人教版高中數(shù)學選修1～2全冊教學設計湖南版

新人教版高中數(shù)學

選修1?2

全冊教案

目錄

上《1.1回歸分析的基本思想及其初步應用教案文......1

上《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用（一）》教案文2

上《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用（二）》教案文5

L《2.1合情推理與演繹推理（二）》教案文...............7

上《2.1合情推理與演繹推理（三）》教案文...............11

L《2.1合情推理與演繹推理（四）》教案文...............15

L《2.1合情推理與演繹推理（一）》教案文...............18

上《2.2直接證明與間接證明（二）》教案文..............21

上《2.2直接證明與間接證明（三）》教案文..............23

上《2.2直接證明與間接證明（四）》教案文..............25

上《2.2直接證明與間接證明（五）》教案文..............27

上《2.2直接證明與間接證明（一）》教案文..............29

工《3.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念（一）》教案文..........32

L《3.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念（二）》教案文..........34

L《3.2復數(shù)代數(shù)形式的四則運算（一）》教案文..........37

上《3.2復數(shù)代數(shù)形式的四則運算（二）》教案文..........39

上《4.1流程圖（一）》教案文..........................41

上《4.1流程圖（二）》教案文..........................44

上《4.2結構圖》教案文.............................47

《1.1回歸分析的基本思想及其初步應用（二）》教案文

教學任務分析：通過典型案例的.探究，進一步了廨回歸分析的基本思想、方法及初步應用.

教學重點：通過探究使學，生體會有，些線性模型通過變換可以轉化,為線性回歸模。型，了解

在解決實際問題的過程中尋找更好的模型的方法.

教學難點：了解常用函數(shù)的圖象特點，選擇不同模型建橫，并通過比較相關指數(shù)對不同的.模

型進行比較.

教學過程：

例1一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度優(yōu)有關，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)冽于液中，試建立y與

x之間的回歸方程“

溫度x/℃21232527293235

產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325

作業(yè)：《學案》作業(yè)（三）、《習案》作業(yè)（三）.

第1頁共49頁

《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用（一）》教案文

教學任務分析：通過探究“吸煙是否與患肺癌有關系”引出獨立性檢驗的問題，并借助樣本

數(shù)據(jù)的列聯(lián)表、柱，形圖和條形圖展示在吸煙者中患肺癌的比例比，不吸煙者

中患肺癌的比例高，讓學生親身體驗獨立性檢驗的實施步驟與必要性.

教學重點：理解獨立性檢驗的基本思想及實施步驟.

教學難點：了解獨立性檢驗的基本思想、了解隨機變量心的含義.

教學過程：

分類變量：變量不同的“值”表示個體所屬的不同類別.

例1為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究.所隨機地調(diào)查了9965人，得到如下結

果（單位：人）：

吸煙與患肺癌列聯(lián)表

不患肺癌患肺癌總計

不吸煙7775427817

吸煙2099492148

總計9874919965

三維柱形圖

二濰條形圖

等高條形圖

第2頁共49頁2

1上以-兒|越小，說明吸煙與患肺癌關系越弱,|以/-兒|越大，說明吸煙與患肺癌關系越弱.

片_n(ad-bc)2

2.獨立性檢驗其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

實際應用中，在獲耳又樣本數(shù)據(jù)之前，通常通過查閱下表確定1缶界值：C

P(群2Ko)0.500400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

0.45「

Ko0.7081.3232.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828

5

例2為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間。的關系，在某城市的某校高中生中隨

機抽取300名學生,，得到如下列聯(lián)表：

性別與喜歡數(shù)學課程列聯(lián)表

喜歡數(shù)學課程不喜歡數(shù)學課程總計

男3785122

女35143178

總計72228300

由表中數(shù)據(jù)計算得到K2的觀測值MM.514.能夠以95%的把握認為高中生的性別與是否喜

歡數(shù)學課程之間有關系嗎？為什么？

練習：

1.教材P.17練習；2.《學案》（四）P13-P16.

課堂小結

1.分類「變量

2.2X2列聯(lián)表（樣本頻數(shù)列聯(lián)表）粗略估計相關數(shù)據(jù)的總體狀況

3.三維柱形圖和二維條形圖（頻數(shù)）更直觀地反映出相關數(shù)據(jù)的總體狀況

4.一等高條形圖（百分比）

5.|血-尻|越小，說明吸煙與患肺癌關系越弱，|4-兒|越大，說明吸煙與患肺癌關系越弱.

