中點、角平分線常用模型-答案版

幾何微專題(基礎(chǔ)篇)目錄TOC\o"1-4"\h\z\u幾何微專題(基礎(chǔ)篇) 1微專題1中點的常用輔助線 2類型一構(gòu)造中位線 2情形1：定義構(gòu)造法 2情形2：搭橋構(gòu)造法 2情形3：逆向構(gòu)造法 3類型二構(gòu)造等腰三角形 3情形：中垂線構(gòu)造等腰三角形 3類型三構(gòu)造中線 4情形1：連底邊中線 4情形2：連斜邊中線 4類型四構(gòu)造倍長中線(類中線) 5情形1：倍長中線構(gòu)造“8”字全等 5情形2：倍長類中線構(gòu)造“8”字全等 5基礎(chǔ)鞏固 5綜合提升 6微專題2角平分線的常用輔助線 13類型一根據(jù)角平分線的對稱性構(gòu)造輔助線 13情形1：向角兩邊作垂線 13情形2：延長內(nèi)垂線構(gòu)等腰 13情形3：截取構(gòu)全等 13類型二、作平行線構(gòu)等腰 14情形1：內(nèi)部作邊的平行線 14情形2：外部作角平分線的平行線 14基礎(chǔ)鞏固 15綜合提升 16微專題1中點的常用輔助線類型一構(gòu)造中位線情形1：定義構(gòu)造法已知三角形，連接兩邊中點構(gòu)造中位線(依據(jù)：1.三角形中位線定理；2.平行線等分線段定理推論)圖示：(1)或(2)1．(2023春?興寧區(qū)校級月考)如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，D是BC邊的中點，E在AB邊上，若∠DEB=30°，則DE長為________．第1題圖 第2題圖2．(2022?梧州模擬)如圖，在△ABC中，延長CA到點D，使AD=AC，點E是AB的中點，連接DE，并延長DE交BC于點F，已知BC=4，則BF=_______．43情形2：搭橋構(gòu)造法已知兩條獨立線段(不能圍成三角形)的中點，分別連接獨立線段的兩個端點，取其中點，三個中點兩兩相連

(依據(jù)：三角形中位線定理)圖示：3．(2023春?蜀山區(qū)科大附中期末)如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為點D、E．G為AD中點，H為BE中點．連接GH，則GH的值為(B)

A．1 B．1.5 C．2 D．34．(2019春?徐匯區(qū)校級期中)如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，若AC=4，BD=6．則EF的取值范圍是________．1<EF<5第3題圖 第4題圖 5．(2019春?瑤海區(qū)38中月考)如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，分別與BA，CD的延長線交于點M、N，證明：∠BME=∠CNE．

證明：連接BD，取BD的中點H，連接HE，HF，∵E、F分別是BC、AD的中點，∴FH∥BM，F(xiàn)H=12AB，EH∥CN，

EH=12CD，∴∠BME=∠HFE，∠CNE=∠HEF，∵情形3：逆向構(gòu)造法以某條端點在中點上的線段為中位線，逆向構(gòu)造出它所在的三角形

(依據(jù)：1.三角形中位線定理；2.平行線等分線段定理推論)圖示：或6．(2022?合肥一模)如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中點，AD⊥BD，AC=7，AB=4，則DE的值為(D)

A．1 B．2 C．12 D．32第6題圖 第7題圖 第8題圖7．(2023春?泰山區(qū)期末)矩形ABCD與CEFG，如圖放置，點B、C、E共線，點C、D、G共線，連接AF，取AF的中點H，連接GH，若BC=EF=4，CD=CE=2，則GH=_______．28．(2023?鄖陽區(qū)模擬)如圖所示，已知四邊形ABCD，R、P分別是DC、BC上的點，點E、F分別是AP、RP的中點，當(dāng)點P在邊BC上從點B向點C移動，且點R從點D向點C移動時，那么下列結(jié)論成立的是(A)

