專題04勾股定理基本應(yīng)用(原卷版+解析)

專題04勾股定理基本應(yīng)用專題說明專題說明勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一。勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。解題思路解題思路考點(diǎn)1求線段長直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.考點(diǎn)2求面積類型一直角三角形中求斜邊上的高類型二結(jié)合乘法公式巧求面積或長度類型三巧妙割補(bǔ)求面積類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積考點(diǎn)3解直角三角形①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中，，則，，②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題【典例分析】【考點(diǎn)1求線段長】【典例1-1】（2022八下·德陽期末）已知△ABC中，BC＝4，AB＝5，∠C＝90°，則AC＝（）A．6 B．41 C．4 D．3【典例1-2】（2021八上·龍泉期末）若直角三角形的兩邊長分別是5和12，則它的斜邊長是()A．13B．13或119C．119 D．12或13【變式1-1】（2021八上·丹東期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果AB=8，BC=6，那么AC的長是（）．A．10 B．27 C．10或27【變式1-2】（2021八上·槐蔭期末）直角三角形的兩直角邊長分別為5和12，則斜邊長為（）A．13 B．14 C．89 D．1【變式1-3】（2020秋?寶安區(qū)期末）若一直角三角形的兩邊長分別是6，8，則第三邊長為（）A．10 B． C．10或 D．14【考點(diǎn)2求面積】【典例2】（2020春?東城區(qū)校級(jí)期末）若三個(gè)正方形的面積如圖所示，則正方形A的面積為（）A．6 B．36 C．64 D．8【變式2-1】（2021八上·臨漳期中）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB、BC、AC為邊向外作正方形，若三個(gè)正方形的面積分別為225、400、S，則S的值為（）A．25 B．175 C．600 D．625【變式2-2】（2021秋?和平區(qū)期末）如圖，分別以此直角三角形的三邊為直徑在三角形外部畫半圓，若S1＝9π，S2＝16π，則S3＝．【變式2-3】（2021八上·渠縣期中）如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積和是cm2.【典例3】（2021八上·佛山月考）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（）A．255 B．355 C．【變式3-1】（2021八上·通州期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足為D．如果AC=6，BC=3，則BD的長為（）A．2 B．32 C．33 【變式3-2】（2021八上·六盤水月考）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD的長為（）A．2 B．2 C．5 D．3【考點(diǎn)3解直角三角形】【典例4】（2021秋?紫金縣期中）如圖，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，BC＝15，BD＝9，求AD的長．【變式4-1】（2021八上·北鎮(zhèn)期中）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8，求CD的長．【變式4-2】（2021八上·連南期中）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的長．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，兩個(gè)較大正方形的面積分別為225，289，則字母A所代表的正方形的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．642．（2022秋?渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是6、10、4、6，則最大正方形E的面積是（）A．20 B．26 C．30 D．523．（2022秋?綏中縣校級(jí)期末）若直角三角形的兩邊長分別為a，b，且滿足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，則該直角三角形的第三邊長的平方為（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或164．（2022秋?青島期末）如圖，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得△ABC，則AC邊上的高是（）A． B． C． D．5．（2022春?靈寶市校級(jí)月考）如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為邊，向外作正方形，等腰直角三角形，等邊三角形和半圓，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的圖形有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2022春?潛山市月考）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°．若AE＝2，BE＝3，則正方形ABCD的面積為（）A．10 B．13 C．36 D．1697．（2022秋?興慶區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，則正方形ABDE的面積為（）A．18 B．48 C．65 D．728．（2022秋?徐匯區(qū)期末）一個(gè)直角三角形兩條直角邊的比是3：4，斜邊長為10cm，那么這個(gè)直角三角形面積為．【答案】24cm29．（2022秋?邢臺(tái)期末）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（m﹣2，4）到坐標(biāo)原點(diǎn)距離為5，則m的值為．10．（2022秋?門頭溝區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．求BC邊上的高的長．11．（2022秋?綠園區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的長；（2）AD的長．12．（2022秋?茂南區(qū)期末）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C恰好在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上．（1）求△ABC的周長．（2）求△ABC的面積．【能力提升】13．（2022秋?二七區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知直角三角形ABC的周長為24，且陰影部分的面積為24，則斜邊AB的長為．14．（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．若AD＝2，BC＝4，則AB2+CD2＝．14．（2022秋?佛山校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求BC邊的長；（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值．15．（2022秋?二道區(qū)校級(jí)期末）定義：如圖，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割．（1）已知M、N把線段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請說明理由；（2）已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB＝30，AM＝5，求BN的長．16．（2022秋?通川區(qū)校級(jí)期末）已知，如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，以斜邊AC為底邊作等腰三角形ACD，腰AD剛好滿足AD∥BC，并作腰上的高AE．（1）求證：AB＝AE；（2）求等腰三角形的腰長CD．專題04勾股定理基本應(yīng)用專題說明專題說明勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一。勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。解題思路解題思路考點(diǎn)1求線段長直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.考點(diǎn)2求面積類型一直角三角形中求斜邊上的高類型二結(jié)合乘法公式巧求面積或長度類型三巧妙割補(bǔ)求面積類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積考點(diǎn)3解直角三角形①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中，，則，，②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題【典例分析】【考點(diǎn)1求線段長】【典例1-1】（2022八下·德陽期末）已知△ABC中，BC＝4，AB＝5，∠C＝90°，則AC＝（）A．6 B．41 C．4 D．3【答案】D【解答】解：由題可知ΔABC為直角三角形，∴AC=A故答案為：D.【典例1-2】（2021八上·龍泉期末）若直角三角形的兩邊長分別是5和12，則它的斜邊長是()A．13 B．13或119 C．119 D．12或13【答案】D【解答】解：①當(dāng)12為斜邊時(shí)，它的斜邊長是12；

