【學(xué)霸滿(mǎn)分】2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專(zhuān)題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）專(zhuān)題05 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)之八大考點(diǎn)（解析版）

專(zhuān)題05二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)之八大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式】 1【考點(diǎn)二畫(huà)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象】 3【考點(diǎn)三二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)】 8【考點(diǎn)四求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)】 11【考點(diǎn)五求二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)】 13【考點(diǎn)六已知二次函數(shù)上對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)求對(duì)稱(chēng)軸】 14【考點(diǎn)七二次函數(shù)的平移】 15【考點(diǎn)八根據(jù)二次函數(shù)的增減性求最值】 17【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 21【典型例題】【考點(diǎn)一把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式】例題：（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）把二次函數(shù)通過(guò)配方化成的形式為，所以其圖象的開(kāi)口向，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】上【分析】根據(jù)配方法化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：二次函數(shù)可化為，∵，∴所以其圖象的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)：頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)．【變式訓(xùn)練】1．把二次函數(shù)化為的形式是．【答案】【分析】利用配方法計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)?，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的配方法求頂點(diǎn)式，熟練掌握配方基本要領(lǐng)是解題的關(guān)鍵．2．將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化成的形式是．【答案】【分析】利用配方法，先提取二次項(xiàng)系數(shù)，再加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，湊出完全平方形式，再進(jìn)行變形，整理，即可把一般式化為頂點(diǎn)式．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了將一般式化為頂點(diǎn)式，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．3．把化為的形式，，對(duì)稱(chēng)軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．【答案】【分析】將利用配方法化成頂點(diǎn)式，即可求出對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵，∴，對(duì)稱(chēng)軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是；故答案為：；；【點(diǎn)睛】本題考查將二次函數(shù)的一般形式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，掌握配方法，理解頂點(diǎn)式的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二畫(huà)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象】例題：（2023秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：二次函數(shù)．(1)將函數(shù)關(guān)系式化為的形式，并指出函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)利用描點(diǎn)法畫(huà)出所給函數(shù)的圖像．x···0123···y······(3)當(dāng)時(shí)，觀(guān)察圖像，直接寫(xiě)出函數(shù)值y的取值范圍．【答案】(1)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用配方法將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可得到答案；（2）先列表，然后描點(diǎn)，最后連線(xiàn)即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：列表如下：x···0123···y···03430···函數(shù)圖象如下所示：（3）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，畫(huà)二次函數(shù)圖象，圖象法求函數(shù)值的取值范圍等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）已知拋物線(xiàn)．(1)該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是_______，頂點(diǎn)坐標(biāo)_______；(2)選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在圖中的直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)畫(huà)出該拋物線(xiàn)的圖象；…………(3)若該拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足，試比較與的大?。敬鸢浮?1)，(2)填表見(jiàn)解析，畫(huà)圖見(jiàn)詳解(3)【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，代入對(duì)稱(chēng)軸的值即可求解頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線(xiàn)自變量的取值范圍，適當(dāng)選取自變量的值，計(jì)算函數(shù)值，并在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，連線(xiàn)即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖像的特點(diǎn)即可求解．【詳解】（1）解：拋物線(xiàn)中，，∴對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)公式中橫坐標(biāo)為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)的值為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：，．（2）解：拋物線(xiàn)中自變量的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，自變量適當(dāng)如圖所示（答案不唯一），…………描點(diǎn)、連線(xiàn)如圖所示，（3）解：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，∴橫坐標(biāo)滿(mǎn)足時(shí)，兩點(diǎn)，中，∴當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合知識(shí)，掌握二次函數(shù)中對(duì)稱(chēng)軸的計(jì)算方法，頂點(diǎn)的計(jì)算方法，繪圖的方法，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)．(1)用配方法求這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系中（如圖），畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的圖像；(3)請(qǐng)描述這個(gè)二次函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)．【答案】(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)(2)見(jiàn)解析(3)這個(gè)二次函數(shù)圖像在對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)左側(cè)部分是下降的，右側(cè)部分是上升的【分析】（1）將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可得出答案；（2）先求出幾個(gè)特殊的點(diǎn)，然后描點(diǎn)連線(xiàn)即可；（3）根據(jù)（2）函數(shù)圖像，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：（1）∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：圖像如圖所示：（3）解：這個(gè)二次函數(shù)圖像在對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)左側(cè)部分是下降的，右側(cè)部分是上升的．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及作圖方法，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·九年級(jí)統(tǒng)考期末）小明用描點(diǎn)法畫(huà)拋物線(xiàn)．(1)請(qǐng)幫小明完成下面的表格，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，連線(xiàn)從而畫(huà)出此拋物線(xiàn)；x…012345……0…(2)直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)，1，0，繪圖見(jiàn)解析(2)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）將分別代入函數(shù)解析式中，求出相應(yīng)的y的值即可；（2）根據(jù)（1）中的圖象，可以直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；補(bǔ)全表格如下∶x…012345……01

0

…拋物線(xiàn)如圖所示；（2）解：由圖象得，該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）對(duì)于二次函數(shù)的圖象，下列說(shuō)法正確的是（

