九年級數(shù)學(xué)圓內(nèi)等積證明及變換培優(yōu)教程

九年級數(shù)學(xué)圓內(nèi)等積證明及變換培優(yōu)教程考點(diǎn)?方法?破譯理解掌握切割線定理和相交弦定理.并能用切割線定理和相交弦定理進(jìn)行推理論證；能運(yùn)用分析法和綜合法用三角形相似證明等積式.經(jīng)典?考題?賞析【例1】⑴如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C為圓心、CD為半徑的圓與⊙O相交于P、Q兩點(diǎn)，弦PQ交CD于E，則PE?EQ的值是（）⑴BC⑴BCDEPQO⑵OAABPM⑵如圖，AB為⊙O的直徑，P點(diǎn)在AB延長線上，PM切⊙O于M點(diǎn)，若OA＝a,PM＝a,那么△PMB的周長為.【解法指導(dǎo)】⑴延長DC交⊙C于F，由相交弦定理得PE?EQ＝DE?EF，∵CD⊥直徑AB于D，根據(jù)相交弦定理推論得CD?CD＝AD?BD＝9×4，∴CD＝6.延長CD交⊙O于M，由相交弦定理得PE?EQ＝CE?EM，∴DE?EF＝CE?EM，而CM＝DF＝12，設(shè)CE＝x,則x?（12－x）＝（6－x）(x＋6),解得x＝3.∴PE?EQ＝27.應(yīng)選D.⑵方法一：連接OM，則∠OMP＝90°.∵PM切⊙O于M，由切割線定理得PM2＝PB?PA，∵PM＝a，∴a?a＝PB（PB＋2a）,解得PB＝a,在Rt△OMP中，MB＝OP÷2＝a，則△PMB的周長為a＋2a.方法二：連接OM，則∠OMP＝90°，由勾股定理得PO2＝3a2＋a2,∴PO＝2a.后面的解法與方法一相同.【變式題組】ABDTPCOABCDEABCDEPO第1題圖第2題圖第2題圖1.如圖，PT切⊙O于點(diǎn)T，PA交ABDTPCOABCDEABCDEPO第1題圖第2題圖第2題圖2.如圖，已知A、B、C、D在同一圓上，BC＝CD，AC與BD交于E，若AC＝8，CD＝4，且線段BE、ED為正整數(shù)，則BD＝.【例2】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長線上，弦CD⊥AB于E，且PC2＝PE?PO.⑴求證：PC是⊙O的切線；⑵OE︰EA＝1︰2，且PA＝6，求⊙O的半徑；⑶求sin∠PCA的值.【解法指導(dǎo)】⑴證明：連接CD.∵PC2＝PE?PO，∴PC︰PE＝PO︰PC，且∠P公用，∴△PEC∽△PCO，∴∠PEC＝∠PCO，又∵CD⊥AB，∴∠PEC＝90°，∴∠PCO＝90°，∴PC⊥OC于C，∴PC是⊙O的切線.⑵設(shè)OE＝k,則EA＝2k,⊙O的半徑為3k,在Rt△PCO中，∵CE⊥PO于E，則射影定理得：OC2＝OE?OP，∴（3k）2＝k?（3k＋6）,∵k＞0，解得k＝1.∴⊙O的半徑為3.⑶連接BC，由弦切角定理得∠PCA＝∠ABC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.有Rt△ABC中，∵CE⊥AB，∴由射影定理得AC2＝AE?AB，∴AC2＝2×6，∴AC＝2，∴sin∠ABC＝＝＝，∴sin∠ABC＝.【變式題組】ABCOMNP如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C的直線與AB的延長線交于點(diǎn)P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB.⑴求證：PC是⊙O的切線；⑵求證：BC＝AB；⑶點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若ABABCOMNPBCOAMA1X【例3】如圖，已知銳角△ABC及其外接圓⊙O，AM是BC邊的中線，分別過點(diǎn)B，C作⊙O的切線，兩條切線相交于點(diǎn)X，連結(jié)AXBCOAMA1X【解法指導(dǎo)】證明：設(shè)AX與⊙O相交于點(diǎn)A1，連接OB，OC，OA1..又M為BC的中點(diǎn)，所以，連接OX，它過點(diǎn)M，因?yàn)镺B⊥BX，OX⊥BC，所以XB2＝XM?XO①.又由切割除線定理得XB2＝XA1?XA②.由①，②得＝，于是△XMA∽△XA1O，所以＝＝.又∠BOC＝2∠BAC，所以∠BOX＝∠BAC，于是＝＝cos∠BAC.【變式題組】BADCE4.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點(diǎn)A作半圓的切線AE，則BADCEA.B.C.D.【例4】已知線段AB的中點(diǎn)為C，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點(diǎn)D，使得BD＝AC；再以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑作圓，與⊙A分別相交于F，G兩點(diǎn)，連接FG交AB于點(diǎn)H，則的值為.ABCHDEFG【解法指導(dǎo)】解：如圖，延長AD與⊙D交于點(diǎn)E，連接AF，EF.