專題08用列舉法、樹狀圖或列表法求概率及概率的應(yīng)用(原卷版+解析)

專題08用列舉法、樹狀圖或列表法求概率及概率的應(yīng)用考點(diǎn)一已知概率求數(shù)量考點(diǎn)二幾何概率考點(diǎn)三列舉法求概率考點(diǎn)四列表法、樹狀圖求概率考點(diǎn)五用概率判斷游戲的公平性考點(diǎn)六概率在轉(zhuǎn)盤抽獎(jiǎng)中的應(yīng)用考點(diǎn)七用頻率估計(jì)概率及應(yīng)用考點(diǎn)一已知概率求數(shù)量例題：（2021·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)期末）春節(jié)前夕，小麗的奶奶給孩子們準(zhǔn)備了一些紅包，這些紅包的外觀相同，其中有個(gè)紅包裝的是元，有個(gè)紅包裝的是元，剩下的紅包裝的是元．若小麗從中隨機(jī)拿出一個(gè)紅包，里面裝的是元的紅包的概率是，則裝有元紅包的個(gè)數(shù)是______________．【變式訓(xùn)練】（2022·山東淄博·七年級(jí)期末）在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球．其中紅球3個(gè)，白球5個(gè)，黑球若干個(gè)，若從中任意摸出一個(gè)白球的概率是．(1)求盒子中球的個(gè)數(shù)；(2)求任意摸出一個(gè)球是黑球的概率；(3)能否通過只改變盒子中白球的數(shù)量，使得任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為．若能，請(qǐng)寫出如何調(diào)整白球數(shù)量；若不能，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)二幾何概率例題：（2022·山東威?！て吣昙?jí)期末）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組自制了一個(gè)飛鏢盤．若向飛鏢盤內(nèi)投擲飛鏢（落在邊界線重新投擲），則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是_____．【變式訓(xùn)練】（2022·山東青島·七年級(jí)期末）如圖，飛鏢游戲中的每一塊正方形除顏色外都相同，若某人向游戲板投擲飛鏢一次（假設(shè)飛鏢落在游戲板上），則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是______．考點(diǎn)三列舉法求概率例題：（2022·廣東深圳·八年級(jí)期末）從3、5、6、9四個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，不放回，再隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，把第一個(gè)數(shù)作為十位數(shù)字，第二個(gè)數(shù)作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù)的概率是______．【變式訓(xùn)練】（2022·吉林大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)期中）從，，3三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則該點(diǎn)在第三象限的概率等于______．考點(diǎn)四列表法、樹狀圖求概率例題：（2022·遼寧鞍山·中考真題）2022年4月15日是第七個(gè)全民國(guó)家安全教育日，某校七、八年級(jí)舉行了一次國(guó)家安全知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)過評(píng)比后，七年級(jí)的兩名學(xué)生（用，表示）和八年級(jí)的兩名學(xué)生（用，表示）獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．(1)從獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名分享經(jīng)驗(yàn)，恰好抽到七年級(jí)學(xué)生的概率是_________．(2)從獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名分享經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級(jí)、一名來自八年級(jí)的概率．【變式訓(xùn)練】（2022·遼寧朝陽·中考真題）某社區(qū)組織A，B，C，D四個(gè)小區(qū)的居民進(jìn)行核酸檢測(cè)，有很多志愿者參與此項(xiàng)檢測(cè)工作，志愿者王明和李麗分別被隨機(jī)安排到這四個(gè)小區(qū)中的一個(gè)小區(qū)組織居民排隊(duì)等候．(1)王明被安排到A小區(qū)進(jìn)行服務(wù)的概率是．(2)請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求出王明和李麗被安排到同一個(gè)小區(qū)工作的概率．考點(diǎn)五用概率判斷游戲的公平性例題：（2022·黑龍江黑河·九年級(jí)期末）淘淘和明明玩骰子游戲，每人將一個(gè)各面分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6的正方體骰子擲一次，把兩人擲得的點(diǎn)數(shù)相加，并約定：點(diǎn)數(shù)之和等于6，淘淘贏；點(diǎn)數(shù)之和等于7，明明贏；點(diǎn)數(shù)之和是其它數(shù)，兩人不分勝負(fù)．(1)請(qǐng)你用“畫樹狀圖”或“列表”的方法分析說明此游戲是否公平．(2)請(qǐng)你基于（1）問中得到的數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)出一種公平的游戲規(guī)則．(列出一種即可)【變式訓(xùn)練】（2022·湖南湘西·九年級(jí)期末）學(xué)完《概率初步》后，小誠和小明兩個(gè)好朋友利用課外活動(dòng)時(shí)間自制A、B兩組卡片共5張，A組三張分別寫有數(shù)字2，4，6，B組兩張分別寫有3，5．它們除了數(shù)字外沒有任何區(qū)別．他倆提出了如下兩個(gè)問題請(qǐng)你解答：(1)隨機(jī)從A組抽取一張，求抽到數(shù)字為2的概率；(2)隨機(jī)地分別從A組、B組各抽取一張，請(qǐng)你用列表或畫樹狀圖的方法表示所有等可能的結(jié)果；(3)如果他倆還制定這樣一個(gè)游戲規(guī)則：若選出的兩數(shù)之積為3的倍數(shù)，則小誠獲勝；否則小明獲勝．請(qǐng)問這樣的游戲規(guī)則對(duì)小誠、小明雙方公平嗎？請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)六概率在轉(zhuǎn)盤抽獎(jiǎng)中的應(yīng)用例題：（2021·山東煙臺(tái)·七年級(jí)期末）新冠疫情以來，各地政府為活躍消費(fèi)市場(chǎng)，釋放消費(fèi)潛力，各商家采取各種促銷以此來對(duì)沖疫情影響．