4.2 利用導數求單調性（精練）（教師版）

4.2利用導數求單調性（精練）1．（2023春·江西鷹潭）函數的單調遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數的定義域為.，則.令，解得.故選：D2．（2023·江西鷹潭）函數的單調遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，由，即，解得，所以函數的單調遞增區(qū)間為，故選：D3．（2023春·四川樂山）函數的單調遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．，【答案】A【解析】，當時，單調遞增，當時，單調遞減；的減區(qū)間是；故選：A.4．（2023春·吉林長春）若函數在區(qū)間上是增函數，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，則由函數在區(qū)間上是增函數，可得在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又由，可得，則故選：D5．（2023·全國·高三專題練習）若函數在上為增函數，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】題意得對恒成立，即對恒成立．因為y＝ax＋a＋1的圖象為直線，所以，解得．故選：B.6．（2023春·山東聊城）已知函數，則單調遞增的一個充分不必要條件可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由且，令，要使單調遞增，即恒成立，當時滿足題設；當，可得，則，滿足題設；綜上，使單調遞增，則，A為充要條件，B為充分不必要條件，C、D既不充分也不必要條件.故選：B7．（2023·全國·高三專題練習）設，，，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，則，，，由可得且，由可得；所以在上單調遞減，因為，所以，所以，故選：C.8．（2023春·河南）（多選）函數的圖象如圖所示，則以下結論正確的有（

）

A． B．C． D．【答案】BC【解析】由的圖象可知在和上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值，在處取得極小值，又，所以和為方程的兩根且；所以，，所以，，，，故A錯誤，B正確；所以，，故C正確，D錯誤.故選：BC9．（2023春·安徽安慶）（多選）如圖是函數的導函數的圖象，，則下列判斷正確的是（

）A．單調遞增區(qū)間為 B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，由題圖知當時，，所以在區(qū)間上，單調遞增，故正確；對于B，當時，單調遞減，在上，單調遞增；當時，單調遞減，所以，故B正確；對于C，不一定是函數的最大值，最大值可能由區(qū)間的端點產生，所以錯誤；對于D，當時，，單調遞減，所以，故D正確；故選：ABD.10．（2023·全國·高三對口高考）設函數，則函數的單調增區(qū)間為__________．【答案】和【解析】，令，得或，解得或，所以函數的單調增區(qū)間為和，故答案為：和．11．（2023春·河南洛陽）函數的單調遞增區(qū)間為__________．【答案】/【解析】由得：．所以單調遞增區(qū)間為故答案為：12．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┤艉瘮翟趨^(qū)間上不單調，則實數的取值范圍為________．【答案】【解析】由可知，其定義域為，則，易知當時，；當時，；即函數在單調遞減，在上單調遞增；若函數在區(qū)間上不單調，則需滿足，解得；所以實數的取值范圍為.故答案為：13．（2023·全國·高三對口高考）函數在區(qū)間內單調遞減，且在區(qū)間及內單調遞增，則實數p的取值集合是__________．【答案】【解析】因為函數在內單調遞減，在及內單調遞增，因此分別是函數的極大值、極小值點，而，于是，且，解得，此時，當時，，當或時，，因此函數在內單調遞減，在及內單調遞增，符合題意，所以實數p的取值集合是.故答案為：14．（2023·甘肅）若函數存在增區(qū)間，則實數的取值范圍為_____________.【答案】【解析】，定義域為，，由題意可知，存在使得，即.當時，，所以，，因此，實數的取值范圍是.故答案為：.15．（2023春·廣東廣州）已知函數在上單調遞減，則的取值范圍是______．【答案】【解析】函數，求導得，依題意，，，即恒成立，顯然函數是開口向上的二次函數，因此，解得，所以的取值范圍是.故答案為：16．（2023春·河南洛陽）已知函數，若在定義域上單調遞增，則實數的取值范圍是________．【答案】【解析】依題意，當時，恒成立，即恒成立，所以，在上恒成立，構造函數，則，由得，由得所以函數在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以，函數在處取得極小值也即是最小值，故，所以，，即實數的取值范圍是故答案為：.17．（2023春·河南洛陽）已知函數，若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是____________.【答案】【解析】，因為在上單調遞減，故，有恒成立，故對恒成立，所以對恒成立，故對恒成立，令，而在上為減函數，故在上最大值為，故.故答案為：.18．（2023春·安徽六安）若函數在上是減函數，則的最大值是__________．【答案】3【【解析】函數，求導得，依題意，，恒成立，即，恒有成立，而當時，，因此，當時，，對，，即函數在上是減函數，所以的最大值是3.故答案為：319．（2023·全國·統考高考真題）設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】由函數的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結合題意可得實數的取值范圍是.故答案為：.20．（2023春·高二單元測試）設函數在區(qū)間上是減函數，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】因，，若，，當時，，符合題意，當時，得，因，故，由題意在上恒成立，設，則在上單調遞減，故故，，綜上，故答案為：21．（2023廣東）若函數在區(qū)間上為減函數，在區(qū)間上為增函數，則實數的取值范圍是__________．【答案】【解析】因為，所以，令得或，因為在區(qū)間上為減函數，在區(qū)間上為增函數，所以，即，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；所以，解得，故，所以實數的取值范圍為.故答案為：.22．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上單調遞增.則的取值范圍為__________.【答案】【解析】由題得.由題可知在上恒成立，即，即在上恒成立，因為，所以，解得.故答案為：23．（2023春·上海楊浦）函數的導函數的圖像如圖所示，以下結論正確的序號是______．

