湖北省2024-2025學年高三年級上冊8月聯(lián)考 數(shù)學試卷（含解析）

湖北省“騰?云”聯(lián)盟2024—2025學年度上學期八月聯(lián)考

高三數(shù)學試卷

試卷滿分：150分

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答

題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答策標號涂黑.寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和答

題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1若集合M={xl—'<x<1},N={x0*x<2},則McN=（）

A.（T2）C.（°」）D.（T°）

2.設0力eR,“復數(shù)。+歷是純虛數(shù)”是“a=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

.L工叫

y=sm2x+—

3.函數(shù)I4J的一個對稱中心的是（）

4.過點J2，°）與圓一+,=1相切的兩條直線的夾角為a,貝!jcosa=（）

1正立」

A.2B.2C.2D.2

5.中國航天英雄太空旅程時間一覽表如下，則太空旅程時間數(shù)據的下四分位數(shù)為（）

神舟神舟神舟神舟神舟神舟

神舟神舟神舟神舟神舟神舟

十一十二十三十四十五十七

五號六號七號九號十號號號十六

號號分號

21

183183187154187

時235天3天13天15天33天90天

天天天天天

分

A.3B.8C.9D.183

6.如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，且側棱=4.若側面44//水平放置時，液面恰好過

CE_1

"C,8C，4G，3iG的四等分點處，CA4,當?shù)酌?BC水平放置時，液面高為（）

15

D.8

7,直線"+勿_]=05>0,6>0）經過函數(shù)JI'-°§3—+x-l

—2圖象的對稱中心，則

21

----1----

ab的最小值為（）

A.9B.3+2收Q7+2A/6D6+4A/2

「/、I-2QX+2,X<0

/（%）=〈

、7[cx-ax-l.x>0,且/（X）'"恒成立，則。的取值范圍為（

8.已知函數(shù)

A.S，。］B.卜2」］CH。］D.［0,2］

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.李明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他記錄了100次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數(shù)據分析

得到：坐公交車平均用時30min,樣本標準差為6；騎自行車平均用時34min,樣本方差為4.假設坐公交

車用時X和騎自行車用時丫都服從正態(tài)分布.則下列說法中正確的是（）

（參考數(shù)值：隨機變量？服從正態(tài)分布則尸（〃-a<J<〃+b）=0.6827,

P（//-2cr<^<//+2（T）=0.9545,P（/z-3<r<^<//+3cr）=0.9973）

22

aX-A^（30,6）br-A^（34,4）

cP（X<38）>P（7<38）DP（X<34）>P（r<34）

10.已知平面四邊形4sCO中，AB=AD=BD=6,和3C=CD=1,將平面四邊形沿對角線AD翻

折，得到四面體N-BCD.則下列說法正確的是（）

A.無論翻折到何處，AlC1DB

V6

B.四面體4一8皿的體積的最大值為6

V3

------71

c.當4c=1時，四面體4—8CD的外接球的體積為2.

娓

D.當40=也時，二面角8—4°—C的余弦值為3

11.已知定義域為R+的函數(shù)/（X）滿足：①若X。,則/（x）</“）；②對一切正實數(shù)

（x+刈2，則（）

AMI

x+y

八、n/(x)+/&)<2/

C.Vx>y>0,恒有成立

D.存在正實數(shù)天,使得成立

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若平面內不共線的向量扇兩兩夾角相等，且同=LW=2.\a+b+小1=

貝4

13.從有5個紅球和4個藍球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.那么，在第3次摸到紅

球的條件下第4次摸到紅球的概率為.

14.已知拋物線/=2x,從拋物線內一點'G'G）出發(fā)平行于x軸的光線經過拋物線上點8反射后交拋

物線于點°,直線8c與x軸交點橫坐標為；"BC的面積S為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知ANBC的內角4民0所對的邊分別為。力,。，且滿足bcosC+同sinC-a-c=O

⑴求B；

（2）若'=2,且AN8c的面積為求名一

16.（15分）已知函數(shù)/（”）=（x-2）e",

（1）求函數(shù)/（“）的單調區(qū)間和極值；

（2）討論關于%方程/（"）="的解的個數(shù).