6.獨立性檢驗

第3頁共49頁3

2______Mad-be)2______

K=其中〃=〃+"c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

基本步驟

1.確定臨界值；2.求K2；3.下結論

作業(yè)：《習案》作業(yè)（四）.

第4頁共49頁4

《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用（二）》教案文

教學任務分析：通過探究“吸煙是否與患肺癌有關系”引出獨立性檢驗的問題，并借助樣本

數(shù)據(jù)的冽聯(lián)表、柱形圖和條形圖展示在吸煙者中患肺癌的比例比不吸煙者

中患肺癌的比例高，讓學生親身體驗獨立性檢艙的實施步驟與必要性.

教學重點：理廨獨立性檢驗的基本思想及實施步驟.

教學難點：了解獨立性檢驗的基本思想、了解隨機變量K2的含義.

敢學過程：

復習引入

1.分類變量

2.2X2列聯(lián)表（樣本奧數(shù)列聯(lián)表）粗略估.計相關數(shù)據(jù)的總體狀況

3.三維柱形圖和二維條形圖（頻數(shù)）更直觀地反映出相關數(shù)據(jù)的總體狀況

4.等高條形圖（百分比）

5.|4-兒|越小，說明吸煙與患肺癌關系越弱，|,江兒|越大，說期吸煙與患肺癌關系越強.

6.獨立性檢驗

_n(ad-bc)2

K2其中“=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

基本步驟

1.確定臨界值；2.求AS3.下結論.

講授新課

例1在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名

不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂.利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有

關系.能夠以99%的把握認為禿頂與患心臟病有關系嗎？為什么？

禿頂與患心臟病列聯(lián)表

患心臟病患其他病總計

禿頂214175389

不禿頂4515971048

總計6657721437

相應的三維柱形圖如圖所示，比較來說，底面副對角線上兩個柱體高度的乘積要大一

些，因此可以在某種程度上認為“禿頂與患心臟病有關”.

第5頁共49頁5

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得K2的觀測值為

1437X(214X597-175X451)2

K2?16.373>6.635.

'389x1048x665x772

所以有99%的把握認為“禿頂與患心臟病有關”.

通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關系，但是這種

判斷無法精確地給出所得結論”的可靠程度.

（1）在三維柱形圖中，主對角線上兩個柱形高度的乘積4與副對角線上兩個柱形高度的乘

積兒相差越大，成立的可能性就越大.

（2）在二維條形圖中，可以估計滿足條件X=M的個體中具有丫=%的個體所占的比例一二

a+b

也可以估計滿足條件X=M的個體中具有y=yi的個體所占的比例;?兩個比例的值相

差越大，兒成立的可能性就越大.

課堂練習

1.在三維柱形圖中，主對角線上兩'個柱形高度的乘積與副對角線上的兩個柱形的高

度的乘積相差越大，兩個變量有關系的可能性就（A）

A.越大B.越小C.無法判斷D.以上都不對

2.下列關于三維柱形圖和二維條形圖的敘述正確的是（C）

A.從三維柱形圖中可以看出兩個分類變量是否有關系

B.從二維條形圖中可以看出兩個變量頻數(shù)的相對大小，從三維柱形圖中無法看出相對頻數(shù)

的大小

C.從三維柱形圖和二維條形圖可以粗略地看出兩個分類變量是否有關系

D.以上說法都不對

3.為了探究色盲是否與性別有關，在調(diào)查的500名男性中有39名色盲患者“500名女性中

有6名色盲患者，那么你認為色盲與性別有關的把握為（C）

A.0B.95%C.99.9%D.99%

作業(yè)：《習案》作業(yè)（五”（六）.

第6頁共49頁6

《2.1合情推理與演繹推理（二）》教案文

教學任務分析：課文以提出哥德巴赫猜想的思維過程為”背景，從中概括出歸納.推理，然后

借助例題說明應用歸納推理的一般步驟以及歸納推理的作用，使學生對歸納推理有一個比較

完整的認識.

教學重點：了解類比推理的含義以及思維過程、特點.

