集合與常用邏輯用語-2025年高考數學一輪復習

專題01集合與常用邏輯用語

（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧）

維構建?耀蓿陳紿

K元素的三大特性：確定性、無序性、互異性）

■＜元索與集合的關系：屬于、不育）壁01判朝案與集合共系

—（。知識點一集合）朝02根題意與集合共至求參數

■（集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法）凝03集合中元素的常性

壁04集鈿

（常用數集的記法與關系圖）

子集：集合A中所有元素都是集合B的元素

真子集：集合合的子集，

A"B健01技微:通

-且集合中至少有一標袁不于

一O知識點二集合間的基本關系BJSA壁02判雌合與集合間的關系

相等集合：集合A、通元素完全相同壁03軌醐彥

空集：不含任何元素的集告

廠集合的交集

壁01集合的乃件卷臺運算

「集合交并補運算表示1-集合的并集凝02朋&

型集合在場問題中的應用

集合常用邏輯用語—（。知識點三集合的基本運算）k集錦w＜）03

壁04韋思圖的應用

L集合運算中的常用;跡05集合的新定義問題

充分條件與必要條件

O知識點四充分條件與必要條件整01充分條件與必要條件判斷

K充要條件充要條件的含義：pBq的充要條件，q也是P的充要條件整02雌必

充要條件的等價說法：q成立當且僅當Pg

，全稱量詞：短語.所有的“任意f等

廠全詞命題；

-全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題

翅01含有詞的命題的否定

,--------------.L存在星詞：短語.存在f.至少有一個噂j型02根據全荷量詞命酬:其段求參數

一1O知識點五全稱量詞與存在量詞『一存在量詞命題T＞.—=?一

健03

‘v---------------------'L存在星詞命瑟含有存在星詞的命題,■

匚命覆的否定

口識盤點?翟源訃與

知識點1集合與元素

1、集合元素的三個特性：確定性、互異性、無序性；

2、元素與集合的關系：屬于或不屬于，用符號e或右表示

3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法

4、常見數集的記法與關系圖

集合自然數集正整數集整數集有理數集實數集

符號NN*（或N+）ZQR

知識點2集合間的基本關系

表示

文字語言符號語言圖形語言

關系

集合A的所有元素都是集合B的

子集AqB或53A

元素(%eA貝！IxeB)

o或

基本

集合A是集合B的子集且集合B

關系真子集AUB或BVA

中至少有一個元素不屬于Ao

相等集合A,B的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合A的子集

知識點3集合的基本運算

1、集合交并補運算的表示

集合的并集集合的交集集合的補集

圖形語言(Z0U@

符號語言AU3二|x|xGA,G耳A(~)B=|x|xee母X\X^U,5JC

2、集合運算中的常用二級結論

(1)并集的性質：AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；=匹A.

(2)交集的性質：AH0=0；APIA=A；AAB=BAA；AHB^A^AQB.

(3)補集的性質：4口([以)=〃；4口([以)=。.[/必)=4；

C[/(AUB)=(Cc4)n(Cc/B)；[MAnB)=([uA)U([M).

知識點4充分條件與必要條件

1、充分條件與必要條件

“若P，則必為真命題“若P，則4”為假命題

推出關系p^qp*q

P是4的充分條件P不是4的充分條件

條件關系

q是P的必要條件q不是p的必要條件

判定定理給出了相應數學結論成立的充分條件

定理關系

性質定理給出了相應數學結論成立的必要條件

2、充要條件

(1)充要條件的定義

如果喏夕，則夕”和它的逆命題“若夕，則p”均為真命題，即既有pnq,又有qnp,就記作poq。

此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說?是夕的充分必要條件，簡稱充要條件。

(2)充要條件的含義

若?是夕的充要條件，則q也是夕的充要條件，雖然本質上是一樣的，但在說法上還是不同的，

因為這兩個命題的條件與結論不同。

(3)充要條件的等價說法：p是q的充要條件又常說成是q成立當且僅當夕成立，或。與q等價。

知識點5全稱量詞與存在量詞

1、全稱量詞與全稱量詞命題

(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號“V”表示.

【注意】(1)全稱量詞的數量可能是有限的，也可能是無限的，由有題目而定；

(2)常見的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應的詞語是“都”

(2)全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題.

符號表示：通常，將含有變量x的語句用p(x),q(x),r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表

示，那么，全稱量詞命題“對M中任意一個關,2(同成立"可用符號簡記為\/尤6加,夕(無)

【注意】(1)從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質的命題；

(2)一個全稱量詞命題可以包含多個變量；

(3)有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補出來。

如：命題“平行四邊形對角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對角線都互相平行”。

2、存在量詞與存在量詞命題

(1)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號“三”表示.

