黑龍江省大慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

黑龍江省大慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足：，，則（）A. B.C. D.2．已知方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.C. D.3．已知等差數(shù)列，若，，則（）A.1 B.C. D.34．在中，B=60°，，，則AC邊的長(zhǎng)等于（）A. B.C. D.5．直線過雙曲線：的右焦點(diǎn)，在第一、第四象限交雙曲線兩條漸近線分別于P，Q兩點(diǎn)，若∠OPQ＝90°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則OPQ內(nèi)切圓的半徑為（）A. B.C.1 D.6．某城市2017年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)3060100110130140概率其中污染指數(shù)時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；時(shí)，空氣質(zhì)量為良；時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染，該城市2017年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為（）A. B.C. D.7．下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.8．已知拋物線過點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.9．已知，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為（）A.3 B.C. D.10．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn).若，點(diǎn)P到直線l的距離不小于，則橢圓C離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.11．等差數(shù)列的公差，且，，則的通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.12．小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)到直線的距離為______.14．已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______15．在單位正方體中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)B，E，的平面截該正方體所得的截面面積為______.16．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，直線，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別交直線于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，若，求的值18．（12分）已知數(shù)列中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）在和中插入k個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有數(shù)依次構(gòu)成首項(xiàng)和公差都為2的等差數(shù)列.求數(shù)列的前50項(xiàng)和.19．（12分）芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應(yīng)用在手機(jī)、軍工、航天等多個(gè)領(lǐng)域，是能夠影響一個(gè)國(guó)家現(xiàn)代工業(yè)的重要因素．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與統(tǒng)計(jì)，某公司七年時(shí)間里在芯片技術(shù)上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）根據(jù)折線圖的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到整數(shù)部分);（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新,當(dāng)研發(fā)技術(shù)投入不少于16億元時(shí),國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元,預(yù)測(cè)當(dāng)芯片的研發(fā)投入為17億元時(shí)公司的實(shí)際收益附:其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為,．參考數(shù)據(jù),20．（12分）已知二次函數(shù).（1）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式（其中）.21．（12分）已知圓：，直線：．圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱（1）求圓的方程；（2）點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、．求四邊形面積的取值范圍22．（10分）已知橢圓F：經(jīng)過點(diǎn)且離心率為，直線和是分別過橢圓F的左、右焦點(diǎn)的兩條動(dòng)直線，它們與橢圓分別相交于點(diǎn)A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB和直線CD相交于M．記直線的斜率分別為，且（1）求橢圓F標(biāo)準(zhǔn)方程（2）是否存在定點(diǎn)P，Q，使得為定值．若存在，請(qǐng)求出P、Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由a1＝3，，利用遞推思想，求出數(shù)列的前11項(xiàng)，推導(dǎo)出數(shù)列{an}從第6項(xiàng)起是周期為3的周期數(shù)列，由此能求出a2022【詳解】解：∵數(shù)列{an}滿足：a1＝3，，∴a2＝3a1+1＝10，5，a4＝3a3+1＝16，a58，4，a72，a81，a9＝3a8+1＝4，a102，a111，∴數(shù)列{an}從第6項(xiàng)起是周期為3的周期數(shù)列，∵2022＝5+672×3+1，∴a2022＝a6＝4故選：A2、A【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)，列出關(guān)于不等式，求解即可得到答案【詳解】由雙曲線的性質(zhì)：，解的或，故選：A3、C【解析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解?故選：C.4、B【解析】根據(jù)正弦定理直接計(jì)算可得答案.【詳解】由正弦定理，,得,故選：B.5、B【解析】根據(jù)漸近線的對(duì)稱性，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義、正切的二倍角公式、直角三角形內(nèi)切圓半徑公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，雙曲線的漸近線方程為：，因此，因?yàn)椤螼PQ＝90°，所以三角形是直角三角形，，而，解得：，由雙曲線漸近線的對(duì)稱性可知：，于是有，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，設(shè)OPQ內(nèi)切圓的半徑為，于是有：，即，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6、A【解析】根據(jù)互斥事件的和的概率公式求解即可.【詳解】由表知空氣質(zhì)量為優(yōu)的概率是，由互斥事件的和的概率公式知，空氣質(zhì)量為良的概率為，所以該城市2017年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，屬于中檔題.7、C【解析】焦點(diǎn)在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點(diǎn)：1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)8、D【解析】把點(diǎn)代入拋物線方程求出，再化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，所以拋物線方程為，方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.9、D【解析】應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求在上投影長(zhǎng)及的模長(zhǎng)，再應(yīng)用勾股定理求點(diǎn)C到直線AB的距離.【詳解】因?yàn)?，，所以設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，則故選：D10、D【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由題可得，由點(diǎn)P到直線l的距離不小于可得，進(jìn)而可求的范圍，即可得出離心率范圍.