（1）是函數的極值點；（2）是函數的極小值點（3）在區(qū)間上嚴格增；（4）在處切線的斜率大于零；【答案】（1）（3）（4）；【解析】由圖象可得時，，且時，時，即是函數的極小值點，（1）正確；而時，，但與時，，∴不是函數的極值點，（2）不正確；由圖象可知上，∴在區(qū)間上嚴格增，（3）正確；處，所以該處切線的斜率大于零，（4）正確；故答案為：（1）（3）（4）；24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在定義域內可導，其圖象如下圖，記的導函數為，則不等式的解集為______________.【答案】【解析】由函數圖象可得，在定義域內函數的單調遞減區(qū)間為，故不等式的解集為：，故答案為：25．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為______【答案】【解析】由題可知在上恒成立，則，即在上恒成立，令，則在上恒成立，故在上單調遞增，則，故，，即m的取值范圍為.故答案為：26．（2023北京）函數的圖象如圖所示，為函數的導函數，則不等式的解集為______________．

【答案】【解析】由圖可知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.所以，當時，；當時，；當時，；當時，.當時，由可得，此時；當時，由可得，此時.綜上所述，解集為.故答案為：.1．（2023春·山東淄博·高二山東省淄博實驗中學校聯考期中）若函數在上是增函數，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵遞增，∴恒成立，令，即恒成立，因為，，當時，，而在上為增函數，故存在，使得，當時，，遞減，當時，，遞增，所以，即，，即故選：C2．（2023湖北省）已知函數，設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函數，可得函數為偶函數且在上為增函數，設，則，所以是上的增函數，所以，即，所以，左右兩邊同時乘以，可得，，即；設，可得，當時，，單調遞增，所以，即，所以，即，即，即，綜上可得，.故選:D.3．（2023·全國·模擬預測）已知，其導函數的圖像如圖所示，則在內的極值點個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】因為，所以，由圖象知：，則，，所以，又，則，即，因為，所以，所以，則，所以，則，令，即，因為，所以，所以，解得，所以當時，，當時，，所以當時，取得極大值，所以在內的極值點個數為1，故選：B4．（2023春·山東聊城）已知偶函數滿足對恒成立，下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為為偶函數，則，令，則，所以為偶函數，又，則當時，所以在上單調遞增，則，所以，即，故A正確；，即，則，即，故B錯誤；，即，則，即，故C錯誤；，即，則，即，故D錯誤；故選：A5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在內單調遞增，則實數的取值范圍為______【答案】【解析】因為，所以，，因為函數在內單調遞增，則在內恒成立，即，解得．令，，則，故在內單調遞增，則，故，即實數的取值范圍為.故答案為：.6．（2023·重慶·統考模擬預測）已知函數，討論函數的單調性；【答案】答案見解析；【解析】函數的定義域為，求導得，①當，即時，恒成立，此時在上單調遞減；②當，即時，由解得，，由解得，，由解得或，此時在上單調遞增，在和上單調遞減；③當，即時，由解得或(舍)，由解得，由解得，此時在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，函數在上單調遞減；當時，函數在上單調遞增，在和上單調遞減；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.7．（2023·全國·統考高考真題）已知函數．討論的單調性；【答案】答案見解析【解析】因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.8．（2023·上海徐匯·上海市南洋模范中學校考模擬預測）已知函數，其中．(1)若函數定義域內的任意x使恒成立，求實數a的取值范圍；(2)討論函數的單調性．【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）因為，顯然，則，因為恒成立，則，對恒成立，當時，，則恒成立，故；當時，，則恒成立，故；綜上，．（2）由（1）知，，①當時，，當時，，則，單調遞減，當時，，則單調遞增，即當時，在上單調遞減，上單調遞增；②當時，當時，由（1）知在單調遞增；當時，當時，；當時，；當時，；故當和時，；當時，；因此在上單調遞增，在上單調遞減；當時，當時，；當時，；當時，；故當和時，；當時，；因此在上單調遞增，在上單調遞減；綜上：當時，在上單調遞減，上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.9．（2023·河南開封·?？寄M預測）已知函數，討論的單調性；【答案】答案見解析【解析】函數定義域為，，令，則，當，即時，，所以在定義域上單調遞增；當，即時恒成立，所以在定義域上單調遞增，令，則，即，當，即時解得，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，當，即，此時恒成立，所以在上單調遞增，當，即時恒成立，所以在定義域上單調遞減，令，則，即，解得，所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，綜上可得：當時在上單調遞增；當時在上單調遞增，在上單調遞減；當時在上單調遞增；當時在上單調遞減，在上單調遞增.10．（2023·全國·高三對口高考）求下列函數的單調區(qū)間(1)；(2)．