17.（15分）如圖，己知四棱錐S-4SCO中，4B=8C=1,/48C=120°,48,40,CO,平面S4Q,

（1）證明：BG〃平面S4D；

4

（2）已知銳二面角S-NC-Q的正弦值為《，求二面角C一網―。的余弦值.

18.（17分）已知點片是圓G：（x+1）2+/=16上的任意一點，線段4"的垂直平分線4與半

徑G4相交于點01,當點片在圓G上運動時，點01的軌跡記為「1；點8是圓02：（》+1）2+/=1上的

任意一點，線段鳥/的垂直平分線’2與直線02巴相交于點。2,當點鳥在圓02上運動時，點。2的軌跡記

為「2；已知直線/：＞=丘+1（°（上（揚與「1相交于點民°,與口相交于點少，￡,線段和線段

QE的中點分別為M，N.

（1）求曲線L和曲線L的方程;

15

（2）已知AOMM的面積為28,求直線/的斜率左的值.

19.（17分）在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“/

型擴展”.如將數(shù)列"''3'=1233，8,9）進行“/型擴展,，，第一次得到數(shù)列必J第二次得到數(shù)

列名力“必加力;…設第〃次Z型擴展”后所得數(shù)列為a/]'…,X"J其中"2"—1）,并記

%"2……'J》在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入后項與前項的商，形成新的數(shù)列，這樣的

操作叫做該數(shù)列的一次“2型擴展”.即將數(shù)列"力（"）=1'2,3i，8,9）進行“2型擴展”，第一次得到數(shù)

b,bb,

凡一,ba,—-,一,a,b:.人

列a；第二次得到數(shù)列a-a設第〃次“2型擴展”后所得數(shù)列為“，%，必，（其中

/=2'T）,當aw'時，記?

（1）當a=l，8=2時，求數(shù)列1,2第3次“/型拓展”得到的數(shù)列的第6項；

（2）當。=1力=2時，求數(shù)列&，，｝，｛"｝的通項公式；

（3）是否存在一個項數(shù)為（〃+1）的數(shù)列｛,｝（%=123…〃+1）,記｛，｝的各項和為S,記｛，｝進行第

一次“8型拓展”后得到的新數(shù)列也乂加j2,3「\2〃+l）,記也｝各項和為T,使得

7―S=4—1成立.（其中，%是第二問中數(shù)列｛4｝的通項公式）若存在，寫出一個滿足條件的｛q｝的通

項公式；若不存在，請說明理由.

湖北省“騰-云”聯(lián)盟2024-2025學年度上學期8月聯(lián)考

高三數(shù)學試卷

命題學校：江夏區(qū)第一中學命題教師：湯文審題教師：胡軍鄭俊

考試時間：2024年8月12日下午15：00-17：00試卷滿分：150分

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.【答案】B

［詳解］因為M={吊―I<x<1},N={x0<x<2},

所以McN={x|0<x<1}

故選：B

2.【答案】A

【詳解】當歷是純虛數(shù)時，一定有口=0,但是當口=°時，只有當時，歷才能是純虛數(shù)，

所以"復數(shù)a+bi是純虛數(shù)"是"?！?的充分而不必要條件，

故選：A

3.【答案】D

【詳解】

sinfzx—+—^=0

184),故口正確.

4.【答案】A

【詳解】

RtA/08中，/0=2,08=1

兀兀一1

...NBAO=-NBAC=—,cosZBAC=-

6,即32

5.【答案】C

【詳解】將數(shù)據從小到大排列后得到21時23分，3天，5天，13天，15天，33天，90天，154天，183

天，183天，187天，187天，12x0.25=3,下四分位數(shù)為第三個數(shù)和第四個數(shù)的平均數(shù)，即9.

6.【答案】B

【詳解】設當?shù)酌?sC水平放置時，液面高為〃，

CE_1

依題意，側面2448水平放置時，液面恰好過”C，8C，4G，用G的四等分點處，CA4,

%=S&ABC—TTS"BCJX4=SMBCXh

所以水的體積I16)

解得4.

