塊狀樹高級(jí)查詢操作

19/24塊狀樹高級(jí)查詢操作第一部分塊狀樹查詢操作原理 2第二部分區(qū)間查詢與操作 4第三部分子樹查詢與修改 7第四部分距離查詢與修改 10第五部分k級(jí)祖先查詢 12第六部分lca查詢與修改 14第七部分深度查詢與修改 16第八部分路徑查詢與修改 19

第一部分塊狀樹查詢操作原理關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)塊狀樹查詢操作原理

1.通過(guò)樹鏈剖分將原樹分解為多個(gè)塊狀樹：

-樹鏈剖分將原樹分解為若干條不相交的鏈，稱為重鏈。

-每條重鏈上的所有節(jié)點(diǎn)都屬于同一個(gè)塊狀樹。

2.塊狀樹的組織與維護(hù)：

-塊狀樹中的節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)原樹中的塊，每個(gè)塊包含原樹中若干連續(xù)的節(jié)點(diǎn)。

-塊狀樹維護(hù)著塊內(nèi)節(jié)點(diǎn)的區(qū)間信息，以便高效查詢。

-塊狀樹中的操作包括塊合并、塊分裂和信息更新。

3.查詢優(yōu)化：

-查詢操作利用了塊狀樹的塊內(nèi)信息，避免了對(duì)原樹的逐個(gè)遍歷。

-查詢范圍跨越多個(gè)塊時(shí)，采用分塊查詢的方式，將查詢拆分成對(duì)不同塊的查詢，然后再合并結(jié)果。

塊狀樹常見查詢操作

1.區(qū)間查詢：

-查找指定區(qū)間內(nèi)的區(qū)間和、區(qū)間最大值等信息。

-將查詢范圍分解為塊內(nèi)查詢和跨塊查詢，分塊計(jì)算結(jié)果。

2.區(qū)間修改：

-修改指定區(qū)間內(nèi)的節(jié)點(diǎn)值，并更新受影響塊的信息。

-分塊應(yīng)用修改，只修改受影響的塊，以優(yōu)化時(shí)間復(fù)雜度。

3.整體查詢：

-查詢整棵樹的區(qū)間和、區(qū)間最大值等信息。

-利用樹鏈剖分和塊狀樹組織，將整體查詢轉(zhuǎn)換為塊內(nèi)查詢，高效計(jì)算結(jié)果。塊狀樹查詢操作原理

塊狀樹是一種用于處理離線查詢的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它將數(shù)組劃分為大小相等的塊，并在每個(gè)塊上建立一個(gè)連續(xù)子數(shù)組的區(qū)間樹。塊狀樹的查詢操作通過(guò)結(jié)合塊內(nèi)查詢和塊間查詢高效地執(zhí)行。

塊內(nèi)查詢

當(dāng)查詢涉及單個(gè)塊內(nèi)的元素時(shí)，塊狀樹直接使用該塊的區(qū)間樹執(zhí)行查詢。由于塊的大小是固定的，因此塊內(nèi)查詢可以在O(logn)時(shí)間內(nèi)完成，其中n是塊的大小。

塊間查詢

當(dāng)查詢跨越多個(gè)塊時(shí)，塊狀樹采用以下步驟：

1.塊內(nèi)查詢：查詢涉及的每個(gè)塊的區(qū)間樹，得到塊內(nèi)滿足查詢條件的元素。

2.直接查詢：遍歷查詢跨越的塊之間連續(xù)的所有元素，并將其添加到結(jié)果中。

3.塊內(nèi)查詢（可選）：如果查詢跨越的塊之間的元素?cái)?shù)較少，塊狀樹可以再次使用區(qū)間樹執(zhí)行塊內(nèi)查詢，而不是直接遍歷元素。

查詢操作的效率分析

塊狀樹查詢操作的效率取決于查詢涉及的塊數(shù)和塊內(nèi)查詢的復(fù)雜度：

*查詢涉及的塊數(shù)：假設(shè)數(shù)組大小為N，塊大小為B，那么查詢涉及的塊數(shù)為O(N/B)。

*塊內(nèi)查詢復(fù)雜度：塊內(nèi)查詢復(fù)雜度通常為O(logB)，其中B是塊的大小。

因此，塊狀樹查詢的總時(shí)間復(fù)雜度為：

```

時(shí)間復(fù)雜度=O((N/B)*logB)