某商場(chǎng)為了吸引顧客，設(shè)立了可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤（如圖，轉(zhuǎn)盤被均勻分為20份），并規(guī)定：顧客每購買200元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)．如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得200元、100元、50元的購物券（若指向邊界則重轉(zhuǎn)），憑購物券可以在該商場(chǎng)繼續(xù)購物．如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得購物券30元．（1）求轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤獲得購物券的概率；（2）某顧客在此商場(chǎng)購物220元，通過轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤獲得購物券和直接獲得購物券，你認(rèn)為哪種方式對(duì)顧客更合算？談?wù)勀愕睦碛桑咀兪接?xùn)練】（2022·山西大附中一模）某商場(chǎng)，為了吸引顧客，在“元旦”當(dāng)天舉辦了商品有獎(jiǎng)酬賓活動(dòng)，凡購物滿200元者，有兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案供選擇：方案一：是直接獲得20元的禮金卷；方案二：是得到一次搖獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)．規(guī)則如下：已知如圖是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤A、B，這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤除了顏色不同外，其它構(gòu)造完全相同，搖獎(jiǎng)?wù)咄瑫r(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，指針分別指向一個(gè)區(qū)域（指針落在分割線上時(shí)重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤），根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少．指針指向兩紅一紅一藍(lán)兩藍(lán)禮金券（元）18918(1)請(qǐng)你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉(zhuǎn)盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的概率．(2)如果一名顧客當(dāng)天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請(qǐng)你幫助分析選擇哪種方案較為實(shí)惠．考點(diǎn)七用頻率估計(jì)概率及應(yīng)用例題：（2022·山東煙臺(tái)·七年級(jí)期末）在一個(gè)不透明的盒子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種球共60個(gè)．小亮做摸球?qū)嶒?yàn)，他將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程，下表是實(shí)驗(yàn)中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n10020030050080010003000摸到白球的次數(shù)m651241783024815991803摸到白球的頻率0.650.620.5930.6040.6010.5990.601(1)請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n的值越來越大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近______；（精確到0.1）(2)假如你摸球一次，摸到白球的概率P（摸到白球）＝______，摸到黑球的概率P（摸到黑球）＝______；(3)請(qǐng)估算盒子里黑、白兩種顏色的球各有多少個(gè)？【變式訓(xùn)練】（2022·山東棗莊·七年級(jí)期末）下面是某學(xué)校生物興趣小組在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，對(duì)某植物種子發(fā)芽率進(jìn)行研究時(shí)所得到的數(shù)據(jù)：試驗(yàn)的種子數(shù)n50010001500200030004000發(fā)芽的粒數(shù)m4719461425189828533812發(fā)芽頻率0.9420.9460.9490.953(1)求表中，的值；(2)任取一粒這種植物種子，估計(jì)它能發(fā)芽的概率約是多少？（精確到0.01）(3)若該學(xué)校勞動(dòng)基地需要這種植物幼苗7600棵，試估算需要準(zhǔn)備多少粒種子進(jìn)行發(fā)芽培育．一、選擇題1．（2021·湖北咸寧·九年級(jí)階段練習(xí)）有4條線段長(zhǎng)度分別為2cm，3cm，4cm，5cm，從中任意取三條線段能組成三角形的概率是（）A． B． C． D．12．（2022·陜西西安·七年級(jí)期末）如圖所示的是一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤，自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針落在數(shù)字“Ⅲ”所在區(qū)域內(nèi)的概率是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)不透明的口袋中，裝有若干個(gè)紅球和6個(gè)黃球，它們除顏色外沒有任何區(qū)別，搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回口袋中，通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率是0.3，則估計(jì)口袋中紅球約有（

