北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題7.7平行線中的四大經(jīng)典模型同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題7.7平行線中的四大經(jīng)典模型【北師大版】【模型1“豬蹄”型（含鋸齒型）】1．（2023下·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，EF平分∠BED，∠DEF+∠D=66°，∠B?∠D=28°，則∠BED=2．（2023上·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，∠BCD=n°，則∠BED的度數(shù)為．（用含3．（2023下·廣東河源·八年級(jí)河源市第二中學(xué)校考期中）已知直線l1∥l2，A是l1上的一點(diǎn)，B是l2上的一點(diǎn)，直線l3和直線l1，l2交于C和D，直線(1)如果P點(diǎn)在C，D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與C，D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案，不需要證明）4．（2023下·山東聊城·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線AB//CD，EF是截線，點(diǎn)M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點(diǎn)M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．5．（2023下·福建莆田·八年級(jí)莆田第二十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，AB//CD，點(diǎn)E在直線AB，CD內(nèi)部，且（1）如圖1，連接AC，若AE平分∠BAC，求證：CE平分∠ACD；（2）如圖2，點(diǎn)M在線段AE上，①若∠MCE=∠ECD，當(dāng)直角頂點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)，∠BAE與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由；②若∠MCE=1n∠ECD（n為正整數(shù)），當(dāng)直角頂點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)，∠BAE6．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求證：∠BFE=∠FEC（2）如圖2，已知AB//CD，∠EAF=14∠EAB，7．（2023下·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，則∠F＝；(2)請(qǐng)?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由；(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長(zhǎng)FG交EP于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．8．（2023下·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題情境：如圖1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度數(shù)．

經(jīng)過(guò)思考，小敏的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得∠PAB+∠PCD=360°?∠APC=252°．問(wèn)題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．(1)當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．(3)問(wèn)題拓展：如圖4，MA1∥NAn，9．（2023下·重慶九龍坡·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，AB∥CD．點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．10．（2023下·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD，點(diǎn)O在直線CD上，點(diǎn)P在直線AB和CD之間，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．（1）求∠BPD的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE//PQ交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，猜想EF與PD的位置關(guān)系，并證明；（3）將（2）中的“作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F”改為“作射線EF將∠DEP分為1:3兩個(gè)部分，交PD于點(diǎn)F”，其余條件不變，連接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．【模型2“鉛筆”型】、1．（2012下·廣東茂名·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB∥ED，∠B+∠C+∠D=（

A．180° B．360° C．540° D．270°2．（2012·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一大門的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于點(diǎn)A，CD平行于地面AE，則∠ABC＋∠BCD＝．3．（2023下·陜西西安·八年級(jí)西安市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖1所示的是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸．如圖2所示的是手動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，則∠AGC的度數(shù)是4．（2023下·廣東東莞·八年級(jí)東莞市長(zhǎng)安實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫(xiě)出求解過(guò)程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．5．（2023下·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求思路點(diǎn)撥：小明的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)；小芳的思路是：如圖4，延長(zhǎng)AP交DC的延長(zhǎng)線于E，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)．問(wèn)題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為°；問(wèn)題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．6．（2023下·內(nèi)蒙古·八年級(jí)?？计谥校┚C合與探究：（1）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°．求∠APC的度數(shù)．小明想到一種方法，但是沒(méi)有解答完：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°．∴∠APE=180°?∠PAB=180°?130°=50°．∵AB∥CD．∴PE∥CD．…………請(qǐng)你幫助小明完成剩余的解答．（2）問(wèn)題探究：請(qǐng)你依據(jù)小明的思路，解答下面的問(wèn)題：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠ADP=∠α,∠BCP=∠β．當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD,∠α,∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2023下·天津?yàn)I海新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，四邊形MNBD為一張長(zhǎng)方形紙片．