A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸減少

C．線段EF的長不變 D．△ABP和△CRP的面積和不變類型二構(gòu)造等腰三角形情形：中垂線構(gòu)造等腰三角形連接中垂線上的點到線段端點的線段構(gòu)造等腰(依據(jù)：線段中垂線上的點到線段兩端距離相等)圖示：9．(2021?張家界模擬)如圖在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，點D是AB的中點，過點D作DE垂直AB交BC的延長線于點E，則CE的長是_________．76第9題圖 第10題圖 第12題圖10．(2023秋?房山區(qū)期末)已知△ABC，∠C=90°，D是AB中點，過點D作DE⊥AB交BC于點E．若AC=4，CE=2，則BC=_________．2+2511．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，E是AC的中點，連接BE，F(xiàn)為BE的中點，連接DF，若BD=CE，DF=2，BE=10，則AC的長為_________．229類型三構(gòu)造中線情形1：連底邊中線連接等腰三角形底邊上的中點(依據(jù)：等腰三角形“三線合一”)圖示：12．(2021?銅仁市模擬)如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點M為BC中點，MN⊥AC于點N，則MN的長是_________125．情形2：連斜邊中線作直角三角形斜邊上的中線，(依據(jù)：直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半)圖示：13．(2022春?包河區(qū)期末)如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，E、F分別為對角線BD，AC的中點，

若BD=10，AC=8，則EF的長度為___________．3

第13題圖 第14題圖 第15題圖 第16題圖14．(2021?夾江縣模擬)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠B=60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E為AB邊的中點，連接DE交AC于F．若CD=1，則線段AF的長度為(D)

A．35 B．45 C．1 D．65類型四構(gòu)造倍長中線(類中線)情形1：倍長中線構(gòu)造“8”字全等圖示：或15．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，D是BC中點，∠CAD=∠CBE，則AE=_________3216．(2023秋?建鄴區(qū)校級期中)如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=a，EF=a，BF=b，則AC的長為(D)

A．a(chǎn)+b B．2b C．1.5b情形2：倍長類中線構(gòu)造“8”字全等倍長端點在中點上的線段構(gòu)造“8”字全等圖示：或15．在Rt△ABC中，∠A=90°，點D為BC的中點，點E，F(xiàn)分別為AB，AC上的點，且ED⊥FD，以線段BE，EF，F(xiàn)C為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，請判斷三角形的形狀？

解：連接AD，作BG∥FC，與FD延長線交于G，連接EG，∵BG∥FC，∴∠FCD=∠DBG，∠CFD=∠G，

在△DFC和△BDG中，∠DFC=∠G∠FCD=∠DBGBD=CD，∴△DFC≌△BDG，(AAS)∴FC=BG，DG=DF，∠DBG=∠ACB，

∵ED⊥FD，∴EF=EG，∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=∠ABC+∠ACB=90°，

∴△EBG為直角三角形，∴BE?EF基礎(chǔ)鞏固1．(2023秋?儋州期中)如圖，在△ABC中，D為AC中點，過點D作DE⊥AC交CB的延長線于點E，交AB于點F，若BF=3，F(xiàn)為DE中點，則AF的長為________．9

第1題圖 第2題圖 第3題圖 第4題圖 第5題圖 2．(2021?永嘉縣校級模擬)如圖，在△ABC中，AB=AC，D為CA延長線上一點，DE⊥BC于點E，交AB于點F.若AF=BF=6，BE=4，則DE的長為________．63．(2020秋?下城區(qū)期末)在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，CD=AE，且CE＜AC.若AD=6，AB=10，則CE的長為________．104．如圖，在矩形ABCD中，點E是CD的中點，點F是BC邊上的點，且∠AEF=90°，若AB=4，AD=5，則FC的長為________．45．(2021?天津)如圖，正方形ABCD的邊長為4，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在BC，CD的延長線上，且CE=2，DF=1，G為EF的中點，連接OE，交CD于點H，連接GH.則GH的長為________．1326．(2022秋?丹江口市期末)如圖，AD是△ABC的角平分線，E是BC的中點，EF∥AD，交AB于點F交CA延長線一點G．

(1)求證：△AFG是等腰三角形；

(2)求證：BF=AC+AF．

證明：(1)∵AD是△ABC的角平分線，∴∠1=∠2，∵EF∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠G，∴∠3=∠G，∴AG=AF，

∴△AFG是等腰三角形.