）A．12個(gè) B．14個(gè) C．18個(gè) D．20個(gè)4．（2022·黑龍江大慶·八年級(jí)期末）一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“美”、“麗”、“油”、“城”的四個(gè)小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻．從中任取一球，不放回，再從中任取一球，取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“美城”的概率（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2022·黑龍江大慶·八年級(jí)期中）如圖，四條直徑把兩個(gè)同心圓分成八等份，若往圓面投擲飛鏢，則飛鏢落在白色區(qū)域的概率是____．6．（2021·浙江·杭州市建蘭中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)盒子中裝有10個(gè)紅球和若干個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若摸到白球的概率為，則盒子中原有的白球的個(gè)數(shù)為_________個(gè)．7．（2022·浙江杭州·九年級(jí)開學(xué)考試）在六張完全相同的卡片上，分別畫有圓、矩形、菱形、等邊三角形、直角三角形、正六邊形，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張卡片，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的概率是_____．8．（2022·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）2022年2月4日，北京冬奧會(huì)在北京一張家口隆重開幕，在北京冬奧會(huì)舉辦期間，小亮想到現(xiàn)場(chǎng)觀看兩場(chǎng)比賽，于是搜集了如圖所示編號(hào)為A，B，C，D的四張圖片（四張圖片除正面圖案不同外，圖片大小、材質(zhì)都相同），他將四張圖片背面朝上洗勻后，隨機(jī)抽取其中的兩張，到現(xiàn)場(chǎng)觀看抽中圖片上所對(duì)應(yīng)的比賽，則小亮抽中短道速滑和花樣滑冰雙人滑的概率是_____．三、解答題9．（2021·河南·溫縣黃莊鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）小明和小穎一起做游戲，他們把形狀和大小完全相同的6張卡片分成兩組，每組3張，分別標(biāo)上1，2，3，將這兩組卡片分別放入兩個(gè)盒子中攪勻，再從中隨機(jī)抽取一張．(1)請(qǐng)用畫樹狀圖（或列表法）求抽取的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù)的概率；(2)若抽取的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù)，則小明勝；若抽取的兩張卡片數(shù)字之和為偶數(shù)；則小穎勝．試分析這個(gè)游戲是否公平，若不公平，誰獲勝的可能性較大．10．（2021·云南玉溪·一模）小明和小紅做游戲：在一個(gè)不透明的盒子中放入三張卡片，每張卡片上寫著一個(gè)實(shí)數(shù)，分別為，，每張卡片除數(shù)字不同外其余均相同），游戲規(guī)則：小明先從盒子中取出一張卡片，記下卡片上的數(shù)字，放回?fù)u勻后小紅再取出一張卡片，如果取出的兩數(shù)之積是有理數(shù)，小明贏；反之小紅贏．(1)用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；(2)這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？為什么？11．（2022·江蘇徐州·一模）一款游戲的規(guī)則如下：如圖①為游戲棋盤，從起點(diǎn)到終點(diǎn)共7步；如圖②是一個(gè)被分成4個(gè)大小相等的扇形的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，待轉(zhuǎn)盤自動(dòng)停止后，此時(shí)，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次（若指針指向兩個(gè)扇形的交線，則不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，直到指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部為止），每次棋子按照指針?biāo)傅臄?shù)字前進(jìn)相應(yīng)的步數(shù)，若棋子最終能恰好落在終點(diǎn)的視為通過游戲，棋子從起點(diǎn)前進(jìn)2步到達(dá)B，第二次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)笖?shù)字為3，…，直到棋子到達(dá)終點(diǎn)或超過終點(diǎn)停止．（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，求轉(zhuǎn)盤停止后指針指向4的概率；（2）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖法，求轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次能通過游戲的概率．12．（2022·浙江金華·九年級(jí)期末）在一個(gè)不透明的口袋里裝有若干個(gè)相同的紅球，為了估計(jì)袋中紅球的數(shù)量，九（2）班學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室分組做摸球?qū)嶒?yàn)：每組先將15個(gè)與紅球大小形狀完全相同的白球裝入袋中，攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球并記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．下表是這次活動(dòng)統(tǒng)計(jì)匯總各小組數(shù)據(jù)后獲得的全班數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：摸球的次數(shù)s15030060090012001500摸到紅球的頻數(shù)n63123247365484603摸到紅球的頻率0.4200.4100.4120.4060.403a(1)a＝______．(2)請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)次數(shù)s很大時(shí)，摸到紅球的頻率將會(huì)接近______（精確到0.01）；請(qǐng)推測(cè)：摸到紅球的概率是______（精確到0.1）．(3)求口袋中紅球的數(shù)量．專題08用列舉法、樹狀圖或列表法求概率及概率的應(yīng)用考點(diǎn)一已知概率求數(shù)量考點(diǎn)二幾何概率考點(diǎn)三列舉法求概率考點(diǎn)四列表法、樹狀圖求概率考點(diǎn)五用概率判斷游戲的公平性考點(diǎn)六概率在轉(zhuǎn)盤抽獎(jiǎng)中的應(yīng)用考點(diǎn)七用頻率估計(jì)概率及應(yīng)用考點(diǎn)一已知概率求數(shù)量例題：（2021·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)期末）春節(jié)前夕，小麗的奶奶給孩子們準(zhǔn)備了一些紅包，這些紅包的外觀相同，其中有個(gè)紅包裝的是元，有個(gè)紅包裝的是元，剩下的紅包裝的是元．若小麗從中隨機(jī)拿出一個(gè)紅包，里面裝的是元的紅包的概率是，則裝有元紅包的個(gè)數(shù)是______________．