（1）如圖2，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．（2）如圖3，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．（3）如圖4，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是____________°．8．（2023下·浙江·八年級(jí)期末）已知AB//CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動(dòng)點(diǎn)（1）如圖1所示時(shí)，試問(wèn)∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由．（2）除了（1）的結(jié)論外，試問(wèn)∠AEP，∠EPF，∠PFC還可能滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)畫(huà)圖并證明（3）當(dāng)∠EPF滿足0°<∠EPF<180°，且QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，①若∠EPF=60°，則∠EQF=__________°．②猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系．（直接寫(xiě)出結(jié)論）9．（2023下·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，滿足（1）試問(wèn)：∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：由于點(diǎn)P是平行線AB，CD之間一動(dòng)點(diǎn)，因此需對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論．如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在EF的左側(cè)時(shí)，易得∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足的數(shù)量關(guān)系為∠AEP+∠PFC=∠EPF；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在EF的右側(cè)時(shí)，寫(xiě)出∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足的數(shù)量關(guān)系_________．（2）如圖3，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，且點(diǎn)P在EF左側(cè)．①若∠EPF=100°，則∠EQF的度數(shù)為_(kāi)_____；②猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；③如圖4，若∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點(diǎn)Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點(diǎn)Q2，∠BEQ2與10．（2023下·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下面材料，完成（1)～（3）題．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出示了這樣—道題：如圖1，已知AB//CD,點(diǎn)E,F分別在AB,CD上，EP⊥FP,∠1=60°．求∠2的度數(shù)．同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后，小明、小偉、小華三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：小明：“如圖2，通過(guò)作平行線，發(fā)現(xiàn)∠1=∠3,∠2=∠4，由已知EP⊥FP,可以求出∠2的度數(shù)．”小偉：“如圖3這樣作平行線，經(jīng)過(guò)推理，得∠2=∠3=∠4,也能求出∠2的度數(shù)．”小華：∵如圖4，也能求出∠2的度數(shù)．”(1)請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)所畫(huà)的圖形(圖2)，描述小明同學(xué)輔助線的做法，輔助線：______；(2)請(qǐng)你根據(jù)以上同學(xué)所畫(huà)的圖形，直接寫(xiě)出∠2的度數(shù)為_(kāi)________°；老師：“這三位同學(xué)解法的共同點(diǎn)，都是過(guò)一點(diǎn)作平行線來(lái)解決問(wèn)題，這個(gè)方法可以推廣．”請(qǐng)大家參考這三位同學(xué)的方法，使用與他們類似的方法，解決下面的問(wèn)題：(3)如圖，AB//CD，點(diǎn)E,F分別在AB，CD上，F(xiàn)P平分∠EFD,∠PEF=∠PDF,若∠EPD=a,請(qǐng)?zhí)骄俊螩FE與∠PEF的數(shù)量關(guān)系（(用含α的式子表示)，并驗(yàn)證你的結(jié)論．【模型3“雞翅”型】1．（2023下·湖南株洲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）①如圖1，AB∥CD，則∠A+∠E+∠C=360°；②如圖2，AB∥CD，則∠P=∠A?∠C；③如圖3，AB∥CD，則∠E=∠A+∠1；④如圖4，直線AB∥CD∥EF，點(diǎn)O在直線EF上，則∠α?∠β+∠γ=180°．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）已知：如圖（a），直線DE∥AB．求證：（2）如圖（b），如果點(diǎn)C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會(huì)有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？3．（2023下·廣東東莞·八年級(jí)東莞市光明中學(xué)校考期中）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說(shuō)出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由．

4．（2023下·湖北武漢·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線，AD

(1)求證：∠B+∠C?∠A=180°：(2)如圖②，AQ、BQ分別為∠DAC、∠EBC的平分線所在直線，試探究(3)如圖③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直線AQ、BC交于點(diǎn)P，QP⊥PB5．（2023下·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AD⊥AB于點(diǎn)A，AE∥CD交BC于點(diǎn)E，且EF⊥AB于點(diǎn)F．求證：∠C=∠1+∠2．證明：∵AD⊥AB于點(diǎn)A，EF⊥AB于點(diǎn)F，（已知）∴∠DAB=∠EFB=90°．（垂直的定義）∴AD∥EF，（