②當(dāng)12是直角邊時(shí)，它的斜邊長=122+52=13.

故答案為：D.

【變式1-1】（2021八上·丹東期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果AB=8，A．10 B．27 C．10或27【答案】B【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=8，BC=6，∴AC=故答案為：B【變式1-2】（2021八上·槐蔭期末）直角三角形的兩直角邊長分別為5和12，則斜邊長為（）A．13 B．14 C．89 D．1【答案】A【解答】解：由題意得，該直角三角形的斜邊長為：5故答案為：A.【變式1-3】（2020秋?寶安區(qū)期末）若一直角三角形的兩邊長分別是6，8，則第三邊長為（）A．10 B． C．10或 D．14【答案】C【解答】解：設(shè)第三邊為x，①當(dāng)8是斜邊，則62+x2＝82，②當(dāng)8是直角邊，則62+82＝x2解得x＝10，解得x＝2．∴第三邊長為10或2．故選：C．【考點(diǎn)2求面積】【典例2】（2020春?東城區(qū)校級(jí)期末）若三個(gè)正方形的面積如圖所示，則正方形A的面積為（）A．6 B．36 C．64 D．8【答案】B【解答】解：面積為100的正方形的邊長為10，面積為64的正方形的邊長為8，由勾股定理得，正方形A的邊長＝＝6，∴正方形A的面積為36，故選：B．【變式2-1】（2021八上·臨漳期中）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB、BC、AC為邊向外作正方形，若三個(gè)正方形的面積分別為225、400、S，則S的值為（）A．25 B．175 C．600 D．625【答案】D【解答】解：在ΔABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：AC∴225+400=S，∴S=625．故答案為：D．【變式2-2】（2021秋?和平區(qū)期末）如圖，分別以此直角三角形的三邊為直徑在三角形外部畫半圓，若S1＝9π，S2＝16π，則S3＝．【答案】25π【解答】解：設(shè)面積為S1的半圓的直徑為a，面積為S2的半圓的直徑為b，面積為S3的半圓的直徑為c，由勾股定理得：a2+b2＝c2，由題意得：×π×（）2＝9π，×π×（）2＝16π，則a2＝72，b2＝128，∴c2＝200，∴S3＝×π×（）2＝25π，故答案為：25π．【變式2-3】（2021八上·渠縣期中）如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積和是cm2.【答案】49【解答】解：如圖，設(shè)正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，設(shè)標(biāo)有S1，S根據(jù)勾股定理可得a則x∴故答案為：49.【典例3】（2021八上·佛山月考）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（）A．255 B．355 C．【答案】C【解答】解：由題意可得：S△ABC∵BD是△ABC的高，AC=2∴S解得：BD=4故答案為：C．