【答案】【分析】根據(jù)概率的大小列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)有20元的紅包x個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：x=16，經(jīng)檢驗(yàn)，x=16是原方程的解，所以，裝有元紅包的個(gè)數(shù)是16個(gè)，故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法與運(yùn)用，一般方法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=，難度適中．【變式訓(xùn)練】（2022·山東淄博·七年級(jí)期末）在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球．其中紅球3個(gè)，白球5個(gè)，黑球若干個(gè)，若從中任意摸出一個(gè)白球的概率是．(1)求盒子中球的個(gè)數(shù)；(2)求任意摸出一個(gè)球是黑球的概率；(3)能否通過只改變盒子中白球的數(shù)量，使得任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為．若能，請(qǐng)寫出如何調(diào)整白球數(shù)量；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)15(2)(3)能，白球需要減少3個(gè)【分析】（1）利用白球5個(gè)即可求出總數(shù)；（2）求出黑球個(gè)數(shù)后，直接利用概率公式得出答案；（3）利用概率公式計(jì)算得出符合題意的方法．（1）解：盒子中球的個(gè)數(shù)為：（個(gè)），答：盒子中球的個(gè)數(shù)為15個(gè)；（2）黑球個(gè)數(shù)為：；∴任意摸出一個(gè)球是黑球的概率為：；（3）能，方案如下：從盒子中拿走3個(gè)白球，也就是白球需要減少3個(gè)．任意摸出一個(gè)球共出現(xiàn)12種等可能的結(jié)果，其中摸到紅球的有4種．．∴白球需要減少3個(gè)．【點(diǎn)睛】此題主要考查了概率公式，正確掌握概率求法是解題關(guān)鍵．如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率．考點(diǎn)二幾何概率例題：（2022·山東威?！て吣昙?jí)期末）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組自制了一個(gè)飛鏢盤．若向飛鏢盤內(nèi)投擲飛鏢（落在邊界線重新投擲），則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是_____．【答案】【分析】利用陰影部分面積除以總面積=投擲在陰影區(qū)域的概率，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由題意可得，投擲在陰影區(qū)域的概率是：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何概率，求出陰影部分面積與總面積的比值是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】（2022·山東青島·七年級(jí)期末）如圖，飛鏢游戲中的每一塊正方形除顏色外都相同，若某人向游戲板投擲飛鏢一次（假設(shè)飛鏢落在游戲板上），則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是______．【答案】##【分析】求出整個(gè)圖形的面積和陰影三角形的面積，根據(jù)幾何概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，則整體的面積為4×4=16（平方單位），陰影三角形的面積為：4×3-×2×1-×2×3-×2×4=4（平方單位），所以飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率，求出整個(gè)圖形的面積和陰影三角形的面積是正確解答的關(guān)鍵．考點(diǎn)三列舉法求概率例題：（2022·廣東深圳·八年級(jí)期末）從3、5、6、9四個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，不放回，再隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，把第一個(gè)數(shù)作為十位數(shù)字，第二個(gè)數(shù)作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù)的概率是______．【答案】【分析】從4個(gè)數(shù)中取兩個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)，把所有情況全部列出來，找出其中的奇數(shù)，用奇數(shù)的個(gè)數(shù)除以兩位數(shù)的總個(gè)數(shù)就是這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù)的概率．【詳解】從3、5、6、9這四個(gè)數(shù)中取兩個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)有下列情況：35、36、39、53、56、59、63、65、69、93、95、96，共12種結(jié)果，其中奇數(shù)有9種結(jié)果，∴P(這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù))=故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，事件A發(fā)生的概率=，掌握概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】（2022·吉林大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)期中）從，，3三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則該點(diǎn)在第三象限的概率等于______．【答案】【分析】根據(jù)題意可利用列舉法進(jìn)行求解．【詳解】解：從，，3三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則所有的情況有：，，共有6種可能，符合該點(diǎn)在第三象限的有2種可能，所以其概率為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率，熟練掌握利用列舉法求解概率是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四列表法、樹狀圖求概率例題：（2022·遼寧鞍山·中考真題）2022年4月15日是第七個(gè)全民國(guó)家安全教育日，某校七、八年級(jí)舉行了一次國(guó)家安全知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)過評(píng)比后，七年級(jí)的兩名學(xué)生（用，表示）和八年級(jí)的兩名學(xué)生（用，表示）獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．