教學難點：應用類比進行簡單推.理，做出猜想.

教學過程

類比推理

由兩類對象具有某些類似特.征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具

有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.

例1填寫表中球的相關特征，并說說推理的過程.

圓的概念和性質球的類似概念和性質.

圓的周長

圓的面積

圓心與弦（非直徑）中點的連線垂直于弦

與圓心距離相等的兩弦相等，與圓心距離不

等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長

以點（確加）為圓心，，?為半徑的圓的方程為

（X—Xo）2+（y—ya）2—i2

例2類比實數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運算性質.

第7頁共49頁7

例3類比平面內(nèi)直角三角形的勾股.定理，試給出空間中四面體性質的猜想.

課堂練習

1.設/(x)=下」，利用課本中推導等款列前h項和公式的方法，求-5)

+/(-4)+-+/(0)+-/(5)+/⑹的值.

2.已知。是AA5C內(nèi)任意一點，連結0,50,CO并延長交對邊手則

空+桀+需=1?這是平面幾何中的一遒，其證明常采用“藤法”：

AABBCC

+°B+℃_SAOBC+S&OCA+SAOAB_SMBC

AABBCCS.BeS.BeSAABC

運用類比猜想，對于細中的四面體，本

在什么類似的結論

第8頁共49頁8

3.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質，可推出正四面體下列性質，你

認為比較恰當?shù)氖?C)

(1)各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等.

(2)各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的三面角都相等.

(3)各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等.

A.(l)B.(1)(2)C.⑴⑵⑶D.(3)

4.對于命題“正三角形內(nèi)任意一點到各邊的距離之和為定值”，推廣到空間是“正四面體內(nèi)任

意一點到各邊的距離之和“(A)

A.為定值B.為變數(shù)

C.有時為定值，有時為變數(shù)D.與正四面體無關的常,數(shù)

5.在等差數(shù)列｛“”｝中，若?0=0，則有等式“I+Z+G+…+“"=0+02+43+…+功9-"(”

<19,"GN*)成立.類比上述性質,相應的，在等比數(shù)冽｛狐｝中，若加=1,則有等式b也仇…

bn二bib2b3…-17,〃6N*).

6.我們知道，周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長一定的所有矩形與圓中，

圓的面積最大，將這些結論類比到空間，可以得到的結論是表面積一定的所有長方體中，正

方體的體積最大；表面積一定的所有長方體和球中，球的體積最大.

7,通過計算可得下列等式:

22-l2=2X1+1,

32-22=2X2+2,

42-32=2x3+1,

(〃+1)2—"2=2X"+1.

講以上各式相加得：

(〃+1)2—12=2X(1+2+...+〃)+〃,

.~~/J+n

1+2+3+―+〃=-------

2

類比上述方法，求出P+22+…+/的值.

第9頁共49頁9

課后作業(yè)

《習案》作業(yè)（八）.

第10頁共49頁10

《2.1合情推理與演繹推理（三）》教案文

教學任務分析：課文以提出哥德巴赫猜想的思維過程為背景，從中概括出歸納推理，然后借

助例題說明應用歸納推理的一般步驟以及歸納推理的作用，使學生對歸納推理有一個比較完

整的認識.

教學重點：了解合情推理的含義以及思維過程、特點。

教學難點：結合應用歸納、類比進行簡單推理，.做出猜想.

教學過程

合情推理

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、

類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.

例1如圖所示，有三根針和套在一個針上的若干金屬片.按下列規(guī)則，把金屬片從

一根針上全部移到另一根針上.

1.每次只能移動1個金屬片；

2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.

試推測：把n個金屬片從1號針移到3號針，最少需要移動多少次?