【變式3-1】（2021八上·通州期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足為D．如果AC=6，BC=3，則BD的長為（）A．2 B．32 C．33 【答案】D【解答】解：∵∠ABC=90°，AC=6，BC=3，∴根據(jù)勾股定理AB=A∵BD⊥AC，∴S△ABC=12AB?BC=1解得：BD=3故答案為：D．【變式3-2】（2021八上·六盤水月考）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD的長為（）A．2 B．2 C．5 D．3【答案】B【解答】解：由勾股定理得：AB=22+42∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴S△ABC=1∴5×2∴AD＝2，故答案為：B.【考點(diǎn)3解直角三角形】【典例4】（2021秋?紫金縣期中）如圖，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，BC＝15，BD＝9，求AD的長．【答案】AD=16【解答】解：在Rt△BDC中，由勾股定理得：CD＝＝＝12，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AD＝＝＝16．【變式4-1】（2021八上·北鎮(zhèn)期中）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8，求CD的長．【解答】解：∵AB＝5，BD＝3，AD＝4，∴AB∴AB∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，AC=8，∴DC=A【變式4-2】（2021八上·連南期中）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的長．【解答】解：在Rt△CDA中，∵AC=AB=5，CD=3，∴AD=A∴BD=AB-AD=5-4=1，在Rt△CBD中，BC=C【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，兩個(gè)較大正方形的面積分別為225，289，則字母A所代表的正方形的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．64【答案】D【解答】解：∵正方形PQED的面積等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面積為289，∴PR2＝289，又△PQR為直角三角形，根據(jù)勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，則正方形QMNR的面積為64．故選：D．2．（2022秋?渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是6、10、4、6，則最大正方形E的面積是（）A．20 B．26 C．30 D．52【答案】B【解答】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2＝S3，即S3＝6+10+4+6＝26．故選：B．3．（2022秋?綏中縣校級(jí)期末）若直角三角形的兩邊長分別為a，b，且滿足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，則該直角三角形的第三邊長的平方為（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或16【答案】C【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，當(dāng)b＝4為直角邊時(shí)，第三邊的平方為32+42＝25，當(dāng)b＝4為斜邊時(shí)，第三邊的平方為42﹣32＝7，故選：C．4．（2022秋?青島期末）如圖，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得△ABC，則AC邊上的高是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：四邊形DEFA是正方形，面積是4；△ABF，△ACD的面積相等，且都是×1×2＝1．△BCE的面積是：×1×1＝．則△ABC的面積是：4﹣1﹣1﹣＝．在直角△ADC中根據(jù)勾股定理得到：AC＝＝．設(shè)AC邊上的高線長是x．則?AC?x＝x＝，解得：x＝．故選：C．5．（2022春?靈寶市校級(jí)月考）如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為邊，向外作正方形，等腰直角三角形，等邊三角形和半圓，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的圖形有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解答】解：由勾股定理得a2+b2＝c2，第一個(gè)圖形中，，，，滿足S1+S2＝S3；第二個(gè)圖形中，，，，滿足S1+S2＝S3；第三個(gè)圖形中，，，，滿足S1+S2＝S3；第四個(gè)圖形中，，，滿足S1+S2＝S3；綜上所述，滿足題意的圖形有4個(gè)，故選：D．6．（2022春?潛山市月考）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°．若AE＝2，BE＝3，則正方形ABCD的面積為（）A．10 B．13 C．36 D．169【答案】B【解答】解：∵∠AEB＝90°，∴AB2＝AE2+BE2＝22+32＝13，∴正方形ABCD的面積＝AB2＝13，故選：B．7．（2022秋?興慶區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，則正方形ABDE的面積為（）A．18 B．48 C．65 D．72【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2﹣BC2＝82﹣42＝48，∴正方形ABDE的面積為48，故選：B．8．（2022秋?徐匯區(qū)期末）一個(gè)直角三角形兩條直角邊的比是3：4，斜邊長為10cm，那么這個(gè)直角三角形面積為．【答案】24cm2【解答】解：∵一個(gè)直角三角形兩條直角邊的比是3：4，∴設(shè)兩條直角邊分別為3x，4x，根據(jù)勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝102，∴x＝2，∴兩條直角邊分別為6cm和8cm，∴這個(gè)直角三角形面積為×8×6＝24（cm2），故答案為：24cm2．9．（2022秋?邢臺(tái)期末）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（m﹣2，4）到坐標(biāo)原點(diǎn)距離為5，則m的值為．【答案】5或﹣1．【解答】解：點(diǎn)P（m﹣2，4）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是|m﹣2|、4，則由勾股定理，得（m﹣2）2+42＝52，解得：m＝5或﹣1．故答案為：5或﹣1．10．（2022秋?門頭溝區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．求BC邊上的高的長．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝4，∴AD＝＝＝3，即BC邊上的高的長為3．11．（2022秋?綠園區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的長；（2）AD的長．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝25，∵CD⊥AB，∴S，∴CD＝＝12；（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD＝＝＝9，AD＝25﹣9＝16．12．（2022秋?茂南區(qū)期末）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C恰好在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上．（1）求△ABC的周長．（2）求△ABC的面積．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，AB＝＝＝2，AC＝＝，BC＝＝＝5，AB+AC+BC＝2++5＝5+3，∴△ABC的周長為5+3；（2）∵AB＝2，AC＝，BC＝5，∴BC2＝25，AB2+AC2＝20+5＝25，∴BC2＝AB2+AC2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AC?AB＝××＝5，∴△ABC的面積為5．【能力提升】13．（2022秋?二七區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知直角三角形ABC的周長為24，且陰影部分的面積為24，則斜邊AB的長為．【答案】10【解答】解；∵直角三角形ABC的周長為24，∴AB+AC+BC＝24，AC2+BC2＝AB2，∴AC2+BC2﹣AB2＝0，∵陰影部分的面積為24，∴（）2＝24，∴+＝24，∴AC?BC＝48，∴AC?BC＝＝＝48，∴AB＝10，故答案為：10．14．（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．若AD＝2，BC＝4，則AB2+CD2＝．【答案】20【解答】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案為：20．14．（2022秋?佛山校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求BC邊的長；（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8（cm）；（2）由題意知BP＝2tcm，①當(dāng)∠APB為直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；②當(dāng)∠BAP為直角時(shí)，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得