2025年高考數(shù)學一輪復習之冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

2025年高考數(shù)學一輪復習之塞函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

選擇題（共9小題）

11

)

1.已知久=y=eefz=7T元，則％,y,z的大小關(guān)系為（

A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

t

2.已知塞函數(shù)/（x）的圖象經(jīng)過點A（3,27）與點5口，64）,a=logo.itfb=Q.2,c=/°i,則(

A.c〈a〈bB.a〈b<cC.b<a<cD.c〈b〈a

3.設(shè)〃，gR,則“/g〃+妙=0"是“"=1”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

4.設(shè)〃=logo.i0.2,Z?=e°3,C=203,則〃,b,c的大小關(guān)系是()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

5.已知正數(shù)〃,b,。滿足〃=力=/碇，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列不等式一定成立的是（）

A.a+c<2bB.a+c>2bC.ac<b2D.ac>b2

6.已知集合/={%|y=/%-1},B={y\y=e1-x],則AG5=()

A.(0,1)B.(0,+8)C.[0,+8)D.[1,-|-OO

7.已知集合A={%|曾<0},B={y\y=ex],則AG5=()

A.(-1,+8)B.[-1,4-00)C.(0,3]D.[0,3)

8.已知集合M={x|2x-3>0},N={y|y="+1},則J()

33

A.MCN=(1,1)B.MUN=6,+00)

3

C.CNM=(1,|)D.MCN

9.已知函數(shù)/（%）=一五j）+b，若函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點（1,0）對稱，則10gab=（）

A.-3B.-2C.D.

二.填空題（共7小題）

10.計算：（》-2+/溫一（百一1）0+旬4+匈0.25=

11

11.已知2"=3"=6,則一+-二.

ab

12.方程/g(-2x)=lg(3-x2)的解集為.

13.已知/ga+6=—2,$=10,貝！］a=.

14.若嘉函數(shù)y=/的圖像經(jīng)過點(遮，3),則此累函數(shù)的表達式為.

1

15.已知曲線Ci：y=^與曲線C2：y=logax(。>0且。力1)交于點尸(xo,yo),若xo>2,則。的取值范

圍是.

16.已知實數(shù)xi、X2、yi、y2滿足好+比=1,好+禿=3,xij2-%2ji=V2,貝！J|xix2+yi>2|=.

三.解答題(共4小題)

17.設(shè)a為常數(shù)，函數(shù)/(*)=/0處事.

(1)若。=0,求函數(shù)>=/(無)的反函數(shù)y=fi(無)；

(2)若aWO,根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)y=/(x)的奇偶性，并說明理由.

18.已知函數(shù)/(x)=trx(1-x)(a>0,aWl)的最大值為1.

(1)求常數(shù)a的值；

(2)若三尤1WX2,f(XI)=/(X2),求證：Xl+X2<0.

19.已知指數(shù)函數(shù)/(無)=(3)-10a+4)〃在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(2x)-V(x)-3,當xe［0,2］時，求函數(shù)g(無)的值域.

20.若一個兩位正整數(shù)機的個位數(shù)為4,則稱相為“好數(shù)”.

(1)求證：對任意“好數(shù)”16一定為20的倍數(shù)；

(2)若〃z=p2->且夕，“為正整數(shù)，則稱數(shù)對(p,q)為“友好數(shù)對"，規(guī)定："㈣=*例如24

=52-I2,稱數(shù)對(5,1)為“友好數(shù)對”，貝陽(24)=求小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對”

的H(m)的最大值.

2025年高考數(shù)學一輪復習之塞函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共9小題)

11一

1.已知久=奩，y=e~e,z=7T元，則x,y,z的大小關(guān)系為()

A.x'>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

【考點】對數(shù)值大小的比較.

【專題】函數(shù)思想；構(gòu)造法；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【答案】D

__111[[7?1Y

【分析】將x=V2,y=ee9z=7T元變?yōu)閘nx=-^nl,lny=-Ine,biz=,n7i,構(gòu)造函數(shù)/(%)=(x

>0),利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合/wx=/"2=根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出結(jié)果.

