2023-2024學年山東省濰坊市高二下學期期中質量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2山東省濰坊市2023-2024學年高二下學期期中質量監(jiān)測數(shù)學試題一、單項選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C.16 D.-16〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以.故選：B2.下列兩個變量之間的關系是相關關系的是（）A.正方形的邊長與對角線長 B.球的體積與表面積C.一個人的身高與學習成績 D.平均學習時間與學習成績〖答案〗D〖解析〗選項AB中兩個變量間是一種函數(shù)關系，選項C中兩個變量之間沒有什么關系，選項D中，學習成績與平均學習時間有關，但不僅與時間有關，還與其他變量有關如學習時專注性，個人的學習習慣等有關，因此D是相關關系．故選：D．3.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.54 B.63 C.72 D.135〖答案〗B〖解析〗因為是等差數(shù)列，所以，，為等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，所以，解得.故選：B4.下列函數(shù)的導數(shù)運算正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A：，故A錯誤；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：D5.某學校在一次調查“籃球迷”的活動中，獲得了如下數(shù)據(jù)，以下結論正確的是（）男生女生籃球迷3015非籃球迷4510附:，0.100.050.012.7063.8416.635A.沒有的把握認為是否是籃球迷與性別有關B.有的把握認為是否是籃球迷與性別有關C.在犯錯誤的概率不超過的前提下，可以認為是否是籃球迷與性別有關D.在犯錯誤的概率不超過的前提下，可以認為是否是籃球迷與性別有關〖答案〗A〖解析〗依題意可得列聯(lián)表如下：男生女生合計籃球迷301545非籃球迷451055合計7525100所以，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下，可以認為是否是籃球迷與性別有關，又，所以沒有的把握認為是否是籃球迷與性別有關.

故選：A6.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其大意為:“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地."則該人第一天走的路程為（）A.120里 B.148里 C.96里 D.192里〖答案〗D〖解析〗由題意得，該人每天所走路程構成以為公比的等比數(shù)列，令該數(shù)列為，其前項和為，則有，解得，故該人第一天走的路程為192里.故選：D.7.某人壽保險公司規(guī)定，投保人沒活過歲時，保險公司要賠償100萬元.活過歲時，保險公司不賠償，但要給投保人一次性支付5萬元.已知購買此種保險的每個投保人能活過歲的概率都是，隨機抽取3個投保人，設其中活過歲的人數(shù)為，保險公司要賠償給這三個人的總金額為萬元.則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，因為個投保人中，活過歲的人數(shù)為，所以沒活過歲的人數(shù)為，因此，即，所以.故選：A8.對于定義域為的可導函數(shù)，若滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為對于上可導的函數(shù)，，所以有或，即當時，為不減函數(shù)，當時，為不增函數(shù)，所以，，所以.故選：C.二、多項選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，則（）A.在上是增函數(shù) B.在上是減函數(shù)C.在上是增函數(shù) D.在上是減函數(shù)〖答案〗BCD〖解析〗由圖可知當時，當時，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.故選：BCD10.設是變量和的個樣本點，由這些樣本點通過最小二乘法得到線性回歸直線方程，下列結論正確的是（）A.與正相關的充要條件是 B.直線過點C.與之間的相關系數(shù)為 D.當增大一個單位時，增大個單位〖答案〗ABD〖解析〗依題意與正相關的充要條件是，故A正確；根據(jù)回歸直線的性質可知直線必過點，故B正確；因為與之間的相關系數(shù)，而，故C錯誤；因為，所以當增大一個單位時，增大個單位，故D正確.故選：ABD11.已知數(shù)列滿足，則（）A.若，則數(shù)列為常數(shù)列B若，則對任意，有C.若，則對任意，有D.若，則對任意〖答案〗ABD〖解析〗對于A，若，則，，以此類推可知：，所以數(shù)列常數(shù)列，故A正確；對于B，若，，，以此類推可知：，，則，即，故B正確；對于C，由結合選項B得出，，所以，故C錯誤；對于D，若，；，假設，構造函數(shù)，易知在上單調遞增，所以，由以上歸納得出，故D正確.故選：ABD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量，且，則___________.〖答案〗〖解析〗因為且，所以，所以.故〖答案〗為：13.設函數(shù)，若函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是___________.〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以在上恒成立，當時，在上恒成立，故符合題意；當時，所以在上恒成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以，綜上，的取值范圍是.故〖答案〗為：14.