專題9.2 橢圓方程與性質(zhì)(解析版)

9.2橢圓方程與性質(zhì)思維導(dǎo)圖知識點總結(jié)內(nèi)容提要1.橢圓定義：設(shè)F1，F(xiàn)2是平面上的兩個定點，若平面內(nèi)的點P滿足PF2.橢圓的簡單幾何性質(zhì)：標準方程xy焦點坐標FF焦距F1F圖形范圍??對稱性關(guān)于x軸、y軸、原點對稱頂點坐標左、右頂點：A上、下頂點：B左、右頂點：B上、下頂點：A長軸長A1A2短軸長B1B2離心率e3.通徑：經(jīng)過橢圓焦點且垂直于長軸的弦叫做通徑(如圖中兩條藍色的線段)，其長度為2b典型例題分析考向一橢圓定義與應(yīng)用【例1】橢圓x29+y22=1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若PF答案：2解析：橢圓中給出PF1，可由定義求PF因為PF1+PF要求∠F1PF2，可先求F如圖，F(xiàn)1所以cos∠F1△PF1由橢圓的對稱性，O是PQ中點，而O也是F1F2從而QF1=【變式】已知橢圓C：x24+y23=答案：-2解析：如圖，A在橢圓外，不易直接分析PA?PF1的最小值，可考慮用橢圓定義將PF1換成PF2來看，由題意，PF1+PF2=4，所以PF1=4?PF[反思]涉及橢圓上的點到一個焦點的距離的最值問題，若不易直接求解，則可考慮用橢圓定義，轉(zhuǎn)化到另一個焦點去分析.考向二橢圓的標準方程【例2】以，為焦點，且經(jīng)過點的橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)焦點在x軸上，c=1，且過點，用排除法可得.也可待定系數(shù)法求解，或根據(jù)橢圓定義求2a可得.【詳解】因為焦點在x軸上，所以C不正確；又因為c=1，故排除D；將代入得，故A錯誤，所以選B.故選：B【變式】已知，B是圓C：上的任意一點，線段BF的垂直平分線交BC于點P.則動點P的軌跡方程為.【答案】【分析】結(jié)合線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等及橢圓定義得到正確答案．【詳解】解：圓，圓心為，半徑為4，因為線段的垂直平分線交于點，所以，所以．所以由橢圓定義知，的軌跡是以，為焦點的橢圓，方程為．故答案為：．考向三橢圓的離心率問題【例3】如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點，點在以為直徑的圓上（點異于A，兩點），線段與橢圓交于另一點，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓與圓的性質(zhì)計算即可.【詳解】設(shè)，易知，則，，又，所以.故選：C【變式1】若、為橢圓：的左、右焦點，焦距為4，點為上一點，若對任意的，均存在四個不同的點滿足，則的離心率的取值范圍為.【答案】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律和橢圓的性質(zhì)求解.【詳解】由題可得，，設(shè)為坐標原點，則,所以,即，因為，所以，若存在四個不同的點滿足，又，所以，即，所以，所以，所以，故答案為:.【變式2】已知橢圓：的上頂點為，兩個焦點為，，線段的垂直平分線過點，則橢圓的離心率為．【答案】/【分析】求出線段的中點坐標，根據(jù)兩直線垂直斜率關(guān)系可得，再結(jié)合可求得離心率.【詳解】

如圖，設(shè)的垂直平分線與交于點，由題，，，，則，，，，，化簡得，，由，解得，，即.故答案為：.考向四橢圓的焦點三角形問題【例4】設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓x29+y24=答案：2或7解析：焦點三角形問題優(yōu)先考慮結(jié)合橢圓的定義求解，先給出橢圓的a、b、c，由題意，a=3，b=2，c=a2?b2=5，設(shè)PF[反思]解析幾何小題中對直角的常見翻譯方法有：(1)勾股定理；(2)斜率之積為-1；(3)向量數(shù)量積等于0；(4)斜邊上的中線等于斜邊的一半等.選擇合適的方法前應(yīng)先預(yù)判計算量.【變式】已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b答案：5解析：橢圓C的離心率e=ca題干的向量關(guān)系式可化簡，先化簡，OF1?OP?接下來只需結(jié)合PF1=2PF2即可分析△[反思]橢圓焦點三角形已知(或可求得)三邊比值求離心率，用公式e=考向五橢圓有關(guān)的最值與范圍問題【例5】已知橢圓的離心率為，上頂點為A，左頂點為B，，分別是橢圓的左、右焦點，且的面積為，點P為橢圓上的任意一點，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)的面積和離心率得出a，b，c的值，從而得出的范圍，得到關(guān)于的函數(shù)，從而求出答案．【詳解】∵的面積為，∴，∴，由已知得，即，所以，所以，又，所以，由，解得，進而，∴，又，∴，∴.即的取值范圍為.故答案為：【變式1】已知橢圓：的長軸為雙曲線的實軸，且橢圓過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)點、是橢圓上異于點的兩個不同的點，直線與的斜率均存在，分別記為，，且，求證：直線恒過定點，并求出定點的坐標.【答案】(1)(2)證明見解析，定點為.【分析】（1）由題意得，再根據(jù)橢圓上的一點即可求標準方程；（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，利用韋達定理求出與的斜率，并結(jié)合，列方程可得參數(shù)之間的關(guān)系，進而可求定點.【詳解】（1）因為橢圓：的長軸為雙曲線的實軸，所以，所以橢圓：，又因為橢圓過點，所以，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）

①當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為由得所以，所以，因為，所以，所以即，化簡得所以即所以，或，當時，直線的方程為，直線恒過定點，不滿足題意；當時，直線的方程為直線恒過定點，滿足題意；所以直線恒過定點.②當直線的斜率不存在時，設(shè)其方程為，由得，所以，所以，解得（舍去）或，所以直線也過定點.綜上，直線恒過定點.【變式2】如圖，點是橢圓的短軸位于軸下方的端點，過作斜率為的直線交橢圓于點，若點的坐標為，且滿足軸，．(1)求橢圓的方程；(2)橢圓的左頂點為，左焦點為，點為橢圓上任意一點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知求得的坐標，得到直線方程，求出，的坐標，得到的坐標，由，求得，得到的坐標，把的坐標代入橢圓方程求得，則橢圓方程可求；（2）由橢圓方程得，，設(shè)，則，按坐標運