新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義命題方向全歸類專題09指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(原卷版+解析)

專題09指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 【命題方向目錄】命題方向一：指數(shù)冪的運(yùn)算命題方向二：指數(shù)方程、指數(shù)不等式命題方向三：指數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)命題方向四：比較指數(shù)式的大小命題方向五：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問(wèn)題命題方向六：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題【2024年高考預(yù)測(cè)】2024年高考仍將重點(diǎn)考查指數(shù)與指數(shù)函數(shù)，考查利用指數(shù)運(yùn)算及利用指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)比較大小、處理單調(diào)性、解不等式等問(wèn)題，難度為中檔題．【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】1、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算（1）根式的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．（2）根式的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．（3）指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘．（4）有理數(shù)指數(shù)冪的分類①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．（5）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①，，；②，，；③，，；④，，．2、指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，；時(shí)，時(shí)，；時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)【方法技巧與總結(jié)】1、指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)，，2、如圖所示是指數(shù)函數(shù)（1），（2），（3），（4）的圖象，則，即在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)（且）的圖象越高，底數(shù)越大．3、指數(shù)式大小比較方法①單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．②中間量法：當(dāng)指數(shù)式的底數(shù)和指數(shù)各不相同時(shí)，需要借助中間量“0”和“1”作比較．③分類討論法：指數(shù)式的底數(shù)不定時(shí)，需要分類討論底數(shù)的情況，在利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．④比較法：有作差比較與作商比較兩種【典例例題】命題方向一：指數(shù)冪的運(yùn)算例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）_________.例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，求__________例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）________.變式1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）__________．變式2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則=__________變式3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則______變式4．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【通性通解總結(jié)】（1）指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加．②運(yùn)算的先后順序．（2）運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)．命題方向二：指數(shù)方程、指數(shù)不等式例4．（2022秋·遼寧·高三朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知和是方程的兩根，則_________.例5．（2022秋·上海虹口·高三華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若、為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則______．例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則方程的解是________．變式5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）方程的解集為_(kāi)_______變式6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是___________．變式7．（2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）不等式的解集為_(kāi)_____．變式8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的解集為_(kāi)________．變式9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的解集為_(kāi)__________.變式10．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）請(qǐng)寫出滿足方程的一組實(shí)數(shù)對(duì)：______．【通性通解總結(jié)】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解題．對(duì)于形如，，的形式常用“化同底”轉(zhuǎn)化，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決；或用“取對(duì)數(shù)”的方法求解．形如或的形式，可借助換元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解．命題方向三：指數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)例7．（2023·遼寧鞍山·校聯(lián)考一模）函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，若，，則（

）A．4 B．2 C．1 D．0例8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，且，則=（

）A．4 B．5 C．6 D．7例9．（2023春·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（

）A．或 B．C． D．變式11．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)（，且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B．2 C． D．4a的值為變式12．（2023·天津河?xùn)|·一模）如圖中，①②③④中不屬于函數(shù)，，中一個(gè)的是（

）A．① B．② C．③ D．④變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，，則在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，它們的圖象大致為（

）A． B．C． D．變式15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式16．（2023秋·黑龍江七臺(tái)河·高三?？计谥校┖瘮?shù)（，且）的圖象過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0)變式17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．9【通性通解總結(jié)】解決指數(shù)函數(shù)有關(guān)問(wèn)題，思路是從它們的圖像與性質(zhì)考慮，按照數(shù)形結(jié)合的思路分析，從圖像與性質(zhì)找到解題的突破口，但要注意底數(shù)對(duì)問(wèn)題的影響．命題方向四：比較指數(shù)式的大小例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B．C． D．例11．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）已知，則（

）A． B．C． D．例12．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，，則（

）A． B． C． D．變式18．（2023·吉林四平·四平市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．變式19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，則（