```

優(yōu)化策略

為了進(jìn)一步優(yōu)化查詢操作，塊狀樹可以使用以下策略：

*動(dòng)態(tài)塊大?。焊鶕?jù)查詢分布動(dòng)態(tài)調(diào)整塊的大小，平衡塊內(nèi)查詢和塊間查詢的效率。

*延遲更新：延遲對(duì)塊的區(qū)間樹進(jìn)行更新，并周期性地合并更新以避免頻繁的區(qū)間樹操作。

*區(qū)間合并：將相鄰的滿足查詢條件的區(qū)間合并，減少輸出大小并提高查詢效率。

通過(guò)這些優(yōu)化策略，塊狀樹可以顯著提高離線查詢的效率，使其成為處理海量數(shù)組查詢的理想數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。第二部分區(qū)間查詢與操作關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)區(qū)間查詢

1.范圍查詢：查詢指定區(qū)間內(nèi)的所有元素，效率為O(k)，其中k為查詢結(jié)果中的元素?cái)?shù)量。

2.前綴查詢：查詢指定位置及其之前的所有元素，效率為O(1)。

3.后綴查詢：查詢指定位置及其之后的所有元素，效率為O(1)。

區(qū)間操作

區(qū)間查詢

定義：區(qū)間查詢是指查詢一棵塊狀樹中某一區(qū)間的數(shù)據(jù)。

操作：

```

query(l,r):

return區(qū)間[l,r]中數(shù)據(jù)的總和。

```

實(shí)現(xiàn)：

1.樹狀數(shù)組：

-將塊狀樹中的每個(gè)塊視作一個(gè)樹狀數(shù)組。

-查詢時(shí)，對(duì)每個(gè)涉及的塊進(jìn)行樹狀數(shù)組中的查詢操作。

2.分治：

-將查詢區(qū)間分成大小相等的若干個(gè)子區(qū)間。

-遞歸查詢每個(gè)子區(qū)間，最后合并結(jié)果。

區(qū)間修改

定義：區(qū)間修改是指修改一棵塊狀樹中某一區(qū)間的數(shù)據(jù)。

操作：

```

update(l,r,delta):

將區(qū)間[l,r]中每個(gè)元素增加delta。

```

實(shí)現(xiàn)：

1.樹狀數(shù)組：

-查詢和修改所涉的塊對(duì)應(yīng)的樹狀數(shù)組中進(jìn)行操作。

2.惰性標(biāo)記：

-為每個(gè)塊設(shè)置一個(gè)惰性標(biāo)記，記錄待更新的修改。

-當(dāng)查詢/修改操作涉及到某個(gè)塊時(shí)，更新惰性標(biāo)記。

-當(dāng)實(shí)際修改塊時(shí)，先應(yīng)用惰性標(biāo)記，再進(jìn)行修改。

區(qū)間翻轉(zhuǎn)

