第四十一天：《每日一練：數(shù)學(xué)難題集》-基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽

第四十一天：《每日一練：數(shù)學(xué)難題集》——基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽一、代數(shù)1.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，且\(a+b+c=12\)，求\(abc\)的值。2.若\(x^23x+2=0\)，求\(x^33x^2+2x\)的值。3.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，且\(a+b+c=27\)，求\(abc\)的值。4.若\(x^25x+6=0\)，求\(x^35x^2+6x\)的值。5.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，且\(a^2+b^2+c^2=36\)，求\(abc\)的值。二、幾何1.在直角三角形中，若直角邊分別為3和4，求斜邊的長(zhǎng)度。2.圓的半徑為5，求圓的面積。3.在等邊三角形中，若邊長(zhǎng)為6，求三角形的高。4.在矩形中，若長(zhǎng)為8，寬為5，求矩形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度。5.圓的半徑為7，求圓的周長(zhǎng)。三、數(shù)論1.求1到100之間所有奇數(shù)的和。2.求1到100之間所有偶數(shù)的和。3.求1到100之間所有質(zhì)數(shù)的和。4.求1到100之間所有合數(shù)的和。5.求1到100之間所有能被3整除的數(shù)的和。四、應(yīng)用題1.某商品原價(jià)為200元，打8折后的價(jià)格是多少？2.小明有50元，他要用這些錢(qián)買(mǎi)5個(gè)蘋(píng)果和3個(gè)香蕉，蘋(píng)果每個(gè)5元，香蕉每個(gè)3元，他能否買(mǎi)到？3.某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，如果每天生產(chǎn)100件，需要10天完成；如果每天生產(chǎn)120件，需要8天完成，這批產(chǎn)品共有多少件？4.小華有100元，他要用這些錢(qián)買(mǎi)3件衣服和2雙鞋，衣服每件50元，鞋每雙30元，他能否買(mǎi)到？5.某商店舉辦促銷(xiāo)活動(dòng)，滿(mǎn)200元減50元，小王要買(mǎi)3件商品，總價(jià)為680元，他需要支付多少錢(qián)？第四十一天：《每日一練：數(shù)學(xué)難題集》——基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽五、概率與統(tǒng)計(jì)1.拋擲一枚公平的硬幣3次，求恰好出現(xiàn)2次正面的概率。2.從一副52張的標(biāo)準(zhǔn)撲克牌中隨機(jī)抽取一張牌，求抽到紅桃的概率。3.一個(gè)袋子里有5個(gè)紅球和7個(gè)藍(lán)球，隨機(jī)取出一個(gè)球，求取出的是紅球的概率。4.一個(gè)班級(jí)有30名學(xué)生，其中有18名女生和12名男生，隨機(jī)選擇一名學(xué)生，求這名學(xué)生是男生的概率。5.擲兩個(gè)骰子，求兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率。六、函數(shù)與方程1.若函數(shù)\(f(x)=2x3\)，求\(f(5)\)的值。2.解方程\(3x^25x+2=0\)。3.若函數(shù)\(g(x)=x^2+4x+3\)，求\(g(1)\)的值。4.解方程組\(\begin{cases}2x+3y=8\\xy=1\end{cases}\)。5.若函數(shù)\(h(x)=\frac{1}{x^24}\)，求\(h(2)\)的值。七、數(shù)列與極限1.寫(xiě)出一個(gè)公差為3的等差數(shù)列的前5項(xiàng)。2.寫(xiě)出一個(gè)公比為2的等比數(shù)列的前5項(xiàng)。3.求數(shù)列\(zhòng)(1,2,4,8,16,\ldots\)的第10項(xiàng)。4.求數(shù)列\(zhòng)(1,3,9,27,81,\ldots\)的第n項(xiàng)。5.求數(shù)列\(zhòng)(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\ldots\)的第n項(xiàng)。八、組合與排列1.從5個(gè)不同的數(shù)字中取出3個(gè)數(shù)字，有多少種不同的組合方式？2.有4個(gè)不同的球放入3個(gè)不同的盒子中，有多少種不同的排列方式？3.從5個(gè)不同的字母中取出3個(gè)字母，組成一個(gè)三位字母的密碼，有多少種不同的可能性？4.有4個(gè)不同的學(xué)生參加3個(gè)不同的比賽，每個(gè)學(xué)生只能參加一個(gè)比賽，有多少種不同的參賽組合？5.從5個(gè)不同的物品中取出3個(gè)物品，要求至少有一個(gè)物品，有多少種不同的取法？九、不等式與不等式組1.解不等式\(2x5<3x+1\)。