第11頁共49頁II

漢諾塔

漢諾塔(又稱河內(nèi)塔)問題是更邕的一個古老的傳說。開天辟地的神勃拉瑪在一

個廟里留下了三根金剛石的棒，第一根上面套著64個圓的金片，最大的一個在底下，

其余一個比一個小，依次疊上去，廟里的眾僧不倦地把它捫一個個地從這根棒搬到另

一根棒上，規(guī)定可利用中間的一根棒作為幫助，但每次只能搬一個，而且大的不能放

在小的上面。解答結果請自己運行計算，程序見尾部。面對龐大的數(shù)字(移動圓片的

次數(shù))18446744073709551615,看來，眾僧們耗盡畢生精力也不可能完成金片的移動。

后來，這個傳說就演變?yōu)闈h諾塔游戲：

I.有三根桿子A,B,C。A桿上有若干碟子

2.每次移動一塊碟子，小的只能疊在大的上面。

3.把所有碟子從A桿全部移到C桿上

經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，漢諾塔的破解很簡單，就是按照移動規(guī)則向一個方向移動金片：

如3階漢諾塔的移動：A-C,A-B,CTB,ATC,B—A,B-C,A—C

此外，漢諾塔問題也是程序設計中的經(jīng)典遞歸問題。

算法思路：

1.如果只有一個金片，則把該金片從源移動到目標棒，結束。

2.如果有n個金片，則把前n-1個金片移動到輔助的棒，然后把自己移勵到目標

棒，最后再把前n-1個移動到目標棒.

3.單純對于有N個金片要挪動的步數(shù)求出，,可以使用遞推方法,滿足遞推方程f(i)

=f(i-1)*2+I.

課堂練習

1.觀察以下各等式.

3

sin230"+cos2600+sin30"?cos60'=-

4

3

sin220°4-cos250°+sin20°-cos50°=—

4

3

sin215°+cos245°+sinl5°-cos45°=—

4

第12頁共49頁12

分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明.

2.已知數(shù)列“1,?2,43,…，05，其中G，672，…，是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，

as，?6>...?“10是公差為或4￡0)的等差數(shù)列；“10，a\\<...>“15是公差為法的等差數(shù)列.

(1)如果aio=2Q,求d.

(2)寫出05關于”的關系式，并求05的取值范圍.

⑶續(xù)寫已知數(shù)列，使得05,06,…，。20是公差為43的等差數(shù)列，…,依次類推，把已知

數(shù)列推廣為無窮數(shù)列.提出同(2)類似的問題((2)應當作為特例)，并進行研究，你能得到什

么樣的結論？.

3.下列說法正確的是(D)

A.合情推理就是正確的推理B.合情推理就是歸納推理

C.歸納推理是從一般到特殊的推理過程

D.類比推理是從特殊到特殊的推理過程

4.某人為了觀看2008奧運會，從2001年起，每年5月10日到銀行存「入a元定期儲蓄，若

年利率為P且保持不變，并約定每年到期存款均自動轉為新的一年定期，到2008年將所有

的存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)(元)為(D)

A.a(l+P)7B.a(l+P)8

C.j[(l+P)7-(1+P)]D.A[(1+P)8-(1+P)]

5.根據(jù)圖案中圓圈的排列規(guī)則。，猜想：第(5)個圖形由21個圓圈組成;第〃個圖

形中有〃(八-1)+1Q

個圓圈.ooO

OQOOOOOOOO

第13頁共49頁。000OO13,

(1)(2)(3)(4)⑸

6.當4=1時,有(〃一/?)(〃+/?)=/一/；

當n=2時，有(a—b)(a2+ab+b2)=〃3—〃；

當〃=3時，有他一份33+/6+〃〃+/?3)=〃4-/?4；

當〃=4時，有3—3(/+43/?+層廬+〃護+/)=/—/；

l

當〃￡N*,你可得到結論(〃二N(〃"+。"一得+a『2b+…+ab"-[±〃)=4"|-

7.過雙曲喏-￡=1的右焦點F(c,O)的直線交雙曲線型'N兩點，的軸于P

點，顯椒M=PN=4NF,規(guī)定：4+4=M+M,貝IJ有空+M

MFNFMFNF

的定值蠅.類比雙曲線這一結論在橢圓W+4=l(a>8>0)中，些+當

ba2b2MFNF

的定值是什么？并給施明

課后作業(yè)

《習案》作業(yè)(八).

第14頁共49頁14

《2.1合情推理與演繹推理(四)》教案文

教學任務分析：與合情推理一樣，演繹推理也是學生在學習和生活中經(jīng)常使用的一種推理形

式.合情推理的結論帶有猜想的成分，因此推理所得的結論未必正確.而數(shù)學證明主要通過演

繹推理來進行.學生對演繹推理并不陌生，這里學習演繹推理的目的，除了了解演繹推理在

證明中的應用外，還應了解演繹推理的含義、基本方法及其與合情推理的區(qū)別與聯(lián)系.

