專項31相似三角形-A字型(2種類型)(原卷版+解析)VIP

專項31相似三角形-A字型（2種類型）有一個公共角（圖①、圖②）或角有公共部分（圖③，∠BAC及∠DAE有公共部分∠DAF），此時需要找另一對角相等，另外若題中未明確相似三角形對應頂點，則需要分類討論，如圖③中可找條件∠D＝∠C或∠D＝∠B.【類型1：平行類A字型】1．如圖，DE∥BC，且EC；BD＝2；3，AD＝9，則AE的長為（）A．6 B．9 C．3 D．42．如圖，在△ABC中，點D、E分別在線段AB、AC上，DE∥BC，AD：AB＝1：3，若△ADE的面積是1，則△ABC的面積是（）A．3 B．4 C．8 D．93．如圖，在△ABC中，邊BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形PQMN的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．求這個正方形的邊長．4．陽光明媚的一天實踐課上，亮亮準備用所學知識測量教學樓前一座假山AB的高度，如圖，亮亮在地面上的點F處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端A、教學樓頂端C在一條直線上．此時他起身在F處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學樓的影子末端恰好重合于點G處，測得FG＝2米，亮亮的身高EF為1.6米．假山的底部B處因有花園圍欄，無法到達，但經(jīng)詢問和進行部分測量后得知，BF＝9米，點D、B、F、G在一條直線上，CD⊥DG，AB⊥DG，EF⊥DG，已知教學樓CD的高度為16米，請你求出假山的高度AB．5．如圖，直立在B處的標桿AB＝2.9米，小愛站在F處，眼睛E處看到標桿頂A，樹頂C在同一條直線上（人，標桿和樹在同一平面內，且點F，B，D在同一條直線上）．已知BD＝6米，F(xiàn)B＝2米，EF＝1.7米，求樹高CD．6．小麗想利用所學知識測量旗桿AB的高度，如圖，小麗在自家窗邊看見旗桿和住宅樓之間有一棵大樹DE，小麗通過調整自己的位置，發(fā)現(xiàn)半蹲于窗邊，眼睛位于C處時，恰好看到旗桿頂端A、大樹頂端D在一條直線上，小麗用測距儀測得眼睛到大樹和旗桿的水平距離CH、CG分別為7米、28米，眼睛到地面的距離CF為3.5米，已知大樹DE的高度為7米，CG∥BF交AB于點G，AB⊥BF于點B，DE⊥BF于點E，交CG于點H，CF⊥BF于點F．求旗桿AB的高度．7．為了測量旗桿AB的高度，小穎畫了如下的示意圖，其中CD，EF是兩個長度為2m的標桿．（1）如果現(xiàn)在測得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗桿AB的高度；（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）（2）如果CE的長為x，EG的長為y，請用含x，y的代數(shù)式表示旗桿AB的高度．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．動點P從點B出發(fā)，沿線段BA以每秒2個單位長度的速度向終點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)，沿折線AC﹣CB以每秒2個單位長度的速度向點B運動．當點P到達終點時，點Q也停止運動．設運動的時間為t秒．（1）AB＝；（2）用含t的代數(shù)式表示線段CQ的長；（3）當Q在AC上運動時，若以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，求t的值；（4）設點O是PA的中點，當OQ與△ABC的一邊垂直時，請直接寫出t的值．9．如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的直線交AB的延長線于點M，作AD⊥MC，垂足為D，已知AC平分∠MAD．（1）求證：MC是⊙O的切線；（2）若AB＝BM＝4，求tan∠MAC的值．10．如圖①，等邊三角形紙片ABC中，AB＝12，點D在BC上，CD＝4，過點D折疊該紙片，得點C'和折痕DE（點E不與點A、C重合）．（1）當點C'落在AC上時，依題意補全圖②，求證：DC'∥AB；（2）設△ABC'的面積為S，S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，請說明理由；（3）當B，C'，E三點共線時，EC的長為.【類型2：不平行A字型】11.如圖，D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的點，若∠1＝∠B，＝，△ADE的面積等于2，則△ABC的面積為（）A．4 B．8 C．10 D．1212．如圖，點F是△ABC的角平分線AG的中點，點D、E分別在AB、AC邊上，線段DE過點F，且∠ADE＝∠C，下列結論中，錯誤的是（）A． B． C． D．