2.解不等式組\(\begin{cases}x+2y>4\\3xy<6\end{cases}\)。3.解不等式\(x^24x+3>0\)。4.解不等式組\(\begin{cases}2x+3y\leq12\\xy\geq1\end{cases}\)。5.解不等式\(x^2+4x+3<0\)。十、解析幾何1.已知點(diǎn)\(A(2,3)\)和直線(xiàn)\(y=2x+1\)，求點(diǎn)\(A\)到直線(xiàn)的距離。2.已知圓的方程\(x^2+y^2=25\)，求圓心到直線(xiàn)\(x+y=5\)的距離。3.已知直線(xiàn)\(y=\frac{1}{2}x+3\)和圓\(x^2+y^2=4\)，求直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)。4.已知橢圓的方程\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)。5.已知雙曲線(xiàn)的方程\(x^2y^2=1\)，求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程。第四十一天：《每日一練：數(shù)學(xué)難題集》——基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽十一、平面幾何1.在等腰三角形\(ABC\)中，若底邊\(BC=8\)，腰\(AB=AC=10\)，求頂角\(A\)的度數(shù)。2.一個(gè)圓的半徑增加了\(20\%\)，求新圓的面積與原圓面積的比值。3.在正方形\(ABCD\)中，若\(AB=6\)，求對(duì)角線(xiàn)\(AC\)的長(zhǎng)度。4.一個(gè)圓的直徑增加了\(30\%\)，求新圓的周長(zhǎng)與原圓周長(zhǎng)的比值。5.在等邊三角形\(EFG\)中，若\(EG=10\)，求高\(yùn)(EF\)的長(zhǎng)度。十二、立體幾何1.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為\(a\)，求其對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度。2.一個(gè)圓柱的底面半徑為\(r\)，高為\(h\)，求其體積。3.一個(gè)圓錐的底面半徑為\(r\)，高為\(h\)，求其體積。4.一個(gè)球體的半徑為\(r\)，求其表面積。5.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為\(l\)、\(w\)、\(h\)，求其體積。十三、三角學(xué)1.若\(\sinA=\frac{3}{5}\)，求\(\cosA\)的值。2.若\(\tanB=2\)，求\(\cosB\)的值。3.若\(\sinC=\frac{4}{5}\)，求\(\cosC\)的值。4.若\(\tanD=\frac{1}{3}\)，求\(\cosD\)的值。5.若\(\sinE=\frac{5}{13}\)，求\(\cosE\)的值。十四、復(fù)數(shù)1.若\(z=3+4i\)，求\(z\)的模。2.若\(w=23i\)，求\(w\)的共軛復(fù)數(shù)。3.若\(u=1+i\)，求\(u\)的幅角。4.若\(v=34i\)，求\(v\)的實(shí)部和虛部。5.若\(p=2i\)，求\(p\)的實(shí)部和虛部。十五、數(shù)學(xué)歸納法1.證明\(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)對(duì)所有正整數(shù)\(n\)成立。2.證明\(2^n>n^2\)對(duì)所有\(zhòng)(n\geq4\)成立。3.證明\(1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n1)=n!\)對(duì)所有正整數(shù)\(n\)成立。4.證明\(2^n+3^n+5^n\)是奇數(shù)對(duì)所有正整數(shù)\(n\)成立。5.證明\(n!>2^n\)對(duì)所有\(zhòng)(n\geq5\)成立。第四十一天：《每日一練：數(shù)學(xué)難題集》——基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽十六、微積分初步1.若函數(shù)\(f(x)=x^24x+3\)，求\(f'(x)\)。2.若函數(shù)\(g(x)=\frac{1}{x}\)，求\(g'(x)\)。3.若函數(shù)\(h(x)=\ln(x)\)，求\(h'(x)\)。4.若函數(shù)\(k(x)=e^x\)，求\(k'(x)\)。5.若函數(shù)\(m(x)=\sqrt{x}\)，求\(m'(x)\)。十七、線(xiàn)性方程組1.解線(xiàn)性方程組\(\begin{cases}2x+3y=8\\4xy=2\end{cases}\)。2.解線(xiàn)性方程組\(\begin{cases}x+2y+3z=6\\2x+yz=1\\xy+2z=4\end{cases}\)。3.解線(xiàn)性方程組\(\begin{cases}3x2y+4z=12\\2x+3y5z=8\\xy+2z=3\end{cases}\)。4.