）∴__________=∠1（

）∵AE∥CD，（已知）∴∠C=________．（兩直線平行，同位角相等）∵∠AEB=∠AEF+∠2，∴∠C=∠1+∠2．（等量代換）6．（2023下·福建廈門·八年級(jí)廈門市第十一中學(xué)?？计谥校┮阎珹E//BD，∠A=∠D．（1）如圖1，求證：AB//CD；（2）如圖2，作∠BAE的平分線交CD于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AB上一點(diǎn)，連接FG，若∠CFG的平分線交線段AG于點(diǎn)H，連接AC，若∠ACE=∠BAC+∠BGM，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥FH交FG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，且3∠E?5∠AFH=18°，求∠EAF+∠GMH的度數(shù)．7．（2023下·浙江·八年級(jí)期末）已知AM//CN，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BC于B．（1）如圖1，點(diǎn)B在兩條平行線外，則∠A與∠C之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；（2）點(diǎn)B在兩條平行線之間，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D．①如圖2，說(shuō)明∠ABD=∠C成立的理由；②如圖3，BF平分∠DBC交DM于點(diǎn)F,BE平分∠ABD交DM于點(diǎn)E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．8．（2023下·廣東河源·八年級(jí)河源市第二中學(xué)校考期中）已知直線l1∥l2，A是l1上的一點(diǎn)，B是l2上的一點(diǎn)，直線l3和直線l1，l2交于C和D，直線(1)如果P點(diǎn)在C，D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與C，D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案，不需要證明）【模型4“骨折”型】1．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式．2．（2023下·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測(cè)）如圖，將∠A為30°的直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直尺的一邊上，則∠1+∠2的度數(shù)為．3．（2023上·貴州六盤水·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD的度數(shù)為4．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，則∠EAB的度數(shù)為．5．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，若AB//CD6．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知AB//CD，求證：∠B＝∠E＋∠D7．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校┮阎本€AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠APD，求∠AND8．（2023下·廣東中山·八年級(jí)校考期中）（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補(bǔ)角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點(diǎn)，G是CD上任一點(diǎn)，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．9．（2023下·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與探究【問(wèn)題情境】王老師組織同學(xué)們開(kāi)展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)（1）如圖1，EF//MN，點(diǎn)A、B分別為直線EF、MN上的一點(diǎn)，點(diǎn)P為平行線間一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠PAF、∠PBN和專題7.7平行線中的四大經(jīng)典模型【北師大版】【模型1“豬蹄”型（含鋸齒型）】1．（2020下·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，EF平分∠BED，∠DEF+∠D=66°，∠B?∠D=28°，則∠BED=【答案】80°【分析】過(guò)E點(diǎn)作EM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分線的定義可求得∠B+3∠D=132°，結(jié)合∠B-∠D=28°即可求解．【詳解】解：過(guò)E點(diǎn)作EM∥AB，∴∠B=∠BEM，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MED=∠D，∴∠BED=∠B+∠D，∵EF平分∠BED，∴∠DEF=12∠BED∵∠DEF+∠D=66°，∴12∠BED+∠D∴∠BED+2∠D=132°，即∠B+3∠D=132°，∵∠B-∠D=28°，∴∠B=54°，∠D=26°，∴∠BED=80°．故答案為：80°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，作出輔助線證出∠BED=∠B+∠D是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，∠BCD=n°，則∠BED的度數(shù)為．（用含【答案】40°+【分析】首先過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，由平行線的傳遞性得AB∥CD∥EF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出∠BCD=∠ABC=n°，∠BAD=∠ADC=80°，由角平分線的定義得出∠ABE=12n°，∠EDC=40°，再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠BEF=∠ABE=12【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則AB∥CD∥EF，∵AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC=n°，∠BAD=∠ADC=80°，又∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=1∠EDC=1∵AB∥EF∥CD，∴∠BEF=∠ABE=1∠FED=∠EDC=40°，∴∠BED=∠FED+∠BEF=40°+1故答案為：40°+1【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義．3．（2023下·廣東河源·八年級(jí)河源市第二中學(xué)?？计谥校┮阎本€l1∥l2，A是l1上的一點(diǎn)，B是l2上的一點(diǎn)，直線l3和直線l1，l2交于C和D，直線(1)如果P點(diǎn)在C，D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與C，D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案，不需要證明）【答案】(1)∠PAC+∠PBD=∠APB(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線l1上方時(shí)，∠PBD?∠PAC=∠APB；當(dāng)點(diǎn)P在直線l2下方時(shí)，【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥l1，由“平行于同一條直線的兩直線平行”可得出PE∥l1∥（2）按點(diǎn)P的兩種情況分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在直線l1上方時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P在直線l2下方時(shí)，同理（1）可得∠PAC=∠APE、【詳解】（1）解：∠PAC+∠PBD=∠APB．過(guò)點(diǎn)P作PE∥l1∵PE∥l1，∴PE∥l∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠PAC+∠PBD=∠APB．（2）解：結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P在直線l1上方時(shí)，∠PBD?∠PAC=∠APB；當(dāng)點(diǎn)P在直線l2下方時(shí)，①當(dāng)點(diǎn)P在直線l1上方時(shí)，如圖2所示．過(guò)點(diǎn)P作PE∥∵PE∥l1，∴PE∥l∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠BPE?∠APE，∴∠PBD?∠PAC=∠APB．②當(dāng)點(diǎn)P在直線l2下方時(shí)，如圖3所示．過(guò)點(diǎn)P作PE∥∵PE∥l1，∴PE∥l∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠APE?∠BPE，∴∠PAC?∠PBD=∠APB．