(1)從獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名分享經(jīng)驗(yàn)，恰好抽到七年級(jí)學(xué)生的概率是_________．(2)從獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名分享經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級(jí)、一名來自八年級(jí)的概率．【答案】(1)；(2)作圖見解析，．【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．（1）從獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名分享經(jīng)驗(yàn)，恰好抽到七年級(jí)學(xué)生的概率是，故答案為：；（2）樹狀圖如下：由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級(jí)、一名來自八年級(jí)的有8種結(jié)果，所以抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級(jí)、一名來自八年級(jí)的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．【變式訓(xùn)練】（2022·遼寧朝陽·中考真題）某社區(qū)組織A，B，C，D四個(gè)小區(qū)的居民進(jìn)行核酸檢測(cè)，有很多志愿者參與此項(xiàng)檢測(cè)工作，志愿者王明和李麗分別被隨機(jī)安排到這四個(gè)小區(qū)中的一個(gè)小區(qū)組織居民排隊(duì)等候．(1)王明被安排到A小區(qū)進(jìn)行服務(wù)的概率是．(2)請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求出王明和李麗被安排到同一個(gè)小區(qū)工作的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．（1）解：王明被安排到A小區(qū)進(jìn)行服務(wù)的概率是，故答案為：；（2）列表如下：A，B，C，D表示四個(gè)小區(qū)，ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表知，共有16種等可能結(jié)果，其中王明和李麗被安排到同一個(gè)小區(qū)工作的有4種結(jié)果，所以王明和李麗被安排到同一個(gè)小區(qū)工作的概率為．【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．考點(diǎn)五用概率判斷游戲的公平性例題：（2022·黑龍江黑河·九年級(jí)期末）淘淘和明明玩骰子游戲，每人將一個(gè)各面分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6的正方體骰子擲一次，把兩人擲得的點(diǎn)數(shù)相加，并約定：點(diǎn)數(shù)之和等于6，淘淘贏；點(diǎn)數(shù)之和等于7，明明贏；點(diǎn)數(shù)之和是其它數(shù)，兩人不分勝負(fù)．(1)請(qǐng)你用“畫樹狀圖”或“列表”的方法分析說明此游戲是否公平．(2)請(qǐng)你基于（1）問中得到的數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)出一種公平的游戲規(guī)則．(列出一種即可)【答案】(1)此游戲不公平，見解析(2)點(diǎn)數(shù)之和等于6，淘淘贏；點(diǎn)數(shù)之和等于8，明明贏【分析】（1）畫樹狀圖求出淘淘和明明獲勝的概率，再比較概率即可判定游戲是否公平；（2）設(shè)計(jì)一個(gè)兩人獲勝概率一樣的游戲規(guī)則即可．（1）解：畫樹狀圖：由圖可知，點(diǎn)數(shù)之和共有36種可能的結(jié)果，其中6出現(xiàn)5次，7出現(xiàn)6次，故P(和為6)，P(和為7)．P(和為6)<P(和為7)，∴明明獲勝的概率大，此游戲不公平；（2）解：如：“點(diǎn)數(shù)之和等于6，淘淘贏；點(diǎn)數(shù)之和等于8，明明贏；點(diǎn)數(shù)之和是其它數(shù)，兩人不分勝負(fù)．”（答案不唯一）由（1）樹狀圖可知：點(diǎn)數(shù)之和等于6出現(xiàn)5次，點(diǎn)數(shù)之和等于8也出現(xiàn)5次，∴P(和為6)，P(和為8)，∴P(和為6)=P(和為8)，故游戲公平．【點(diǎn)睛】本題考查用列表法或畫樹狀圖法求概率，游戲公平性問題，熟練掌握用列表法或畫樹狀圖法求概率是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】（2022·湖南湘西·九年級(jí)期末）學(xué)完《概率初步》后，小誠和小明兩個(gè)好朋友利用課外活動(dòng)時(shí)間自制A、B兩組卡片共5張，A組三張分別寫有數(shù)字2，4，6，B組兩張分別寫有3，5．它們除了數(shù)字外沒有任何區(qū)別．他倆提出了如下兩個(gè)問題請(qǐng)你解答：(1)隨機(jī)從A組抽取一張，求抽到數(shù)字為2的概率；(2)隨機(jī)地分別從A組、B組各抽取一張，請(qǐng)你用列表或畫樹狀圖的方法表示所有等可能的結(jié)果；(3)如果他倆還制定這樣一個(gè)游戲規(guī)則：若選出的兩數(shù)之積為3的倍數(shù)，則小誠獲勝；否則小明獲勝．請(qǐng)問這樣的游戲規(guī)則對(duì)小誠、小明雙方公平嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)見詳解(3)因?yàn)樾≌\獲勝的概率大于小明獲勝的概率，所以不公平【分析】（1）用抽取張數(shù)除以A組總數(shù)即可求出概率；（2）通過樹狀圖將每種情況列出來即可；（3）根據(jù)（2）所列出來所有情況，分別用乘積為3的倍數(shù)的總數(shù)與乘積不為3的倍數(shù)的總數(shù)除以所有情況，若概率不相等則不公平，反之則公平．（1）∵抽取1張，且A組共有3張∴故抽到數(shù)字2的概率為．（2）由題意畫出樹狀圖如下：∴共有（2，3）（2，5）（4，3）（4，5）（6，3）（6，5）6種等可能的結(jié)果．（3）∵乘積為3的倍數(shù)有（2,3）、（6,3）、（4,3）、（6,5）四種情況∴∵乘積不為3的倍數(shù)（2,5）、（4,5）兩種情況∴∵∴小誠獲勝概率大于小明獲勝概率故這樣的游戲規(guī)則不公平．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的基本運(yùn)算及比較，以及畫樹狀圖列出每一個(gè)事件，概率的計(jì)算公式是本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六概率在轉(zhuǎn)盤抽獎(jiǎng)中的應(yīng)用例題：（2021·山東煙臺(tái)·七年級(jí)期末）新冠疫情以來，各地政府為活躍消費(fèi)市場(chǎng)，釋放消費(fèi)潛力，各商家采取各種促銷以此來對(duì)沖疫情影響．