教學重點：(1)了解演繹推理的含義，能用“三段論”進行簡單推理.

(2)合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系.

教學難點：用“三段論”進行簡單推理.

教學過程

演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演

繹推理.

歸納演繹推理的定義及“三段論”的具體模式：

(1)演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，是一種必然性推理.

(2)演繹推理是從一般到「特殊的推理.

(3)演繹推理的一般模式是“三段論”，包括：

①大前提一一已知的一般結論；②小前提一一所研究的特殊情況；

③結論一一根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.

例1如圖所示，在銳角三角形ABC中，ADLBC,BELAC,D、E是垂足.求證：A8的中

點M到點。，E的距離相等.八

例2證明函數(shù)y(x)=一在(-8,1)內(nèi)是增函數(shù).

第15頁共49頁15

課堂練習

1.如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABC。中，NABC=60o,PA=AC=a,PB=PD=41a,

點E在尸。上，且PE：ED=2：1,

⑴證明用_1_面48。)；

(2)在棱PD上是否存在一點F,使BF〃面AEC?證明你的結論.

2.由①正方形的對角線相等；②平行四邊形的對角線相等；③正方形是平行四邊形.

根據(jù)三段論推理出一個結論，則這個結論是(A)

A.正方形的對角線相等B.平行四邊形的對角線相等

C.正方形是平行四邊形.D,以上都不對

3.(1)一個錯誤的推理或渚前提不成立，或者推理形式不正確.(2)這個錯誤的推理是前提不成

立.(3)所以這個錯誤的推理是推理形式不正確.以上三段論是(D)

A.大前提錯.B.小前提錯?C.結論錯.D.正確的

4.在不等邊△ABC中，設A、B、C所對的邊分別為a、b、c,。已知si/A,sin2B,sin2c依

次成等差數(shù)列，給定數(shù)列金,包,一

abc

(1)試根據(jù)下列選項作出判斷，并在括號內(nèi)填上你認.為是正確選項的代號：數(shù)列

cosAcos8cosC

--------，―---------(B)

abc

A.是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列

C.既是等差，又是等比數(shù)列D,既非等比數(shù)列也非等差數(shù)列

(2)證明你的判斷.

第16頁共49頁16

4.已知函數(shù)式X)是在(o,+8)上每一點均可導的函數(shù)，若4a)>共處在》>0時恒成立.

⑴求證：函數(shù)g(x)=3在(0,+8)上是增函數(shù)

X

(2)求證：當XI>0,%2>0時，有/(X|+*2)>/區(qū))+/(%2).

⑶請將⑵問推廣到一般情況，不要證明.

合情推理與演繹推理的主要區(qū)別是什么？

推理包括合情推理與演繹推理，合情推理常用的有歸納與類比.

從推理的形式看：歸納是由個別到一般、由部分到整體的推理，類比是由特殊到特殊的

推理；演繹推理是由一般到特殊的推理；。

從推理所得的.結論看：合情,推理的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在大

前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得出的結論一定正確.

課后作業(yè)

《習案》作業(yè)(十).

第17頁共49頁17

《2.1合情推理與演繹推理（一）》教案文

教學任務分析：課文,以提出哥德巴赫猜想的思維過程為背景，從中概括出歸納推理，然后

借助例題說明應用歸納推理的一般步驟以及歸納推理的作用，使學生對歸納推理有一個比較

完整的認識.

教學重點：了解歸納推理的含義以及思維過程、特點.

教學難點：,應用歸納進行簡單推理“做出猜想.

教學過程

哥德巴赫大膽地猜想：任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質數(shù)之和.

*歸納推理

這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的

推理，或者由個別事實概括「出一般結論的推理，稱為歸納推理/簡稱歸納）.簡言之，歸納推，理

是由部分到整體、由個別到一般的推理

例1觀察右圖.可以發(fā)現(xiàn):

1=P,

1+3=4=22,

1+3+5=9=32,

1+3+5+7=16=42,

1+3+5+7+9=25=52,

由上述具體事實能得出怎樣的結論？

例2已知，數(shù)歹的第1項0=1,且4+1=-^—（“=1,2,3...）,試歸納出這個數(shù)列的

1+4

通項公式.