定義：區(qū)間翻轉(zhuǎn)是指將一棵塊狀樹中某一區(qū)間的數(shù)據(jù)取反。

操作：

```

flip(l,r):

將區(qū)間[l,r]中每個(gè)元素取反。

```

實(shí)現(xiàn)：

1.樹狀數(shù)組：

-每個(gè)塊對(duì)應(yīng)的樹狀數(shù)組中進(jìn)行區(qū)間加法操作（與區(qū)間修改操作類似）。

2.異或標(biāo)記：

-為每個(gè)塊設(shè)置一個(gè)異或標(biāo)記，記錄待翻轉(zhuǎn)的區(qū)間。

-當(dāng)查詢/修改操作涉及到某個(gè)塊時(shí)，更新異或標(biāo)記。

-當(dāng)實(shí)際修改塊時(shí)，先應(yīng)用異或標(biāo)記，再進(jìn)行修改。

區(qū)間查詢與操作的應(yīng)用

例1：最大子序列和

-將序列劃分為若干塊，每個(gè)塊構(gòu)成一個(gè)樹狀數(shù)組。

-查詢時(shí)，對(duì)每個(gè)涉及的塊進(jìn)行樹狀數(shù)組中的區(qū)間求和操作。

例2：區(qū)間加

-將序列劃分為若干塊，每個(gè)塊構(gòu)成一個(gè)樹狀數(shù)組。

-修改時(shí)，對(duì)每個(gè)涉及的塊進(jìn)行樹狀數(shù)組中的區(qū)間加法操作。

例3：區(qū)間異或

-將序列劃分為若干塊，每個(gè)塊構(gòu)成一個(gè)樹狀數(shù)組。

-修改時(shí)，對(duì)每個(gè)涉及的塊進(jìn)行樹狀數(shù)組中的區(qū)間異或操作。

例4：?jiǎn)吸c(diǎn)修改區(qū)間查詢

-將序列劃分為若干塊，每個(gè)塊構(gòu)成一個(gè)樹狀數(shù)組。

-使用惰性標(biāo)記技術(shù)，對(duì)單點(diǎn)修改/區(qū)間查詢進(jìn)行優(yōu)化。

性能分析

|操作|時(shí)間復(fù)雜度|空間復(fù)雜度|

||||

|區(qū)間查詢|O(sqrt(n))|O(n)|

|區(qū)間修改|O(sqrt(n))|O(n)|

|區(qū)間翻轉(zhuǎn)|O(sqrt(n))|O(n)|

其中，n為序列中的元素個(gè)數(shù)。

優(yōu)勢(shì)

*比傳統(tǒng)線段樹更適用于訪問(wèn)模式具有局部性的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

*查詢和修改的平均時(shí)間復(fù)雜度較低。

*適合于處理大規(guī)模數(shù)據(jù)，并允許快速訪問(wèn)和修改。第三部分子樹查詢與修改子樹查詢與修改

塊狀樹的子樹查詢與修改操作基于以下性質(zhì)：

*性質(zhì)1：對(duì)于塊狀樹中任意一個(gè)塊$B$，其所有子樹的點(diǎn)都屬于該塊。

*性質(zhì)2：對(duì)于塊狀樹中任意一個(gè)點(diǎn)$v$，其深度為$d_v$，屬于第$d_v\bmodb$個(gè)塊，其中$b$為塊的大小。

子樹查詢：

*枚舉第$d_v\bmodb$個(gè)塊及其后繼塊，直到深度達(dá)到或超過(guò)查詢子樹的深度。

*在每個(gè)塊中，對(duì)所有點(diǎn)進(jìn)行查詢操作。

*計(jì)算這些塊中查詢結(jié)果的總和。

子樹修改：

*枚舉第$d_v\bmodb$個(gè)塊及其后繼塊，直到深度達(dá)到或超過(guò)查詢子樹的深度。

*在每個(gè)塊中，對(duì)所有點(diǎn)進(jìn)行修改操作。

優(yōu)化策略：

*重子樹分解：將子樹分解為若干個(gè)不重疊的部分，對(duì)每個(gè)部分單獨(dú)執(zhí)行操作。

*延遲更新：在執(zhí)行修改操作時(shí)，不立即更新塊中的值，而是記錄修改信息。在后續(xù)訪問(wèn)塊時(shí)再更新值。

*路徑壓縮：每次訪問(wèn)塊時(shí)，對(duì)路徑上的所有祖先塊進(jìn)行更新。

基本算法：

子樹查詢算法：

*輸入：頂點(diǎn)$v$、查詢子樹深度$d$。

*輸出：查詢子樹中的值總和。

1.初始化結(jié)果$ans=0$。

2.枚舉塊$i$，從$d_v\bmodb$到$d$。

3.在塊$i$中，對(duì)所有點(diǎn)$j$，執(zhí)行查詢操作，并將結(jié)果加到$ans$中。

4.返回$ans$。

子樹修改算法：

*輸入：頂點(diǎn)$v$、修改值$val$。

*輸出：修改查詢子樹中的值。

1.枚舉塊$i$，從$d_v\bmodb$到$d$。

2.在塊$i$中，對(duì)所有點(diǎn)$j$，將點(diǎn)$j$的值修改為$val$。

3.如果$i$為延遲更新塊，則將$i$的修改信息撤銷。

4.如果$i$為路徑壓縮塊，則更新路徑上的所有祖先塊。

復(fù)雜度分析：

*子樹查詢：塊大小為$b$，深度為$d$，則復(fù)雜度為$O(d/b+b)$。

*子樹修改：塊大小為$b$，深度為$d$，則復(fù)雜度為$O(d/b)$。

擴(kuò)展功能：

除了基本查詢和修改操作，塊狀樹還可以支持更復(fù)雜的子樹操作，例如：

*子樹最大值查詢：返回查詢子樹中值的乘積。

*子樹區(qū)間查詢：返回查詢子樹中指定區(qū)間內(nèi)值的和。

*子樹單點(diǎn)修改：僅修改查詢子樹中指定點(diǎn)的值。

*子樹區(qū)間修改：修改查詢子樹中指定區(qū)間內(nèi)所有點(diǎn)的值。第四部分距離查詢與修改距離查詢與修改

距離查詢和修改是塊狀樹的高級(jí)查詢操作，用于查詢和修改節(jié)點(diǎn)之間的距離信息。這些操作在處理最短路徑、最長(zhǎng)公共子串、最近公共祖先等問(wèn)題中非常有用。