Z4,

11.111

【解答】解：Vx=V2,y=ee,z=兀元,lnx=-^ln2,lny=—Ine,lnz=-Inn,

?2'eTi

構(gòu)造函數(shù)y(x)=—(x>o),則(嗎=匕磬(%>o),

當OVxVe時，f(x)>0,當％>e時，f'(x)<0,

???函數(shù)/(%)在(0,e)上遞增，在[e,+oo)上遞減，

1I

*.*lnx=-^ln2=-Tln4,e〈3V4,且e,3,4E[e,+°°

."(e)>f(3)>f(4),lny>lnz>lnx,

.".y>z>x.

故選：D.

【點評】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查構(gòu)造法、導數(shù)性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查

運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.已知幕函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過點A(3,27)與點8。，64),a=logo.i/,6=0.2，，c=?01,貝！]()

A.c<a<bB.a〈b〈cC.b〈a〈cD.c〈b〈a

【考點】幕函數(shù)的概念.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】設(shè)幕函數(shù)的解析式為了(無)=獷，把點(3,27)代入函數(shù)的解析式求得a的值，即可得到函

數(shù)的解析式，求出才的值，從而比較。，6,c的大小.

【解答】解：設(shè)幕函數(shù)的解析式為于(x)=x%

把點尸(3,27)代入函數(shù)的解析式可得，

3a=27,解得a=3,

這個函數(shù)的解析式是f(x)=/,

.,.戶=64,解得f=4,

.,.a=logo,i4<0,0<Z>=0.24<l,C=401>1,

故a<b<c,

故選：B.

【點評】本題考查了求事函數(shù)的解析式，幕函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題.

3.設(shè)a,bER,則“3+勵=0”是“ab=l”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)；充分條件與必要條件.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；簡易邏輯；邏輯推理；數(shù)學運算.

【答案】A

【分析】直接利用對數(shù)的運算和充分條件和必要條件的應用求出結(jié)果.

【解答】解：當/ga+/gb=O時，整理得ab=l；

當ab—1時,Iga和/gb不一定有意義，

故"lga+lgb=O”是“必=1”的充分不必要條件.

故選：A.

【點評】本題考查的知識要點：對數(shù)的運算，充分條件和必要條件的應用，主要考查學生的運算能力和

數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.設(shè)a=logo.i0.2,b—e03,c=203,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【考點】對數(shù)值大小的比較.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出a<l,b>c>\,然后即可得出a,b,c

的大小關(guān)系.

【解答】解：Iogo.i0.2<logo,i0.1=l,e°-3>2°-3>2°=l,

:?b>c>a.

故選：C.

【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的單調(diào)性，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知正數(shù)a,b,c滿足*=6=歷第e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列不等式一定成立的是()

A.a+c<2bB.a+c>2bC.ac<b2D.ac>b2

【考點】對數(shù)值大小的比較；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；不等關(guān)系與不等式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；導數(shù)的概念及應用；數(shù)學建模.

【答案】B

【分析】將a和c都用6表示，再利用求導即可比大小.

【解答】解：對于選項A和選項8,

由0°=6=欣。，可知c=eb,

則a+c=〃g+e"構(gòu)造函數(shù)/(x)=/nx+/-2x,

則/(無)=；+"-2.

因為正數(shù)a、6滿足e"=b,所以b>l.

1

當時，一+"-2>0恒成立，

x

所以/'(無)在xe[l,+8)上單調(diào)遞增，

因為6>1,則/(b)>f(1),

HPlnb+eb-2b>0+e-2>0,

所以歷b+J>26,即a+c>26.

故B選項正確：

對于選項C和選項D,

令6=孤，解得ajc=e?,此時故選項C和選項。都不正確.

故選：B.

【點評】本題主要考查構(gòu)造函數(shù)比大小，通過求導即可判斷，注意有時也可代特殊值來判斷選項，屬于

中等題.

6.已知集合2={x|y=/r—1},B={y\y—e1-x},則ACl2=()

A.(0,1)B.(0,+8)C.[0,+8)D.[1,+8)

【考點】指數(shù)函數(shù)的值域；交集及其運算.

【專題】函數(shù)思想；集合思想；綜合法；集合；數(shù)學運算.

【答案】D

【分析】先求出集合A,B,再利用集合的基本運算求解.