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”找到相等的角．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵．4．（2023下·山東聊城·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線AB//CD，EF是截線，點(diǎn)M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點(diǎn)M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)∠GQH=180°?∠M；理由見(jiàn)詳解【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，由AB∥CD，可知MN∥AB∥（2）由（1）可知∠AGM+∠CHM=∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠AGM＝∠HGQ，可知：∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形內(nèi)角和是180°，可得【詳解】（1）解：如圖：過(guò)點(diǎn)M作MN∥∴MN∥∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，∵∠M=∠GMN+∠HMN，∴∠M=（2）解：∠GQH=180°?∠M，理由如下：如圖：過(guò)點(diǎn)M作MN∥由（1）知∠M=∵HM平分∠GHC，∴∠CHM=∠GHM，∵∠AGM＝∠HGQ，∴∠M=∠HGQ+∠GHM，∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°，∴∠GQH=180°?∠M．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)這也是比較常見(jiàn)的幾何模型“豬蹄模型”的應(yīng)用．5．（2023下·福建莆田·八年級(jí)莆田第二十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，AB//CD，點(diǎn)E在直線AB，CD內(nèi)部，且（1）如圖1，連接AC，若AE平分∠BAC，求證：CE平分∠ACD；（2）如圖2，點(diǎn)M在線段AE上，①若∠MCE=∠ECD，當(dāng)直角頂點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)，∠BAE與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由；②若∠MCE=1n∠ECD（n為正整數(shù)），當(dāng)直角頂點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)，∠BAE【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①∠BAE+12∠MCD=90°，理由見(jiàn)解析；②∠BAE+nn+1∠【分析】（1）根據(jù)平行的性質(zhì)可得∠BAC+∠DCA=180°，再根據(jù)AE⊥CE可得∠EAC+∠ECA=90°，根據(jù)AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代換可得∠ECD+∠EAC=90°，繼而求得∠DCE=∠ECA；（2）①過(guò)E作EF∥AB，先利用平行線的傳遞性得出EF∥AB∥CD，再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案；②過(guò)E作EF∥AB，先利用平行線的傳遞性得出EF∥AB∥CD，再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案.【詳解】（1）解：因?yàn)锳B//所以∠BAC+∠DCA=180°，因?yàn)锳E⊥CE，所以∠EAC+∠ECA=90°，因?yàn)锳E平分∠BAC，所以∠BAE=∠EAC，所以∠BAE+∠DCE=90°，所以∠EAC+∠DCE=90°，所以∠DCE=∠ECA，所以CE平分∠ACD；（2）①∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關(guān)系：∠BAE+12∠MCD理由如下：過(guò)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+12∠MCD②∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關(guān)系：∠BAE+nn+1∠MCD理由如下：過(guò)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=1n∠ECD∴∠BAE+nn+1∠MCD【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是要添加輔助線利用平行性質(zhì).6．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求證：∠BFE=∠FEC（2）如圖2，已知AB//CD，∠EAF=14∠EAB，【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）如圖：延長(zhǎng)BF、DC相較于E，由AB//CD可得∠ABF=∠E，再結(jié)合∠ABF=∠DCE可得∠DCE=∠E，即可得當(dāng)BE//DE，最后運(yùn)用兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等即可證明結(jié)論；（2）如圖2：連接AC，設(shè)∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），再求出∠AEC和∠AFC，最后比較即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖：延長(zhǎng)BF、DC相較于G∵AB//CD∴∠ABF=∠G∵∠ABF=∠DCE∴∠DCE=∠G∴BG//CE∴∠BFE=∠FEC；（2）如圖2：連接AC，設(shè)∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，∵AB//CD，∴∠BAC+∠ACD=180°∴∠CAE+4x+∠ACE+4y=180°∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），∠FAC+∠FCA=180°-（3x+3y），∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）=180°-[80°-（4x+4y）]=4x+4y=4（x+y）∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-[180°-（3x+3y））]=3x+3y=3（x+y），∴∠AFC=3【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理正確的表示角成為解答本題的關(guān)鍵．7．（2017下·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，則∠F＝；(2)請(qǐng)?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由；(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長(zhǎng)FG交EP于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．【答案】(1)90°(2)∠F=∠E+30°，理由見(jiàn)解析(3)15°【分析】（1）如圖1，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；（2）如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB//CD，AB//FN，得到CD//FN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D+∠DFN=180°，于是得到結(jié)論；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FH//EP，設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=(2x+30)°，根據(jù)角平分線的定義得到∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12【詳解】（1）解：如圖1，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；故答案為：90°；（2）解：如圖1，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°；（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FH//EP，由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=(2x+30)°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF=12∠BEF=x°∵FH//EP，∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，∵∠HFG=∠EFG?∠EFH=15°，∴∠P=15°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．（2020下·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題情境：如圖1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度數(shù)．