距離查詢

距離查詢操作用于查詢兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離。具體來(lái)說(shuō)，給定兩個(gè)節(jié)點(diǎn)u和v，距離查詢返回u和v在塊狀樹中的最近公共祖先（LCA）到每個(gè)節(jié)點(diǎn)的距離之和。

距離查詢算法：

1.找到節(jié)點(diǎn)u和v的最近公共祖先(LCA)。

2.從u出發(fā)，沿路徑向上遍歷到LCA，計(jì)算從u到LCA的距離。

3.從v出發(fā)，沿路徑向上遍歷到LCA，計(jì)算從v到LCA的距離。

4.將上述兩個(gè)距離相加，得到u和v之間的距離。

距離修改

距離修改操作用于修改兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離。具體來(lái)說(shuō)，給定兩個(gè)節(jié)點(diǎn)u和v以及一個(gè)距離值d，距離修改將u和v之間的距離修改為d。

距離修改算法：

1.找到節(jié)點(diǎn)u和v的最近公共祖先(LCA)。

2.從u出發(fā)，沿路徑向上遍歷到LCA，將每個(gè)節(jié)點(diǎn)到u的距離減少d/2。

3.從v出發(fā)，沿路徑向上遍歷到LCA，將每個(gè)節(jié)點(diǎn)到v的距離增加d/2。

距離修改的應(yīng)用

距離修改操作在優(yōu)化算法和解決實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，例如：

*最短路徑查詢：在有向或無(wú)向圖中，我們可以使用塊狀樹來(lái)動(dòng)態(tài)維護(hù)邊權(quán)重，并通過(guò)距離修改操作快速更新邊權(quán)重，從而高效地查詢最短路徑。

*最近公共祖先查詢：在樹形結(jié)構(gòu)中，我們可以使用塊狀樹來(lái)快速查詢兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的最近公共祖先，并通過(guò)距離修改操作改變節(jié)點(diǎn)的祖先關(guān)系，從而解決諸如最近公共祖先查詢、LCA替換等問(wèn)題。

*動(dòng)態(tài)連通性維護(hù)：在并查集或連通分量算法中，我們可以使用塊狀樹來(lái)高效地合并和拆分連通分量，并通過(guò)距離修改操作更新連通分量信息，從而維護(hù)動(dòng)態(tài)的連通性信息。

*后綴自動(dòng)機(jī)優(yōu)化：在后綴自動(dòng)機(jī)中，我們可以使用塊狀樹來(lái)優(yōu)化后綴鏈的合并和分裂操作，并通過(guò)距離修改操作更新后綴鏈信息，從而提高后綴自動(dòng)機(jī)的性能。

塊狀樹高級(jí)查詢操作：距離查詢與修改

塊狀樹的高級(jí)查詢操作不僅限于距離查詢和修改，還包括以下內(nèi)容：

子樹信息查詢：查詢一個(gè)節(jié)點(diǎn)的子樹中滿足某一條件的節(jié)點(diǎn)數(shù)量或其他信息。

路徑信息查詢：查詢兩點(diǎn)之間的路徑上滿足某一條件的節(jié)點(diǎn)數(shù)量或其他信息。

子樹信息修改：修改一個(gè)節(jié)點(diǎn)的子樹中所有滿足某一條件的節(jié)點(diǎn)的信息。

路徑信息修改：修改兩點(diǎn)之間的路徑上所有滿足某一條件的節(jié)點(diǎn)的信息。

這些高級(jí)查詢操作可以進(jìn)一步擴(kuò)展塊狀樹的應(yīng)用范圍，使其適用于更廣泛的算法和問(wèn)題解決。第五部分k級(jí)祖先查詢k級(jí)祖先查詢

在塊狀樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，k級(jí)祖先查詢操作檢索給定節(jié)點(diǎn)的k級(jí)祖先。此操作在解決各種圖論問(wèn)題中至關(guān)重要，例如最短路徑查詢、最近公共祖先查找和樹形動(dòng)態(tài)規(guī)劃。

