2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 23 課時質(zhì)量評價(二十三)

課時質(zhì)量評價(二十三)1．(2024·?？谀M)若tanα·tanβ＝2，則cosαA．－3 B．－1C．13 A解析：由題意，得cosα－βcosα+β＝cos2．在單位圓中，已知角α的終邊與單位圓交于點P12，32，現(xiàn)將角α的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)π3，記此時角αA．－32，C．(1，0) D．(0，1)B解析：由三角函數(shù)的定義知，sinα＝32，cosα＝12，將角α的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)π3所得的角為α＋π3，故點Q的橫坐標為cosα+π3＝cosαcosπ3－點Q的縱坐標為sinα+π3＝sinαcosπ3＋cosα·sinπ3＝33．(數(shù)學(xué)與文化)公元前六世紀，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時，發(fā)現(xiàn)了黃金分割約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為m＝2sin18?.若4m2＋n＝16，則mnA．1 B．2C．4 D．8C解析：因為m＝2sin18?，由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin18?)2＝16cos218?，所以mn2cos227?－4．已知α，β∈π3，5π6，若sinα+π6＝45，cosA．1665 B．C．5665 D．A解析：由題意可得α＋π6∈π2，π，β－所以cosα+π6＝－35，sinβ所以sin(α－β)＝－sinα+π6－β－5．(多選題)(2024·合肥模擬)下列計算結(jié)果正確的是()A．cos(－15?)＝6B．sin15?sin30?sin75?＝1C．cos(α－35?)cos(25?＋α)＋sin(α－35?)·sin(25?＋α)＝－1D．2sin18?cos36?＝1BD解析：對于A，cos(－15?)＝cos15?＝cos(45?－30?)＝cos45?cos30?＋sin45?sin30?＝6+對于B，sin15?sin30?sin75?＝sin15?sin30?cos15?＝12sin15?cos15?＝14sin30?＝對于C，cos(α－35?)cos(25?＋α)＋sin(α－35?)·sin(25?＋α)＝cos[(α－35?)－(25?＋α)]＝cos(－60?)＝cos60?＝12對于D，2sin18?cos36?＝2cos72?cos36?＝2×sin144?2sin6．sin12°218解析：因為sin12°2cos2127．(2024·威海模擬)已知α∈π，3π2，若tanα+π3＝－2，則cosα－1010解析：因為α∈π，3π2，則α＋π又tanα+π3＝－2<0，故α＋π3∈3π2，11π6，則cos故cosα+π12＝cosα+π3－π＝55×28．已知sinα＝210，cosβ＝31010，且α，β為銳角，則α＋2βπ4解析：因為sinα＝210，且α為銳角，所以cosα＝1－sin2因為cosβ＝31010，且β為銳角，所以sinβ＝1－cos2那么sin2β＝2sinβcosβ＝2×1010×31010＝35，cos2β＝1－2sin2β＝1－所以cos(α＋2β)＝cosα·cos2β－sinαsin2β＝7210×因為α∈0，π2，β∈0，π2，所以2β∈(0，π)，所以α＋2β∈0，9．已知2sinα＝2sin2α2(1)求sinαcosα＋cos2α的值；(2)已知α∈(0，π)，β∈0，π2，且tan2β－6tanβ＝1，求α解：(1)由已知得2sinα＝－cosα，所以tanα＝－12則sinαcosα＋cos2α＝sinαcosα+cos(2)由tan2β－6tanβ＝1，可得tan2β＝2tanβ1－則tan(α＋2β)＝tanα+tan2β因為β∈0，π2，所以2又tan2β＝－13＞－33，則2β∈因為α∈(0，π)，tanα＝－12＞－33，則α∈5π6，π，則α＋2β∈5π3，10．(數(shù)學(xué)與生活)所謂人臉識別，就是利用計算機檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法．假設(shè)二維空間中有兩個點A(x1，y1)，B(x2，y2)，O為坐標原點，余弦相似度為向量OA，OB夾角的余弦值，記作cos(A，B)，余弦距離為1－cos(A，B).已知P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，R(cosα，－sinα)，若P，Q的余弦距離為13，Q，R的余弦距離為12，則tanA．17 B．C．4 D．7A解析：由OP＝(cosα，sinα)，OQ＝(cosβ，sinβ)，OR＝(cosα，－sinα)，得cos(P，Q)＝OP·OQOPOQ＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(cos(Q，R)＝OQ·OROQOR＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(所以1－cos則cosα－βcosα+β＝cosαcos11．(2024·1月·九省適應(yīng)性測試)已知θ∈3π4，π，tan2θ＝－4tanθA．14 B．C．1 D．3A解析：由tan2θ＝－4tanθ+得2tanθ1－tan2θ＝－4tan即(2tanθ＋1)(tanθ＋2)＝0，解得tanθ＝－2或tanθ＝－12因為θ∈3π4，π，所以tanθ∈(－1，0)，所以tanθ＝故1+sin2θ2cos2θ+故選A．12．(多選題)(2024·武漢模擬)下列結(jié)論正確的是()A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)B．315sinx＋35cosx＝35sinxC．f(x)＝sinx2＋cosx2D．sin50?(1＋3tan10?)＝1CD解析：對于A，左邊＝－[cos(α－β)·cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A錯誤；對于B，315sinx＋35cosx＝6532sinx對于C，f(x)＝sinx2＋cosx2＝2sin所以f(x)的最大值為2，故C正確；對于D，由sin50?(1＋3tan10?)＝sin50?·1＝sin50?·cos10?+3sin1013．如圖，在平面直角坐標系Oxy中，頂點在坐標原點，以x軸的非負半軸為始邊的銳角α與鈍角β的終邊與單位圓O分別交于A，B兩點，x軸的非負半軸與單位圓O交于點M，已知S△OAM＝55，點B的橫坐標是－7(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解：(1)由題意知，OA＝OM＝1，則有S△OAM＝12OA·OM·sinα＝55，解得sinα又α為銳角，則cosα＝1－sin2因為鈍角β的終邊與單位圓O的交點B的橫坐標是－72則cosβ＝－7210，sinβ＝1－所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝55×－7(2)由(1)知sinα＝255，cosα＝55，sinβ＝210，cosβ則sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝255×－從而sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sinαcos(α－β)＋cosαsin(α－β)＝255×－因為α為銳角，sinα＝255>22，則有α∈π4，又β∈π2，π，因此2α－β∈－π2，π214．已知△ABC不是直角三角形，且在△ABC中，sinAsinBsin(C－θ)＝λsin2C，其中tanθ＝34(1)若tanC＝2，λ＝1，求1tan(2)是否存在λ，使得1tanA+解：(1)由tanθ＝340＜θ＜π2，可得sinθ＝由λ＝1，得sinAsinBsin(C－θ)＝sin2C，則sinAsinB·45sinC－由tanC＝2，可得s