【解答】解：集合4={巾=7^二1}={中上1},B={y\y=e^'x}={y\y>0],

所以APlB=[l,+8).

故選：D.

【點評】本題主要考查了函數(shù)的定義域和值域，考查了集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題.

Y_Q

7.已知集合4={%|不|百30卜8={y|y=e*},則ACB=()

A.(-1,+8)B.[-1,+8)c.(0,3]D.[0,3)

【考點】指數(shù)函數(shù)的值域；交集及其運算；其他不等式的解法.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】先求出集合A,B,再根據(jù)交集的定義即可得解.

【解答】解：由七0<0,得華[3)(：+1)4°,解得_i<xW3,

x+1+1W0

所以A=(-1,3],B={y\y=ex}=(0,+0°),

所以AGB=(0,3].

故選：C.

【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知集合〃=口|2%-3>0},N={y|y="+1},貝1J()

33

A.MnTV=(1,1)B.MUN=G，+8)

3

C.QNM=(1,1)D.A/CN

【考點】指數(shù)函數(shù)的值域；集合的包含關(guān)系判斷及應用；并集及其運算；交集及其運算；補集及其運算.

【專題】集合思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；集合；數(shù)學運算.

【答案】D

【分析】先求解不等式和求函數(shù)的值域得到集合N的范圍，再根據(jù)交并補和集合間的關(guān)系的定義分

別判斷各選項即得.

【解答】解：；M={X|2X—3>0}=G，+8),N={y|y>l}=(1,+°°),

因MnN=G，+8),故A項錯誤；

由MUN=(1,+8),知8項錯誤；

由CNM=(L/，知C項錯誤；

因MUN,故。項正確.

故選：D.

【點評】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的值域，考查了集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題.

1

9.已知函數(shù)/(%)=1。出(。一Kpj)+力，若函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，則log〃/?=()

A.~3B.-2C.—2D.-1X

【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象；對數(shù)的運算性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯推理；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】利用函數(shù)圖象的對稱性求出。、6的值，即可求解.

【解答】解：因為函數(shù)無)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，

所以/(尤)=0恒成立，

2

代入得/(%)+/(2—x)=2b+log2g—^y)(a—=2b+log2{a+石墨)+4；%；；))=°，

1i

所以a=4,b=2,所以/ogab=—)

故選：C.

【點評】本題考查了函數(shù)圖象對稱性的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

—.填空題(共7小題)

10.計算：(3-2+/3一(b―1)0+34+S0.25=18.

【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)；有理數(shù)指數(shù)惠及根式.

【專題】計算題；對應思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【答案】18.

【分析】利用指數(shù)運算及對數(shù)運算化簡即可.

【解答】解：(3-2+eln3_(V3-1)°+匈4+匈0.25

=16+3-1+lg(4X0.25)

18+0=18,

故答案為：18.

【點評】本題考查了對數(shù)運算及指數(shù)運算的應用，屬于基礎(chǔ)題.

11

11.己知2。=3、=6,則一+-=1.

ab

【考點】對數(shù)的運算性質(zhì).

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【答案】1.

【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式求出a,b的值，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解.

【解答】解：,.,2。=3"=6,...a=log26,6=log36,

1111

.?#.―+―=--------+---------=log62+log63=log66=1,

ablog26log36

故答案為：1.

【點評】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

12.方程lg(-2x)=lg(3-x2)的解集為3x=-1}.

【考點】對數(shù)方程求解.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【答案】{尤|尤=-1}.

r—2x=3—%2

【分析】依題意得至苗―2刀>0，解得即可.

、3-久2>0

【解答】解：因為值(-2尤)=lg(3-7),

2x=3-x2

貝|，-2萬>0，解得尤=-i,

、3-%2>0

所以方程/g(-2無)=lg(3-/)的解集為國尤=-1).

故答案為：{x|x=-l}.

【點評】本題主要考查了對數(shù)運算性質(zhì)的簡單應用，屬于基礎(chǔ)題.

1

13.已矢口/ga+/?=-2,〃"=10,貝U〃=一.

-IT)-

【考點】對數(shù)的運算性質(zhì).

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【答案】—.

10

【分析】根據(jù)指對數(shù)互化可得b=高，結(jié)合匈a+卷=-2求參數(shù)值即可.

