2024～2025學(xué)年度八年級數(shù)學(xué)上冊第3課時(shí) 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等教學(xué)設(shè)計(jì)

第3課時(shí)用“ASA”或“AAS”判定三角形全等教學(xué)目標(biāo)課題12.2第3課時(shí)用“ASA”或“AAS”判定三角形全等授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.掌握基本事實(shí)：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，經(jīng)歷探索“ASA”的過程.2.證明定理：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納及動(dòng)手能力，發(fā)展學(xué)生幾何直觀感知能力與推理能力.3.能用尺規(guī)作圖：已知兩角及其夾邊作三角形，培養(yǎng)學(xué)生分析與作圖能力.教學(xué)重點(diǎn)探索“ASA”，用“ASA”證明“AAS”，運(yùn)用“ASA”“AAS”判定三角形全等，尺規(guī)作圖：已知兩角及其夾邊作三角形．教學(xué)難點(diǎn)“ASA”的探究過程.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)意圖在進(jìn)入新課的探究之前設(shè)置一個(gè)懸念，既是問題，也是探究的現(xiàn)實(shí)意義.【情境引入】如圖，小熊不慎將一塊三角形模具打碎為三塊，它是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來一樣的三角形模具？如果可以，帶哪塊去合適？你能說明其中的理由嗎？【教學(xué)建議】教師展示圖片并提出問題，使學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的建模過程，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲．此處不必告知結(jié)果，使學(xué)生帶著疑問在后面的探究中找尋答案.活動(dòng)二：動(dòng)手操作，探究新知設(shè)計(jì)意圖以“兩角一邊分別相等”能否保證兩個(gè)三角形全等切入主題，經(jīng)歷探索三角形全等的判定條件——“ASA”的過程，學(xué)會尺規(guī)作圖：已知兩角及其夾邊作三角形的方法，并運(yùn)用“ASA”解題.探究點(diǎn)1用“ASA”判定三角形全等我們在前面已經(jīng)知道用三個(gè)條件探索三角形全等共有四種情況——三邊分別相等、兩邊一角分別相等、兩角一邊分別相等、三角分別相等，而前兩種情況已經(jīng)在之前的兩個(gè)課時(shí)中分別探討了，這節(jié)課我們將探索后兩種情況.問題：“兩角一邊分別相等”有幾種可能性呢？請舉例.答：有兩種可能性，如圖所示.我們分情況進(jìn)行討論，先來看“兩角及其夾邊分別相等”的情況.探究先任意畫出一個(gè)△ABC.再畫一個(gè)△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B(即兩角和它們的夾邊分別相等)．把畫好的△A′B′C′剪下來，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？【教學(xué)建議】本節(jié)課繼續(xù)探討三個(gè)條件能否保證兩個(gè)三角形全等．先發(fā)現(xiàn)“兩角一邊分別相等”存在兩種可能性，再分兩個(gè)探究點(diǎn)分別探究．在第一個(gè)探究過程中對“角邊角”判定方法的處理與“邊邊邊”“邊角邊”判定方法類似，先通過作圖實(shí)驗(yàn)操作讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程，然后在讓學(xué)生總結(jié)探究出的規(guī)律后，直接以基本事實(shí)的方式給出“角邊角”判定方法．需要注意已知兩角及其夾邊作三角形也是課標(biāo)要求學(xué)生能夠作出的尺規(guī)作圖，其中蘊(yùn)含兩個(gè)基本作圖，可讓學(xué)生口述是哪兩個(gè).教學(xué)步驟師生活動(dòng)如圖給出了畫△A′B′C′的方法．你是這樣畫的嗎？探究的結(jié)果反映了什么規(guī)律？由探究可以得到以下基本事實(shí)，用它可以判定兩個(gè)三角形全等：也就是說，三角形的兩個(gè)角的大小和它們的夾邊的長度確定了，這個(gè)三角形的形狀、大小就確定了.例1(教材P40例3)如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求證AD＝AE.分析：證明△ACD≌△ABE，就可以得出AD＝AE.證明：在△ACD和△ABE中，∴△ACD≌△ABE(ASA)．∴AD＝AE.【對應(yīng)訓(xùn)練】1.請解答“活動(dòng)一”中的問題.解：能配一塊與原來一樣的三角形模具，帶③去合適，理由：由③可確定三角形的兩角及其夾邊，那么據(jù)此可確定唯一的三角形，這是“已知兩邊及其夾角作三角形”的實(shí)際模型，也是“ASA”的原理，所以帶③去合適.2.教材P41練習(xí)第2題.【教學(xué)建議】設(shè)置例1的目的是給學(xué)生應(yīng)用“角邊角”解決問題做出示范，與上節(jié)課活動(dòng)二中的例1類似，都是通過證明全等三角形的對應(yīng)邊相等來證明線段相等的．在用大括號列舉證全等的條件時(shí)備注公共角∠A，因?yàn)樗仁恰鰽CD的角，又是△ABE的角．這說明在證兩個(gè)三角形全等時(shí)，公共角和公共邊一樣可作為已知條件使用.設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生經(jīng)歷證明定理——“AAS”的過程，了解“ASA”與“AAS”的關(guān)系，并思考“AAA”無法判定兩個(gè)三角形全等的原因，最后對已學(xué)的三角形全等的判定方法做出總結(jié).探究點(diǎn)2用“AAS”判定三角形全等我們接著探究“兩角和其中一角的對邊分別相等”的情況，先看下面這道例題.