算法概述

k級(jí)祖先查詢算法使用以下分層結(jié)構(gòu)對(duì)塊狀樹進(jìn)行預(yù)處理：

*深度指針：對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)v，維護(hù)一個(gè)指向其深度為\(2^i\)最近祖先的指針\(p_i(v)\)。

預(yù)處理復(fù)雜度：O(nlogn)

查詢算法

給定節(jié)點(diǎn)v和祖先級(jí)別k，查詢算法通過(guò)以下步驟檢索k級(jí)祖先：

2.回溯：從深度\(2^k\)的祖先沿著深度指針回溯k步，以得到k級(jí)祖先。

查詢復(fù)雜度：O(logn)

證明

預(yù)處理階段的時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)，因?yàn)閷?duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)v，需要計(jì)算logn個(gè)深度指針和跳躍表中的n個(gè)條目。

查詢操作需要執(zhí)行k次跳躍，其中每次跳躍最多需要logn時(shí)間，以及k次回溯，其中每次回溯需要O(1)時(shí)間。因此，查詢操作的總時(shí)間復(fù)雜度為O(klogn)=O(logn)，因?yàn)閗通常是一個(gè)較小的常數(shù)。

應(yīng)用場(chǎng)景

k級(jí)祖先查詢?cè)谝韵聠?wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用：

*最短路徑查詢：在帶權(quán)樹中，可以通過(guò)查詢兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的最近公共祖先及其k級(jí)祖先來(lái)計(jì)算兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。

*最近公共祖先查找：對(duì)于兩個(gè)節(jié)點(diǎn)v和w，可以通過(guò)查詢它們的k級(jí)祖先找到它們的最近公共祖先。

*樹形動(dòng)態(tài)規(guī)劃：在樹形動(dòng)態(tài)規(guī)劃中，k級(jí)祖先查詢可用于高效地計(jì)算子樹中的值或解決其他動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題。

擴(kuò)展

k級(jí)祖先查詢可以進(jìn)一步擴(kuò)展到以下操作：

*任意祖先查詢：檢索給定節(jié)點(diǎn)的任意祖先。

*區(qū)間祖先查詢：檢索給定區(qū)間內(nèi)的所有祖先。

*歷史祖先查詢：檢索給定節(jié)點(diǎn)在特定時(shí)間點(diǎn)的祖先。

這些擴(kuò)展操作需要對(duì)塊狀樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行額外的預(yù)處理和維護(hù)，但可以進(jìn)一步提高查詢效率和解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)的實(shí)用性。第六部分lca查詢與修改關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【LCA查詢】

1.LCA（最低公共祖先）查詢是一種在塊狀樹中查找兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的最低公共祖先的查詢操作。

2.LCA查詢通常通過(guò)自下而上遍歷塊狀樹，依次合并父塊的LCA，最終得到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的LCA。

3.LCA查詢的時(shí)間復(fù)雜度通常為O(logn)，其中n為樹的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

【LCA修改】

LCA查詢與修改

在塊狀樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，LCA（最近公共祖先）查詢操作用于查找給定兩個(gè)頂點(diǎn)之間的最近公共祖先。

#查詢操作

時(shí)間復(fù)雜度：O(nlogn)

操作步驟：

1.初始化兩個(gè)頂點(diǎn)所屬塊的指針`i`和`j`。

2.比較兩個(gè)塊的位置。如果`i`和`j`相同，則答案位于該塊內(nèi)。使用`find_lca`函數(shù)在塊內(nèi)進(jìn)行查詢。

3.否則，將較深塊的指針移至其父塊。

4.繼續(xù)比較塊的位置，直至`i`和`j`相同或達(dá)到根塊。

5.如果`i`和`j`相同，則答案位于該塊內(nèi)。使用`find_lca`函數(shù)在塊內(nèi)進(jìn)行查詢。

6.否則，答案是`i`或`j`的父塊的LCA。

#修改操作

在塊狀樹中修改一個(gè)頂點(diǎn)的祖先時(shí)，需要更新塊內(nèi)的LCA信息。

時(shí)間復(fù)雜度：O(nlogn)

操作步驟：

1.找到頂點(diǎn)`u`所屬的塊`i`。

2.使用`find_lca`函數(shù)在塊內(nèi)找到頂點(diǎn)`u`的LCA`p`。

3.更新塊內(nèi)`u`的父指針為`q`。

4.從`p`到`q`的路徑上更新所有塊內(nèi)的LCA信息。這包括更新`find_lca`函數(shù)中的祖先指針和`dfs`函數(shù)中子樹LCA信息。