在例1和例2中，我們通過歸納得到了兩個猜想.雖然它們是否正確還有待嚴格的證明,

第18頁共49頁18

但猜想可以為我們的研究提供一種方向.

課堂練習

1.在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆

“正三棱錐”形，的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第2,3,4,…堆最底層(第一層)

分別按如圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第〃

堆第，7層就放一個乒乓球，以冷?)表示第〃堆的乒乓對總數(shù)，則犬3)=11)，

++2)

<")=-------------

o

2.對于任意正整數(shù)〃，猜想2'r與(〃+1尸的大小關系.

3.設凸左邊形的內(nèi)角和為加t),則凸4+1邊形的內(nèi)角和yu+i)=/(A)+_B.

A.-B.兀C.—D.2%

22

4.定義B*C,C*D,分別對應下列圖形.

那么下列圖形中可以表示A*O,A*C的分別是(C)

回巾恒---

(1)(2)(3)(4)

A.⑴，⑵B.⑵，⑶C.⑵，⑷D.(1),(4)

5.猜想/11」一22-2(〃^7*)的值=33-3

6.一個正整數(shù)表如下(表中下一行中的數(shù)的個數(shù)是上一行中數(shù)的個.數(shù)的2倍.如圖,

23

84567

則第6行中的第三個數(shù)是26T+2=3一

第19頁共49頁19

7./5)=1+。+:+…+，(〃wN*),經(jīng)計算得：/(2)=：,/(4)>2,/(8)>|,

23n22

/(16)>3,/(32)>:，推測當〃N1時，有/(2")N爐.

1119

8.在A48c中，不等毛+高+”之—成立，在四邊形3CD中，不等式

ABC7V

詈成立；在五邊形6a）E中，不等式

ABC。2%ABCD

學成立.猜想布［邊形4i4…A"中有怎樣的不等式成立

E3兀

這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征

的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.簡言之，歸納推

理是由,部分到整體、由個別到一般的推理.

課后作業(yè)

《習案》作業(yè)（七）.

第6題提示：

〃=1時9%=S［；

"N2再，*=S,「S〃.i

第20頁共49頁20

《2.2直接證明與間接證明（二）》教案文

教學任務分析：

（1）在第一節(jié)課的從基礎上，學生對綜合法有一個較完整的認識，本節(jié)課要使學生能

靈活運用綜合法解決一些綜合性較大的數(shù)學問題.

（2）規(guī)范書面表達.在證明過程中給出因果關系明確，能用簡潔而正確的表達方式，讓

學生在修,正自己的證明過程中規(guī)范書面表達.使他們在以后的學習和生活中，能自覺地、有

意識地運用綜合法進行數(shù)學證明，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習慣.

教學重點：靈活運用綜合法進行證明.

教學難點：利用綜合法解決不等式問題.

教學過程.

例L在A460K三個內(nèi)角A、B、C對邊分別勒、b、c,且A、B、C成等差數(shù)列a,。,c

成等比數(shù)列求證:等邊三角形

課堂練習

2.在△A8C中,A、8、C所對的邊長分別為a、氏c,且滿足（42+/川皿4-8）=（〃2—按）$inC,

試判斷△ABC的.形狀.

2.已知a,b,CGR*,且a+6+c=l.求證：(,一l)d—l)d—1)28.

ahc

3.已知四面體V-A8C,VALBC,VB_LAC.求證：VCLAB.

第21頁共49頁21

4.已知x=\[a-\[b,y=\la-b,則有(C)

A.x>y色B.x2yrC..x^y『D.x<y

5.已知：OVQVI,log〃〃?Vlog/VO,則(A)

A..B.l<An<nC.tn<n<1D.%<機<1

6.對于OVc/Vl,給出四個不等式.

(l)10g?(l+4Z)<10g?(l+-)；

a

(2)logfl(l+a)>logfl(l+-);

a

1

⑶小“<。二;(4)小">/1+

其中成立的是(D)

A⑴⑶B.⑴(4)C.⑵⑶D.⑵(4)

7.汝口圖，四棱錐VMBC￡＞為矩形，側面VBA_L底面ABC。,又面例O.求證：面VBC

±VAD.

課后作業(yè)

《習案》作業(yè)（十二）.