(2)延長GE至點H，使EH=GE，連結(jié)BH，在△BEH和△GEH中，EH=EG∠BEH=∠CEGBE=CE，∴△BEH≌△CEG(SAS)，∴CG=BH，∠G=∠H，∴∠3=∠G，∠3=∠4，

∴∠4=∠H，∴BF=BH，∴BF=CG=AC+AG=AC+AF．7．(2022春?旌陽區(qū)德陽二中期中)如圖，在△ABC中BC>AC，點D在BC上，

且DC=AC，∠ACB的平分線CF交AD于F，點E是AB的中點．求證：EF∥BC．

證明：∵DC=AC，∠ACB的平分線CF交AD于F，∴F為AD的中點，∵點E是AB的中點，∴EF為△ABD8．已知，如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角三角形(其中∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB，AC=AF)，求證：EF=2AD．

【解答】證明：延長AD到G，使DG=AD，連接BG，CG(如圖)∵BD=CD，AD=DG，∴四邊形ABGC為平行四邊形．∴CB=AC=AE，∠BAC+∠ABF=180°

又∵∠BAC+∠FAE=180°，∴∠DAE=∠ABG，在△AEF與△ABG中，AB=AC∠ABG=∠EAFBG=AF，

∴△AEF≌△ABG(SAS)，∴EF=AG=2AD．綜合提升1．已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，過D作DE∥AB交BC于E，求證：CT=BE．

過T作TF⊥AB于F，∵AT平分∠BAC，∠ACB=90°，∴CT=TF(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)，∵∠ACB=90°，CM⊥AB，∴∠ADM+∠DAM=90°，∠ATC+∠CAT=90°，∵AT平分∠BAC，∴∠DAM=∠CAT，∴∠ADM=∠ATC，∴∠CDT=∠CTD，∴CD=CT，又∵CT=TF(已證)，∴CD=TF，2．(2021?安徽)如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD，點E在邊BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交線段AE于點F，連接BF．

(1)求證：△ABF≌△EAD；

(2)如圖2．若AB=9，CD=5，∠ECF=∠AED，求BE的長；

(3)如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點M，求BEEC的值．

解：(1)如圖1，∵AE∥CD，∴∠AEB=∠BCD，∵∠ABC=∠BCD，∴∠ABC=∠AEB，∴AB=AE，

∵DE∥AB，∴∠DEC=∠ABC，∠AED=∠BAF，∵∠ABC=∠BCD，∴∠DEC=∠BCD，∴DE=DC，

∵CF∥AD，AE∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∴AF=CD，∴AF=DE，在△ABF和△EAD中，，∴△ABF≌△EAD(SAS)；