某學校數(shù)學實踐小組為該校一塊長方形空地設計種樹方案，在坐標紙上設計如下:第棵樹種在點處，其中，當時，，[]表示不大于x的最大整數(shù)，按此設計方案，第3株樹種植點的坐標為___________;第2025棵樹種植點的坐標為____________.〖答案〗①②〖解析〗，，，，，，故，，，，，，累加得，，故，當時，，第3棵樹種植點的坐標應為；當時，，第2018棵樹種植點的坐標應為．故〖答案〗為：；四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調性.解：（1）當時，則，所以，因為，即切點為，所以切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域為，又，當時，恒成立，函數(shù)上單調遞增；當時，則當時，當時，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；綜上可得：當時在上單調遞增；當時在上單調遞增，在上單調遞減.16.已知數(shù)列的前項和.（1）求數(shù)列的通項公式，判斷這個數(shù)列是否是等差數(shù)列，并說明理由;（2）記數(shù)列的前項和為，若，求.解：（1）當時，，當時，有，又因為，所以當時，也成立，因此數(shù)列的通項公式為，數(shù)列是等差數(shù)列，理由如下：因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，解得且，當時，，可得；所以，又因，所以，當時，，可得，令，解得或（舍去），所以.17.現(xiàn)從某學校高三年級男生中隨機抽取50名男生測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生的身高全部介于到之間，將測量結果按如下方式分成6組:第1組，第2組，第6組[180，184].如圖，這是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）試估計該校高三年級男生的平均身高（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）求這50名男生身高在以上（含）的人數(shù)；（3）從這50名身高在以上（含）的男生中任意抽取2人，將這2人中身高在（含以上的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望.解：（1）由頻率分布直方圖，可得平均數(shù)為，所以估計該校高三年級男生的平均身高為．（2）由頻率分布直方圖知，后組頻率為，又，即這名男生身高在以上（含）的人數(shù)為．（3）由以上知這名身高在以上（含）的有人，以上的有人．所以隨機變量的取值為，，，所以，，所以的分布列為：所以.18.在數(shù)列中，（是常數(shù)，），且成公比不為1的等比數(shù)列.（1）求的值;（2）求數(shù)列的通項公式:（3）求數(shù)列的前項和.解：（1），，，因為成公比不為1的等比數(shù)列，所以，解得或.當時，，不符合題意舍去，故.（2）當時，由于，所以，又，故.當時，滿足上式，所以.（3）因為，所以，，兩式相減得即.19.信息熵是信息論之父香農（Shannon）定義的一個重要概念，香農在1948年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計算信息熵的數(shù)學表達式：設隨機變量所有可能的取值為，且，，定義的信息熵.（1）當時，計算；（2）當時，試探索的信息熵關于的〖解析〗式，并求其最大值；（3）若，隨機變量所有可能的取值為，且，證明:.解：（1）當時，則，，所以．（2）當時，，，所以.令，，則，所以當時，當時，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以當時，取得最大值.（3）若，隨機變量所有可能的取值為1，2，，，且．所以，所以，因為，故，故，由于，所以，所以，所以，所以.山東省濰坊市2023-2024學年高二下學期期中質量監(jiān)測數(shù)學試題一、單項選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C.16 D.-16〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以.故選：B2.下列兩個變量之間的關系是相關關系的是（）A.正方形的邊長與對角線長 B.球的體積與表面積C.一個人的身高與學習成績 D.平均學習時間與學習成績〖答案〗D〖解析〗選項AB中兩個變量間是一種函數(shù)關系，選項C中兩個變量之間沒有什么關系，選項D中，學習成績與平均學習時間有關，但不僅與時間有關，還與其他變量有關如學習時專注性，個人的學習習慣等有關，因此D是相關關系．故選：D．3.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.54 B.63 C.72 D.135〖答案〗B〖解析〗因為是等差數(shù)列，所以，，為等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，所以，解得.故選：B4.下列函數(shù)的導數(shù)運算正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A：，故A錯誤；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：D5.某學校在一次調查“籃球迷”的活動中，獲得了如下數(shù)據(jù)，以下結論正確的是（）男生女生籃球迷3015非籃球迷4510附:，0.100.050.012.7063.8416.635A.沒有的把握認為是否是籃球迷與性別有關B.有的把握認為是否是籃球迷與性別有關C.在犯錯誤的概率不超過的前提下，可以認為是否是籃球迷與性別有關D.在犯錯誤的概率不超過的前提下，可以認為是否是籃球迷與性別有關〖答案〗A〖解析〗依題意可得列聯(lián)表如下：男生女生合計籃球迷301545非籃球迷451055合計7525100所以，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下，可以認為是否是籃球迷與性別有關，又，所以沒有的把握認為是否是籃球迷與性別有關.