）．A． B．C． D．【通性通解總結(jié)】指數(shù)式大小比較方法①單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．②中間量法：當(dāng)指數(shù)式的底數(shù)和指數(shù)各不相同時(shí)，需要借助中間量“0”和“1”作比較．③分類討論法：指數(shù)式的底數(shù)不定時(shí)，需要分類討論底數(shù)的情況，在利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．④比較法：有作差比較與作商比較兩種命題方向五：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問(wèn)題例13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，則的取值范圍是___________.例14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式（，且）對(duì)于任意的恒成立，則的取值范圍為_(kāi)_______.例15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知對(duì)一切上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．變式20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)，對(duì)任意，總存在使得，則的取值范圍為_(kāi)_________.變式21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知(1)求的解析式，并求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若，求；(3)若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.變式22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)(1)確定的值(2)若，判斷并證明的單調(diào)性；(3)若，使得對(duì)一切恒成立，求出的范圍.變式23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集；(2)若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【通性通解總結(jié)】已知不等式能恒成立求參數(shù)值（取值范圍）問(wèn)題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．命題方向六：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______.例17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________．例18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．變式24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為_(kāi)_____．變式25．（2023春·河南周口·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_____.變式26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是__________.變式27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間___________.變式28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則__________．變式29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．變式30．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的最小值為_(kāi)__．變式31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)方程的解為，，方程的解為，，則______．變式32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是方程的一個(gè)根，方程的一個(gè)根，則___________.【通性通解總結(jié)】（1）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．（2）求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．（2023·江西·校聯(lián)考二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調(diào)節(jié)免疫功能，增強(qiáng)機(jī)體免疫力.草莓味甘、性涼，有潤(rùn)肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛(ài).根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依次分為個(gè)等級(jí)，其等級(jí)（）與其對(duì)應(yīng)等級(jí)的市場(chǎng)銷售單價(jià)單位：元千克近似滿足函數(shù)關(guān)系式.若花同樣的錢買到的級(jí)草莓比級(jí)草莓多倍，且級(jí)草莓的市場(chǎng)銷售單價(jià)為元千克，則級(jí)草莓的市場(chǎng)銷售單價(jià)最接近（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．元千克 B．元千克 C．元千克 D．元千克3．（2023·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a，m，n滿足，，，則（

）A．2 B． C．3 D．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．設(shè)則 B．若，則C．若，則 D．8．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)m，n，t滿足，，則（