【注意】常見的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“對某些”、“有的”等；

(2)存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題。

符號表示：存在量詞命題“存在M中的元素x，使〃(x)成立"可用符號簡記為eM,2(x)

【注意】(1)從集合的觀點看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質的命題；

(2)一個存在量詞命題可以包含多個變量；

(3)有些命題雖然沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個”等特征都是存在量詞命題

3、命題的否定：對命題p加以否定，得到一個新的命題，記作“力”，讀作"非"'或p的否定.

(1)全稱量詞命題的否定：

一般地，全稱量詞命題“Vxe",[(%)”的否定是存在量詞命題：.

(2)存在量詞命題的否定：

一般地，存在量詞命題“王；€”山(力”的否定是全稱量詞命題：.

(3)命題與命題的否定的真假判斷：

一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假.

即：如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然.

(4)常見正面詞語的否定：

正面詞語等于（=）大于（>）小于（<）是都是

否定不等式（豐）不大于（<）不小于（>）不是不都是

正面詞語至多有一個至少有一個任意所有至多有n個

否定至少有兩個一個都沒有某個某些至少有n+1個

X里點突破?喜分好?特

重難點01已知一個元素屬于集合，求集合中所含的參數值.

（1）確定性的運用：利用集合中元素的確定性解出參數的所有可能值；

（2）互異性的運用：根據集合中元素的互異性對集合中元素進行檢驗.

【典例1]（23-24高三上廣東惠州?月考）集合A=[xeRF>o],若3eA且-leA,則。的取值范圍

[2x+lJ

為（）

A.a<3B.a<—lC.a<3D.—l<a<3

【典例2]（23-24高三下?江西?月考）已知A=?2—〃無+IKO},若2金/,且3eA,則。的取值范圍是（）

5叫5105

—,+oo

A.2'3JB.5C.D.

2T2

重難點02利用兩個集合之間的關系確定參數的取值范圍

第一步：弄清兩個集合之間的關系，誰是誰的子集；

第二步：看集合中是否含有參數，若

且A中含參數應考慮參數使該集合為.空集的情形；

第三步：將集合間的包含關系轉化為方程（組）或不等式（組），求出相關的參數的值或取值范圍.

常采用數形結合的思想，借助數軸解答.

【典例1】（2024?陜西西安.三模）設集合A={0」},B={l,a-2,a-l},若AgB,則。=（）

A.2B.3C.1D.1或2

【典例2】（2024.黑龍江.二模）已知4={%仆（%一1）<0},3=何1082%〈。},若則實數“的取值范圍

為（）

A.[0,+司B.[1,+co）C.（0,1]D.

重難點03根據集合運算的結果確定參數的取值范圍

法一：根據集合運算結果確定集合對應區(qū)間的端點值之間的大小關系，確定參數的取值范圍.

法二：（1）化簡所給集合；（2）用數軸表示所給集合；

（3）根據集合端點間關系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗.

【注意】（1）確定不等式解集的端點之間的大小關系時，需檢驗能否取“="；（2）千萬不要忘記考慮空集。

【典例1】（2024?重慶?模擬預測）設集合4={1,一2一°,一2—2*8={0?},若=貝/=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【典例2】（2024.重慶.模擬預測）已知集合4=卜，-2》-3>0},8={x[（x-q）（x+2）<0},若AU3=R，

則a的取值范圍為（）

A.（3,+co）B.[3,+oo）C.（-1,3）D.（-℃,-1）

重難點04利用充分必要條件求參數的策略

1、巧用轉化法求參數：把充分條件、必要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于

參數的不等式（不等式組）求解；

2、端點取值需謹慎：在求參數范圍時，要注意邊界或區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍。

【典例1]（23-24高三上?上海松江?期中）已知p:x2-2x-8<0,q:l-a<x<2a-3,且。是4的充分不必要

條件，則實數。的取值范圍是.

Y-I-4.

【典例2]（23-24高三上?江蘇揚州?月考）（多選）若“一7>0"是次<%<4+2”的必要不充分條件，則實數

x-1

人可以是（）

A.-8B.-4C.0D.4

重難點05根據全稱（存在）量詞命題的真假求參數

1、全稱量詞命題求參的問題，常以一次函數、二次函數等為載體進行考察，一般在題目中會出現“恒成立”

等詞語，解決此類問題時，可構造函數，利用數形結合求參數范圍，也可用分離參數法求參數范圍；

2、存在量詞命題求參數范圍的問題中常出現“存在”等詞語，對于此類問題，通常時假設存在滿足條件的參

數，然后利用條件求參數范圍，若能求出參數范圍，則假設成立；否則，假設不成立。解決有關存在量詞

命題的參數的取值范圍問題時，應盡量分離參數。

2

【典例1]（2024?四川?模擬預測）已知命題“Vx￡[l,4]d——機20”為真命題，則實數加的取值范圍為（）

x

A.（-co,e-2]B.J-oo,e4C.[e-2,+oo）D.e4-p+oo|

【典例2]（23-24高三上.黑龍江哈爾濱.期末）已知命題：玉°￡R,〃片+2。%-1N0為假命題，則實數々的取

值范圍是()

A.(-oo,-l)u(0,+oo)B.(-1,0)C.[—1,0]D.(—1,0]

法技巧?1g塞學霸

一、子集的個數問題

如果集合A中含有n個元素，則有

（1）A的子集的個數有2"個.（2）A的非空子集的個數有2"—1個.