(2)方法①：∵CF∥AD，∴∠EAD=∠CFE，∵∠ECF=∠AED，∴△EAD∽△CFE，

∴，由(1)知：四邊形ADCF是平行四邊形，∴AD=CF，AF=CD，

∵AB=9，CD=5，∴AE=9，DE=5，∴EF=AE-AF=9-5=4，∴，∴CF2=4×9=36，即CF=6，∴CE=，∵∠ABC=∠BCD=∠AEB=∠DEC，∴△ABE∽△DEC，∴，即，∴BE=6；

方法②：由(1)知△ABF≌△EAD，∴∠ABF=∠EAD，∵∠EAD=∠CFE，∴∠ABF=∠CFE，

∵∠ABC=∠AEB，∠ABC=∠ABF+∠EBF，∠AEB=∠CFE+∠ECF，∴∠EBF=∠ECF，

∵∠BAE=∠AED=∠ECF，∴∠EBF=∠BAE，

∵∠BEF=∠AEB，∴△BEF∽△AEB，∴，即，∴BE=6；

(3)如圖3，延長BM、ED交于點G，∵△ABE，△DCE均為等腰三角形，且∠ABC=∠DCE，∴△ABE∽△DCE，∴，設(shè)DC=DE=a，CE=b，，則AB=AE=ax，AF=CD=a，BE=bx，

∴EF=AE-AF=ax-a=a(x-1)，∵AB∥DG，∴∠ABG=∠G；∵AD的中點M，∴AM=DM，

∵∠AMB=∠DMG，∴△AMB≌△DMG(AAS)，∴DG=AB=ax，∴EG=DG+DE=ax+a=a(x+1)，

∵AB∥DG(即AB∥EG)，∴△ABF∽△EGF，

∴，即，∴x2-2x-1=0，解得：x=1+或x=1-(舍去)，∴=x=1+．3．(2023?合肥新站區(qū)二模)問題背景：如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，在△AEF中，∠AEF=90°，∠EAF=12∠BAC，連接BF，M是BF中點，連接EM和DM，在△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，線段EM和DM之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

觀察發(fā)現(xiàn)：

(1)為了探究線段EM和DM之間的數(shù)量關(guān)系，可先將圖形位置特殊化，將△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)，使AE與AB重合，如圖2，易知EM和DM之間的數(shù)量關(guān)系為_________EM=DM；

操作證明：

(2)繼續(xù)將△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)，使AE與AD重合時，如圖3，(1)中線段EM和DM之間的數(shù)量關(guān)系仍然成立，請加以證明．

問題解決：

(3)根據(jù)上述探究的經(jīng)驗，我們回到一般情況，如圖1，在其他條件不變的情況下，上述的結(jié)論還成立嗎？請說明你的理由．

解：(1)∵AD⊥BC，∴∠BDF=90°，∵M為BF的中點，∴DM=12BF，

∵∠AEF=90°，∴∠BEF=180°-90°=90°，∵M為BF的中點，∴EM=12BF，∴EM=DM.故答案為：EM=DM.

(2)證明：延長FE交AB于點G，如圖所示：

∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，∵∠AEF=90°，∴∠AEG=180°-90°=90°，∴∠AEG=∠AEF，

∵AE=AE，∠GAE=∠FAE，∴△AEG≌△AEF(ASA)，∴EG=EF，AG=AF，∴AB-AG=AC-AF，即BG=CF，

∵M為BF的中點，E為GF的中點，∴EM=12BG，同理得：DM=12CF，∴EM=DM.

(3)成立；理由如下：延長FE到點N，使EN=EF，連接AN，BN，CF，如圖所示：

∵∠AEF=90°，∴∠AEN=180°-90°=90°，∴∠AEN=∠AEF，

∵AE=AE，EN=EF，∴△AEN≌△AEF，∴AN=AF，∠EAN=∠EAF，∴∠EAF=12∠NAF，

∵∠EAF=12∠BAC，∴∠NAF=∠BAC，∴∠NAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，即∠NAB=∠FAC，

∵AB=AC，AN=AF，∴△NAB≌△FAC(SAS)，∴BN=CF，∵M為BF的中點，E為NF的中點，∴EM=12BN，

根據(jù)解析(2)可知，D為BC的中點，4．(2024?湖北一模)問題背景：數(shù)學(xué)興趣小組活動時，王老師提出了如下問題：如圖(1)，在△ABC中，AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法，作△ACD關(guān)于點D中心對稱的圖形，其中點A的對應(yīng)點是點M．請你幫助小明完成畫圖和后面的解答．