由題設(shè)知AC＝AD，AB＝AE，在△FHA和△EFA中，∠EFA＝∠FHA＝90°，∠FHA＝∠EAF所以Rt△FHA∽Rt△EFA，＝，而AF＝AB，所以＝ABCHDEFG【變式題組】如圖，半徑不等的兩圓相交于A、B兩點(diǎn)，線段CD經(jīng)過點(diǎn)A，且分別交兩圓于C、D兩點(diǎn)，連接BC、BD，設(shè)P、Q、K分別是BC、BD、CD的中點(diǎn)，M、N分別是弧BC和弧BD的中點(diǎn)，求證：ABCDKPMNQ⑴＝ABCDKPMNQ【例5】如圖，P是平行四邊形ABCD的邊AB的延長線上一點(diǎn)，DP與AC、BC分別交于點(diǎn)E、F，EG是過B、F、P三點(diǎn)圓的切線，G為切點(diǎn)，求證：EG＝DE.ABPGCEFD【解法指導(dǎo)】EG、DG不能構(gòu)成三角形，無法通過邊角代換證明它們相等，而EG是圓的切線，是特征線段，即EC2＝EF?EP，能證明DE2＝EF?EP即可.由平行比例可得DE︰EF＝AE︰CE且AE︰CE＝EP︰DE，∴DE︰EF＝EP︰DE，∴EF?EP＝ABPGCEFD【變式題組】ABCDEFGOl如圖，給定銳角三角形ABC，BC＜CA，AD、BE是它的兩條高，過點(diǎn)C作△ABC的外接圓的切線索l,過點(diǎn)D、E分別作l的垂線，垂足分別為ABCDEFGOl演練鞏固、反饋提高1.圓內(nèi)接四條邊長順次為5、10、11、14，則這個(gè)四邊形面積為（）A、78.5B、97.5C、90、1022.了已知直角梯形ABCD的四條邊長分別為AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，過B、D兩點(diǎn)作圓，與BA的延長線交于點(diǎn)E，與CB的延長線交于點(diǎn)F，則BE－BF的值為.AABCDEGMNF第2題圖ABCD第3題圖3.圖中的三塊陰影部分由兩個(gè)半徑為1的圓及其外公切線分割而成，如果中間一塊陰影的面積等于上下兩塊面積之和，則這兩圓的公共弦長是.BACDEFHO4.如圖，已知：在⊙O中，直徑AB＝4，點(diǎn)E是OA上任意一點(diǎn)，過E作弦CD⊥AB，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，連接AF交CE于H，連接ACBACDEFHO⑴求證：△ACH∽△AFC；⑵猜想：AH、AF與AE、AB的數(shù)量關(guān)系，并說明你的猜想；⑶探究：當(dāng)點(diǎn)E位于何處時(shí)，S△AEC︰S△BOD＝1︰4？并加以說明.ABCPDEO5.如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，PEC是一條割線，D是AB與PC的交點(diǎn)，若ABCPDEOABCPDEO如圖，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，過點(diǎn)A作PB的平行線，交⊙O于點(diǎn)C，連接PC，交⊙O于點(diǎn)E；連接AE，并延長AE交PB于點(diǎn)K，求證：PE?ABCPDEO培優(yōu)升級奧賽檢測1.如圖，在平行四邊形ABCD中，過A、B、C三點(diǎn)的圓交AD于點(diǎn)E，且與CD相切，若AB＝4，BE＝5，則DE的長為（）A、3B、4C、D、AABCDEABCDPQO第2題圖第1題圖2.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在劣弧上AB上，連接DP，DP交AC于點(diǎn)Q，若QP＝QO，則的值為（）A、－1B、C、＋D、＋23.△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，過△ABC的內(nèi)切圓圓心，作DE∥BC，分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，則DE的長為.4.如圖，點(diǎn)E、F分別在四邊形ABCD的邊AD，BC的延長線上，且滿足＝.若CD，F(xiàn)E的延長線相交于點(diǎn)G，△DEG的外接圓與△CFG的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為P，連接PA，PB，PC，PD.求證：ABCDEFGP⑴＝；ABCDEFGPABCDP5.D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，使得AB＝3AD，P是△ABC外接圓上一點(diǎn)，使得∠ADP＝∠ACB，求ABCDP6.如圖，圓O與圓D相