（3）A的真子集的個數有2"—1個（4）A的非空真子集的個數有2"—2個.

【典例1】（2024.浙江.二模）已知集合"={1,2,3},N={0J2,3,4,7},若”—,則滿足集合A的個

數為（）

A.4B.6C.7D.8

【典例2】（2024.全國.一模）已知集合人={0,1,2},B={x|y=lg（-x2+3x）},則Ac3子集的個數為（

A.1B.2C.3D.4

二、判斷集合與集合的關系

判斷集合間關系的常用方法：

1、列舉觀察法：列出幾何中的全部元素，通過定義得出集合間關系；

2、集合元素特征法：首先確定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判

斷集合間關系；

3、數形結合法：利用數軸或韋恩圖判斷集合間關系，如不等式的解集之間的關系，適合用數軸法。

【典例1】（2024.云南貴州.二模）已知集合>={以€2|04彳44},B={0,1,2,3,4,5},則（）

A.AUBB.A=BC.AeBD.BA

【典例2】（2024高三?全國?專題練習）已知集合人={2尤>-l,xeR},B={x|x2-x-2>0,%eR）,則下列關系

中正確的是（）

A.AcBB.額uRBC.Ar>B=0D.A|JB=R

三、韋恩圖的應用

元素與集合的隸屬關系以及集合之間的包含關系，一般都能通過韋恩圖形象表達。有時題設條件比較抽象，

也應借助于韋恩圖尋找解題思路。這樣做有助于直觀地分析問題、解決問題。

【典例1】（2024.山西長治.一模）已知集合4={小2+2》-8<0},2={小區(qū)2},。=1^,則圖中陰影部分表

(-2,2)C.[-2,2)D.[-2,2]

【典例2】（2024?河北邢臺?二模）下列集合關系不成立的是（）

A.AUA=AB.AQ0=0

C.（瘵4）c（同=多（山3）D.Oe0

四、集合新定義問題

在集合新定義問題中，出現較多的是在現有運算法則和運算律的基礎上定義一種新的運算。解題時，要抓

住兩點：（1）分析新定義的特點，把新定義中所敘述的問題的本質弄清楚，并且能夠應用到具體的解題過

程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本運算是解題的突破口，要熟練掌握。

【典例1】（2024.貴州黔東南.二模）若對任意xeA,則稱A為“影子關系”集合，下列集合為“影子

X

關系”集合的是（）

A.{1,3}B.{-1,0,1}C.{x|x>l}D.{x|x>0}

【典例2］（23-24高三下?甘肅?月考）如果集合U存在一組兩兩不交（兩個集合交集為空集時，稱為不交）

的非空子集4,4,…,AK,WN*,Z^2）,且滿足AU&ULUAk=u,那么稱子集組A，4,…,人構成集合。

的一個左劃分.若集合/中含有4個元素，則集合/的所有劃分的個數為（）

A.7個B.9個C.10個D.14個

五、充分條件與必要條件的判斷

充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法

1、定義法：（1）分清命題的條件和結論；（2）判斷“若p,則q”及“若q,則p”的真假；（3）得出結論.

2、集合法：利用集合間的包含關系進行判斷；

3、等價轉化法：將命題轉化為另一個與之等價的且便于判斷真假的命題。

【典例1】（2024?江西南昌.二模）已知集合A={x|ln掇0},8=卜|2工2）,則“xeA”是“xe3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例21（2024.湖南衡陽.模擬預測）已知命題p：集合A={尤|/+尤一2>0},命題q：集合3={小2+2為一3>0},

則P是4的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

參考答案與試題解析

專題01集合與常用邏輯用語

（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧）

思維構建-耀蓿向紿

「C元素的三大特性：確定性、無序性、互異性）

，"————＜元素與集合的關系：、于、不屬于）朝01判朝―女系

c知識占_塞合V'J壁02根3航筠集合蝮。皴

＜_____________________廠-（集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法）朝03集合中旗的特性

壁04集領

Y：常用數集的記法與關系圖）

子集：集合A中所有元素都是集合B的元素

真子集：集合是集合的子集，

AB型01￥＜^?^］微魂

O知識點二集合間的基本關系且集合B中至少有一個元素不屬于A曼02判儂臺與集合間的關系

相等集合：集合A、B的元素完全相同壁03刪浮

空集：不含任何元素的集合

廠集合的交集.