）A．， B．，C．， D．，二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a，，則使“”成立的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y＝(a2－4a＋4)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值不可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．111．（2023·廣東深圳·紅嶺中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)是增函數(shù)B．曲線關(guān)于對(duì)稱C．函數(shù)的值域?yàn)镈．曲線有且僅有兩條斜率為的切線12．（2023·山東青島·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解三、填空題13．（2023·上海奉賢·上海市奉賢中學(xué)?？既＃c(diǎn)、都在同一個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖像上，則t=________．14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）需求價(jià)格彈性系數(shù)（其中為的導(dǎo)數(shù)）表示在一定時(shí)期內(nèi)當(dāng)一種商品的價(jià)格P變化1%時(shí)所引起的該商品需求量Q變化的百分比．已知某種商品的需求量Q關(guān)于價(jià)格P的函數(shù)關(guān)系式為（b為常數(shù)），若該商品當(dāng)前價(jià)格為4元，為－0.5，則需求量Q＝______.15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有下列三個(gè)不等式：①；②；③，則正確不等式的序號(hào)為_(kāi)_____16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(其中是常數(shù))．若當(dāng)時(shí)，恒有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)______．四、解答題17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若的值域是，求的值．19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足（其中），且.(1)求函數(shù)和的解析式；(2)若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.20．（2023·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（，為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于不等式對(duì)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（2023·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的圖象過(guò)點(diǎn).(1)求的值；(2)求不等式的解集.22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)且，函數(shù).(1)求的解析式；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.專題09指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【命題方向目錄】命題方向一：指數(shù)冪的運(yùn)算命題方向二：指數(shù)方程、指數(shù)不等式命題方向三：指數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)命題方向四：比較指數(shù)式的大小命題方向五：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問(wèn)題命題方向六：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題【2024年高考預(yù)測(cè)】2024年高考仍將重點(diǎn)考查指數(shù)與指數(shù)函數(shù)，考查利用指數(shù)運(yùn)算及利用指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)比較大小、處理單調(diào)性、解不等式等問(wèn)題，難度為中檔題．【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】1、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算（1）根式的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．（2）根式的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．（3）指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘．（4）有理數(shù)指數(shù)冪的分類①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．（5）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①，，；②，，；③，，；④，，．2、指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，；時(shí)，時(shí)，；時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)【方法技巧與總結(jié)】1、指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)，，2、如圖所示是指數(shù)函數(shù)（1），（2），（3），（4）的圖象，則，即在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)（且）的圖象越高，底數(shù)越大．3、指數(shù)式大小比較方法①單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．②中間量法：當(dāng)指數(shù)式的底數(shù)和指數(shù)各不相同時(shí)，需要借助中間量“0”和“1”作比較．③分類討論法：指數(shù)式的底數(shù)不定時(shí)，需要分類討論底數(shù)的情況，在利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．④比較法：有作差比較與作商比較兩種【典例例題】命題方向一：指數(shù)冪的運(yùn)算例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）_________.【答案】/【解析】,故答案為：例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，求__________【答案】【解析】因?yàn)?，所以，解得，所以，故答案為：．?．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）________.【答案】19【解析】.故答案為：19變式1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）__________．【答案】100【解析】原式．變式2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則=__________【答案】【解析】，.故答案為：變式3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則______【答案】【解析】在等式兩邊平方可得，因此，.故答案為：.變式4．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由，所以A正確；由，所以B正確；由，因?yàn)?，，所以，所以C錯(cuò)誤；由，所以D正確．故選：ABD．【通性通解總結(jié)】（1）指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加．②運(yùn)算的先后順序．（2）運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)．命題方向二：指數(shù)方程、指數(shù)不等式例4．（2022秋·遼寧·高三朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知和是方程的兩根，則_________.【答案】【解析】方程可化為，由韋達(dá)定理得，，所以，得.又，所以.故答案為：例5．（2022秋·上海虹口·高三華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若、為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則______．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，，即，，由題意可知，、為方程的兩根，由韋達(dá)定理可得.故答案為：.例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則方程的解是________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，故，解得，故即，故，解得故答案為：變式5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）方程的解集為_(kāi)_______【答案】/【解析】由題意知，，即，所以，有，即，解得或，當(dāng)時(shí)，有，得或(舍去)，解得；當(dāng)時(shí)，有，即，得或(舍去)解得，所以方程的解集為：故答案為：變式6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是___________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以等價(jià)于，在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖像如圖：兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由圖可知：當(dāng)或時(shí)，成立，所以不等式的解集為：．故答案為：．變式7．（2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：變式8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的解集為_(kāi)________．【答案】【解析】由，可得，故解集為.故答案為：.變式9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的解集為_(kāi)__________.【答案】【解析】由，可得.令，因?yàn)榫鶠樯蠁握{(diào)遞減函數(shù)則在上單調(diào)逆減，且，，故不等式的解集為.故答案為：.變式10．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）請(qǐng)寫出滿足方程的一組實(shí)數(shù)對(duì)：______．【答案】（答案不唯一）【解析】∵，∴，∴令得：，即：.故答案為：（答案不唯一）.【通性通解總結(jié)】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解題．對(duì)于形如，，的形式常用“化同底”轉(zhuǎn)化，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決；或用“取對(duì)數(shù)”的方法求解．形如或的形式，可借助換元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解．命題方向三：指數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)例7．（2023·遼寧鞍山·校聯(lián)考一模）函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，若，，則（

）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】因?yàn)?，且是定義在R上的偶函數(shù)，所以，令，則，所以，即，所以函數(shù)的周期為2，所以.故選：B.例8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，且，則=（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】由題意，函數(shù)，因?yàn)?，可得，解得，即，所?故選：B.例9．（2023春·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得，解得.故選：C.變式11．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)（，且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B．2 C． D．4a的值為【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)（，且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得：.故選：B.變式12．（2023·天津河?xùn)|·一模）如圖中，①②③④中不屬于函數(shù)，，中一個(gè)的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：①是的部分圖象；③是的部分圖象；④是的部分圖象；所以只有②不是指數(shù)函數(shù)的圖象.故選：B.變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，又的圖象如下：

