高中數(shù)學(xué) 1.3 弧度制基礎(chǔ)鞏固 北師大版必修4

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.3弧度制基礎(chǔ)鞏固北師大版必修4一、選擇題1．終邊在第三象限的角平分線上的角α的集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(5,4)π，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ－\f(π,4)，k∈Z)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(3,4)π，k∈Z))[答案]B[解析]先在[0,2π)內(nèi)找到第三象限角平分線所對應(yīng)的角eq\f(5π,4).再加上2π的整數(shù)倍，即：α＝2kπ＋eq\f(5π,4)，(k∈Z)．∴選B.2．下列各對角中終邊相同的是()A.eq\f(π,2)和－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z) B．－eq\f(π,3)和eq\f(22π,3)C．－eq\f(7π,9)和eq\f(11π,9) D．－eq\f(20π,9)和eq\f(122π,9)[答案]C[解析]∵－eq\f(7,9)π＝－2π＋eq\f(11,9)π，∴－eq\f(7,9)π與eq\f(11,9)π終邊相同．3．下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯(cuò)誤的是()A．67°30′化成弧度是eq\f(3π,8) B．－eq\f(10π,3)化成度是－600°C．－150°化成弧度是－eq\f(7π,6) D.eq\f(π,12)化成度是15°[答案]C[解析]對A,67°30′＝67.5×eq\f(π,180)＝eq\f(3π,8)，正確；對于B，－eq\f(10π,3)＝－eq\f(10π,3)×(eq\f(180,π))°＝－600°，正確；對C，－150°＝－150×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,6)，錯(cuò)誤；對D，eq\f(π,12)＝eq\f(π,12)×(eq\f(180,π))°＝15°，正確．4．把－eq\f(11π,4)表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是()A．－eq\f(3π,4) B．－eq\f(π,4)C.eq\f(π,4) D．eq\f(3π,4)[答案]A[解析]∵－eq\f(11π,4)＝－2π－eq\f(3π,4)，∴－eq\f(11π,4)與－eq\f(3π,4)是終邊相同的角，且此時(shí)|－eq\f(3π,4)|＝eq\f(3π,4)是最小的．5．在半徑為2cm的圓中，若有一條弧長為eq\f(π,3)cm，則它所對的圓心角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)[答案]A[解析]設(shè)圓心角為θ，則θ＝eq\f(\f(π,3),2)＝eq\f(π,6).6．半徑為2cm，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形面積為()A.eq\f(π,3)cm2 B．eq\f(2π,3)cm2C.eq\f(4π,3)cm2 D．eq\f(8π,3)cm2[答案]C[解析]由于l＝r·α＝2×eq\f(2π,3)＝eq\f(4π,3)(cm)，所以扇形的面積為：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)·eq\f(4π,3)·2＝eq\f(4π,3)(cm2)，故選C.二、填空題7．(1)300°化為弧度是________；(2)－eq\f(5π,6)化為度是________；(3)終邊落在如圖的陰影部分(包括邊界)的角的集合是______________．[答案](1)eq\f(5π,3)(2)－150°(3){α|eq\f(3π,4)＋2kπ≤α≤eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z}[解析](1)(2)考查角度與弧度的互化.(3)考查終邊相同角的寫法．(1)300°＝300×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,3).(2)－eq\f(5,6)π＝－eq\f(5π,6)×eq\f(180°,π)＝－150°.(3)用集合表示時(shí)，不要漏掉k∈Z.8．若角θ的終邊與eq\f(8π,5)的終邊相同，則在[0,2π]內(nèi)終邊與角eq\f(θ,4)的終邊相同的角是________．[答案]eq\f(2π,5)或eq\f(9π,10)或eq\f(7π,5)或eq\f(19π,10)[解析]θ＝eq\f(8π,5)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(θ,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．當(dāng)k＝0時(shí)，eq\f(θ,4)＝eq\f(2π,5)；k＝1時(shí)，eq\f(θ,4)＝eq\f(9π,10)；k＝2時(shí)，eq\f(θ,4)＝eq\f(7π,5)；k＝3時(shí)，eq\f(θ,4)＝eq\f(19π,10).三、解答題9．(1)已知扇形OAB的圓心角α為120°，半徑為6，求扇形弧長及所含弓形的面積．(2)已知扇形周長為20cm[解析](1)弧長l＝αr＝eq\f(2,3)π×6＝4π，∵OA＝OB＝6，∴AB＝6eq\r(3)，圓心到AB的距離為d＝3.