嘗試運用：如圖(2)，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．試判斷線段AD與EF的關(guān)系，并加以證明．

遷移拓展：如圖(3)，AD是△ABC的中線，AEAB=AFAC=k.∠BAE=∠CAF=90°．直接用含k的代數(shù)式寫出△AEF與△ACD之間的面積關(guān)系．

【答案】問題背景：BC邊上的中線AD的取值范圍時1<AD<7；嘗試運用：AD=12EF，AD⊥EF【解答】解：問題背景：如圖(1)，延長AD到點M，作MD=AD，連接BM，則AM=2AD，

∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，

∵∠MDB=∠ADC，∴△MBD繞點D旋轉(zhuǎn)180°與△ACD完全重合，

∴△MBD是△ACD關(guān)于點D的中心對稱圖形，

∵△MBD≌△ACD，AB=8，AC=6，∴MB=AC=6，

∵AB-BM<AM<AB+BM，∴8-6<AM<8+6，∴2<2AD<14，∴1<AD<7，

∴BC邊上的中線AD的取值范圍時1<AD<7．

嘗試運用：AD=12EF，AD⊥EF，

證明：如圖(2)，延長DA交EF于點N，延長AD到點M，使MD=AD，連接BM，

∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，∵∠MDB=∠ADC，

∴△MBD≌△ACD(SAS)，∴BM=AC，∠MBD=∠C，∴BM∥AC，∴∠ABM+∠BAC=180°，

∵AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，∴BM=AF，∠EAF+∠BAC=360°-2×90°=180°，

∴∠ABM=∠EAF，∴△ABM≌△EAF(SAS)，∴AM=EF，∠BAM∠E，

∵AD=12AM，∠DNF=∠E+∠EAN=∠BAM+∠EAN=90°，∴AD=12EF，AD⊥EF．

遷移拓展：S△AEFS△ACD=2k2，理由：如圖(3)，延長AD到點M，使MD=AD，連接BM，

∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，∵∠MDB=∠ADC，∴△MBD≌△ACD(SAS)，

∴BM=AC，∠MBD=∠C，S△MBD=S△ACD，∴BM∥AC，∴∠ABM+∠BAC=180°，

∵∠BAE=∠CAF=90°，∴∠EAF+∠BAC=360°-2×90°=180°，∴∠EAF=∠ABM，

∵AEAB=AFAC=k，∴AEAB=AFBM=k5．(2022?泰安六中二模)已知△ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC為邊向外作等邊△ABD和等邊△BCE．

(1)連接AE、CD，如圖1，求證：AE=CD；

(2)若N為CD中點，連接AN，如圖2，求證：CE=2AN

(3)若AB⊥BC，延長AB交DE于M，如圖3

①求證M為DE的中點；

②若DB=2，則BM=_______(直接寫出結(jié)果)。

(1)∵△ABD和△BCE是等邊三角形，∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，

∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△DBC(SAS)，∴AE=CD；

(2)如圖2，延長AN使NF=AN，連接FC，∵點N是CD中點，∴DN=CN，

∵∠AND=∠FNC，∴△ADN≌△FCN(SAS)，∴CF=AD，∠NCF=∠ADN，

∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=∠ACD+∠ADN=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BAC=∠ACF，

∵△ABD是等邊三角形，∴AB=AD，∴AB=CF，∵AC=CA，∴△ABC≌△CFA(SAS)，∴BC=AF，

∵△BCE是等邊三角形，∴CE=BC=AF=2AN；

(3)如圖3，∵△ABD是等邊三角形，∴AB=AD=DB=2，∠BAD=60°，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°-∠BAC=30°，∴AC=2AB=22，

過點E作EH∥AD交AM的延長線于H，∴∠H=∠BAD=60°，

∵△BCE是等邊三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°，∵∠ABC=90°，∴∠EBH=90°-∠CBE=30°=∠ACB，