∴.故選：C.變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，，則在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，它們的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】與是增函數(shù)，與是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)作直線，該直線與四條曲線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小對(duì)應(yīng)各底數(shù)的大小，易知：選A．故選：A變式15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖，當(dāng)時(shí)，，由圖可知，，即得，則，由，即，得，求得，∴，故選：D變式16．（2023秋·黑龍江七臺(tái)河·高三?？计谥校┖瘮?shù)（，且）的圖象過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0)【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A.變式17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．9【答案】D【解析】由題意得：，代入直線得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故選：D．【通性通解總結(jié)】解決指數(shù)函數(shù)有關(guān)問(wèn)題，思路是從它們的圖像與性質(zhì)考慮，按照數(shù)形結(jié)合的思路分析，從圖像與性質(zhì)找到解題的突破口，但要注意底數(shù)對(duì)問(wèn)題的影響．命題方向四：比較指數(shù)式的大小例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，，，則，，又，，則，即，所以．故選：D．例11．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知，，，，，故．故選：D.例12．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，?若，則，即，得，與矛盾.故，由，得，得.綜上，.故選：B.變式18．（2023·吉林四平·四平市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)可得，，即；再由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)可知，，結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域可得；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)在上為單調(diào)遞增可知，，即；所以.故選：A變式19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，，又函?shù)在上單調(diào)遞增，，所以所以，故選：C【通性通解總結(jié)】指數(shù)式大小比較方法①單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．②中間量法：當(dāng)指數(shù)式的底數(shù)和指數(shù)各不相同時(shí)，需要借助中間量“0”和“1”作比較．③分類討論法：指數(shù)式的底數(shù)不定時(shí)，需要分類討論底數(shù)的情況，在利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．④比較法：有作差比較與作商比較兩種命題方向五：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問(wèn)題例13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】原不等式或，因?yàn)?所以（1）或（2）.當(dāng)時(shí)，（2）成立，此時(shí).當(dāng)，時(shí)，（1）成立，因?yàn)樵冢?）中，，令，則為單調(diào)遞增函數(shù)，所以要使（1）對(duì)，成立，只需時(shí)成立.又時(shí)，.所以使不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，的取值范圍是：.故答案為：例14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式（，且）對(duì)于任意的恒成立，則的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【解析】不等式等價(jià)于，令，，當(dāng)時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖1所示，由圖知不滿足條件；當(dāng)時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖2所示，則，即，，故的取值范圍是，故答案為：.例15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知對(duì)一切上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】可化為，令，由，得，則，在上遞減，當(dāng)時(shí)取得最大值為，所以．故答案為．變式20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)，對(duì)任意，總存在使得，則的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，則，，在上單調(diào)遞減，則，可得，，在上的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)?，根?jù)題意有，的范圍為.故答案為：.變式21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知(1)求的解析式，并求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若，求；(3)若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【解析】（1）令，則，因此，即.由得，解得，即函數(shù)的零點(diǎn)為.（2）由（1）知，因此由得，所以.（3）由條件知.因?yàn)閷?duì)于恒成立，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以對(duì)于恒成立.而，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，因此實(shí)數(shù)的最大值為4.變式22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)(1)確定的值(2)若，判斷并證明的單調(diào)性；(3)若，使得對(duì)一切恒成立，求出的范圍.【解析】（1）因是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，而，解得，所以的值是2.（2）由（1）得，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，而，則，即，又，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，因，則，，于是得，即，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.（3）當(dāng)時(shí)，，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，，于是得，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，，因此，，解得，所以的范圍是.變式23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集；(2)若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，即，即，令，則，解得，故，所以關(guān)于的不等式的解集為；(2)對(duì)，不等式恒成立，即恒成立，令，則恒成立，需滿足，即，而函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，且時(shí)，，故由可知：，即求實(shí)數(shù)的取值范圍為.【通性通解總結(jié)】已知不等式能恒成立求參數(shù)值（取值范圍）問(wèn)題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．命題方向六：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______.【答案】【解析】因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.例17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，又，，使得，所以，所以，解得；當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，又，，使得，所以，所以，解得．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．故答案為：.例18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】令，由題意得的值域?yàn)?，又的值域?yàn)?，所以解得所以的取值范圍為．