某商場(chǎng)為了吸引顧客，設(shè)立了可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤（如圖，轉(zhuǎn)盤被均勻分為20份），并規(guī)定：顧客每購買200元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)．如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得200元、100元、50元的購物券（若指向邊界則重轉(zhuǎn)），憑購物券可以在該商場(chǎng)繼續(xù)購物．如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得購物券30元．（1）求轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤獲得購物券的概率；（2）某顧客在此商場(chǎng)購物220元，通過轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤獲得購物券和直接獲得購物券，你認(rèn)為哪種方式對(duì)顧客更合算？談?wù)勀愕睦碛桑敬鸢浮浚?）；（2）選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤對(duì)顧客更合算，理由見解析【分析】（1）由轉(zhuǎn)盤被均勻分為20份，轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤獲得購物券的有10種情況，直接利用概率公式即可求得答案；（2）首先求得指針正好對(duì)準(zhǔn)紅色、黃色、綠色區(qū)域的概率，繼而可求得轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的情況，繼而求得答案．【詳解】解：（1）∵轉(zhuǎn)盤被均勻分為20份，轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤獲得購物券的有10種情況，∴P（轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤獲得購物券）＝；（2）∵P（紅色）＝，P（黃色）＝，P（綠色）＝，∴200×+100×+50×＝40（元）∵40元＞30元，∴選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤對(duì)顧客更合算．【點(diǎn)睛】此題考查了概率公式的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式訓(xùn)練】（2022·山西大附中一模）某商場(chǎng)，為了吸引顧客，在“元旦”當(dāng)天舉辦了商品有獎(jiǎng)酬賓活動(dòng)，凡購物滿200元者，有兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案供選擇：方案一：是直接獲得20元的禮金卷；方案二：是得到一次搖獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)．規(guī)則如下：已知如圖是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤A、B，這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤除了顏色不同外，其它構(gòu)造完全相同，搖獎(jiǎng)?wù)咄瑫r(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，指針分別指向一個(gè)區(qū)域（指針落在分割線上時(shí)重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤），根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少．指針指向兩紅一紅一藍(lán)兩藍(lán)禮金券（元）18918(1)請(qǐng)你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉(zhuǎn)盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的概率．(2)如果一名顧客當(dāng)天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請(qǐng)你幫助分析選擇哪種方案較為實(shí)惠．【答案】(1)(2)方案一，見解析；【分析】（1）根據(jù)列表法（或畫樹狀圖法）求指針分別指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的概率即可；（2）根據(jù)（1）的樹狀圖求出方案二的平均收益即可判斷；(1)解：由題可知，轉(zhuǎn)盤A中紅色區(qū)域的圓心角的度數(shù)是藍(lán)色區(qū)域的圓心角的度數(shù)的2倍，轉(zhuǎn)盤B中藍(lán)色區(qū)域的圓心角的度數(shù)是紅色區(qū)域的圓心角的度數(shù)的2倍，故可畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有9種等可能的情況，其中兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針一個(gè)指向紅色區(qū)域、一個(gè)指向藍(lán)色區(qū)域的情況有5種，∴P(一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū))=(2)由（1）中的樹狀圖可知，指針指向兩個(gè)紅色區(qū)域有2種情況，指向兩個(gè)藍(lán)色區(qū)域也有2種情況，∴P(兩個(gè)紅區(qū))=，P(兩個(gè)藍(lán)區(qū))=，∴方案二的平均收益為：，∵13<20，∴若只考慮獲得最多的禮品券，選擇方案一更加實(shí)惠；【點(diǎn)睛】本題主要考查列表法（或畫樹狀圖法）求概率，掌握概率的求解方法是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)七用頻率估計(jì)概率及應(yīng)用例題：（2022·山東煙臺(tái)·七年級(jí)期末）在一個(gè)不透明的盒子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種球共60個(gè)．小亮做摸球?qū)嶒?yàn)，他將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程，下表是實(shí)驗(yàn)中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n10020030050080010003000摸到白球的次數(shù)m651241783024815991803摸到白球的頻率0.650.620.5930.6040.6010.5990.601(1)請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n的值越來越大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近______；（精確到0.1）(2)假如你摸球一次，摸到白球的概率P（摸到白球）＝______，摸到黑球的概率P（摸到黑球）＝______；(3)請(qǐng)估算盒子里黑、白兩種顏色的球各有多少個(gè)？