∴∠BEH=180°-∠EBH-∠H=90°=∠ABC，∴△ABC≌△HEB(ASA)，∴BH=AC=22，AB=EH，

∴AD=EH，∵∠AMD=∠HME，∴△ADM≌△HEM(AAS)，∴AM=HM，

∴BM=AM-AB=12AH-AB=12AB+BH-AB=6．已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO，連接AD，BC，點M、N、P分別為OA、OD、BC的中點．

(1)如圖1，若A，O，C三點在同一直線上，且∠ABO=60°，則△PMN的形狀是___________．此時ADBC=___________．

(2)如圖2，若A，O，C三點在同一直線上，且AOBO=23，證明△PMN∽△BAO，并計算ADBC的值；

(3)在圖2中，固定△AOB，將△COD繞點O旋轉(zhuǎn)，直接寫出PM的最大值．

【解答】(1)解：如圖1，∵∠ABO=∠DCO=60°，

∴△BAO和△COD都為等邊三角形，

∴∠COD=∠BOD=60°，

∴B、O、D三點共線，

∴∠BOC=∠AOD，而BOOA=COOD=1，∴△BOC≌△AOD，∴AD=BC，即ADBC=1，∵點M、N分別為OA、OD的中點，∴BM⊥OA，CN⊥OD，MN=12AD，∵點P為BC的中點，∴PM=12BC，PN=12BC，∴PM=PN=MN，∴△PMN為等邊三角形；故答案為等邊三角形，1；

(2)證明：如圖2，∵AOBO=23，∴OA=43，

∵∠ABO=∠DCO，

而BACO=BOCD=23，∴△BOA∽△COD，∴∠BOA=∠COD，BOOC=OAOD，∴OD=3×432=2，∵A，O，C三點在同一直線上，∴B7．(2022?畢節(jié)市)如圖1，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，AO=CO，∠BCA=∠CAD．

(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

(2)如圖2，E，F(xiàn)，G分別是BO，CO，AD的中點，連接EF，GE，GF，若BD=2AB，BC=15，AC=16，求△EFG的周長．

(1)證明：∵∠BCA=∠CAD，∴AD∥BC，在△AOD與△COB中，∠BCA=∠CADAO=CO∠AOD=∠COB，

∴△AOD≌△COB(ASA)，∴AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；

(2)解：連接DF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=15，AB=CD，AD∥BC，BD=2OD，OA=OC=12AC=8，

∵BD=2AB，∴AB=OD，∴DO=DC，∵點F是OC的中點，∴OF=12OC=4，DF⊥OC，∴AF=OA+OF=12，

在Rt△AFD中，DF=AD2-AF2=152-122=9，∴點G是AD的中點，∠AFD=90°，∴DG=FG=12AD=7.5，

∵點E，點F分別是OB，OC的中點，∴EF是△OBC的中位線，∴EF=12BC=7.5，EF∥BC，∴EF=DG，EF∥AD，∴四邊形

微專題2角平分線的常用輔助線類型一根據(jù)角平分線的對稱性構(gòu)造輔助線情形1：向角兩邊作垂線已知角平分線上的點向角的邊作垂線，構(gòu)造對稱型全等三角形(依據(jù)：角平分線性質(zhì)定理)圖示：1．(2022·北京·中考真題)如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，若AC=2，DE=1則S△ACD=____第1題圖 第2題圖 2．(2024?武威二模)如圖，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分線AP，BP相交于點P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列結(jié)論：(1)PE=PF；(2)點P在∠COD的平分線上；(3)∠APB=90°-∠O，其中正確的有(C)

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個情形2：延長內(nèi)垂線構(gòu)等腰已知角平分線的垂線，延長垂線與角的邊相交，構(gòu)造等腰三角形(依據(jù)：ASA全等或等角的余角相等)圖示：3．(2023秋?肥東縣期末)如圖，△ABC的面積為8cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為(B)