故答案為：變?4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】/【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以，函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)、、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，，即，當(dāng)取最大值時(shí)，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.故答案為：.變式25．（2023春·河南周口·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_____.【答案】【解析】令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在定義域上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間.故答案為：變式26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是__________.【答案】【解析】由且，所以為偶函數(shù)，若時(shí)，，而，所以，故在上遞增，則上遞減，要使成立，即，可得.故答案為：變式27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間___________.【答案】增區(qū)間為，減區(qū)間為【解析】設(shè)t＝>0，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函數(shù)t＝在R上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.故答案為：增區(qū)間為，減區(qū)間為變式28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則__________．【答案】2【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上遞增，所以，則，解得或（舍去）.故答案為：.變式29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】由題意得：有解令有解，即有解，顯然無(wú)意義,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故答案為：.變式30．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的最小值為_(kāi)__．【答案】4【解析】由，可得，則，又，則，則的最小值為4故答案為：4變式31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)方程的解為，，方程的解為，，則______．【答案】10【解析】由方程得，由方程得，在同一坐標(biāo)系下做出函數(shù)、，的圖象，不妨設(shè)，如下圖，因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象關(guān)于對(duì)稱，即點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)都關(guān)于對(duì)稱，由解得，即兩直線的交點(diǎn)為，則，則.故答案為：.變式32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是方程的一個(gè)根，方程的一個(gè)根，則___________.【答案】【解析】將已知的兩個(gè)方程變形得，.令：，，，畫出它們的圖像，如圖，記函數(shù)與的交點(diǎn)為，與的圖像的交點(diǎn)為，由于與互為反函數(shù)，且直線與直線垂直，所以與兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，由，解得，，則.故答案為：.【通性通解總結(jié)】（1）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．（2）求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于所以，，所以.故選：D.2．（2023·江西·校聯(lián)考二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調(diào)節(jié)免疫功能，增強(qiáng)機(jī)體免疫力.草莓味甘、性涼，有潤(rùn)肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛(ài).根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依次分為個(gè)等級(jí)，其等級(jí)（）與其對(duì)應(yīng)等級(jí)的市場(chǎng)銷售單價(jià)單位：元千克近似滿足函數(shù)關(guān)系式.若花同樣的錢買到的級(jí)草莓比級(jí)草莓多倍，且級(jí)草莓的市場(chǎng)銷售單價(jià)為元千克，則級(jí)草莓的市場(chǎng)銷售單價(jià)最接近（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．元千克 B．元千克 C．元千克 D．元千克【答案】C【解析】由題可知，由則.故選：C.3．（2023·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使函數(shù)為增函數(shù)，則且，又函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)和，且的增長(zhǎng)趨勢(shì)比快得多，與的函數(shù)圖象如下所示：所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B4．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，，，，故.故選：B5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以由，得，即，所以，即?duì)于任意的恒成立，而，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a，m，n滿足，，，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【解析】由題意得，，由得，從而得，即因?yàn)?，所以，?由指數(shù)函數(shù)值域可得，，所以.即.故選：A7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．設(shè)則 B．若，則C．若，則 D．【答案】B【解析】對(duì)于A，根據(jù)分式指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，，，因?yàn)椋?，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B．8．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)m，n，t滿足，，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】令，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，∴，即，∴，∴，即，∴，排除AB.時(shí)，，，，，顯然，，所以，選C，時(shí)可得相同結(jié)論，時(shí)取“”.故選：C.二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a，，則使“”成立的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿足，不滿足，即推不出，不充分；當(dāng)時(shí)，滿足，不滿足，即推不出，不必要；A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿足，不滿足，即推不出，不充分；當(dāng)時(shí)，平方得，又，又，故，即能推出，必要；B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，滿足，不滿足，即推不出，不充分；當(dāng)時(shí)，由，，即能推出，必要；C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，滿足，不滿足，即推不出，不充分；當(dāng)時(shí)，滿足，不滿足，即推不出，不必要；D錯(cuò)誤.故選：BC.10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y＝(a2－4a＋4)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值不可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ACD【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.故選：ACD.11．（2023·廣東深圳·紅嶺中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)是增函數(shù)B．曲線關(guān)于對(duì)稱C．函數(shù)的值域?yàn)镈．曲線有且僅有兩條斜率為的切線【答案】AB【解析】根據(jù)題意可得，易知是減函數(shù)，所以是增函數(shù)，即A正確；由題意可得，所以，即對(duì)于任意，滿足，所以關(guān)于對(duì)稱，即B正確；由指數(shù)函數(shù)值域可得，所以，即，所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以C錯(cuò)誤；易知，令，整理可得，令，即，易知，又因?yàn)椋?，所以，即，因此；即關(guān)于的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根；所以無(wú)解，即曲線不存在斜率為的切線，即D錯(cuò)誤；故選：AB12．（2023