）A．開(kāi)口向下 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)是C．對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) D．當(dāng)時(shí)，有最大值是【答案】B【分析】將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵，∴由知拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故選項(xiàng)正確；∵對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵當(dāng)時(shí)，取得最小值2，無(wú)最大值，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)會(huì)將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東惠州·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）表中列出的是一個(gè)二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值：x…013…y…6…下列各選項(xiàng)中，正確的是（）A．這個(gè)函數(shù)的最小值為 B．這個(gè)函數(shù)的圖象開(kāi)口向下C．這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而增大【答案】D【分析】利用表中的數(shù)據(jù)，求得二次函數(shù)的解析式，再配成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一分析即可判斷．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，依題意得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，∵，∴這個(gè)函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；∵，∴這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故C選項(xiàng)不正確，不符合題意；∵，∴當(dāng)時(shí)，這個(gè)函數(shù)有最小值，故A選項(xiàng)不正確，不符合題意；∵這個(gè)函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開(kāi)口向上，∴當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，故D選項(xiàng)正確，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結(jié)論：①函數(shù)圖像一定經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過(guò)第三象限；③當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；④當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為，，∴二次函數(shù)圖象必經(jīng)過(guò)第一、二象限，又∵，∵，∴，當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象只經(jīng)過(guò)第一、二象限，當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，故①錯(cuò)誤；②正確；∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為，，∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故③正確；∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故④錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是(

)A．點(diǎn)在該函數(shù)的圖象上B．當(dāng)且時(shí)，C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，該函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸一定在直線(xiàn)的左側(cè)【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，當(dāng)時(shí)：，∵，∴，即：點(diǎn)不在該函數(shù)的圖象上，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，∴拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，∴拋物線(xiàn)上的點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為，當(dāng)時(shí)，有最小值為，∴，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵，∴該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：，∴該函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸一定在直線(xiàn)的右側(cè)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)】例題：（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？家荒＃佄锞€(xiàn)與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】【分析】令，求出x的值，進(jìn)而拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：令，即，解得則拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，是基礎(chǔ)題，掌握拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________．【答案】【分析】令，解方程即可求解．【詳解】解：令，得，解得：，∴二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)，根據(jù)題意解方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東棗莊·?？寄M預(yù)測(cè)）二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)A，B．則點(diǎn)的距離為_(kāi)_______．【答案】10【分析】令，可得方程，解方程即可求解．【詳解】解：令，則，解得，，∴，，∴．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題，掌握一元二次方程的求解方法是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______________________．【答案】，【分析】根據(jù)題意，令，然后求出的值，即可以得到拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；令，求出的值，即可求出拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：令，得，拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是：，令，即，解得，，所以?huà)佄锞€(xiàn)與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是，．故答案為：；，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的知識(shí)，難度不大．【考點(diǎn)五求二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)】例題：（2023·上海·一模）拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)___．【答案】【分析】把代入拋物線(xiàn)，即得拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)與軸相交，把代入，求得，拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，比較簡(jiǎn)單，掌握軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【分析】計(jì)算自變量為0所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可得到拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以?huà)佄锞€(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足其解析式．2．（2023春·湖南永州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是________．【答案】【分析】令，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y，即可解答．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∴二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．掌握求拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六已知二次函數(shù)上對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)求對(duì)稱(chēng)軸】例題：（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)?？计谥校┮阎獟佄锞€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，那么此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是______．【答案】【分析】先根據(jù)拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等可知兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的中點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵點(diǎn)、的縱坐標(biāo)都是6，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意判斷出拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若，在拋物線(xiàn)上，則m的值為_(kāi)______________．【答案】1【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性即可求解．【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，的縱坐標(biāo)相同，都是5所以對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)故m的值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·貴州黔東南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的x、y的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：x…012…y…04664…則該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)___________．