經(jīng)過(guò)思考，小敏的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得∠PAB+∠PCD=360°?∠APC=252°．問(wèn)題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．(1)當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．(3)問(wèn)題拓展：如圖4，MA1∥NAn，A【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由見(jiàn)解析(2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β(3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠【分析】（1）過(guò)P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）過(guò)P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（3）問(wèn)題拓展：分別過(guò)A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過(guò)B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（2）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD=∠β-∠α；理由：如圖，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD=∠α-∠β．理由：如圖，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．（3）問(wèn)題拓展：分別過(guò)A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過(guò)B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M，由平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠B故答案為：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠B【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，第（2）問(wèn)在解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．9．（2020下·重慶九龍坡·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，AB∥CD．點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變，30°【分析】（1）過(guò)E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過(guò)F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線的定義可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，進(jìn)而可求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知∠FEQ=12∠BME【詳解】解：（1）過(guò)E作EH∥AB，如圖1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如圖2，過(guò)F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒(méi)發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝12∠MEN＝12（∠BME＋∠END），∠ENP＝12∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝12（∠BME＋∠END）﹣12∠END＝12∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝12【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2023下·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD，點(diǎn)O在直線CD上，點(diǎn)P在直線AB和CD之間，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．（1）求∠BPD的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE//PQ交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，猜想EF與PD的位置關(guān)系，并證明；（3）將（2）中的“作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F”改為“作射線EF將∠DEP分為1:3兩個(gè)部分，交PD于點(diǎn)F”，其余條件不變，連接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．【答案】（1）∠BPD=2α；（2）畫(huà)圖見(jiàn)解析，EF⊥PD，證明見(jiàn)解析；（3）45°?α2【分析】（1）根據(jù)平行線的傳遞性推出PG//AB//CD，再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解；（2）猜測(cè)EF⊥PD，根據(jù)PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，推導(dǎo)出∠BPD=∠DPQ=2α，再根據(jù)DE//PQ、EF平分∠DEP，通過(guò)等量代換求解；（3）分兩種情況進(jìn)行討論，即當(dāng)∠PEF:∠DEF=1:3與∠DEF:∠PEF=1:3，充分利用平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等量代換的思想進(jìn)行求解．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)P作PG//AB，∵AB//CD,PG//AB，∴PG//AB//CD，∴∠BPG=∠ABP=α,∠DPG=∠PDQ=α，∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=2α．（2）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形如下：猜測(cè)EF⊥PD，由（1）可知：∠BPD=2α，∵PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，∴∠BPD=∠DPQ=2α，∵DE//PQ，∴∠EDP=∠DPQ=2α，∴∠DEP=180°?∠BPD?∠EDP=180°?4α，又EF平分∠DEP，∠PEF=1∴∠EFD=180°?∠PEF?∠BPD=90°，∴EF⊥PD．（3）①如圖1，∠PEF:∠DEF=1:3，由（2）可知：∠EPD=∠DPQ=∠EDP=2α,∠DEP=180°?4α，∵∠PEF:∠DEF=1:3，∴∠PEF=1∠DEF=3∵DE//PQ，∴∠DEQ=∠PQE，∠EDQ+∠PQD=180°，∵∠EDP=2α,∠PDQ=α，∴∠EDQ=∠EDP+∠PDQ=3α，∠PQD=180°?∠EDQ=180°?3α，又EQ平分∠PQD，∴∠PQE=∠DQE=∠DEQ=1∴∠FEQ=∠DEF?∠DEQ=135°?3α?(90°?3②如圖2，∠DEP=180°?4α，∠PQD=180°?3α（同①）；若∠DEF:∠PEF=1:3，則有∠DEF=1又∠PQE=∠DQE=1∵DE//PQ，∴∠DEQ=∠PQE=90°?3∴∠FEQ=∠DEQ?∠DEF=45°?1綜上所述：∠FEQ=45°?32α故答案是：45°?α2或【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線、三角形內(nèi)角和定理、垂直等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，通過(guò)分類討論及等量代換進(jìn)行求解．【模型2“鉛筆”型】1．（2012下·廣東茂名·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB∥ED，∠B+∠C+∠D=（