11

【解答】解：由題設(shè)b—loga10—場則Zga+=—2且〃>0,

所以/g2a+2/g°+i=（Zg（z+1）2=0,BPIga--l,故。=片.

故答案為：二.

10

【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.若基函數(shù)y=Y的圖像經(jīng)過點（遮，3）,則此事函數(shù)的表達式為y=i.

【考點】幕函數(shù)的概念.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；待定系數(shù)法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【答案】y=d.

【分析】由題意，利用幕函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得a的值，從而得出結(jié)論.

【解答】解：；塞函數(shù)的圖像經(jīng)過點（遮，3）,

；.（褥）。=3,；.a=3,

則此幕函數(shù)的表達式為>=f.

故答案為：y=/.

【點評】本題主要考查累函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

1

15.已知曲線Q：了二^與曲線。2：y=logax（〃>0且〃W1）交于點尸（xo,yo）,若xo>2,則〃的取值范

圍是（4,+8）.

【考點】對數(shù)函數(shù)及對數(shù)型復合函數(shù)的圖象.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；導數(shù)的綜合應用；數(shù)學運算.

【答案】（4,+8）.

【分析】由已知結(jié)合對數(shù)函數(shù)及反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可求解.

【解答】解：①當OVqVl時，由曲線C1和曲線C2的圖象可知，0<如<1,不合題意；

②當a>1時，有一=log%,可化為一=---有l(wèi)na=xolnxo

a0f

XQx0Ina

令于（x）=xlnx（x>2）,則，（x）=濟%+1>歷2+l>0,

故函數(shù)/（%）單調(diào)遞增，可得函數(shù)/（%）的值域為Q21n2,+8）,

故Inci>21Tl2=伉4,可得a>4.

故答案為：（4,+8）.

【點評】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應用，屬于中檔題.

16.已知實數(shù)xi、12、yi、滿足好+y）=L好+%=3,xiy2-X2yi=V2,貝6xix2+yiy2l=1.

【考點】有理數(shù)指數(shù)事及根式.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學運算.

【答案】1.

【分析】由題意結(jié)合三角換元和三角恒等變換即可求解.

【解答】解：,實數(shù)xi、X2、＞1、"滿足后+yl=1,%2+yi=3，

.,.可令xi=cosa,yi=sina,xi—V3cosP，y2—V3sinp,

則xiv2-x2yi=cosa*V3sinP-sina,V3cosP=V3sin(0-a)=V2,

可得sin(p-a)=萼，

貝1J|xix2+yiy2|=|cosa?V^cosB+sina?V^sin[3]=V3|cos(p-a)|=V3XJl-sin(0—a)2=V3XJl—1=1.

故答案為：1.

【點評】本題考查了三角換元的運用，三角恒等變換，是中檔題.

三.解答題(共4小題)

17.設(shè)。為常數(shù)，函數(shù)/(*)=/0處事.

(1)若。=0,求函數(shù)＞=/(無)的反函數(shù)y=fi(無)；

(2)若aWO,根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)y=/(x)的奇偶性，并說明理由.

【考點】反函數(shù)；函數(shù)的奇偶性.

【專題】計算題；分類討論；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【答案】(1)fT(X)=當，久70；

(2)當。=-1時，函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)；當aWO且時，函數(shù)y=f(無)既不是奇函數(shù)，也

不是偶函數(shù).

【分析】(1)利用y把尤表示出來即可求得結(jié)果；

(2)對。分情況討論，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)由y=/。比室，得2〃=亨，于是x=器，且yWO.

因此，所求反函數(shù)為fT(久)=/\,%*0.

(2)當。=-1時，/(%)=/。。2罟，定義域為(-8,-1)U(1,+8).

y(—x)=log2葺斗=log2臺|=-log2/=一/(久)，故函數(shù)y=f(尤)是奇函數(shù)；

當且-1時，函數(shù))=/(x)的定義域為(-8,-1)U(-＜2,+°°),函數(shù)(x)既不是

奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

【點評】本題考查了反函數(shù)的求解以及函數(shù)奇偶性的判斷，屬于中檔題.

18.已知函數(shù)/(%)=ax(1-x)(Q>0,的最大值為1.