第22頁共49頁22

《2.2直接證明與間接證明（三）》教案文

教學任務分析：

（1）在以前的學習中，學生已經(jīng)能應用分析法證明數(shù)學命題，但學生對分析法的內(nèi)涵

和特。點不一定非常清楚.本節(jié)結合學生已學過的數(shù)學知識，通過實例引導學生分析，再總結

這類證法的特點：要證明結論成立，,逐步尋求退證過程中，使每一步結論成立的.充分條件,

直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理

等）為止.

（2）“逆推證法”或“執(zhí)果索引法”，是分析法.的兩種形象說法.當已知條件與結論之間

的聯(lián)系不夠明顯、直接，證明中需要用哪些知識不太明確具體時，往往采用從結論出發(fā)，結

合已知條件，逐步反推，尋求使當前命題成立的充分條件的方法.教學中，應強調(diào)分析過程

和思考過程，讓學生明白為什么要采用分析法，以及運用分析法進行證明的書寫格式.

教學重點：

（1）了解分析法的思考過程和特點；（2）運用分析法證明數(shù)學問題.

教學難點：對分析法的思考r過程和特點的概括.

教學過程

證明：之吆之疝3>0力>0）.

2

分析法

一般地，從要證明的結論出發(fā)，逐步。尋求使它成立的成分條件，直至最后，把要證明

的結論歸結為判定一個明顯的成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）.這種證明的

方法叫做分析法.

例1,求證：V3+V7<275.

例2,如圖所示，S4_L平面ABC,AB1BC,過A作S3的垂線，垂足為E,過E作SC的垂

線，垂足為F.求證AFLSC.

第23頁共49頁23

課堂練習

I

1,已知:x>0,j>0,求證：（/+72）2>（一+）3尸.

2.是否存在常數(shù)C,使得不等式一^+3一KC<"^^+’一對任意正數(shù)尤、y

2x+yx+2yx+2y2x+y

恒成立？「試證明你的結論.

3.如果小/+以歷>小巧+4石，則實數(shù)。、人應滿足的條件曷zN0"20且awk

1i?

4.已知：0<。<上，證明上+^^28.

2a1-2。

5.已知/,。2,02成等差數(shù)列，求證」也成等差數(shù)列

b+cc+aa+h

6.設a,b,c,d均為正數(shù)，求證/a」+戶+Jc，+/2J(a+c)2+(/?+d)2.

課堂小結

分析法

一般地“從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的成分條件，直至最后，把要證明

的結論歸結為判定一個明顯的成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）。這種證明的

方法叫做分析法.

課后作業(yè)

《習案》作業(yè)（十三）.

第24頁共49頁24

《2.2直接證明與間接證明(四)》教案文

教學任務分析：

(1)分析法和綜合法，是直接證明中最基本的兩種證明。方法，是廨決「數(shù)學問題時常

用的思維方式，要能靈活運用i兩種方法證明問題，只有在時間基礎上才能領悟與掌握.

(2)在適用綜合法出現(xiàn)困難時，要及時調(diào)整思路，分析一下要證明結論需要怎樣的充

分條件，“發(fā),展條件，轉化結論，尋找聯(lián)系，使問題迎刃而解.

教學重點：

綜合運用綜合法，分析法解題.

教學難點：

(1)選擇恰當?shù)淖C明方法解決問題.

(2)如何把不同的證明方法結合使用.

教學過程

例1.已知a、/+Rz)且sin6+cos6=2sina,sin6cos6=sin24

2

一、〒1tan2a1tan2B

求證：--------「=--------

1+tan"a2(1+tan-ft)

課堂練習

1.求證：對于任意角0>cos"—sin40=cos2ft.

222

2.已知tana+sina=a,tanra—sina=Z?.求證：(a~b)—16ab.

3.設sina是sin&cos。的1■等差中項，sin尸是sin。,cos。的等比中顧.求證：cos4夕一4CQS4a

=3.

課后作業(yè)

《習案》作業(yè)(十四).

第25頁共49頁25

第26頁共49頁26

《2.2直接證明與間接證明(五)》教案文

教學任務分析：

(1)學生從初中開始就對反證法有所接觸.反證法的邏輯規(guī)則并不復雜，但由于需要逆

向思維，所以它是學生學習的一個難點.教學中可以引導學生用直接法和反證法給出證明，

并比較兩種證明方法的各自特點，從中體驗反證法的思考過程和特點.