故選：B

7.【答案】A

【詳解】

xe(0,4),/(x)=log

3x—2

/(x)+/(4-x)=log3

"(x)關于點(2,1)對稱,

則直線依+勿T=0經過點0，1),

即2a+b-l=0t

故選：A

8.【答案】C

【詳解】

當x<0時，/(x)=x2-2ax+2

若a20,則〃x)〉2,要使/GO""恒成立，即04aV2

若a<0,則2〃+2,要使恒成立，即一。、？》。

(4+2)("1)三°,即-2Va<0

當x?0時，/(x)=e^-ax-l

/(0)=0,.-.a<0,f(x)=el-a>er>0

???/00在(°，+”)上單調遞增

要使/(x)""恒成立，即/(x)2/(°)，-l-a-°

卜2,0]

綜上所述，°的取值范圍為

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.【答案】AD

【詳解】由題意可設

所以4=30,0=6;%=34,%=2；所以A正確，B錯誤；

由題意可得：坐公交車用時可得

P（r<38）=JP（r<34）+P（34<r<38）=P（r<M2）+JP（M2<y<M2+2cr2）

=0.5+g尸-262<y<%+202）=0.5+0.47725=0.97725

P（X<38）=P（X<30）+P（30<X<38）<P（X<30）+P（30<X<42）

二尸（X<%）+尸（％<XV%+2%）

=0.5+gP（%—2%<y<%+2必）=0.5+0.47725=0.97725

.-.P（X<38）<P（y<38）故,錯誤；

P（Y<34）=0.5,尸（X<34）=P（X<30）+P（30<X<34）

=0.5+P（30<X<34）>0.5

.?.P（X<34）>P（y<34）

那么，坐公交車不遲到的概率大，應選擇坐公交車.故D正確.

10.【答案】ACD

對于選項幺，取線段5。的中點°,連接

???△ZAD是等邊三角形，△BCD中，BC=BD

:.AOLBD,COLBD

/0八09=0,/0,00匚平面2℃,

平面

又：NCu平面AOC,:.BD±AC

故A正確；

對于選項B,當平面HAD,平面BCD時，

1|xl2V6

—XX

四面體H8CD的體積最大，最大值為3~\2

故B錯誤；

對于選項。，當HC=1時，AC2+BC?=A'B?,即HC,3C,CD兩兩垂直

將四面體H-BCD補成正方體，則外接球半徑為2,

3

4G

—71二——71

32

二外接球體積為

故C正確.

對于選項D,當HC=G時，AB-+BC-=A'C\

將四面體?—BCD補成正方體ABCD-A'B'C'D'

取4D中點E,B'C中點￡,易得瓦“平面A'B'CD,BE1AD,

???/BEF是二面角B-A'D-C的平面角，

cos/BEF=—=—

旦忘3

2

故D正確.

11.【答案】BCD

【詳解】

A錯，無法確定了（I）的值;

11

x——,y——

B對，令2-4,代入條件②中,

c2cx-1x-1

2研_24」1

x

+y1+13f

24，即I2

2

x+?

亍，且當x＜＞時，/（x）＜/3）

c對，?.?當x>y>0時，x+vx+y

./（x）+/（y）=（29]</m、

2

2X,TZ+I"2-]=1=Y

X”-l+X"+l2nn"

xn=-67eN*,/7>2）

D對，取n,由于/—I

/（X"T）+/（X,+J一2x?1x?+1）

/（x“）

2，從而/（""-J'/（居）'/（X"+J成等差數(shù)列，即

成等差數(shù)列,

即/（Z）=/a）+（〃-0（/（x2）-/（^i））=/（!）+（〃-"/0-/⑴,

,所以當“充分大時，可使/（%）（°.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【答案】如

【詳解】因為平面內不共線平面向量扇“忑兩兩的夾角相等,

即瓦兩兩的夾角為120。，

\a+b+c\=^（a+b+c）2=yla2+b~+c2+a-b+a-c+b-c

=J小向+舊2+23.B+2N?己+?己

12+22+32+2X1X2X+2xlx3x+2x2x3x

=V3

J.

13.答案：2

【詳解】

用4表示事件”第i次摸到紅球”，4表示事件”第i次摸到紅球"，'=1，2,3,4.