5.對(duì)于路徑上經(jīng)過(guò)的每個(gè)塊`j`，執(zhí)行以下步驟：

-使用`find_lca`函數(shù)在塊`j`內(nèi)找到`u`的LCA`new_p`。

-更新塊`j`內(nèi)所有頂點(diǎn)的祖先指針。其中，原先指向`p`的指針現(xiàn)在指向`new_p`。

#細(xì)節(jié)實(shí)現(xiàn)

`find_lca`函數(shù)：

此函數(shù)在給定塊內(nèi)查找兩個(gè)頂點(diǎn)之間的LCA。

時(shí)間復(fù)雜度：O(logn)

`dfs`函數(shù)：

此函數(shù)用于預(yù)處理塊狀樹并計(jì)算每個(gè)塊內(nèi)的LCA信息。

時(shí)間復(fù)雜度：O(nlogn)

#應(yīng)用場(chǎng)景

LCA查詢與修改操作在以下場(chǎng)景中非常有用：

-回答樹狀結(jié)構(gòu)中的距離查詢。

-動(dòng)態(tài)維護(hù)樹狀結(jié)構(gòu)中的LCA。

-進(jìn)行基于輩分的修改操作，例如將頂點(diǎn)移動(dòng)到祖先節(jié)點(diǎn)下。第七部分深度查詢與修改關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)主題名稱：深度查詢

1.通過(guò)指定深度范圍或限制祖先節(jié)點(diǎn)，從給定節(jié)點(diǎn)出發(fā)在塊狀樹中查詢指定深度范圍內(nèi)的子樹信息。

2.利用預(yù)處理技術(shù)，例如深度數(shù)組或LCA跳表，快速高效地獲得子樹深度信息。

3.適用于統(tǒng)計(jì)子樹節(jié)點(diǎn)數(shù)量、查找指定深度處的節(jié)點(diǎn)或路徑等查詢場(chǎng)景。

主題名稱：修改深度

深度查詢與修改

深度查詢與修改是塊狀樹高級(jí)查詢操作中的重要功能，它允許對(duì)樹中節(jié)點(diǎn)及其子樹進(jìn)行高效的查詢和修改。

深度查詢

深度查詢是指在給定節(jié)點(diǎn)及其深度范圍內(nèi)的所有節(jié)點(diǎn)中執(zhí)行特定查詢的操作。具體實(shí)現(xiàn)方式取決于查詢的性質(zhì)，這里介紹兩種常見的深度查詢：

*子樹查詢：查詢給定節(jié)點(diǎn)及其所有子節(jié)點(diǎn)中的信息（通常是值或?qū)傩缘暮停＠?，查詢?jié)點(diǎn)`u`及其子樹中所有節(jié)點(diǎn)的權(quán)重和。

*路徑查詢：查詢從給定節(jié)點(diǎn)到其祖先節(jié)點(diǎn)的路徑上的信息（通常是路徑上的權(quán)重和或其他屬性）。例如，查詢節(jié)點(diǎn)`u`到其根節(jié)點(diǎn)的路徑上的邊權(quán)重和。

深度修改

深度修改是指在給定節(jié)點(diǎn)及其深度范圍內(nèi)的所有節(jié)點(diǎn)上執(zhí)行特定修改的操作。常見的深度修改包括：

*子樹修改：修改給定節(jié)點(diǎn)及其所有子節(jié)點(diǎn)的值或?qū)傩裕ㄍǔＪ窃隽炕蛸x值）。例如，將節(jié)點(diǎn)`u`及其子樹中所有節(jié)點(diǎn)的權(quán)重增加1。

*路徑修改：修改從給定節(jié)點(diǎn)到其祖先節(jié)點(diǎn)的路徑上的邊權(quán)重或其他屬性。例如，將節(jié)點(diǎn)`u`到其根節(jié)點(diǎn)的路徑上所有邊的權(quán)重增加1。

實(shí)現(xiàn)

深度查詢和修改操作通過(guò)在塊狀樹上進(jìn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃來(lái)實(shí)現(xiàn)。主要思路是預(yù)處理出每個(gè)節(jié)點(diǎn)在不同深度范圍內(nèi)的信息，并使用這些預(yù)處理信息快速回答查詢或執(zhí)行修改。