13.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，點D在AC上且AD＝3，DE⊥AB于點E，求AE的長．14．問題提出（1）如圖①．在等邊△ABC中，點D是BC上一點，過點D作DE⊥AB于點E，過點D作DF⊥AC于點F，BD＝4，CD＝2，求四邊形AEDF的面積；問題解決（2）濕地公園具有濕地保護與利用、科普教育、濕地研究、生態(tài)觀光、休閑娛樂等多種功能．某濕地公園有一塊長BC為80米，寬AB為60米的矩形濕地，如圖②所示．為使游客更方便游覽，現(xiàn)需要建一個觀光游覽平臺EFMD，其中點E、F、M分別在AD、AC、CD上，AE＝FE，∠DEF+∠DMF＝180°．要使觀光平臺容納更多游客，想讓四邊形EFMD的面積盡可能的大．請問，是否存在符合設計要求的面積最大的四邊形觀光平臺EFMD？若存在，求四邊形EFMD面積的最大值及這時AF的長度；若不存在，請說明理由．專項31相似三角形-A字型（2種類型）有一個公共角（圖①、圖②）或角有公共部分（圖③，∠BAC及∠DAE有公共部分∠DAF），此時需要找另一對角相等，另外若題中未明確相似三角形對應頂點，則需要分類討論，如圖③中可找條件∠D＝∠C或∠D＝∠B.【類型1：平行類A字型】1．如圖，DE∥BC，且EC；BD＝2；3，AD＝9，則AE的長為（）A．6 B．9 C．3 D．4【答案】A【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵EC：BD＝2：3，AD＝9，∴，解得AE＝6．故選：A．2．如圖，在△ABC中，點D、E分別在線段AB、AC上，DE∥BC，AD：AB＝1：3，若△ADE的面積是1，則△ABC的面積是（）A．3 B．4 C．8 D．9【答案】D【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2，∵AD：AB＝1：3，若△ADE的面積是1，∴S△ABC＝9，故選：D．3．如圖，在△ABC中，邊BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形PQMN的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．求這個正方形的邊長．【解答】解：如圖，設正方形的邊長為x，∴MN＝ID＝PN＝x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝4，∴這個正方形的邊長4cm．故答案為：4．4．陽光明媚的一天實踐課上，亮亮準備用所學知識測量教學樓前一座假山AB的高度，如圖，亮亮在地面上的點F處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端A、教學樓頂端C在一條直線上．此時他起身在F處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學樓的影子末端恰好重合于點G處，測得FG＝2米，亮亮的身高EF為1.6米．假山的底部B處因有花園圍欄，無法到達，但經(jīng)詢問和進行部分測量后得知，BF＝9米，點D、B、F、G在一條直線上，CD⊥DG，AB⊥DG，EF⊥DG，已知教學樓CD的高度為16米，請你求出假山的高度AB．【解答】解：∵CD⊥DG，EF⊥DG，∴EF∥CD，∴△GEF∽△GCD，∴＝，即＝，解得BD＝9．∵CD⊥DG，AB⊥DG，∴AB∥CD，∴△FAB∽△FCD，∴＝，即＝，解得AB＝8，∴假山的高度AB為8米．5．如圖，直立在B處的標桿AB＝2.9米，小愛站在F處，眼睛E處看到標桿頂A，樹頂C在同一條直線上（人，標桿和樹在同一平面內，且點F，B，D在同一條直線上）．已知BD＝6米，F(xiàn)B＝2米，EF＝1.7米，求樹高CD．【解答】解：過E作EH⊥CD交CD于H點，交AB于點G，如下圖所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四邊形EFDH為矩形，∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米，∴AG＝AB﹣GB＝2.9﹣1.7＝1.2（米），∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴＝，∴＝，解得CH＝4.8，∴CD＝CH+DH＝4.8+1.7＝6.5（米）．答：樹高CD為6.5米．6．小麗想利用所學知識測量旗桿AB的高度，如圖，小麗在自家窗邊看見旗桿和住宅樓之間有一棵大樹DE，小麗通過調整自己的位置，發(fā)現(xiàn)半蹲于窗邊，眼睛位于C處時，恰好看到旗桿頂端A、大樹頂端D在一條直線上，小麗用測距儀測得眼睛到大樹和旗桿的水平距離CH、CG分別為7米、28米，眼睛到地面的距離CF為3.5米，已知大樹DE的高度為7米，CG∥BF交AB于點G，AB⊥BF于點B，DE⊥BF于點E，交CG于點H，CF⊥BF于點F．