∴弓形面積S＝S扇形－S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)π×62－eq\f(1,2)×6eq\r(3)×3＝12π－9eq\r(3).(2)設(shè)扇形圓心角為α，半徑為R，扇形面積為S，則αR＋2R＝20.∴α＝eq\f(20－2R,R)，∴S＝eq\f(1,2)αR2＝10R－R2＝25－(R－5)2，∴當(dāng)R＝5cm時(shí)，S有最大值25cm2，此時(shí)α＝2.一、選擇題1．已知集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(kπ,2)，k∈Z))))，則下列集合與集合P相等的是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) B．{α|α＝kπ，k∈Z}C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ或α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))[答案]D[解析]α＝eq\f(kπ,2)，k∈Z由k＝0,1,2,3,4，……知，角的終邊在坐標(biāo)軸上．而α＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z表示角的終邊在y軸上；α＝kπ，k∈Z表示角的終邊在x軸上；α＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z表示角的終邊在y軸正半軸上．故選D.2．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，則A∩B＝()A．? B．{α|0≤α≤π}C．{α|－4≤α≤4} D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}[答案]D[解析][2kπ，(2k＋1)π]∩[－4,4]在k≥1或k≤－2時(shí)為空集，于是，A∩B＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}．二、填空題3．扇形的周長是16，圓心角是2rad，則扇形的面積是________．[答案]16[解析]弧長l＝2R，∴16＝4R，∴R＝4，∴S＝eq\f(1,2)×2×4×4＝16.4．圓的一段弧長等于該圓外切正三角形的邊長，則這段弧所對圓心角的弧度數(shù)是________．[答案]2eq\r(3)[解析]設(shè)圓半徑為R，則圓的外切正三角形的邊長為2eq\r(3)R，∴l(xiāng)＝2eq\r(3)R，∴圓心角θ＝eq\f(l,R)＝eq\f(2\r(3)R,R)＝2eq\r(3).三、解答題5．若角α的終邊與角eq\f(π,6)的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，且α∈(－4π，4π)，求α的值．[解析]設(shè)角eq\f(π,6)的終邊為直線OA，OA關(guān)于直線y＝x對稱的直線為OB，則以O(shè)B為終邊的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,3)))，k∈Z)).∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq\f(π,3)<4π，∴－eq\f(13,6)<k<eq\f(11,6).∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0,1，∴α的值為－eq\f(11π,3)，－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,3).6．已知扇形的周長為6cm，面積為2cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù)．[解析]設(shè)扇形的弧長為l，它所在圓的半徑為r，圓心角為α(0<α<2π)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝6，,\f(1,2)lr＝2.))消去l得r2－3r＋2＝0，解得r＝1或r＝2.當(dāng)r＝1時(shí)，l＝4，α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,1)＝4；當(dāng)r＝2時(shí)，l＝2，α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,2)＝1.故扇形的圓心角為1弧度或4弧度．7．用30cm長的鐵絲圍成一個(gè)扇形，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？[解析]解法一：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，扇形的面積為S.則l＋2r＝30，即l＝30－2r. ①將①式代入S＝eq\f(1,2)lr，得S＝eq\f(1,2)(30－2r)·r＝－r2＋15r＝－(r－eq\f(15,2))2＋eq\f(225,4).所以當(dāng)r＝eq\f(15,2)cm時(shí)，扇形面積最大，且最大面積為eq\f(225,4)cm2.此時(shí)圓心角θ＝eq\f(30－15,\f(15,2))＝2.解法二：設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為θ(0<θ<2π)，則弧長為r·θ.由題意，得2r＋r·θ＝30，即r＝eq\f(30,2＋θ).所以S＝eq\f(1,2)θ·r2＝eq\f(1,2)·eq\f(302·θ,θ2