例2(教材P40例4)如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.求證△ABC≌△DEF.分析：如果能證明∠C＝∠F，就可以利用“角邊角”證明△ABC和△DEF全等．由三角形內(nèi)角和定理可以證明∠C＝∠F.證明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝180°－∠A－∠B.同理∠F＝180°－∠D－∠E.又∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠E，,BC＝EF，,∠C＝∠F，))∴△ABC≌△DEF(ASA).【教學(xué)建議】與其他判定方法先由作圖實(shí)驗(yàn)探究，再由基本事實(shí)給出的方式不同，這里是用“角邊角”來證明“角角邊”的正確性，所以設(shè)置例2來得到“角角邊”這個(gè)判定方法．首先例2的題干提出了問題，問題得證即可知“AAS”的正確性，接著在分析中教學(xué)步驟師生活動(dòng)因此我們可以得到下面的結(jié)論：也就是說，三角形的兩個(gè)角的大小和其中一個(gè)角的對邊的長度確定了，這個(gè)三角形的形狀、大小就確定了.知識點(diǎn)睛“ASA”與“AAS”的區(qū)別與聯(lián)系：思考三角分別相等的兩個(gè)三角形全等嗎？解答上述問題后，把三角形全等的判定方法做一個(gè)小結(jié).答：不一定全等.如圖，DE∥BC，于是∠ADE=∠B，∠AED=∠C，又∠A=∠A，但顯然△ADE與△ABC大小不同，它們不全等.注意：為方便記憶，我們可將上述這種情形簡記為“AAA”.類似于“SSA”，“AAA”也不能作為判定三角形全等的依據(jù).歸納總結(jié)：【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P41練習(xí)第1題.定理證明.通過例2說明“AAS”是“ASA”的推論.這一系列的推導(dǎo)過程可使學(xué)生了解到“AAS”不是基本事實(shí)，而是定理.教師注意跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)這兩種判定方法之間的區(qū)別.至此，判定兩個(gè)三角形全等的“三個(gè)條件”中就剩下三角分別相等的條件了.【教學(xué)建議】這里用“思考”啟發(fā)學(xué)生自行探究.教師可引導(dǎo)學(xué)生作圖，不難發(fā)現(xiàn)這種情形舉出反例說明較容易.最后可讓學(xué)生代表對三角形全等的方法做一個(gè)總結(jié)，如有不全面的地方加以補(bǔ)充，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)及表達(dá)能力，體會數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性及完整性.教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)三：綜合訓(xùn)練，鞏固提升設(shè)計(jì)意圖將全等三角形的判定方法——“ASA”“AAS”與全等三角形的性質(zhì)綜合，強(qiáng)化學(xué)生對于新知的理解，鍛煉學(xué)生解題能力.例如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，CF∥AB，DF交AC于點(diǎn)E，DE＝EF.(1)求證：△ADE≌△CFE；(2)若AB＝8，CF＝6，求BD的長.(1)證明：∵CF∥AB，∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF，在△ADE和△CFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠ECF，,∠ADE＝∠F，,DE＝FE，))∴△ADE≌△CFE(AAS).(2)解：由(1)可知△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝6.∵AB＝8，∴BD＝AB－AD＝8－6＝2，即BD的長是2.【對應(yīng)訓(xùn)練】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點(diǎn)，連接BE，CF，且BE∥CF.(1)求證：△BDE≌△CDF；(2)若AE＝13，AF＝7，試求DE的長.(1)證明：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD.∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF.在△BDE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DBE＝∠DCF，,BD＝CD，,∠BDE＝∠CDF，))∴△BDE≌△CDF(ASA).(2)解：∵AE＝13，AF＝7，∴EF＝AE－AF＝13－7＝6.∵△BDE≌△CDF，∴DE＝DF.∵DE＋DF＝EF＝6，∴DE＝3.【教學(xué)建議】在選用“ASA”或“AAS”判定三角形全等時(shí)，注意要將判定方法描述正確，不要混淆．我們可以這樣區(qū)分：“ASA”必須是兩角及其夾邊，先確定是不是這種情況，否則就是“AAS”．而在找尋等角時(shí)，通常依靠以下辦法：①對頂角；②公共角；③等角加(減)等角；④同(等)角的余(補(bǔ))角；⑤角平分線；⑥垂線或平行線；⑦全等三角形的性質(zhì)；⑧等量代換.活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1.什么是“ASA”？什么是“AAS”？你能用“ASA”或“AAS”判定兩個(gè)三角形全等嗎？2.“AAA”一定能判定兩個(gè)三角形全等嗎？你能舉例說明嗎？3.判定兩個(gè)三角形全等的方法有哪些？能做一個(gè)總結(jié)嗎？4.你能用尺規(guī)作圖的方法已知兩角及其夾邊作三角形嗎？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P44～45習(xí)題12.2第4，5，6，11，12題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)第3課時(shí)用“ASA”“AAS”判定三角形全等1.