求旗桿AB的高度．【解答】解：由題意知BG＝HE＝CF＝3.5米，∴DH＝DE﹣CF＝7﹣3.5＝3.5（米），∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴AG∥DH，∴△CDH∽△CAG，∴＝，即，∴AG＝14米，∴AB＝AG+GB＝14+3.5＝17.5（米），∴旗桿AB的高度為17.5米．7．為了測量旗桿AB的高度，小穎畫了如下的示意圖，其中CD，EF是兩個長度為2m的標桿．（1）如果現(xiàn)在測得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗桿AB的高度；（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）（2）如果CE的長為x，EG的長為y，請用含x，y的代數(shù)式表示旗桿AB的高度．【解答】解：（1）由題意得：∠ABC＝∠DCE＝∠FEG＝90°，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2m，∵∠DEC＝∠AEB，∴△DEC∽△AEB，∴＝，∴＝，∵∠FGE＝∠AGB，∴△FGE∽△AGB，∴＝，∴＝，∴＝，∴EB＝（8+12）m，∴＝，∴AB＝8+4≈14.92m，答：旗桿AB的高度為14.92米；（2）由（1）得：△DEC∽△AEB，∴＝，∴＝，由（1）得：△FGE∽△AGB，∴＝，∴＝，∴＝，∴EB＝，∴＝，∴AB＝，答：旗桿AB的高度為m．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．動點P從點B出發(fā)，沿線段BA以每秒2個單位長度的速度向終點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)，沿折線AC﹣CB以每秒2個單位長度的速度向點B運動．當點P到達終點時，點Q也停止運動．設運動的時間為t秒．（1）AB＝20；（2）用含t的代數(shù)式表示線段CQ的長；（3）當Q在AC上運動時，若以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，求t的值；（4）設點O是PA的中點，當OQ與△ABC的一邊垂直時，請直接寫出t的值．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝16，BC＝12，∴．故答案為：20；（2）①當點Q在線段CA上時，CQ＝AC﹣AQ＝16﹣2t（0≤t≤8），②當點Q在線段CA上時，CQ＝2t﹣16（8＜t≤10），綜上，線段CQ的長為16﹣2t（0≤t≤8）或2t﹣16（8＜t≤10）；（3）如圖1，當∠AQP＝90°時，△AQP∽△ACB，∴．由題意：BP＝2t，AQ＝2t，∴PA＝AB﹣BP＝20﹣2t，∴，∴t＝；如圖2，當∠APQ＝90°時，△APQ∽△ACB，∴，由題意：BP＝2t，AQ＝2t，∴PA＝AB﹣BP＝20﹣2t，∴，解得：t＝．綜上所述，t＝或時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似；（4）如圖3，當QO⊥AB時，∵OP＝OA，OQ⊥PB，∴QP＝QA＝2t，∵點O是PA的中點，∴OP＝OA＝PA＝（20﹣2t），∵∠B＝∠B，∠QOB＝∠C＝90°，∴△BOQ∽△BCA，∴，∴，解得：，如圖4，當OQ⊥AC時，∵AC⊥BC，OQ⊥AC，∴OQ∥BC，∴△AOQ∽△ABC，∴，∵點O是PA的中點，∴OP＝OA＝PA＝（20﹣2t），∴，∴，如圖5，當OQ⊥BC時，∵AC⊥BC，OQ⊥BC，∴OQ∥AC，∴△BOQ∽△BAC，∴，∵BQ＝AC+BC﹣2t＝16+12﹣2t＝28﹣2t，BO＝BP+PO＝2t+（20﹣2t）＝10+t，∴，解得，綜上所述，當OQ與△ABC的一邊垂直時，t的值為或或．9．如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的直線交AB的延長線于點M，作AD⊥MC，垂足為D，已知AC平分∠MAD．（1）求證：MC是⊙O的切線；（2）若AB＝BM＝4，求tan∠MAC的值．【解答】（1）證明：∵AD⊥MC，∴∠D＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵AC平分∠MAD，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥DA，∴∠D＝∠OCM＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴MC是⊙O的切線；（2）解：∵AB＝4，∴OC＝OB＝AB＝2，∴OM＝OB+BM＝6，在Rt△OCM中，MC＝＝＝4，∵∠M＝∠M，∠OCM＝∠D＝90°，∴△MCO∽△MDA，∴＝＝，∴＝＝，∴MD＝，AD＝，∴CD＝MD﹣MC＝，在Rt△ACD中，tan∠DAC＝＝＝，∴tan∠MAC＝tan∠DAC＝，∴tan∠MAC的值為．