(1)求常數(shù)〃的值；

(2)若f(XI)=f(X2),求證：Xl+X2<0.

【考點】指數(shù)函數(shù)綜合題.

【專題】方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；不等式的解法及應用；數(shù)學運算.

【答案】⑴a=e；

(2)證明見解析.

【分析】(1)由題可得/(x)=6^[-xlna+lna-l]=ax(-Ina)9分類討論可得。>1時，

f(x)max=f(―——)=a1na,即/幾〃-l=ln(Ina),然后通過構(gòu)造函數(shù)h(x)Inx-x+1可求；

JInaIna

(2)由題可得/(-X2)-f(xi)=e~X2(l+x2)—eX2(1-x2),構(gòu)造函數(shù)m(x)=ex(1+x)-

(1-x)(0<x<l),利用導數(shù)可得機(x2)>m(0)=0,即得.

【解答】解：(1)由題意xER,/(x)=ax[-xlna+lna-1]=0^(-Ina)(%—

由于/>0,

所以若-lna>0,即

當xV華工時，f(x)<0；當x>華工時，f(x)>0；

InaJInaJ

lna—1lna—1

即/(X)在(-8,-----)上單調(diào)遞減，在(1一,+8)上單調(diào)遞增，不合題意；

InaIna

若Tna〈U,即a>l,

當x<隼]時，f(%)>0；當時，/(無)<0；

lna—1lna—1

即/(X)在(-8,-----)上單調(diào)遞增，在(------,+8)上單調(diào)遞減，

所以a阮。=lna,兩邊取自然對數(shù)得：Ina-1=In(Ina),

BPIn(Ina)-lna+l=0,

令h(x)=lnx-x+1?

則〃a)=3i=F

易知0<x<l時，h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；x>l時，h'(無)<0,h(x)單調(diào)遞減，

??h(X)max=h(1)=0，

BPlnx-x+l=0的根為1,

所以lna=l,

即a=e；

(2)由(1)知/(%)(1-x),且在(-8,o)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

f(1)=0,f(0)=1,

當-8時，f(x)f0；當+8時，f(x)f一8,

由/(XI)=f(X2)(X1WX2),不妨設(shè)XIV0Vx2〈l,

貝!]/(-X2)-f(XI)=f(-X2)-f(X2)=e~X2(1+X2)—ex2(1-X2),

令m(%)=ex(1+x)-/(1-x)(0<x<l),

于是加(x)=x-ex)>0,

所以機(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以m(x2)>m(0)=0,

所以/(-%2)>f(XI),且XI,-X2G(-8,0),

從而XI<-X2,

即Xl+X2<0.

lna—1

【點評】本題考查了轉(zhuǎn)化思想求函數(shù)的最值及極限思想,第一問利用導數(shù)通過分類討論得到a俞=lna,

通過兩邊取對數(shù)，構(gòu)造函數(shù)〃(無)=lwc-x+l,再利用導數(shù)求a的值；第二問關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)機(%)

=/￡(1+無)-爐G-x)(0<%<1),然后利用導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即證，屬于難題.

19.已知指數(shù)函數(shù)/(無)=(3o2-10a+4)〃在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(尤)=/(2x)-"(X)-3,當尤日0,2]時，求函數(shù)g(無)的值域.

【考點】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【答案】(1)/(%)=3*；

(2)[-7,42].

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義和單調(diào)性可解；

(2)令/=3工，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解可得.

【解答】解：⑴,?,/(X)是指數(shù)函數(shù)，

，3。2-]0。+4=1,解得。=3或a=*,

又?:f3在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以。=3,

：.f(x)=3"；

(2)g(尤)=32*-44-3=(3D2-4(3D-3,

VxG[O,2],

.?.3Ae[l,9],令f=3工,re[l,9],

：.g(/)=？-4r-3,tE[l,9],

g(E)min=g(2)=-7,

g(t)max=g(9)=92-4x9-3=42,

：.g(x)的值域為[-7,42].

【點評】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

20.若一個兩位正整數(shù)/"的個位數(shù)為4,則稱他為“好數(shù)”.