解線(xiàn)性方程組\(\begin{cases}4x+5y6z=10\\2x3y+4z=8\\x+2y3z=6\end{cases}\)。5.解線(xiàn)性方程組\(\begin{cases}x+y+z=7\\2xy+3z=11\\3x+2yz=9\end{cases}\)。十八、概率分布1.若隨機(jī)變量\(X\)服從二項(xiàng)分布\(B(5,0.4)\)，求\(P(X=3)\)。2.若隨機(jī)變量\(Y\)服從泊松分布\(P(3)\)，求\(P(Y=2)\)。3.若隨機(jī)變量\(Z\)服從正態(tài)分布\(N(50,9)\)，求\(P(Z>56)\)。4.若隨機(jī)變量\(W\)服從均勻分布\(U(1,5)\)，求\(P(W<3)\)。5.若隨機(jī)變量\(V\)服從指數(shù)分布\(Exp(\lambda)\)，求\(P(V>4)\)。十九、數(shù)學(xué)建模1.一輛汽車(chē)以60公里/小時(shí)的速度行駛，剎車(chē)后每秒減速2公里/小時(shí)，求汽車(chē)剎車(chē)到停止所需的時(shí)間。2.一個(gè)水桶容量為100升，每分鐘可以裝滿(mǎn)5升水，求裝滿(mǎn)水桶所需的時(shí)間。3.一家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率為95%，每天生產(chǎn)1000件，求每天不合格的產(chǎn)品數(shù)量。4.一個(gè)班級(jí)有40名學(xué)生，其中有25名男生和15名女生，求隨機(jī)抽取一名學(xué)生是女生的概率。5.一輛火車(chē)以80公里/小時(shí)的速度行駛，求火車(chē)行駛200公里所需的時(shí)間。第四十一天：《每日一練：數(shù)學(xué)難題集》——基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽二十、離散數(shù)學(xué)1.設(shè)集合\(A=\{1,2,3,4,5\}\)，求集合\(A\)的冪集的大小。2.設(shè)關(guān)系\(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\)在集合\(A=\{1,2,3,4\}\)上，求\(R\)的逆關(guān)系\(R^{1}\)。3.設(shè)圖\(G\)有6個(gè)頂點(diǎn)和8條邊，求\(G\)的度數(shù)序列。4.設(shè)關(guān)系\(S=\{(a,b),(b,c),(c,a)\}\)在集合\(A=\{a,b,c\}\)上，求\(S\)的等價(jià)類(lèi)。5.設(shè)圖\(H\)是一個(gè)無(wú)向圖，其中有4個(gè)頂點(diǎn)和6條邊，求\(H\)的連通分量的數(shù)量。二十一、線(xiàn)性規(guī)劃1.設(shè)目標(biāo)函數(shù)\(Z=2x+3y\)和約束條件\(x+y\leq4\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，求線(xiàn)性規(guī)劃的最優(yōu)解。2.設(shè)目標(biāo)函數(shù)\(Z=4x+5y\)和約束條件\(2x+3y\leq12\)，\(x+y\geq3\)，\(x\leq2\)，\(y\leq4\)，求線(xiàn)性規(guī)劃的最優(yōu)解。3.設(shè)目標(biāo)函數(shù)\(Z=3x+4y\)和約束條件\(x+2y\leq10\)，\(2x+y\leq8\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，求線(xiàn)性規(guī)劃的最優(yōu)解。4.設(shè)目標(biāo)函數(shù)\(Z=5x+2y\)和約束條件\(x+y\leq6\)，\(3x2y\leq9\)，\(x\geq1\)，\(y\geq2\)，求線(xiàn)性規(guī)劃的最優(yōu)解。5.設(shè)目標(biāo)函數(shù)\(Z=6x+7y\)和約束條件\(2x+3y\leq15\)，\(x+2y\geq5\)，\(x\leq3\)，\(y\leq4\)，求線(xiàn)性規(guī)劃的最優(yōu)解。二十二、數(shù)列極限1.計(jì)算數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的極限，其中\(zhòng)(a_n=\frac{n^2+1}{n^21}\)。2.計(jì)算數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的極限，其中\(zhòng)(b_n=\frac{n}{n^2+1}\)。3.計(jì)算數(shù)列\(zhòng)(\{c_n\}\)的極限，其中\(zhòng)(c_n=\frac{n^31}{n^2+n}\)。4.計(jì)算數(shù)列\(zhòng)(\{d_n\}\)的極限，其中\(zhòng)(d_n=\frac{n^2+2n}{n^33n}\)。5.計(jì)算數(shù)列\(zhòng)(\{e_n\}\)的極限，其中\(zhòng)(e_n=\frac{n^42n^2}{n^3+3n}\)。二十三、級(jí)數(shù)1.判斷級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)