5X4

51

9X8

9--5-2-

9-

]_V3

14.【答案】3；3【詳解】

..46）...唱可

設切線與x軸交于點力,由拋物線的光學性質可知,

BC過焦點F,即5c與x軸交點橫坐標為2.

中,o]r

12）,直線AF的斜率為13

;?直線的傾斜角為60°,且/N5C=120

SMBC=-x-x-x—=—

乙JJ

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【詳解】

（1）由題設及正弦定理得，sinficosC+JJsiaSsinC-siib4-sinC=0

即sin8cosc+V3sin5sinC-sin（B+C）-sinC=0

?.sinScosC+VSsiaSsinC-sin8cosc-sinCcosB-sinC=0

vO<C<7i,.\sinC>0

66,即3.

B=—,S-—acsinB=百

(2)由32得ac=4,

由余弦定理得b2=cr+c~-2accosB=a2+c7-ac

即=8

a=c=2

16.（1）函數(shù)的定義域為RJ'（x）=（xT）e"

令廣（x）=0,解得x=l

當x<l時，/'（x）<°J（x）單調遞減；

當X>1時,/'（X）>1J（X）單調遞增

當x=l時，/⑺有極小值/⑴”

綜上所述，/（X）的單調遞增區(qū)間為（L+00）,單調遞減區(qū)間為（一00））

/（X）極小值為一e,且無極大值.

⑵令/G）=°,解得x=2

當x<2口寸，/（x）<0；當x〉2時，/（x）〉0

/（1二—0

當％一一00時，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)呈爆炸性增長，從而e-x

當Xf+8時，/（x）f+00

結合（1）中分析可得，/（X）的大致圖象如圖所示，

方程/（x）="的解的個數(shù)為函數(shù)了=/（X）的圖象與直線y=a的交點個數(shù).

,,.日^V-1□-+/（%）行曰\/古/（1）二一e

由（1）可得當時，''J有最小值'11

由圖可得，當°<—e時，方程/（》）="有o個解

當°=一6或時，方程/（》）="有且僅有1個解.

當—e<a<0時，方程/（“）二°有且僅有兩個解.

17.【詳解】

⑴法一：

如圖1,延長8C和?相交于點E,連接SE,

NABC=120°,ANABE=60°

AB1AD,ZBAE=90。，即=2AB

又AB=BC,；.BE=2BC,

—■2—

■：SG=-SC,:.SG=2GC

3

?|

即BG//SE;:BE<z平面SAD,SEcz平面SAD,:.BG//平面S4Z)

法二：

如圖2,過G作G廠平行￡4交/C于點尸

-,-AB=BC=\,ZABC=120。,:.AC=>/3

2J3—■1—.2—?

AF=*,;BF=—BA+—BC

即333,

BF=A+筮。2+±.8C.cosl20。=A3—2=—

V999V9993

?：BA=1,:.BA2+BF2=AF2,:.BA1BF

BA1AD

BF//AD,

?：SA//GF,BF//AD

GF，BF均平行于平面SAD,

且8￡G歹是平面BGP內的兩條相交直線，

平面BGF//平面SAD,又?/BGu平面GBF,BG//平面SAD

法三：

如圖2,過8作AF平行4D交NC于點尸，連接G尸

AB=BC=\,ZABC=120°,ZBAC=/BCA=30°且幺0=百

4BJ.AD,BF平行AD

AF=AB=述=-AC

BFLAB,即cos30033

GF平行于SA

SA//GF,BF//AD,

.GF,BF均平行于平面SAD,

且8￡Gb是平面8GE內的兩條相交直線,

平面8GP//平面S4D,又?「BGu平面GBF,；.8G//平面S4。

(2)法一：

CDJ_平面SADCDu平面ABCD^平面ABCD_L平面SA

如圖3,過點5作8”,40交40于"J?.平面S4Dc平面45C

SM1平面ABCD,--ACu平面ABCD,AC1SM

過點M作WZC交/C于N,4C，平面5AW

/SNA/為二面角S_/(?_￡)的平面角

..sin/SM/=—=-SN=-a

SN5,設SM=a,則4

???CD±平面SAD,ADu平面SAD

CDLADt又?：ABLAD,

AB//CD,?：ZABC=120°,AB=BC,.\ZBCA=30°

AD=—

,RtAADC中，NACD=3b,AC=拒,則2

過點。作。尸交SZ于點尸，連接CP,

則NCPD為二面角C-SA-D的平面角,

SM-AD

DP_SASMAD_4~2_2

PCSN-ACSN-AC5V35

SA

2

綜上所述，二面角c—"一。的余弦值為《

法二:

如圖4,在平面SNO內過點。作40的垂線于NS的延長線交于點。

過少作Z)P_L/C交NC于P,連接。尸，

■：CD1平面SAD,CDu平面ABCD,：.平面SAD±平面ABCD

?.,平面SADc平面ABCD=AD.QD±AD,QDu平面SAD

二?W平面/BCD

,/ACu平面4SC。,，QD.LAC

又AC1DP,..AC1平面QDP,即ZQPD為二面角S-AC-D的平面角

CDJ_平面SAD,ADu平面SAD

CDLAD,又?；AB工AD,

AB〃CD,-：ZABC=120°,AB^BC=1,ZBCA=30°

「AD=—CD--

中，NACD=30\AC=6,則I-'/

1344

DP=-CD^-,-：sinZQPD=tanZQPD=-

:.QD^DPtanZQPD=l

h

中，邊。4上的高

設二面角C-SA-D的平面角為仇,:CD1平面SAD

.?.cos”/h

yJh2+CD-

綜上所述，二面角C—SZ-Q的余弦值為5.

法三:

如圖5,;CDI平面在平面SAD內過點Z）引40的垂線記為Z軸,

以/o,C￡）所在直線為x軸，y軸如圖建立空間直角坐標系,

CDJ_平面SAD,ADu平面SAD

/.CDVAD又???/5_LAD,

...AB//CD-NABC=120°,AB=BC=1,/.NBCA=30°

LAD=?CD=-

.?.MANQC中，N4CD=30\AC=拒,則2，2

0(0,0,0),4^-,0,0,c|0,—,0

2

7

設平面S/C的法向量為〃=（""）

mx+〃z=0

DS-n=0

___,n<V33_V3m

AC-n=0―-Yx+^y=°片y=l/=-----------

L22，取x=，3,則n

ii二'5還

In)，平面水3的法向量為4

4

二面角S-AC-D的正弦值為5,

①,

綜上所述，二面角C—S4-D的余弦值為

18.(1)依題意可得℃+=0c+=4,0國=2<4,

22

和：土+二=1

，點01的軌跡是以0'/為焦點，4為長軸長的橢圓，即?43

依題意可得I。2c2_。2"|=I&G_。2丹|=1,C2A=2>1

22

r?二-上=1

???點2的軌跡是以02，”為焦點，1為實軸長的雙曲線，即ZZ

\22

xy1

—+—=1

43z_—4k

)=丘+1消去歹得，(3+4左2*+詆_8=0,由韋達定理可得“3+4F

聯(lián)立

22

-匕=1

13

——

2

_j,1(3-k-2kx--=0x2=一^

卜一乙1.去V得，VJ4由韋達定理可得3-左

聯(lián)立

J1+k~|xj—Xj|=Jl+k”-4kk

則線段跖V的長度為3+4產3-F

1

點°到直線/的距離為T+F

-4kk1\5k15

S&MON=彳X1XJl+人---________________

左—左

2J1+左23+4232-2（3+4左2）（3—左2）—28

k1

即（3+止）（3-公）14

???0（左<G,（3+4左2）（3—左2）=14k

4左4—9左2+14左一9二0

4左J4-儂2_i4左+5）=0

4。2—1）（左2+1）—（9左—5）（左一1）=0,（左一1）[4（左+1）。2+1）—9左+5]=0

令/⑹=4/+4左2—5左+9J'⑹=12左2+8左-5在伙G）上單調遞增，

/'（0）=-5<0/（1）=15〉0

3"+1,

%==^，b“=n

19.【答案】⑴8；（2）2

【詳解】（1）將數(shù)列1,2進行第一次"幺型拓展"得到1,2,2；進行第二次"幺型拓展"得到L2,2,4,2；

進行第三次"幺型拓展"得到1,2,2,4,2,8,4,8,2；所以第6項為8；

當a=1/=