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，P為短軸的上端點(diǎn)，連接，如圖所示：由橢圓的對(duì)稱性可知，A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，又，∴四邊形為平行四邊形，∴，又，解得：，點(diǎn)P到直線l距離：，解得：，即，∴，∴.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查橢圓離心率的求解，解題的關(guān)鍵是由橢圓定義得出，再根據(jù)已知條件得出.11、C【解析】由于數(shù)列為等差數(shù)列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的兩個(gè)根，由可知，所以，從而可求出，可得到通項(xiàng)公式.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以可以看成一元二次方程的兩個(gè)根，因?yàn)椋?，所以，解得，所以故選：C【點(diǎn)睛】此題考查的是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】先研究四個(gè)選項(xiàng)中圖象的特征，再對(duì)照小明上學(xué)路上的運(yùn)動(dòng)特征，兩者對(duì)應(yīng)即可選出正確選項(xiàng).【詳解】考查四個(gè)選項(xiàng)，橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示的是離開學(xué)校的距離，由此知，此函數(shù)圖象一定是下降的，由此排除A；再由小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，故此時(shí)有一段函數(shù)圖象與x軸平行，由此排除D，之后為了趕時(shí)間加快速度行駛，此一段時(shí)間段內(nèi)函數(shù)圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的表示方法，關(guān)鍵是理解坐標(biāo)系的度量與小明上學(xué)的運(yùn)動(dòng)特征，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.14、【解析】先求出兩函數(shù)在上的值域，再由已知條件可得，且，列不等式組可求得結(jié)果【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，由，得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)椋?，使得，所以，解得，故答案為?5、【解析】根據(jù)題意，取的中點(diǎn)，連接、、、，分析可得四邊形為平行四邊形，則要求的截面就是四邊形，進(jìn)而可得為菱形，連接、，求出、的長(zhǎng)，計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，取的中點(diǎn)，連接、、、，易得，，則四邊形為平行四邊形，過點(diǎn)，，的截面就是，又由正方體為單位正方體，則，則為菱形，連接、，易得，，則，即要求截面的面積為，故答案為：16、【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，然后利用單調(diào)性求函數(shù)的最小值【詳解】解：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即取等號(hào)，因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值0，故答案為：0三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先求出拋物線的準(zhǔn)線，作于由拋物線的定義，可得，從而當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小，得出答案.（2）設(shè)，，設(shè)：與拋物線方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，設(shè)出直線的方程分別與直線的方程聯(lián)立得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到，的表達(dá)式，由條件可得答案.【小問1詳解】的準(zhǔn)線為：，作于，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，所以當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，所以，解得，所以的方程為【小問2詳解】由題意可知的斜率一定存在，且不為0，設(shè)：（），聯(lián)立消去得，由，即，得，結(jié)合，知記，，則直線的方程為由得易知，所以同理可得由，可得，即，化簡(jiǎn)得，結(jié)合，解得18、（1）證明見解析；（2）2735.【解析】(1)利用給定的遞推公式結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”計(jì)算推理作答.(2)插入所有項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，，再確定數(shù)列的前50項(xiàng)中含有數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，則有，而，即，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公式的等比數(shù)列.【小問2詳解】由(1)知，，即，插入的所有項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，，數(shù)列中前插入數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為：，而前插入數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為45，因此，數(shù)列的前50項(xiàng)中包含數(shù)列前9項(xiàng)，數(shù)列前41項(xiàng)，所以.19、（1）（2）85億元【解析】(1)利用公式和數(shù)據(jù)計(jì)算即可(2)代入回歸直線計(jì)算即可【小問1詳解】由折線圖中數(shù)據(jù)知,,,因?yàn)?所以所以y關(guān)于x的線性回歸方程為【小問2詳解】當(dāng)時(shí),億元,此時(shí)公司的實(shí)際收益的預(yù)測(cè)值為億元20、（1）（2）答案見解析【解析】(1)當(dāng)時(shí)將原不等式變形為，根據(jù)基本不等式計(jì)算即可；(2)將原不等式化為，求出參數(shù)a分別取值、、時(shí)的解集.【小問1詳解】不等式即為：，當(dāng)時(shí)，不等式可變形為：，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是；【小問2詳解】不等式，即，等價(jià)于，轉(zhuǎn)化為；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋圆坏仁降慕饧癁?；?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以不等式的解集為；?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以不等式的解集為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.21、（1）（2）【解析】（1）圓關(guān)于直線對(duì)稱，半徑不變，只需求出圓心對(duì)稱的坐標(biāo)即可.（2）將四邊形面積分成兩個(gè)全等的直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)，一條直角邊不變時(shí)，斜邊與另外一條直角邊的大小成正相關(guān)，從而得到面積的最小值與最大值.【小問1詳解】由題可知的圓心為，圓的半徑與之相同，圓心與之關(guān)于對(duì)稱，設(shè)的圓心為，故可根據(jù)中點(diǎn)在對(duì)稱的直線上得到①，根據(jù)斜率相乘為-1得到②，聯(lián)立①②可得，所以圓心坐標(biāo)為，且半徑為，故的方程為【小問2詳解】連接，將四邊形分割成兩個(gè)全等的直角三角形，所以有，四邊形面積的范圍可轉(zhuǎn)化為MP長(zhǎng)度的范圍，在中，根據(jù)勾股定理可知，因?yàn)榘霃介L(zhǎng)度不變，所以最大時(shí)最大；所以最小時(shí)最?。划嫵鋈缦聢D，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P移動(dòng)至在時(shí)面積最小，時(shí)面積最大；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以有，解得，所以，，所以，所以；，所以.所以22、（1）；（2）存在點(diǎn)，使得為定值.【解析】（1）設(shè)，，，結(jié)合條件即求；（2）由題可設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理法可得，再結(jié)合條件可得點(diǎn)的軌跡方程為，然后利用橢圓的