(2)使用反證法進行證明的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與已知

條件矛盾或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾.

(3)反證法主要使用于以下兩種情形：要證的結論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由

條件推出結論的線索不夠清晰；如果要從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從

反面進行證明，只「要研究一種或很少的幾種情形.

教學重點：

了解間接證明的一種基本方法一一反證法；了解反證。法的思考過程、特點.

教學難點：

反證法的思考過程、特點.

教學過程

例1.已知。工0,證明r的方程ox=6有且只有一個根

例2.已知直線a,b和平面a,如果bua,且求證a〃a.

課堂練習

1.在中，若/C是直角“則NB一定是銳角.

第27頁共49頁27

2.求證:行，V3,若不可能成等差數(shù)列

3.用反證法證明命題“若/+82+°2=0,則且"=6=c=o，，時，第一步應假設（D）

A.aWbWcWOB.abc^O

C.oWO,b?0,c^OD.或〃WO或cWO

4.已知函數(shù)?r)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程/U)=0(A)

A.至多一個實根B.至少一個，實根

C.一個實根D.無實根

5.已知“，b,c均為實數(shù)，且。=/一2丁+軍，b=y2-2z+—,c=z2-2x+—.

236

求證：a,b,c?中至少有一個大于曲.

6.實數(shù)4、b、c、”滿足a+6=q+d=1,nc+bd>1.求證:a、b、c>"中至少有一個是負數(shù).

課堂小結

1.反證法

一般地，假設原命題不成立r(即在原命題的條件下，結論不成立)，經(jīng)過正確的推理最

后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證

明方法叫做反證法.

2.反證.法的解題步驟

(1)提出反設(否定結論)；

(2)推出矛盾(,與已知、假設、定義、定理、公理、事實矛盾)，這是關鍵的一步；

(3)否定假設，肯定結論.

課后作業(yè)

《習案》作業(yè)(十四).

第28頁共49頁28

《2.2直接證明與間接證明(一)》教案文

教學任務分析：

(1)在以前的學習中，學生積累了較多的綜合法證明數(shù)學問題的經(jīng)驗，但這些經(jīng)驗是

零散的、不系統(tǒng)的，也沒有進行過綜合法這一知識的較系統(tǒng)的學習，由此教材借助學生熟悉

的數(shù)學實例，引導學生歸納和總結綜合法的特點，概括綜合法的特點.

(2)“順推證法”或“由因導果法”，是綜合法的兩種形象化的說法，教學中，應強調(diào)

分析過程和思考過程，使學生明白為什么采用綜合法，以及運用,綜合法進行證明的過程

教學重點：

(1)了解綜合法的思考過程和特點；

,(2)運用綜合法證明數(shù)學恒等式問題.

教學難點：對線合法的思考過程和特點的概括.

教學過程

例1.已551a>0,6>0,求證a(b2+c2)+b(c2+a2)>4abc.

歸納：1、綜合法的定義及特點：2、綜合法的思考過程.

綜合法，

一般地，用J用已知條件和某些數(shù)學定義、定理.、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最

后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法.

例2如圖所示，△ABC在平面a外，ABC\a=P,BCQa=Q,ACQa=R.求證尸，Q,R

三點共線.

第29頁共49頁29

.—>.-?]I2-?2

例3在△ABC中，設。8=。，。4=8,求證：S^BC=ab—(a'b)2.

練習

工比較大小.

22

(1)x<j<0,(，+j)(x-y)與*_j)(x+j);

(2)。>0,1>0,，加與片".

2.設a,beR+,則必有()

A.a'b^crb+atra'bi>(rb+ab1

C.a^h^crh+ah2D.a^b^^h+ab2

3.若“，6GR,則下面四個式子中恒成立的是(B)

A.lg(l+o2)>0B.a2+b2^2(a-b-l)

,caa+1

C.a2o+3ab>2b2D.—<------

bb+1

4.以下廠命題中正確的是(A)

A.如果Q+〃>0,那么〃和〃中至少有一個大于0

B.如果必=0,那么層+"一定也是o

C.如果必=〃，那么6=1

2

D.如果cr=bf那么a=b

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