(shù)為上的減函數(shù)，則滿意的的集合為（）．A.或 B.或C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】依據(jù)是上的減函數(shù)，得到與的大小關(guān)系，由此解出滿意條件的的集合.【詳解】因為是上的減函數(shù)，且，所以，解得：或，所以的集合為：或.故選：A.【點睛】解函數(shù)值之間的不等式，可利用單調(diào)性將函數(shù)值關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞恐g的關(guān)系，從而求解出自變量的范圍.9.已知不等式對隨意的恒成立的的取值集合為，不等式對隨意的恒成立的取值集合為，則有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為的一次不等式求得集合A;分別參數(shù)，解出m的范圍即可求得集合B,即可推斷集合間的關(guān)系求解【詳解】令，則關(guān)于的一次函數(shù)必單調(diào)，則，解得或，即又對隨意的恒成立又單調(diào)遞減，故，故，即綜上故選：D．【點睛】本題考查集合間的關(guān)系，不等式恒成立問題，考查分別參數(shù)法的運用，考查一次函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的最大值10.函數(shù)的最大值為（）．A. B.C. D.2【答案】B【解析】【分析】先求解函數(shù)定義域，然后分析等式發(fā)覺：，由此可通過換元法令來構(gòu)造二次函數(shù)求解最大值，留意取等號條件.【詳解】因為，所以，即定義域為；設(shè)且，又因為，所以，所以，當且僅當時有最大值，當時，，所以滿意；故選：B.【點睛】本題考查利用換元法求解函數(shù)的最值，難度一般.運用換元法后要留意到新函數(shù)定義域，同時要留意與用換元法求解函數(shù)解析式作對比.11.設(shè)函數(shù)，若互不相等的實數(shù)，，，使得，則的取值范圍是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析題意，將問題轉(zhuǎn)化為：方程有三個解，，，此時可利用數(shù)形結(jié)合思想分析的取值范圍.【詳解】設(shè)有三個解，，，不妨令，作出和圖象如圖所示：因為頂點坐標為，所以；由圖象可知：關(guān)于對稱，所以；令，，令，，所以；所以.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合的思想，難度較難.通過數(shù)形結(jié)合，可將抽象的函數(shù)零點個數(shù)或者方程根的數(shù)目轉(zhuǎn)化為直觀的函數(shù)圖象的交點個數(shù).常見數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用角度：（1）確定方程根或者函數(shù)零點數(shù)目；（2）求解參數(shù)范圍；（3）求解不等式的解集；（4）探討函數(shù)的性質(zhì).12.已知當，表示不超過的最大整數(shù)，則稱為取整函數(shù)，也叫高斯函數(shù)，例如，，若定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且當，，則方程的解得和為（）．A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析，依據(jù)的圖象關(guān)于軸對稱得到時解析式，由此作出與的解析式，計算出交點橫坐標即為方程的解，然后求和.【詳解】因為為整數(shù)，所以，又因為函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱且，所以是偶函數(shù)，當時，，，所以，作出與圖象如下圖：（紅色的點為交點）當時，令，解得：（舍）；令，解得：（舍）；當時，令，解得：（舍）；令，解得：（舍）；綜上：全部解的和為.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，著重考察了數(shù)形結(jié)合思想，難度較難.（1）高斯函數(shù)的本質(zhì)是一個分段函數(shù)；（2）數(shù)形結(jié)合的方法奇妙的將方程解的問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)圖象的交點問題，更便于直觀視察和求解.除此之外數(shù)形結(jié)合思想還可以用于：解不等式、求參數(shù)范圍、探討函數(shù)性質(zhì)等.二、填空題13.已知函數(shù)，則______．【答案】7【解析】【分析】先推斷所在定義域，得到，然后依據(jù)所在定義域得到的計算結(jié)果，依據(jù)此方法直到結(jié)果為實數(shù)為止.【詳解】因為，，所以，故答案為：.【點睛】分段函數(shù)的函數(shù)值計算，計算之前先推斷自變量所處的定義域，依據(jù)符合的定義域?qū)?yīng)的函數(shù)去計算函數(shù)值.14.函數(shù)的值域是______．【答案】【解析】【分析】采納換元法令，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性去求解的值域.【詳解】令，所以，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，，時，，所以值域為：.故答案為：.【點睛】形如的對勾函數(shù)單調(diào)性：（1）在和上單調(diào)遞增；（2）在和上單調(diào)遞減.15.