壁01集合的謝?繪合運算

「集合交并補運算的表示」--，集合的并集型02

跡03集管在場問魂中的應用

集合常用邏輯用語—（O知識點三集合的基本運算）

k3m＜）匿MW.恩麥三二用

L集合運算中的常用二型05集合的標義問題

充分條件與必要條件

O知識點四充分條件與必要條件年條件蓑

壁01充^^必要廝

型雄必^

充要條件充要條件的含義：P是q的充要條件，q也是P的充要條件02

充裝件的^^法：

「全稱是詞：短語?所有的"任意f等］

全稱呈-t翎逗詞命題：含有全稱量詞的命題；

型01含有一^詞的命題的否定

—（［o知識點五全稱量詞與存在量詞＜存在量詞：短語.存在f?至少有一個"等）型02儂雕霞=

存在星詞命題-

，存在星詞命題：含有存在星詞的藕；型03不彝

命題的否定

口端盤點?置；層訃與

知識點1集合與元素

1、集合元素的三個特性：確定性、互異性、無序性；

2、元素與集合的關系：屬于或不屬于，用符號e或右表示

3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法

4、常見數集的記法與關系圖

集合自然數集正整數集整數集有理數集實數集

符號NN*（或N+）ZQR

知識點2集合間的基本關系

表示

文字語言符號語言圖形語言

關系

集合A的所有元素都是集合B的

子集AQB或i53A

基本元素（xeA則xeB）

o或）

CBWZ

關系

集合A是集合B的子集且集合B

真子集AiiB或"A

中至少有一個元素不屬于Ao

相等集合4,2的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合A的子集

知識點3集合的基本運算

1、集合交并補運算的表示

集合的并集集合的交集集合的補集

圖形語言(Z0d0

符號語言A|JB={#GA,eA}

2、集合運算中的常用二級結論

(1)并集的性質：AU0=A;ALM=A;==匹A

(2)交集的性質：AC|0=0；APIA=A；AHB=BnA；AC\B=A^AQB.

(3)補集的性質：AU(O)=U;An([必)=。.(:/以)=A；

[MAUB)=(d網；CB)=")”#).

知識點4充分條件與必要條件

1、充分條件與必要條件

“若P，則必為真命題“若P，則4”為假命題

推出關系p0qp*q

P是9的充分條件P不是q的充分條件

條件關系

q是P的必要條件q不是p的必要條件

判定定理給出了相應數學結論成立的充分條件

定理關系

性質定理給出了相應數學結論成立的必要條件

2、充要條件

(1)充要條件的定義

如果“若p，則和它的逆命題“若夕，則，'均為真命題，即既有P，又有qnp，就記作poq。

此時，p既是夕的充分條件，也是q的必要條件，我們說?是夕的充分必要條件，簡稱充要條件。

(2)充要條件的含義

若尸是q的充要條件，則夕也是。的充要條件，雖然本質上是一樣的，但在說法上還是不同的，

因為這兩個命題的條件與結論不同。

(3)充要條件的等價說法:p是q的充要條件又常說成是q成立當且僅當夕成立，或。與q等價。

知識點5全稱量詞與存在量詞

1、全稱量詞與全稱量詞命題

(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號“V”表示.

【注意】(1)全稱量詞的數量可能是有限的，也可能是無限的，由有題目而定；

(2)常見的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應的詞語是“都”

(2)全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題.

符號表示：通常，將含有變量x的語句用p(x),q{x},r(x)，…表示，變量x的取值范圍用/表

示，那么，全稱量詞命題“對M中任意一個x,2(同成立"可用符號簡記為\/尤6加,。(無)

【注意】(1)從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質的命題；

(2)一個全稱量詞命題可以包含多個變量；

(3)有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補出來。

如：命題“平行四邊形對角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對角線都互相平行二

2、存在量詞與存在量詞命題

(1)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號“丁'表示.

【注意】常見的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“對某些”、“有的”等；

(2)存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題。

符號表示：存在量詞命題“存在M中的元素x，使,(X)成立"可用符號簡記為3ceM,夕(x)

【注意】(1)從集合的觀點看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質的命題；

(2)一個存在量詞命題可以包含多個變量；

(3)有些命題雖然沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個”等特征都是存在量詞命題

3、命題的否定：對命題0加以否定，得到一個新的命題，記作“力”，讀作"非或「的否定.

(1)全稱量詞命題的否定：

一般地，全稱量詞命題“\仆€〃，4(%)”的否定是存在量詞命題：.

(2)存在量詞命題的否定：

一般地，存在量詞命題“玉；€〃國(同”的否定是全稱量詞命題：.

(3)命題與命題的否定的真假判斷：

一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一