A．180° B．360° C．540° D．270°【答案】B【分析】過(guò)C點(diǎn)作直線CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B+∠BCF=180°，∠FCD+∠D=180°，然后再計(jì)算∠B+∠C+∠D即可.【詳解】

如圖，過(guò)C點(diǎn)作直線CF∥AB，∵AB∥ED，

∴CF∥ED，∴∠B+∠BCF=180°，∠FCD+∠D=180°，∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=360°，即∠B+∠BCD+∠D=360°.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2．（2012·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一大門的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于點(diǎn)A，CD平行于地面AE，則∠ABC＋∠BCD＝．【答案】270°【分析】過(guò)B作BF∥AE，則CD∥BF∥AE．根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】過(guò)B作BF∥AE，∵CD∥AE，則CD∥BF∥AE，∴∠BCD+∠1=180°，又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．故答案為：270．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·陜西西安·八年級(jí)西安市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖1所示的是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸．如圖2所示的是手動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，則∠AGC的度數(shù)是【答案】80°【分析】過(guò)點(diǎn)F作FM∥CD，因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求出【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM∥∵AB∥∴AB∥∴∠DEF+∠EFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°，∵∠BAG=150°，∠DEF=130°，∴∠MFA=30°，∠EFM=50°，∴∠EFA=∠EFM+∠AFM=80°，∵CG∥EF，∴∠AGC=∠EFA=80°．故答案為80°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計(jì)算．4．（2023下·廣東東莞·八年級(jí)東莞市長(zhǎng)安實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫(xiě)出求解過(guò)程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°【分析】（1）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得答案；（2）過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖1，同理可得答案；（3）過(guò)點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成3個(gè)圖1，可得答案；（4）由（2）（3）類比可得答案．【詳解】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．故答案為：180°；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，類比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案為：540°；（4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，故答案為：（n-1）×180°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．5．（2020下·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求思路點(diǎn)撥：小明的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)；小芳的思路是：如圖4，延長(zhǎng)AP交DC的延長(zhǎng)線于E，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)．問(wèn)題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為°；問(wèn)題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【答案】110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由見(jiàn)解析；（2）∠CPD=∠β?∠α或∠CPD=∠a?∠β，理由見(jiàn)解析【分析】小明的思路是：過(guò)P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得∠APC=110°．（1）過(guò)P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥（2）畫(huà)出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，②點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：小明的思路：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，∵AB∥∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=180°?∠A=50°，∠CPE=180°?∠C=60°，∴∠APC=50°+60°=110°，故答案為：110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖5，過(guò)P作PE∥AD交CD于∵AD∥∴AD∥∴∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a+∠β；（2）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD=∠β?∠α；理由：如圖6，過(guò)P作PE∥AD交CD于∵AD∥∴AD∥∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE?∠DPE=∠β?∠α；當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD=∠a?∠β．理由：如圖7，過(guò)P作PE∥AD交CD于∵AD∥∴AD∥∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE?∠CPE=∠α?∠β．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角．6．（2020下·內(nèi)蒙古·八年級(jí)?？计谥校┚C合與探究：（1）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°．求∠APC的度數(shù)．小明想到一種方法，但是沒(méi)有解答完：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°．∴∠APE=180°?∠PAB=180°?130°=50°．∵AB∥CD．∴PE∥CD．…………請(qǐng)你幫助小明完成剩余的解答．（2）問(wèn)題探究：請(qǐng)你依據(jù)小明的思路，解答下面的問(wèn)題：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠ADP=∠α,∠BCP=∠β．當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD,∠α,∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)P作PE//AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過(guò)平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°+60°=110°．（2）過(guò)P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：（1）過(guò)P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°，∴∠APE=180°?∠PAB=180°?130°=50°．∵AB∥CD，∴PE∥CD．∴∠CPE+∠PCD=180°，∴∠CPE=180°?120°=60°，∴∠APC=50°+60°=110°．（2）∠CPD=∠α+∠β，如圖3，過(guò)P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角．7．（2020下·天津?yàn)I海新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，四邊形MNBD為一張長(zhǎng)方形紙片．