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差是9，則實數(shù)的值__________．【答案】【解析】的對稱軸為，開口向上，又，則，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，則，，所以，則。16.函數(shù)的定義域用表示，則使對于任何均成立的實數(shù)的集合是_______________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊驹斀狻咳?，即，則，定義域，而當時，，故不合條件，換言之，。若有兩個實根、，則由題設(shè)即知、都是分母的根，此時題設(shè)的等價條件是解之得.若無實根，則題設(shè)的等價條件是解之得或.綜上所述，實數(shù)的集合是。故答案為：三、解答題17.已知二次函數(shù)的最大值是4，且不等式的解集為．（1）求的解析式；（2）解關(guān)于的不等式．【答案】（1）；（2）或或【解析】【分析】（1）設(shè)出二次函數(shù)解析式，依據(jù)最大值以及不等式解集對應(yīng)的端點值為方程解列出方程組求解出即可；（2）將分式不等式先轉(zhuǎn)化為整式形式，采納數(shù)軸穿根法求解高次可因式分解不等式的解集.【詳解】解：（1）設(shè)由題意得，，，所以．（2）且且，解得或或．【點睛】（1）一元二次不等式的解集對應(yīng)的端點值為對應(yīng)一元二次方程的根；（2）求解可因式分解的高次不等式的解集，采納數(shù)軸穿根法可快速得到解集（如圖案例）：形如的不等式，首先將依次表示在數(shù)軸上，從數(shù)軸的右上方起用一條曲線依次連接，當某一點對應(yīng)的因式的次數(shù)為奇次時則穿過數(shù)軸，若為偶次時則選擇穿而不過，再依據(jù)不等式的符號寫出解集.18.已知函數(shù)，（1）證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）求函數(shù)的最小值和最大值.【答案】（1）為增函數(shù)，證明見解析；（2）最小值，最大值為.【解析】【分析】（1）運用單調(diào)性的定義，留意設(shè)值、作差和變形，定符號和下結(jié)論等步驟；（2）運用函數(shù)在上是增函數(shù)，計算即可得到所求最值．【詳解】（1）設(shè)，則，∴∴，即，∴在上是增函數(shù).（2）由（1）可知在上是增函數(shù)，∴最小值，最大值為.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的推斷和證明以及應(yīng)用，考查定義法的運用和最值的求法，考查運算實力，屬于中檔題．19.已知集合，集合為函數(shù)的定義域．（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）將集合中不等式因式分解，然后推斷端點值大小寫出解集；依據(jù)根號下被開方數(shù)大于等于零求解出定義域即為集合，再依據(jù)列出不等式，求解出范圍；（2）利用（1）中的已求解出的集合，先依據(jù)求解出的范圍，然后對此范圍取補集即為時的取值范圍.【詳解】（1）∵，∴或．而，∴．∵，∴．（2）設(shè)，則，故時，．【點睛】本題考查依據(jù)集合的交集、并集結(jié)果求解參數(shù)范圍，難度一般.依據(jù)已知集合間運算結(jié)果求解參數(shù)范圍較麻煩時，可采納“正難則反”的思維去從反面考慮；20.設(shè)，函數(shù)．（1），試求時，的值域；（2）設(shè)，求的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先通過不等式求解出集合即為取值范圍，然后依據(jù)得到對稱軸方程從而確定出值，利用配方法求解出二次函數(shù)的值域；（2）將寫成分段函數(shù)的形式，利用分段點與對稱軸的關(guān)系進行分類探討，求解每段范圍下對應(yīng)的最小值表示，最終將結(jié)果寫成分段函形式即可.【詳解】（1）由可得．由可得二次函數(shù)的對稱軸，所以．故．當時，，．所以的值域為．（2）令（Ⅰ）當時時，；時，當時，；當時，．∵，∴當時，；當時，．（Ⅱ）當時時，時，．∵∴當時，．綜上，的最小值為．【點睛】（1）已知二次函數(shù)的兩個函數(shù)值相等：即可確定出二次函數(shù)對稱軸；（2）求解含參數(shù)的二次函數(shù)的最值，可將參數(shù)范圍與二次函數(shù)的對稱軸聯(lián)系在一起，通過對參數(shù)分類：大于等于對稱軸的對應(yīng)值、小于對稱軸的對應(yīng)值，進行最值求解.21.設(shè)函數(shù)，函數(shù).（1）若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間相同，求實數(shù)a的值；（2）對于給定的負數(shù)a，有一個最大的正數(shù)，使得在整個區(qū)間上，不等式恒成立，求的表達式.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間相同，可得（2），探討函數(shù)的最大值為與5的關(guān)系即可.【詳解】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，依據(jù)條件有，∴；（2），，（∵），即函數(shù)的圖象的頂點位于y軸的右方，的最大值為①若，即時，則是方程的較大的根，由，解得；②若，即時，則是方程的較小的根，由，解得