A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．第3題圖 第4題圖4．(2023秋?珠海校級期中)如圖，已知點D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD．若AC=9，BC=5，則BD=_________2．情形3：截取構(gòu)全等已知角平分線，在角的另一邊上截取相等線段，構(gòu)造對稱型全等三角形(依據(jù)：SAS全等)圖示：5．(2023?蘇州二模)如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=2，AB=5，AD=3，則AC的長為_________19．第5題圖 第6題圖 6．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過C作CE⊥AB于E，并且∠B+∠D=180°，若AB=9，EB=2，則AD=_________5．類型二、作平行線構(gòu)等腰情形1：內(nèi)部作邊的平行線在內(nèi)作另一邊的平行線，(“角平分”、“平行”、“等腰”知二求三模型)圖示：7．(2023秋?廬陽區(qū)期末)如圖，∠AOB=30°，OE平分∠AOB，EF∥OB，CE⊥OB于點C．若EC=6，則OF的長是(D)

A．6 B．9 C．63 D．12第7題圖 第8題圖 8．(2021秋?霸州市期末)如圖，△ABC中，AB=5，BC=6，CA=10，點D，E分別在BC，CA上，DE∥AB，F(xiàn)為DE中點，AF平分∠BAC，則BD的長為(B)

A．32 B．65 C．85 D．2情形2：外部作角平分線的平行線在外作角平分線的平行線，構(gòu)造等腰三角形。(“角平分”、“平行”、“等腰”知二求三模型)圖示：基礎(chǔ)鞏固1．(2021?安徽模擬)如圖，在△ABC中，AB=AD，E為BD中點，連接AE，∠BAD=∠CAE，若BD=32CD=6，則AB的長為(A)

A．62 B．37 C．3415 D

第1題圖 第2題圖 第3題圖 第4題圖2．(2023秋?越秀區(qū)校級期中)如圖，AB=BE，∠DBC=12∠ABE，BD⊥AC，下列結(jié)論正確的有(C)

①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD=180°；③AC=2BE+CE；④AC=2CD-CE．

A．1個 B．2個 3．(2023?河曲縣一模)如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，則∠CAP=(C)

A．40° B．45° C．50° D．60°4．如圖，已知∠A0B=30°，P是∠AOB平分線上一點，PD⊥OB垂足為D，且PD=4，求OD的長_________8+5．如圖所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為點E，求證：BD=2CE．

【解答】證明：如圖所示，延長BA，CE交于點F，∵∠ABD+∠ADB=90°，∠CDE+∠ACF=90°，∴∠ABD=∠ACF，又∵AB=AC，在Rt△ABD和Rt△ACF中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACF(ASA)，∴BD=CF，在Rt△FBE和Rt△CBE中，∵BD平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，在Rt△FBE和Rt△CBE中，，∴Rt△FBE≌Rt△CBE(ASA)，∴EF=EC，∴CF=2CE，∴BD=2CE.6．(2021秋?西峽縣期末)已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分線，BD=BE．求證：

(1)△CED是等腰三角形；

(2)BD+AD=BC．

證明：(1)如圖，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=12×(180°-100°)=40°，

∵BD是∠ABC的平分線，∴∠DBC=12∠ABC=20°，

∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE=12×(180°-20°)=80°，∴∠EDC=∠BED-∠C=80°-40°=40°，∴∠EDC=∠C，∴ED=EC，∴△CED是等腰三角形．

(2)如圖，在BE上截取BF=BA，連結(jié)DF，在△FBD和△ABD中，BF=BA∠FBD=∠ABDBD=BD，

∴△FBD≌△ABD(SAS)，∴FD=AD，∠BFD=∠A=100°，∴∠EFD=180°-∠BFD=80°，∴∠EFD=∠FED=80°7．如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F．

(1)猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系．

(2)如圖2，若AB≠AC，其他條件不變，在第(1)問中