【答案】(1)0.6(2)0.6,0.4(3)黑球有24只，白球有36只【分析】（1）根據(jù)次數(shù)很大時(shí)，頻率會(huì)趨于穩(wěn)定可得答案；（2）利用次數(shù)很大時(shí)，頻率估計(jì)概率可得答案；（3）黑球個(gè)數(shù)=球的總數(shù)×得到黑球的概率．（1）解：當(dāng)n的值越來越大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.6，故答案為：0.6；（2）根據(jù)頻率估計(jì)概率可得，摸到白球的概率P（摸到白球）=0.6，摸到黑球的概率P（摸到黑球）=1-0.6=0.4，故答案為：0.6，0.4；（3）60×0.4＝24，60-24＝36．∴黑球有24只，白球有36只．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，熟練掌握大量反復(fù)實(shí)驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】（2022·山東棗莊·七年級(jí)期末）下面是某學(xué)校生物興趣小組在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，對(duì)某植物種子發(fā)芽率進(jìn)行研究時(shí)所得到的數(shù)據(jù)：試驗(yàn)的種子數(shù)n50010001500200030004000發(fā)芽的粒數(shù)m4719461425189828533812發(fā)芽頻率0.9420.9460.9490.953(1)求表中，的值；(2)任取一粒這種植物種子，估計(jì)它能發(fā)芽的概率約是多少？（精確到0.01）(3)若該學(xué)校勞動(dòng)基地需要這種植物幼苗7600棵，試估算需要準(zhǔn)備多少粒種子進(jìn)行發(fā)芽培育．【答案】(1)；；(2)這種種子在此條件下發(fā)芽的概率約為0.95．(3)需要準(zhǔn)備8000粒種子進(jìn)行發(fā)芽培育．【分析】（1）根據(jù)發(fā)芽頻率，代入對(duì)應(yīng)的數(shù)值即可求解；（2）根據(jù)概率是大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計(jì)值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率；（3）根據(jù)（2）中的概率，可以用發(fā)芽棵樹幼苗棵樹概率可得出結(jié)論．（1）解：；；（2）解：概率是大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計(jì)值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率；這種種子在此條件下發(fā)芽的概率約為0.95．（3）解：若該學(xué)校勞動(dòng)基地需要這種植物幼苗7600棵，需要準(zhǔn)備（粒種子進(jìn)行發(fā)芽培育．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率，解題的關(guān)鍵是掌握：頻率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．一、選擇題1．（2021·湖北咸寧·九年級(jí)階段練習(xí)）有4條線段長(zhǎng)度分別為2cm，3cm，4cm，5cm，從中任意取三條線段能組成三角形的概率是（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】先列舉出從四條線段中任取三條線段的所有情況，再讓能組成三角形的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．【詳解】解：共有2、4、5；2、3、4；3、4、5；2、3、5；4種情況，其中2、3、5這種情況不能組成三角形，即能組成三角形的有3種，所以P（任取三條，能構(gòu)成三角形）＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝，構(gòu)成三角形的基本條件為兩小邊之和大于最大邊．2．（2022·陜西西安·七年級(jí)期末）如圖所示的是一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤，自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針落在數(shù)字“Ⅲ”所在區(qū)域內(nèi)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用“Ⅲ”所示區(qū)域所占圓周角除以360，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由扇形統(tǒng)計(jì)圖可得，指針落在數(shù)字“Ⅲ”所示區(qū)域內(nèi)的概率是：，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率公式，正確理解概率的求法是解題關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)不透明的口袋中，裝有若干個(gè)紅球和6個(gè)黃球，它們除顏色外沒有任何區(qū)別，搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回口袋中，通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率是0.3，則估計(jì)口袋中紅球約有（

）A．12個(gè) B．14個(gè) C．18個(gè) D．20個(gè)【答案】B【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，列出方程求解．【詳解】解：設(shè)盒子中有紅球x個(gè)，由題意可得：=0.3，解得：x=14，經(jīng)檢驗(yàn)，x=14是分式方程的解．估計(jì)口袋中紅球約有14個(gè)．故選：B【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)黃球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系．4．（2022·黑龍江大慶·八年級(jí)期末）一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“美”、“麗”、“油”、“城”的四個(gè)小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻．從中任取一球，不放回，再從中任取一球，取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“美城”的概率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“美城”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“美城”的結(jié)果數(shù)為2，所以取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“美城”的概率，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．二、填空題5．（2022·黑龍江大慶·八年級(jí)期中）如圖，四條直徑把兩個(gè)同心圓分成八等份，若往圓面投擲飛鏢，則飛鏢落在白色區(qū)域的概率是____．【答案】【分析】根據(jù)題意可知白色區(qū)域與灰色區(qū)域的面積相等，據(jù)此求解概率即可．【詳解】解：∵兩個(gè)同心圓被等分成八等份，飛鏢落在每一個(gè)區(qū)域的機(jī)會(huì)是均等的，其中白色區(qū)域的面積占了其中的四等份，∴P（飛鏢落在白色區(qū)域）=故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概率，正確理解題意得到白色區(qū)域占總面積的二分之一是解題的關(guān)鍵．6．（2021·浙江·杭州市建蘭中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)盒子中裝有10個(gè)紅球和若干個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若摸到白球的概率為，則盒子中原有的白球的個(gè)數(shù)為_________個(gè)．【答案】25【分析】設(shè)盒子中原有的白球的個(gè)數(shù)為個(gè)，利用簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算公式可得一個(gè)關(guān)于x的方程，再解方程即可得．【詳解】設(shè)盒子中原有的白球的個(gè)數(shù)為個(gè)，由題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，則盒子中原有的白球的個(gè)數(shù)為25個(gè)，故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算、分式方程的應(yīng)用，熟練掌握簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．7．（2022·浙江杭州·九年級(jí)開學(xué)考試）在六張完全相同的卡片上，分別畫有圓、矩形、菱形、等邊三角形、直角三角形、正六邊形，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張卡片，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的概率是_____．【答案】【分析】確定既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形的有幾個(gè)圖形，除以6即可求解．【詳解】解：∵從中隨機(jī)抽取一張卡片共有6種等可能結(jié)果，其中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的有圓、矩形、菱形、正六邊形這4種結(jié)果，∴從中隨機(jī)抽取一張卡片，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的概率是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，列舉法求概率，分辨出既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的圖形數(shù)量是解題的關(guān)鍵．8．（2022·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）2022年2月4日，北京冬奧會(huì)在北京一張家口隆重開幕，在北京冬奧會(huì)舉辦期間，小亮想到現(xiàn)場(chǎng)觀看兩場(chǎng)比賽，于是搜集了如圖所示編號(hào)為A，B，C，D的四張圖片（四張圖片除正面圖案不同外，圖片大小、材質(zhì)都相同），他將四張圖片背面朝上洗勻后，隨機(jī)抽取其中的兩張，到現(xiàn)場(chǎng)觀看抽中圖片上所對(duì)應(yīng)的比賽，則小亮抽中短道速滑和花樣滑冰雙人滑的概率是_____．【答案】【分析】根據(jù)題意，畫出樹狀圖，可得共有12種等可能的結(jié)果，其中小亮抽中短道速滑和花樣滑冰雙人滑的有2種，再根據(jù)概率公式計(jì)算，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，畫出樹狀圖，如下圖：共有12種等可能的結(jié)果，其中小亮抽中短道速滑和花樣滑冰雙人滑的有2種，則小亮抽中短道速滑和花樣滑冰雙人滑的概率是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用樹狀圖或列表法求概率，明確題意，準(zhǔn)確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2021·河南·溫縣黃莊鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）小明和小穎一起做游戲，他們把形狀和大小完全相同的6張卡片分成兩組，每組3張，分別標(biāo)上1，2，3，將這兩組卡片分別放入兩個(gè)盒子中攪勻，再從中隨機(jī)抽取一張．(1)請(qǐng)用畫樹狀圖（或列表法）求抽取的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù)的概率；(2)若抽取的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù)，則小明勝；若抽取的兩張卡片數(shù)字之和為偶數(shù)；則小穎勝．試分析這個(gè)游戲是否公平，若不公平，誰獲勝的可能性較大．【答案】(1)(2)這個(gè)游戲不公平，且小穎獲勝的可能性較大【分析】（1）利用樹狀圖（或列表法）求概率即可；（2）根據(jù)（1）中數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷即可.(1)解：根據(jù)列表法如下：1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）P（抽取的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù)）=；(2)由（1）可知P（抽取的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù)）=，即小明勝的概率為；則小穎勝的概率．；∴這個(gè)游戲不公平，且小穎獲勝的可能性較大．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)樹狀圖（或列表法）求概率及可能性的判斷，掌握概率的求解方法是解題的關(guān)鍵．10．（2021·云南