【答案】【分析】根據(jù)圖表找出函數(shù)值相等時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量即可求出對(duì)稱(chēng)軸．【詳解】解：由圖表可知：時(shí)，，時(shí)，，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，故答案為：．【點(diǎn)睛】題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．【考點(diǎn)七二次函數(shù)的平移】例題：（2023·廣東江門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）把函數(shù)的圖象先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度平移后圖象的函數(shù)解析式為_(kāi)__________．【答案】【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律進(jìn)而求出即可．【詳解】的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線(xiàn)的平移以及拋物線(xiàn)解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．掌握此規(guī)律解題是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東佛山·?？既＃佄锞€(xiàn)先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線(xiàn)的解析式是______．【答案】【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的平移原則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：拋物線(xiàn)向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線(xiàn)的解析式為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的平移，掌握函數(shù)平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考二模）將二次函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的新圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_(kāi)______．【答案】12【分析】先根據(jù)拋物線(xiàn)的平移規(guī)律：上加下減，左加右減得出平移后的拋物線(xiàn)的解析式，再求解新函數(shù)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵，∴將此二次函數(shù)向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的新二次函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，；∴新函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12；故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，熟知拋物線(xiàn)的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）把拋物線(xiàn)先向左移動(dòng)2個(gè)單位，在向下移動(dòng)4個(gè)單位，所得到的新的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)___________．【答案】【分析】根據(jù)上加下減，左加右減的規(guī)律即可求解．【詳解】解：拋物線(xiàn)平移后解析式為，即，所以新的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的平移與求頂點(diǎn)坐標(biāo)，需掌握以下兩點(diǎn)：1.拋物線(xiàn)的平移規(guī)律是上加下減，左加右減；2.拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式解析式為，其中頂點(diǎn)為．【考點(diǎn)八根據(jù)二次函數(shù)的增減性求最值】例題：（2023春·浙江杭州·九年級(jí)杭州市杭州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的最大值是___________，最小值是___________．【答案】51【分析】先把解析式配成頂點(diǎn)式得到，由于，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得時(shí)，y的值最大；當(dāng)時(shí)，y有最小值，然后分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，y有最小值1，∵，∴時(shí)，y的值最大，最大值為5；當(dāng)時(shí)，y有最小值1，故答案為：5；1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的增減性，根據(jù)頂點(diǎn)式求出最小值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）二次函數(shù)的最小值是______，最大值是______．【答案】1【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，在范圍內(nèi)求出最值即可得到答案．【詳解】解：，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，，即二次函數(shù)的最小值是；到的距離為；到的距離為，當(dāng)時(shí)，代入得，即二次函數(shù)的最大值是；時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)最值求法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學(xué)校考一模）已知二次函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為_(kāi)_______；（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為1，則________.【答案】或【分析】（1）將代入，再把解析式為變形為頂點(diǎn)式，即可求得二次函數(shù)最小值；（2）先求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：，分三種情況：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸在內(nèi)，③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，分別討論增減性，找何時(shí)取最小值，代入得關(guān)于的方程求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，∵，則開(kāi)口向上，∴二次函數(shù)的最小值為，故答案為：；（2）二次函數(shù)，則對(duì)稱(chēng)軸為：，分三種情況：①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，，解得：；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸在內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，，解得：；∵，∴，③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，隨的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，，解得：（舍去）；綜上所述，或；故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，是常考題型；但本題比較復(fù)雜，運(yùn)用了分類(lèi)討論的思想，做好此類(lèi)題要掌握以下幾點(diǎn)：形如二次函數(shù)：①當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)有最小值，當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，隨的增大而增大，對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，隨的增大而減?。虎廴绻宰兞吭谀骋环秶鷥?nèi)求最值，要看對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口方向及圖象．3．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)，（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為_(kāi)_____．（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為6，則的值為_(kāi)_____．【答案】18或【分析】（1）將代入，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）先求得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，再分情況討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】（1）解：將代入，得：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值1，故答案為：1；（2）解：，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，有最大值為6，，解得：；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最大值為6，，解得：，，（不合題意，舍去），③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，有最大值為6，，解得：，綜上所述，的值為8或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把二次函數(shù)用配方法化成的形式應(yīng)為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用配方法把二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式．【詳解】解：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的三種形式，正確利用配方法把二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A． B． C． D．【答案】C【分析】將化為頂點(diǎn)式，即可求解．【詳解】解：∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握配方法化為頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象向右平移3個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，得到新的圖象的函數(shù)表達(dá)式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象向右平移減，向下平移減平移規(guī)律，可得答案．