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【解析】（1）函數的定義域為，求導得，當時，恒成立，函數在(0,上單調遞減；當時，令，有，，當，即有時，，恒成立，即在上恒成立，在上單調遞增；當，即有時，令，解得，由，即，得或，由，即，得，因此函數在，上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，的遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間；當時，函數的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；當時,的遞增區(qū)間是，無遞誡區(qū)間.（2）函數的定義域為，求導得，當時，恒有成立，當時，，當時，，于是函數在上單調遞減，在上單調遞增；當時，，由，得或，若，即時，恒成立，當時，，當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，有，恒成立，函數在上單調遞減；當時，有，當或時，，當時，，因此函數在，上單調遞減，在上單調遞增；當時，有，當或時，，當時，，因此函數在，上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，函數的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；當時，函數的遞減區(qū)間是，，遞增區(qū)間是；當時，函數的遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間；當時，函數的遞減區(qū)間是，，遞增區(qū)間是；當時，函數的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.11．（2023·全國·高三對口高考）已知函數，求函數的單調區(qū)間．【答案】答案見解析.【解析】函數的定義域為，求導得，當時，，由，得，由，得，因此函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，由，得或，當或時，，當時，，因此在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，恒成立，當且僅當時取等號，因此在上單調遞增；當時，當或時，，當時，，因此在，上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；當時，的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；當時，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為.12．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學?？寄M預測）已知函數．(1)討論函數的單調性；(2)當時，，求實數a的取值范圍；【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）依題意，，；當時，，函數在上單調遞增；當時，令，解得，故當時，；當時，，故函數在上單調遞增，在上單調遞減；綜上所述，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；（2）依題意，，由（1）知，當時，函數在上單調遞增；符合題意，時，當，即時，函數f（x）在上單調遞增，在上單調遞減，，解得，所以，當，即時，函數f（x）在[0，2]上單調遞增，成立，綜上，實數a的取值范圍是.13．（2023·江蘇·統考模擬預測）已知函數.討論函數的單調性；【答案】答案見解析【解析】易知，又因為，令，，①當，即時，恒成立，所以，此時，在區(qū)間上是增函數；②當，得到或，又，其對稱軸為，且，所以，當時，，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，此時在區(qū)間上是增函數；當時，，且，由，得到或，時，，時，即時，，時，此時，在上是減函數，在上是增函數.綜上所述，當時，在上是增函數；當時，在上是減函數，在上是增函數.14．（2023·廣東廣州·統考模擬預測）設函數，其中.(1)討論的單調性；(2)若存在兩個極值點，設極大值點為為的零點，求證：.【答案】答案見解析【解析】由①時，由，令，解得，所以時，時，，則在單調遞增，在單調遞減；②時，由，（i）時，因為，則在單調遞增，（ii）時，，解得或，所以時，時，，則在，上單調遞增，在單調遞減；（iii）時，由，所以時，時，，則在，上單調遞增，在單調遞減；綜上：時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；時，的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；時，的單調遞增區(qū)間為；時，的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；15．（2023·北京·統考模擬預測）已知函數.(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)設，討論函數的單調性；(3)若對任意的，當時，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見解析(3)【解析】（1），，，當時，，切點坐標為，又，切線斜率為，曲線在處切線方程為：.（2），，，，，，①當時，成立，的單調遞減區(qū)間為，無單調遞增區(qū)間.②當時，令，所以當時，，在上單調遞減時，，在上單調遞增綜上:時，的單調遞減區(qū)間為，無單調遞增區(qū)間；時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（3），，，令，，由已知可得：且，的單調區(qū)間是，，時，恒成立，，，令，，即證，，成立，的單調遞減區(qū)間為，，恒成立，綜上：的取值范圍是.16．（2023·山東聊城·統考三模）已知函數．討論的單調性；【答案】答案見解析【解析】（1），