(1)求證：對任意“好數(shù)"如16一定為20的倍數(shù)；

(2)若機=p2-/且0,彳為正整數(shù)，則稱數(shù)對(p,q)為“友好數(shù)對”，規(guī)定：H(m)=3例如24

=52-P,稱數(shù)對仃，1)為“友好數(shù)對”，則//(24)=得，求小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對”

的H(m)的最大值.

【考點】有理數(shù)指數(shù)累及根式.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯推理；數(shù)學運算.

【答案】(1)證明見解析

15

(2)——.

17

【分析】(1)設(shè)相=10什4,從而有16=(10/+4)2-16=100?+80/+16-16=20(5尸+書)即可證

明；

(2)根據(jù)題意可得10/+4=(p+q)(p-4),進而分類討論即可求解.

【解答】解：(1)證明：設(shè)m=10f+4,1WW9且f為整數(shù)，

.\m2-16=(10/+4)2-16=100r+80r+16-16=20(5理+4力，

；lWfW9,且/為整數(shù)，，5P+書是正整數(shù)，

"2-16一定是20的倍數(shù);

(2)'.'m—p2-q2,且。，g為正整數(shù)，10r+4=(p+q)(p-q),

當t=l時，107+4=14=1X14=2X7,沒有滿足條件的p,q,

當t=2時，10什4=24=1義24=2義12=3X8=4X6,

,滿足條件的有憶屋;2或憶曙:,

解得仁國工；

q1

.?.”(*=學或m，

當f=3時，107+4=34=1X34=2X17,沒有滿足條件的p,q,

當t=4時，10r+4=44=lX44=2X22=4Xll,

?.?滿足條件的有KI］：：，解得《二制，

=患=|，

當f=5時，10r+4=54=lX54=2X27=3X18=6><9,沒有滿足條件的p,q,

當t=6時，10什4=64=1X64=2X32=4X16=8X8,

???滿足條件的有｛黑箕或匕駕

解得憶&C”

=居或g，

小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對”的H(m)的最大值為三.

【點評】本題主要考查了新定義問題，考查了學生的邏輯推理能力，屬于中檔題.

考點卡片

1.集合的包含關(guān)系判斷及應用

【知識點的認識】

概念：

1.如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；Acs；如果集合A

是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于4那么集合A叫做集合B的真子集，即AuB；

2.如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那

么我們就說集合A等于集合8,即A=B.

【解題方法點撥】

1.按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列.

2.注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系.

4.有時借助數(shù)軸，平面直角坐標系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法.

【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義

域，三角函數(shù)的解集，子集的個數(shù)，簡易邏輯等知識相結(jié)合命題.

2.并集及其運算

【知識點的認識】

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與8的并集，記作AUB.

符號語言：4口8={小€4或止8}.

圖形語言：

AU3實際理解為：①％僅是A中元素；②％僅是8中的元素；③x是A且是8中的元素.

運算形狀：

②AU0=A.③ALM=A.(4)AUB2A,AUB2B.⑤⑥AUB=0,兩個

集合都是空集.⑦AU(CuA)=U.⑧Cu(AUB)=(C，4)Cl(CUB).

【解題方法點撥】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混

用；注意并集中元素的互異性.不能重復.

【命題方向】掌握并集的表示法，會求兩個集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)

的定義域，值域聯(lián)合命題.

3.交集及其運算

【知識點的認識】

由所有屬于集合A且屬于集合8的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作ACB.

符號語言：AnB={x|xeA,且在團.

AC2實際理解為：x是A且是2中的相同的所有元素.

當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集.

運算形狀：

①②AC0=0.③AnA=A.?AABGA,ACiBQB.⑤"B=A=AaB.⑥ACB=0,兩個

集合沒有相同元素.⑦an(CuA)=0.⑧Cu(AAB)=(CuA)U(CuB).

【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖.

【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集.

命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)

合命題.

4.補集及其運算

【知識點的認識】

一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作

U.(通常把給定的集合作為全集).

對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡

稱為集合A的補集，記作CuA,CuA=[x\xeU,且通4}.其圖形表示如圖所示的Venn

C人

圖.

【解題方法點撥】

常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補集常用于對立事件，否命題，反證法.

【命題方向】

通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補集的選擇題，有時出現(xiàn)在簡易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、

值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn).