（1）如圖2，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．（2）如圖3，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．（3）如圖4，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是____________°．【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和等于180°的2倍；（2）分別過(guò)E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；（3）分別過(guò)E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；（4）根據(jù)前三問(wèn)個(gè)的剪法，剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．【詳解】（1）過(guò)E作EH∥AB（如圖②）．∵原四邊形是長(zhǎng)方形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；

（2）分別過(guò)E、F分別作AB的平行線，如圖③所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分別過(guò)E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．故答案為：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn)．8．（2023下·浙江·八年級(jí)期末）已知AB//CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動(dòng)點(diǎn)（1）如圖1所示時(shí)，試問(wèn)∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由．（2）除了（1）的結(jié)論外，試問(wèn)∠AEP，∠EPF，∠PFC還可能滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)畫(huà)圖并證明（3）當(dāng)∠EPF滿足0°<∠EPF<180°，且QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，①若∠EPF=60°，則∠EQF=__________°．②猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系．（直接寫(xiě)出結(jié)論）【答案】（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF【分析】（1）由于點(diǎn)P是平行線AB，CD之間有一動(dòng)點(diǎn)，因此需要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論：如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在EF的左側(cè)時(shí)，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足數(shù)量關(guān)系為：∠EPF=∠AEP+∠PFC；（2）當(dāng)P點(diǎn)在EF的右側(cè)時(shí)，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足數(shù)量關(guān)系為：∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①若當(dāng)P點(diǎn)在EF的左側(cè)時(shí)，∠EQF=∠BEQ+∠QFD=150°；當(dāng)P點(diǎn)在EF的右側(cè)時(shí)，可求得∠BEQ+∠QFD=30°；②結(jié)合①可得∠EPF=180°?2∠BEQ+180°?2∠DFQ=360°?2(∠BEQ+∠PFD)，由∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，得出∠EPF+2∠EQF=360°；可得EPF=∠BEP+∠PFD，由∠BEQ+∠DFQ=∠EQF，得出∠EPF=2∠EQF．【詳解】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PG//AB，∵PG//AB，∴∠EPG=∠AEP，∵AB//CD，∴PG//CD，∴∠FPG=∠PFC，∴∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在EF的右側(cè)時(shí)，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足數(shù)量關(guān)系為：∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；過(guò)點(diǎn)P作PG//AB，∵PG//AB，∴∠EPG+∠AEP=180°，∵AB//CD，∴PG//CD，∴∠FPG+∠PFC=180°，∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①如圖3，若當(dāng)P點(diǎn)在EF的左側(cè)時(shí)，∵∠EPF=60°，∴∠PEB+∠PFD=360°?60°=300°，∵EQ，F(xiàn)Q分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ=12∠PEB∴∠EQF=∠BEQ+∠QFD=1如圖4，當(dāng)P點(diǎn)在EF的右側(cè)時(shí)，∵∠EPF=60°，∴∠PEB+∠PFD=60°，∴∠BEQ+∠QFD=1故答案為：150°或30；②由①可知：∠EQF=∠BEQ+∠QFD=1∴∠EPF+2∠EQF=360°；∠EQF=∠BEQ+∠QFD=1∴∠EPF=2∠EQF．綜合以上可得∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系為：∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理和及推論等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線后能求出各個(gè)角的度數(shù)，是解此題的關(guān)鍵．9．（2023下·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，滿足（1）試問(wèn)：∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：由于點(diǎn)P是平行線AB，CD之間一動(dòng)點(diǎn)，因此需對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論．如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在EF的左側(cè)時(shí)，易得∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足的數(shù)量關(guān)系為∠AEP+∠PFC=∠EPF；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在EF的右側(cè)時(shí)，寫(xiě)出∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足的數(shù)量關(guān)系_________．（2）如圖3，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，且點(diǎn)P在EF左側(cè)．①若∠EPF=100°，則∠EQF的度數(shù)為_(kāi)_____；②猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；③如圖4，若∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點(diǎn)Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點(diǎn)Q2，∠BEQ2與【答案】（1）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）①130°；②∠EPF+2∠EQF=360°，見(jiàn)解析；③∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PH//AB，利用平行線的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合角平分線的定義，平角的定義，運(yùn)用整體思想即可求解．【詳解】解：（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在EF的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM//AB，則PM//CD，∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；故答案為：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∵∠EPF＝100°，∴∠PEA+∠PFC＝100°，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°，∴∠DFQ+∠BEQ＝130°，∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°，故答案為：130°；②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下：∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴∠PFC＋∠PEA+2(∠DFQ+∠BEQ)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF+2∠EQF＝360°；③∵Q1E，Q1F分別平分∠QEB和∠QFD，∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°，∴∠PFC＋∠PEA+22(∠DFQ1+∠BEQ1)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF+22∠EQ1F＝360°；同理可得：∠EPF+23∠EQ2F＝360°，∠EPF+24∠EQ3F＝360°，……∴∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理及推論，角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線后能求出各個(gè)角的度數(shù)，利用整體思想解決第（2）問(wèn)是解此題的關(guān)鍵．10．（2020下·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下面材料，完成（1)～（3）題．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出示了這樣—道題：如圖1，已知AB//CD,點(diǎn)E,F分別在AB,CD上，EP⊥FP,∠1=60°．求∠2的度數(shù)．同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后，小明、小偉、小華三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：小明：“如圖2，通過(guò)作平行線，發(fā)現(xiàn)∠1=∠3,∠2=∠4，由已知EP⊥FP,可以求出∠2的度數(shù)．”小偉：“如圖3這樣作平行線，經(jīng)過(guò)推理，得∠2=∠3=∠4,也能求出∠2的度數(shù)．”小華：∵如圖4，也能求出∠2的度數(shù)．”(1)請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)所畫(huà)的圖形(圖2)，描述小明同學(xué)輔助線的做法，輔助線：______；(2)請(qǐng)你根據(jù)以上同學(xué)所畫(huà)的圖形，直接寫(xiě)出∠2的度數(shù)為_(kāi)________°；老師：“這三位同學(xué)解法的共同點(diǎn)，都是過(guò)一點(diǎn)作平行線來(lái)解決問(wèn)題，這個(gè)方法可以推廣．”請(qǐng)大家參考這三位同學(xué)的方法，使用與他們類似的方法，解決下面的問(wèn)題：(3)如圖，AB//CD，點(diǎn)E,F分別在AB，CD上，F(xiàn)P平分∠EFD,∠PEF=∠PDF,若∠EPD=a,請(qǐng)?zhí)骄俊螩FE與∠PEF的數(shù)量關(guān)系（(用含α的式子表示)，并驗(yàn)證你的結(jié)論．【答案】（1）過(guò)點(diǎn)Р作PQ//AC；（2）30；（3）∠CFE?2∠PEF=180【分析】（1）根據(jù)圖中所畫(huà)虛線的位置解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)Р作PQ//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，進(jìn)而可得答案；（3）設(shè)∠CFE=x,∠PEF=∠PDF=y，過(guò)點(diǎn)P作PQ//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BEP+∠EPQ=180°,∠CFE=∠FEB=x，∠PDF=∠DPQ，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案．【詳解】（1）由圖中虛線可知PQ//AC，∴小明同學(xué)輔助線的做法為過(guò)點(diǎn)Р作PQ//AC，故答案為：過(guò)點(diǎn)Р作PQ//AC（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)Р作PQ//AC，∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，故答案為：30（3）如圖，設(shè)∠CFE=x,∠PEF=∠PDF=y，過(guò)點(diǎn)P作PQ//AB，∴∠BEP+∠EPQ=180°,∠CFE=∠FEB=x∵AB//CD,∴PQ//CD,∴∠PDF=∠DPQ∴∠DPQ=∠EHF=∠PDF=y∵∠CFE=∠FEB=x=∠FEP+∠BEP∴x=y+∴x?2y=180?α，即∠CFE?2∠PEF=180【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【模型3“雞翅”型】1．（2023下·湖南株洲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）①如圖1，AB∥CD，則∠A+∠E+∠C=360°；②如圖2，AB∥CD，則∠P=∠A?∠C；③如圖3，AB∥CD，則∠E=∠A+∠1；④如圖4，直線AB∥CD∥EF，點(diǎn)O在直線EF上，則∠α?∠β+∠γ=180°．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】①過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論；②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可作出判斷；③如圖3，過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C=360°，故①正確；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯(cuò)誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為3，【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）已知：如圖（a），直線DE∥AB．求證：（2）如圖（b），如果點(diǎn)C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會(huì)有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)點(diǎn)C在AB與ED之外時(shí)，∠ABC?∠CDE=∠BCD，見(jiàn)解析【分析】（1）由題意首先過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，由直線AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可證得∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）根據(jù)題意首先由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證得∠ABC-∠CDE=∠BCD．【詳解】解：（1）證明：過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥ED∥CF，∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）結(jié)論：∠ABC-∠CDE=∠BCD，證明：如圖：∵AB∥ED，∴∠ABC=∠BFD，在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．若點(diǎn)C在直線AB與DE之間，猜想∠ABC+∠BCD+∠CDE=360∵AB∥ED∥CF，∴∠ABC+∠BCF=∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=∠ABC+∠BCF+∠DCF+∠CDE=360【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，注意掌握輔助線的作法．3．（2023下·廣東東莞·八年級(jí)東莞市光明中學(xué)?？计谥校?）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說(shuō)出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由．