10．如圖①，等邊三角形紙片ABC中，AB＝12，點D在BC上，CD＝4，過點D折疊該紙片，得點C'和折痕DE（點E不與點A、C重合）．（1）當點C'落在AC上時，依題意補全圖②，求證：DC'∥AB；（2）設△ABC'的面積為S，S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，請說明理由；（3）當B，C'，E三點共線時，EC的長為.【解答】（1）證明：補全圖形，如圖②所示，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵過點D折疊該紙片，得點C'和折痕DE，∴∠DC′C＝∠C＝60°，∴∠DC′C＝∠A＝60°，∴DC'∥AB；（2）解：S存在最小值，如圖③，過點D作DF⊥AB于F，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝12，又∵CD＝4，∴BD＝8，由折疊可知，DC′＝DC＝4，∴點C′在以D為圓心，4為半徑的圓上，∴當點C′在DF上時，點C′到AB的距離最小，S△ABC最小，∵Rt△BDF中，DF＝DB?sin∠ABD＝8?sin60°＝8×＝4，∴S最?。健?2×（4﹣4）＝24﹣24；（3）解：EC＝2﹣2，理由如下：如圖④，連接BC′，過點D作DG⊥C′E于點G，過點E作EH⊥BC于點H，則∠DGC′＝∠EHC＝90°，設CE＝x，由翻折得：DC′＝DC＝4，C′E＝CE＝x，∠DC′E＝∠DCE＝60°，C′G＝DC′?cos∠DC′E＝4cos60°＝2，DG＝DC′?sin∠DC′E＝4sin60°＝2，CH＝CE?cos∠DCE＝x?cos60°＝x，EH＝CE?sin∠DCE＝x?sin60°＝x，∴BH＝BC﹣CH＝12﹣x，∵B，C'，E三點共線，∴∠DBG＝∠EBH，BG＝BE﹣C′E+C′G＝BE﹣x+2，∴△BDG∽△BEH，∴＝＝，即：＝＝∴BE＝2x，∴＝，∵x＞0，∴x＝2﹣2，∴EC的長為2﹣2，故答案為：2﹣2．【類型2：不平行A字型】11.如圖，D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的點，若∠1＝∠B，＝，△ADE的面積等于2，則△ABC的面積為（）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】B【解答】解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∵＝，∴＝，∵△ADE的面積等于2，∴△ACB的面積等于8．故選：B．12．如圖，點F是△ABC的角平分線AG的中點，點D、E分別在AB、AC邊上，線段DE過點F，且∠ADE＝∠C，下列結論中，錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAG，∵點F是AG的中點，∴AF＝FG＝，∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△CAB，∴∠AEB＝∠B，又∵∠BAG＝∠CAG，∴△EAF∽△BAG，∴＝，∵∠ADE＝∠C，∠BAG＝∠CAG，∴△ADF∽△ACG，∴，故選：D13.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，點D在AC上且AD＝3，DE⊥AB于點E，求AE的長．【解答】解：∵DE⊥AB于點E，∠C＝90°，∴∠AED＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AB＝5，AD＝3，AC＝4，∴，∴AE＝．14．問題提出（1）如圖①．在等邊△ABC中，點D是BC上一點，過點D作DE⊥AB于點E，過點D作DF⊥AC于點F，BD＝4，CD＝2，求四邊形AEDF的面積；問題解決（2）濕地公園具有濕地保護與利用、科普教育、濕地研究、生態(tài)觀光、休閑娛樂等多種功能．某濕地公園有一塊長BC為80米，寬AB為60米的矩形濕地，如圖②所示．為使游客更方便游覽，現(xiàn)需要建一個觀光游覽平臺EFMD，其中點E、F、M分別在AD、AC、CD上，AE＝FE，∠DEF+∠DMF＝180°．要使觀光平臺容納更多游客，想讓四邊形EFMD的面積盡可能的大．請問，是否存在符合設計要求的面積最大的四邊形觀光平臺EFMD？若存在，求四邊形EFMD面積的最大值及這時AF的長度；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）過點C作CG⊥AB，垂足為G，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝6，在Rt△BED中，BE＝BD?cos60°＝4×＝2，DE＝BD?sin60°＝4×＝2，在Rt△DFC中，CF＝DC?cos60°＝2×＝1，DF＝