5.充分條件與必要條件

【知識點的認識】

1、判斷：當命題“若。則為真時，可表示為pnq,稱p為q的充分條件，q是p的必要條件.事實上，

與“0今/等價的逆否命題是它的意義是：若q不成立，則p一定不成立.這就是說，q對

于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件.例如：p：x>2；q：x>0.顯然xCp,則xCq.等價于x幽，

則x即一定成立.

2、充要條件：如果既有“p今又有“q=p”,則稱條件p是g成立的充要條件，或稱條件q是p成立的

充要條件，記作“p=4”.p與q互為充要條件.

【解題方法點撥】

充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一

不可.證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學

生答題時往往混淆二者的關(guān)系.判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判斷充要條件的方法是：

①若pnq為真命題且qnp為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；

②若p=q為假命題且qnp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；

③若p=q為真命題且q=p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；

④若pnq為假命題且qnp為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件.

⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q

的關(guān)系.

【命題方向】

充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)

容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學階段的知識點都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣.

6.不等關(guān)系與不等式

【知識點的認識】

48

不等關(guān)系就是不相等的關(guān)系，如2和3不相等，是相對于相等關(guān)系來說的，比如：;與：就是相等關(guān)系.而

不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關(guān)系，第二層也就意味著它是個式子，比方說a-b

>0就是不等式.

不等式定理

①對任意的a,b,有a>b=a-/?>0；a=b=>a-b=0；-b<0,這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù).

②如果那么匕<〃；如果那么

③如果a>b,且b>c,那么a>c；如果a>b,那么a+c>b+c.

推論：如果〃>6,且。>d,那么〃+c>Z?+d.

④如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果cVO,那么ac<bc.

【命題方向】

例1：解不等式：sinxN^.

解：Vsinx>-2,

?二2/r+N內(nèi)i+二-（左EZ）,

oo

二?不等式sinx>2的解集為{x|2E+看<x^2^rr+ZEZ}.

這個題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關(guān)知識，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結(jié)的特點，這

個題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個周期的，然后加上所以周期就是最后的解.

11

例2：當次?>0時，〃>5=一<一.

ab

1

證明：由加>0,知一7〉0.

ab

1I11

又'：a>b，?"前>b?訪即尸了

1111

若一V一,貝卜?ab<—?ab

abab

:.a>b.

這個例題就是上面定理的一個簡單應用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯的，直接舉個反例即可，

這種技巧在選擇題上用的最廣.

7.其他不等式的解法

【知識點的認識】

指、對數(shù)不等式的解法其實最主要的就是兩點，第一點是判斷指、對數(shù)的單調(diào)性，第二點就是學會指數(shù)和

指數(shù)，對數(shù)和對數(shù)之間的運算，下面以例題為講解.

【解題方法點撥】

例1：已知函數(shù)/(x)="一1建是自然對數(shù)的底數(shù)).證明：對任意的實數(shù)無，不等式/(%)》尤恒成立.

解：(/)設(shè)h(x)—f(x)-x—e^1-x

.".h'(x)=，1-1,

當x>l時，h'(x)>0,h(x)為增，

當x<l時，h(x)<0,h(x)為減，

當x=l時，h(x)取最小值〃(1)=0.

'.h(x)三〃(1)=0,即/(x)

這里面是一個綜合題，解題的思路主要還是判斷函數(shù)的單調(diào)性，尤其是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查的重點其

實是大家的計算能力.

例2：已知函數(shù)/(x)=loga(X-1),g(無)=logo(3-尤)(。>0且aWl),利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討

論不等式/(x)2g(x)中x的取值范圍.

解:「不等式尤)(尤)，即logo(X-1)桐loga(3-X),

(Y—1—X

???當〃>1時，有,解得2<x<3.

[1<%<3

(Y—[<73—x

當1>心0時，有，解得1<X<2.

[1<%<3

綜上可得，當。>1時，不等式/(無)2g(%)中x的取值范圍為(2,3)；

當l>a>0時，不等式/(%)(無)中x的取值范圍為(1,2).

這個題考查的就是對數(shù)函數(shù)不等式的求解，可以看出主要還是求單調(diào)性，當然也可以右邊移到左邊，然后

變成一個對數(shù)函數(shù)來求解也可以.