【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由見(jiàn)解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由見(jiàn)解析；（3）圖（3）∠BPD=∠D?∠B，圖（4）∠BPD=∠B?∠D【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，得到∠B+∠BPE=180°，由AB∥CD，EF∥AB，得到EF∥CD，得到∠EPD+∠D=180°，由此得到∠B+∠BPD+∠D=360°；（2）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，由PE∥AB∥CD，得到∠1=∠B，∠2=∠D，從而得到結(jié)論（3）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠BPD與∠B、【詳解】（1）解：猜想∠B+∠BPD+∠D=360°．理由：過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°；（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，

∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；（3）如圖（3）：∠BPD=∠D?∠B．理由：∵AB∥CD，

∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠P，∴∠D=∠B+∠P，即∠BPD=∠D?∠B；如圖（4）：∠BPD=∠B?∠D．理由：∵AB∥CD，

∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠P，∴∠B=∠D+∠P，即∠BPD=∠B?∠D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，三角形的外角的性質(zhì)定理，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2020下·湖北武漢·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線，AD

(1)求證：∠B+∠C?∠A=180°：(2)如圖②，AQ、BQ分別為∠DAC、∠EBC的平分線所在直線，試探究(3)如圖③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直線AQ、BC交于點(diǎn)P，QP⊥PB【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2∠AQB+∠C=(3)1【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD，則CF∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出（2）過(guò)點(diǎn)Q作QM∥AD，則QM∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義可得出（3）由（2）的結(jié)論可得出∠CAD=12∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE=180°②，聯(lián)立①②可求出∠CAD、∠CBE【詳解】（1）在圖①中，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD，則

∵CF∥∴∠ACF=∠A，∴∠ACB+∠B?∠A=∠ACF+∠BCF+∠B?∠A=∠A+180°?∠A=180°．（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)Q作QM∥AD，則

∵QM∥∴∠AQM=∠NAD，∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，∴∠NAD=1∴∠AQB=∠BQM?∠AQM=1∵∠C=180∴2∠AQB+∠C=180°．（3）∵AC∥∴∠AQB=∠CAP=1∴∠ACB=180°?∠ACP=180°?1∵2∠AQB+∠ACB=180°，∴∠CAD=1又∵QP⊥PB，∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，∴∠CAD=60°，∴∠ACB=180°?(∠CBE?∠CAD)=120°，∴∠DAC：故答案為：1：【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)、添加輔助線構(gòu)建平行線．5．（2023下·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AD⊥AB于點(diǎn)A，AE∥CD交BC于點(diǎn)E，且EF⊥AB于點(diǎn)F．求證：∠C=∠1+∠2．證明：∵AD⊥AB于點(diǎn)A，EF⊥AB于點(diǎn)F，（已知）∴∠DAB=∠EFB=90°．（垂直的定義）∴AD∥EF，（

）∴__________=∠1（

）∵AE∥CD，（已知）∴∠C=________．（兩直線平行，同位角相等）∵∠AEB=∠AEF+∠2，∴∠C=∠1+∠2．（等量代換）【答案】見(jiàn)解析【分析】首先根據(jù)同位角相等，兩直線平行AD//EF，再根兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠AEF=∠1．最后根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到∠C=【詳解】證明：∵AD⊥AB于點(diǎn)A，EF⊥AB于點(diǎn)F，∴∠DAB=∠EFB=90°．∴AD//EF，

（同位角相等，兩直線平行∴∠AEF=∠1．

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵AE//∴∠C=∠AEB．

∵∠AEB=∠AEF+∠2，∴∠C=∠1+∠2．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·福建廈門·八年級(jí)廈門市第十一中學(xué)?？计谥校┮阎珹E//BD，∠A=∠D．（1）如圖1，求證：AB//CD；（2）如圖2，作∠BAE的平分線交CD于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AB上一點(diǎn)，連接FG，若∠CFG的平分線交線段AG于點(diǎn)H，連接AC，若∠ACE=∠BAC+∠BGM，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥FH交FG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，且3∠E?5∠AFH=18°，求∠EAF+∠GMH的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）72°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A+∠B=180°，再根據(jù)等量代換可得∠B+∠D=180°，最后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)E作EP//CD，延長(zhǎng)DC至Q，過(guò)點(diǎn)M作MN//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出∠ECQ=∠BGM=∠DFG，再根據(jù)平角的含義得出∠ECF=∠CFG，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推出∠BHF=∠CFH,∠CFA=∠FAB；設(shè)∠FAB=α,∠CFH=β，根據(jù)角的和差可得出∠AEC=2∠AFH，結(jié)合已知條件3∠AEC?5∠AFH=180°可求得∠AFH=18°，最后根據(jù)垂線的含義