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象先向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到新的圖象的函數(shù)表達(dá)式是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，函數(shù)圖象平移規(guī)律是左加右減，上加下減，掌握這一規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）關(guān)于拋物線(xiàn)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．開(kāi)口向上 B．與x軸有兩個(gè)重合的交點(diǎn)C．對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式即可判斷；【詳解】解：∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱(chēng)軸，∵，∴開(kāi)口向上，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在x軸上，∴A、B、C正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)東莞市東華初級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎魏瘮?shù)(a為常數(shù)，且)的圖象上有三點(diǎn)則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∵，∴函數(shù)圖象開(kāi)口向上，∵，點(diǎn)在二次函數(shù)(a為常數(shù)，且)的圖象上，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考期中）設(shè)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則．【答案】【分析】將點(diǎn)代入函數(shù)解析式求解即可．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的特征求未知數(shù)，理解題意是解題關(guān)鍵．7．（2023秋·黑龍江綏化·九年級(jí)校考期中）拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向向，對(duì)稱(chēng)軸是，最高點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】下直線(xiàn)【分析】把拋物線(xiàn)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后分別解答即可．【詳解】解：，開(kāi)口方向向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，最高點(diǎn)的坐標(biāo)是．故答案為：下，直線(xiàn)，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要是開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式求解更簡(jiǎn)便．8．（2023秋·廣西崇左·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）將拋物線(xiàn)向右平移1個(gè)單位，所得拋物線(xiàn)的表達(dá)式為．【答案】【分析】先化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)平移規(guī)則：左加右減，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，向右平移1個(gè)單位，所得拋物線(xiàn)的表達(dá)式為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的平移．熟練掌握平移規(guī)則，是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·浙江嘉興·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是用“”連接．【答案】【分析】先求得拋物線(xiàn)開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和增減性判斷即可．【詳解】解：二次函數(shù)中，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．10．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)東北育才雙語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可列出一元一次不等式，解不等式即可求解．【詳解】解：由題意得：，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握其圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、問(wèn)答題11．（2023秋·天津河?xùn)|·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)求出函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)寫(xiě)出圖象的對(duì)稱(chēng)軸；(3)寫(xiě)出圖象的開(kāi)口方向；(4)寫(xiě)出當(dāng)自變量x取何值時(shí)，y隨x的增大而減?。敬鸢浮?1)(2)直線(xiàn)(3)向上(4)【分析】（1）將解析式化成頂點(diǎn)式求解即可；（2）根據(jù)頂點(diǎn)式求解即可；（3）根據(jù)，判斷作答即可；（4）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)作答即可．【詳解】（1）解：∵，∴函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：由（1）可知，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)；（3）解：由（1）可知，，∴圖象的開(kāi)口向上；（4）解：由圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。军c(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．12．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)人大附中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上．(1)①若，求a的值；②若，比較m，n的大小，并說(shuō)明理由；(2)已知點(diǎn)，也在該拋物線(xiàn)上，若當(dāng)時(shí)，都有，求a的取值范圍．【答案】(1)①；，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①把點(diǎn)，代入解析式得，，，再由，可得，求解即可；②由①可得，，作差得，再由，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸為，，即開(kāi)口向上，可得離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)的點(diǎn)y值越大，由在當(dāng)時(shí)，都有，可得P點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸的M點(diǎn)遠(yuǎn)，即，Q點(diǎn)比P點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)，即，N點(diǎn)比Q點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)，，分別求解即可．【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)，在拋物線(xiàn)，∴，，∵，∴，解得；②∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴對(duì)稱(chēng)軸為，，即開(kāi)口向上，∴離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)的點(diǎn)y值越大，設(shè)，、，，在當(dāng)時(shí)，都有，則P點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸的M點(diǎn)遠(yuǎn)，即，即，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，則Q點(diǎn)比P點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)，即，∴，∴或，∴或，則在時(shí)，都滿(mǎn)足或，∵，則N點(diǎn)比Q點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，則，即，在時(shí)，成立，∴，即，綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、比較二次函數(shù)的函數(shù)值及兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·北京·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線(xiàn)（）上．(1)若點(diǎn)在此拋物線(xiàn)上．①求該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；②若，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為_(kāi)_____．(2)當(dāng)，時(shí)，總有，求的取值范圍．【答案】(1)直線(xiàn)；或；(2)【分析】（1）①點(diǎn)代入拋物線(xiàn)解析式即可求解；②根據(jù)函數(shù)解析式得拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)，y值越小，結(jié)合即可解答；（2）根據(jù)，表示出，結(jié)合即可算出的取值范圍；【詳解】（1）點(diǎn)在此拋物線(xiàn)上，將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)解析式可得到：，故拋物線(xiàn)解析式為：；①故該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：，②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)開(kāi)口向下，離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)，y值越小，故或；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵，；【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵：理解并掌是二次函數(shù)的基本性質(zhì)．14．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)當(dāng)，時(shí)，①求該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)．②當(dāng)時(shí)，求y的取值范圍．(2)當(dāng)時(shí)，y的最大值為4；當(dāng)時(shí)，y的最大值為2，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】(