【命題方向】

本考點其實主要是學會判斷各函數(shù)的單調(diào)性，然后重點考察學生的運算能力，也是一個比較重要的考點，

希望大家好好學習.

8.函數(shù)的奇偶性

【知識點的認識】

①如果函數(shù)/（X）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個X,都有/（-X）=-f（X）,那么函

數(shù)了（尤）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于（0,0）對稱.②如果函數(shù)/（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且

定義域內(nèi)任意一個x,都有-尤）=fG那么函數(shù)了（無）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于y軸對稱.

【解題方法點撥】

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用/（0）=0解相關(guān)的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用無）=-/（-x）解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用/（%）=/（-%）這個去求解；

④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反.

例題：函數(shù)y=4x|+px,xeR是（）

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶D.與p有關(guān)

解:由題設(shè)知/（x）的定義域為R,關(guān)于原點對稱.

因為/（-無）—-x\-x\-px--x\x\-px--f（x）,

所以了（無）是奇函數(shù).

故選&

【命題方向】

函數(shù)奇偶性的應用.

本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確

率.

9.嘉函數(shù)的概念

【知識點的認識】

累函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=/叫做幕函數(shù)，其中尤是自變量，。是常數(shù).

p

解析式：y=x°=久彳

定義域：當。為不同的數(shù)值時，塞函數(shù)的定義域的不同情況如下：

1.如果。為負數(shù)，則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)g的奇偶性來確定，即如果q為

偶數(shù)，則尤不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；

2.如果同時g為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù).

當x為不同的數(shù)值時，幕函數(shù)的值域的不同情況如下：

1.在X大于0時，函數(shù)的值域總是大于。的實數(shù).

2.在x小于0時，則只有同時g為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù).

而只有。為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域.

由于x大于。是對a的任意取值都有意義的.

10.有理數(shù)指數(shù)塞及根式

【知識點的認識】

根式與分數(shù)指數(shù)事

m__

規(guī)定：an=(〃>0,m,nGN,〃>1)

11*

Cln=-=——：(。>0，HljnGN，)

anJn/a

0的正分數(shù)指數(shù)哥等于0,0的負分數(shù)指數(shù)嘉沒有意義

有理數(shù)指數(shù)幕

(1)新的有關(guān)概念：

m,__.

①正分數(shù)指數(shù)幕：an=(〃>0,m,nGN,且〃>1)；

mi1

②負分數(shù)指數(shù)累：a~n-^=7^=(a>0,m,nGN*,且〃>1)；

③0的正分數(shù)指數(shù)累等于0,0的負分數(shù)指數(shù)暴無意義.

(2)有理數(shù)指數(shù)塞的性質(zhì)：

①屋"=。玉(a>0,r,seQ)；

②(czr)s—ars(a>0,r,seQ)；

③(ab)』aW(a>0,b>0,reQ).

【解題方法點撥】

例1：下列計算正確的是()

(-1)°=-1B,yfaVa=aC.V(-3)4=3-=\;“4{{x}A{2

-2}}$(a>0)

分析：直接由有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)化簡求值，然后逐一核對四個選項得答案.

解：：(-1)0=1,

；.A不正確；

*/$\sqrt{d\sqrt{a]]—\sqrt{a?{a}^[\frac{l}{2}}}=\sqrt{{a}A{\frac{3}{2}}}={〃}八{,ac{3}{4}}

\rao/{4}{{a}A{3}}$,

.'.B不正確；

'：$\root{4}{(-3)A{4}}=\rao?{4}{{3}A{4}}=3$,

AC正確；

\'$\frac{({a}A{x})A{2}}{{a}A{2}}=\^ac{{a}A{2x}}{{a}A{2}}={a}A{2x-2)$

/.D不正確.

故選：C.

點評：本題考查了根式與分數(shù)指數(shù)累的互化，考查了有理指數(shù)塞的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計算題.

例1：若a>0,且m,n為整數(shù)，則下列各式中正確的是()

A,${aAm}4-{aA/i}={a^{\frac[m}[n}}}$B,am-an=am'nCAamr=am+nD、

分析：先由有理數(shù)指數(shù)塞的運算法則，先分別判斷四個備選取答案，從中選取出正確答案.

解:A中，am-^-a