基本事實(shí)：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(“角邊角”或“ASA”). 2.定理：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個(gè)三角形全等(“角角邊”或“AAS”). 3.尺規(guī)作圖：已知兩角及其夾邊作三角形. 4.實(shí)際應(yīng)用：用“ASA”“AAS”判定三角形全等. 教學(xué)步驟師生活動(dòng)教學(xué)反思本節(jié)課探究三角形全等的判定方法——“ASA”“AAS”，教學(xué)的展開借助于動(dòng)手操作、分組討論等，先引導(dǎo)學(xué)生從動(dòng)手操作出發(fā)探索出“ASA”，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的方法，再借助例題利用“ASA”去證明“AAS”，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理里的邏輯思維能力．初學(xué)時(shí)學(xué)生對于“AAS”和“ASA”的選擇可能會混淆，需要講清楚分辨方法，并通過練習(xí)加強(qiáng)鞏固和理解.解題大招全等三角形的開放性問題開放性問題分為條件開放型與結(jié)論開放型，若是條件開放，一般從已知條件(包括隱含條件)入手，分析解決問題還缺少的條件，這個(gè)條件即為要補(bǔ)充的條件；若是結(jié)論開放，一般根據(jù)已知條件可以得到多種結(jié)論，可發(fā)揮想象，符合題目限制要求的答案均可．開放性問題有利于發(fā)散學(xué)生思維及提高創(chuàng)新能力．下面是證明全等三角形的一些常見思路總結(jié)，可作為解題時(shí)的一些參考.1.條件開放型例1如圖，在△ABE和△DCE中，∠A＝∠C，AE＝CD，請?zhí)砑右粋€(gè)條件：AB＝CE或∠AEB＝∠CDE或∠ABE＝∠CED，使△EAB≌△DCE.(添加一種情況即可)解析：在△ABE和△DCE中，已知∠A＝∠C，AE＝CD，若根據(jù)“SAS”，可添加AB＝CE；若根據(jù)“ASA”，可添加∠AEB＝∠CDE；若根據(jù)“AAS”，可添加∠ABE＝∠CED.2．結(jié)論開放型例2如圖，已知點(diǎn)A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)從圖中任找兩組全等三角形；(2)從(1)中任選一組進(jìn)行證明．解：(1)△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB(答案不唯一)．(2)選△ABE≌△CDF，證明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠CDF，,∠BAE＝∠DCF，,AE＝CF，))∴△ABE≌△CDF(AAS)．培優(yōu)點(diǎn)全等三角形中的“一線三等角”模型(1)模型特征：在一條直線上有三個(gè)相等的角．模型展示如下：(2)解題思路：通過三角形外角的性質(zhì)，得到兩個(gè)三角形中的對應(yīng)角相等，從而證明全等．例1如圖，點(diǎn)B，C在∠MAN的邊AM，AN上，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC.求證：△ABE≌△CAF.證明：∵∠BED＝∠CFD＝∠BAC，∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠BAC＝∠BAE＋∠CAF，∠CFD＝∠ACF＋∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠ACF.在△ABE和△CAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠CAF，,AB＝CA，,∠BAE＝∠ACF，))∴△ABE≌△CAF(ASA)．例2如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D.(1)求證：△ADC≌△CEB；(2)AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的長．(1)證明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴易得∠BCE＝∠CAD.在△ADC和△CEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠CEB＝90°，,∠CAD＝∠BCE，,AC＝CB，))∴△ADC≌△CEB(AAS)．(2)解：由(1)知△ADC≌△CEB，則AD＝CE＝5cm，CD＝BE.∴BE＝CD＝CE－DE＝5－3＝2(cm)．例3“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，“一線三等角”指的是圖形中出現(xiàn)同一條直線上有3個(gè)相等的角的情況．在學(xué)習(xí)過程中，我們發(fā)現(xiàn)“一線三等角”模型的出現(xiàn)還經(jīng)常會伴隨著出現(xiàn)全等三角形．請你根據(jù)對材料的理解解答以下問題：(1)如圖①，∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝BC，猜想DE，AD，BE之間的關(guān)系并說明理由．(2)如圖②，將(1)中條件改為∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝α(90°＜α＜180°)，AC＝BC，請問(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．(3)如圖③，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，DE＝DF，∠A＝∠EDF＝∠B，AE＝3，BF＝5，請直接寫出AB的長．分析：(1)猜想：DE＝AD＋BE，證明△ADC≌△CEB(AAS)，推出AD＝CE，CD＝BE，可得結(jié)論；(2)結(jié)論成立．證明△