預(yù)處理

對(duì)于深度查詢，預(yù)處理信息通常包括：

*給定節(jié)點(diǎn)在不同深度范圍內(nèi)子樹的信息（例如，權(quán)重和或其他屬性的和）

*給定節(jié)點(diǎn)到其祖先節(jié)點(diǎn)的路徑信息（例如，路徑上的權(quán)重和或其他屬性）

對(duì)于深度修改，預(yù)處理信息通常包括：

*給定節(jié)點(diǎn)及其子節(jié)點(diǎn)的值或?qū)傩缘脑隽?/p>

*給定節(jié)點(diǎn)到其祖先節(jié)點(diǎn)的路徑上邊權(quán)重的增量

查詢與修改

有了預(yù)處理信息，深度查詢和修改操作可以高效執(zhí)行：

*深度查詢：使用預(yù)處理的信息直接計(jì)算給定節(jié)點(diǎn)及其深度范圍內(nèi)的信息，無(wú)需遍歷樹。

*深度修改：使用預(yù)處理的信息直接修改給定節(jié)點(diǎn)及其深度范圍內(nèi)的值或?qū)傩?，無(wú)需遍歷樹。

時(shí)間復(fù)雜度

深度查詢和修改操作的時(shí)間復(fù)雜度通常為O(logN)，其中N是樹中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。預(yù)處理的時(shí)間復(fù)雜度也為O(NlogN)。

應(yīng)用

深度查詢和修改操作在許多算法和應(yīng)用中都有應(yīng)用，包括：

*樹形動(dòng)態(tài)規(guī)劃

*子樹查詢和修改

*路徑查詢和修改

*范圍查詢和修改

*離線算法

總之，深度查詢與修改是塊狀樹高級(jí)查詢操作中強(qiáng)大的工具，它們通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃技術(shù)實(shí)現(xiàn)了對(duì)樹中節(jié)點(diǎn)及其子樹的高效查詢和修改。第八部分路徑查詢與修改關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【路徑統(tǒng)計(jì)】

1.介紹路徑統(tǒng)計(jì)的目的和意義，如統(tǒng)計(jì)路徑上指定節(jié)點(diǎn)的出現(xiàn)次數(shù)、權(quán)值之和或其他信息。

2.詳細(xì)描述常用的路徑統(tǒng)計(jì)算法，如線段樹、樹狀數(shù)組、區(qū)間修改點(diǎn)查詢樹狀數(shù)組，闡明其原理、時(shí)間復(fù)雜度和適用范圍。

3.結(jié)合實(shí)例，展示如何利用路徑統(tǒng)計(jì)求解常見問(wèn)題，如計(jì)算樹中指定路徑節(jié)點(diǎn)的總權(quán)值、統(tǒng)計(jì)指定端點(diǎn)之間的最長(zhǎng)路徑長(zhǎng)度等。

【路徑修改】

路徑查詢與修改：塊狀樹高級(jí)查詢操作

路徑查詢

在塊狀樹中，路徑查詢指查詢樹中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的路徑上的所有節(jié)點(diǎn)。利用塊狀樹的塊分解特性，可以高效地進(jìn)行路徑查詢。

具體來(lái)說(shuō)，設(shè)要查詢節(jié)點(diǎn)u到v的路徑，可將其分解為兩段：從u到其所在塊的塊底，以及從v到其所在塊的塊頂。這兩段路徑可以在O(1)時(shí)間內(nèi)獲取。

對(duì)于位于同一塊內(nèi)的u和v，直接遍歷即可得到路徑。

對(duì)于跨越多個(gè)塊的u和v，則需依次遍歷u和v所在塊的邊界的兩個(gè)塊，直至達(dá)到公共祖先塊。

路徑查詢算法：

1.初始化路徑結(jié)果path為空列表。

2.設(shè)當(dāng)前查詢塊為u所在塊B。

3.遍歷B的塊底到u的路徑，將其添加到path。

4.更新B為v所在塊。

5.重復(fù)步驟3-4，直至B為u和v的公共祖先塊。

6.遍歷公共祖先塊的塊頂?shù)絭的路徑，將其添加到path。

7.返回path。

路徑修改

路徑修改指修改樹中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的路徑上的某幾個(gè)節(jié)點(diǎn)的值。由于塊狀樹將路徑分解為多個(gè)塊，因此路徑修改可以分為塊內(nèi)修改和跨塊修改。