故選：A6.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其大意為:“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地."則該人第一天走的路程為（）A.120里 B.148里 C.96里 D.192里〖答案〗D〖解析〗由題意得，該人每天所走路程構成以為公比的等比數(shù)列，令該數(shù)列為，其前項和為，則有，解得，故該人第一天走的路程為192里.故選：D.7.某人壽保險公司規(guī)定，投保人沒活過歲時，保險公司要賠償100萬元.活過歲時，保險公司不賠償，但要給投保人一次性支付5萬元.已知購買此種保險的每個投保人能活過歲的概率都是，隨機抽取3個投保人，設其中活過歲的人數(shù)為，保險公司要賠償給這三個人的總金額為萬元.則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，因為個投保人中，活過歲的人數(shù)為，所以沒活過歲的人數(shù)為，因此，即，所以.故選：A8.對于定義域為的可導函數(shù)，若滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為對于上可導的函數(shù)，，所以有或，即當時，為不減函數(shù)，當時，為不增函數(shù)，所以，，所以.故選：C.二、多項選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，則（）A.在上是增函數(shù) B.在上是減函數(shù)C.在上是增函數(shù) D.在上是減函數(shù)〖答案〗BCD〖解析〗由圖可知當時，當時，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.故選：BCD10.設是變量和的個樣本點，由這些樣本點通過最小二乘法得到線性回歸直線方程，下列結論正確的是（）A.與正相關的充要條件是 B.直線過點C.與之間的相關系數(shù)為 D.當增大一個單位時，增大個單位〖答案〗ABD〖解析〗依題意與正相關的充要條件是，故A正確；根據(jù)回歸直線的性質可知直線必過點，故B正確；因為與之間的相關系數(shù)，而，故C錯誤；因為，所以當增大一個單位時，增大個單位，故D正確.故選：ABD11.已知數(shù)列滿足，則（）A.若，則數(shù)列為常數(shù)列B若，則對任意，有C.若，則對任意，有D.若，則對任意〖答案〗ABD〖解析〗對于A，若，則，，以此類推可知：，所以數(shù)列常數(shù)列，故A正確；對于B，若，，，以此類推可知：，，則，即，故B正確；對于C，由結合選項B得出，，所以，故C錯誤；對于D，若，；，假設，構造函數(shù)，易知在上單調遞增，所以，由以上歸納得出，故D正確.故選：ABD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量，且，則___________.〖答案〗〖解析〗因為且，所以，所以.故〖答案〗為：13.設函數(shù)，若函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是___________.〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以在上恒成立，當時，在上恒成立，故符合題意；當時，所以在上恒成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以，綜上，的取值范圍是.故〖答案〗為：14.某學校數(shù)學實踐小組為該校一塊長方形空地設計種樹方案，在坐標紙上設計如下:第棵樹種在點處，其中，當時，，[]表示不大于x的最大整數(shù)，按此設計方案，第3株樹種植點的坐標為___________;第2025棵樹種植點的坐標為____________.〖答案〗①②〖解析〗，，，，，，故，，，，，，累加得，，故，當時，，第3棵樹種植點的坐標應為；當時，，第2018棵樹種植點的坐標應為．故〖答案〗為：；四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調性.解：（1）當時，則，所以，因為，即切點為，所以切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域為，又，當時，恒成立，函數(shù)上單調遞增；當時，則當時，當時，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；綜上可得：當時在上單調遞增；當時在上單調遞增，在上單調遞減.16.已知數(shù)列的前項和.（1）求數(shù)列的通項公式，判斷這個數(shù)列是否是等差數(shù)列，并說明理由;（2）記數(shù)列的前項和為，若，求.解：（1）當時，，當時，有，又因為，所以當時，也成立，因此數(shù)列的通項公式為，數(shù)列是等差數(shù)列，理由如下：因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，解得且，當時，，可得；所以，又因，所以，當時，，可得，令，解得或（舍去），所以.17.現(xiàn)從某學校高三年級男生中隨機抽取50名男生測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生的身高全部介于到之間，將測量結果按如下方式分成6組:第1組，第2組，第6組[180，184].如圖，這是按上述分組方法得到的頻率分布直方