塊內(nèi)修改：

如果要修改的節(jié)點(diǎn)位于同一塊內(nèi)，則直接修改即可。時(shí)間復(fù)雜度為O(1)。

跨塊修改：

如果要修改的節(jié)點(diǎn)跨越多個(gè)塊，則需要分塊修改。具體步驟為：

1.確定要修改節(jié)點(diǎn)所在的塊集合。

2.依次遍歷這些塊，修改塊中的相應(yīng)節(jié)點(diǎn)。

3.更新塊信息，確保修改后塊信息仍然滿足塊狀樹的特性。

路徑修改算法：

1.確定要修改的路徑[u,v]。

2.初始化已修改塊集合M為空集合。

3.設(shè)當(dāng)前塊為u所在塊B。

4.遍歷B中的節(jié)點(diǎn)，修改滿足條件的節(jié)點(diǎn)。

5.將B添加到M中。

6.更新B為v所在塊。

7.重復(fù)步驟4-6，直至B為u和v的公共祖先塊。

8.遍歷公共祖先塊中的節(jié)點(diǎn)，修改滿足條件的節(jié)點(diǎn)。

9.將公共祖先塊添加到M中。

10.遍歷M中的每個(gè)塊，更新塊信息。

11.返回修改后的路徑[u,v]。

路徑查詢與修改的應(yīng)用

*最短路徑查詢：利用塊狀樹，可以高效地查詢樹中兩節(jié)點(diǎn)間的最短路徑。

*子樹信息查詢：塊狀樹可以查詢某節(jié)點(diǎn)為根的子樹中滿足特定條件的節(jié)點(diǎn)數(shù)量。

*路徑修改：可以修改樹中某條路徑上的節(jié)點(diǎn)權(quán)值，用于解決路徑加權(quán)、路徑取值區(qū)間等問(wèn)題。

*動(dòng)態(tài)樹問(wèn)題：塊狀樹可以處理動(dòng)態(tài)樹問(wèn)題，即樹結(jié)構(gòu)不斷變化，但需要高效查詢和修改。關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)子樹查詢與修改

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.子樹查詢：

-在給定樹中，查詢指定子樹中的指定信息，例如子樹大小、子樹深度、子樹中特定元素的出現(xiàn)次數(shù)等。

-常用算法：子樹和、樹上差分、點(diǎn)分治等。

2.子樹修改：

-在給定樹中，修改指定子樹中的指定信息，例如更新子樹權(quán)值、子樹范圍內(nèi)的元素值等。

-常用算法：樹狀數(shù)組、權(quán)值線段樹、并查集等。

主題名稱：動(dòng)態(tài)子樹查詢

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.離線查詢：預(yù)處理樹結(jié)構(gòu)，使用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)查詢信息，一次性處理所有查詢。

2.在線查詢：在每次查詢時(shí)動(dòng)態(tài)修改樹結(jié)構(gòu)，并在修改后立即處理查詢。

3.查詢時(shí)空復(fù)雜度優(yōu)化：利用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化查詢算法，降低查詢時(shí)間復(fù)雜度。

主題名稱：子樹修改與維護(hù)

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.延時(shí)修改：先記錄修改操作，不立即執(zhí)行修改，在后續(xù)查詢或維護(hù)時(shí)統(tǒng)一更新。

2.惰性傳播：當(dāng)修改影響子節(jié)點(diǎn)時(shí)，將修改操作向下傳播，避免重復(fù)修改。

3.區(qū)間賦值和區(qū)間修改：支持對(duì)子樹區(qū)間進(jìn)行統(tǒng)一賦值或修改，提高效率。

其他相關(guān)主題：

*子樹動(dòng)態(tài)規(guī)劃：利用子樹結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃，解決與子樹相關(guān)的復(fù)雜問(wèn)題。

*子樹樹形圖：將子樹表示為樹形圖，使用圖論算法解決子樹查詢和修改問(wèn)題。

*樹鏈剖分：利用樹剖算法預(yù)處理樹結(jié)構(gòu)，優(yōu)化子樹查詢和修改的效率。關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)主題名稱：距離查詢

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.查找樹中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離：利用塊狀樹的層次結(jié)構(gòu)和路徑壓縮技術(shù)，可以在O(log^2(n))時(shí)間內(nèi)完成距離查詢。

2.優(yōu)化查詢性能：通過(guò)維護(hù)塊狀樹的子樹信息，例如子樹大小和子樹重心，可以進(jìn)一步優(yōu)化距離查詢，將其復(fù)雜度降至O(log(n))。

3.應(yīng)用場(chǎng)景：在需要頻繁計(jì)算樹中節(jié)點(diǎn)距離的場(chǎng)景中，例如網(wǎng)絡(luò)路由、社