2024-2025學(xué)年北京市西城某中學(xué)高三年級上冊開學(xué)測試數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024-2025學(xué)年北京市西城外國語學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)測試數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合A-{xeZ\(x+2)(x—1)<0},B={-2,-1),那么4UB=()

A.{-2,—1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1}D.{—1}

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在(0,+8)上單調(diào)遞減的是()

A./(%)=#B./(x)=-x\x\C./(%)=*yD./(%)=%3

3.在一段時間內(nèi)，甲去博物館的概率為0.8,乙去博物館的概率為0.7,且甲乙兩人各自行動.則在這段時

間內(nèi)，甲乙兩人至少有一個去博物館的概率是()

A.0.56B.0.24C,0.94D.0.84

2

4.已知a=log20-2,b=2°-,c=0.2%則

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

5.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,則{即}是()

A.公差為2的等差數(shù)列B.公差為3的等差數(shù)列

C.公比為2的等比數(shù)列D.公比為3的等比數(shù)列

6.已知x>0,y>0,久,a,hy成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則絲詈絲的最小值是

A.0B.1C.2D.4

7.已知偶函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減.若貝k的取值范圍是()

A七,1)B,(0焉U(1,+8)

C島，1。)D.(0焉U(10,+8)

8.設(shè){an}是公比為式q7-1)的無窮等比數(shù)列，Sn為其前n項和，句>0,則“q>0”是“S.存在最小值”

的()

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.按照“碳達峰”、“碳中和”的實現(xiàn)路徑，2030年為碳達峰時期，2060年實現(xiàn)碳中和，到2060年，純電

動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%,新型動力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.Peukert于1898年提

出蓄電池的容量C(單位：Ah),放電時間t(單位：位與放電電流/(單位：4)之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：C=產(chǎn)

-t,其中九為Peakert常數(shù)，為了測算某蓄電池的Penkert常數(shù)幾，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流

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/=204時，放電時間t=20/1；當(dāng)放電電流/=3(M時，放電時間t=10瓦則該蓄電池的Peakert常數(shù)n大約

為()(參考數(shù)據(jù)：1g2ao.30,lg3?0.48)

A.々B.C.~D.2

10.若。<X1<%2<1，則()

X2X1X2X1

A.e+In%1>e+lnx2B.e+ln%i<e+lnx2

X1X1X2

C.x2e>汽1/2D.x2e<x^e

二、填空題:本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.函數(shù)/'(X)=*的定義域為-

12.已知等差數(shù)列｛。九｝的前幾項和為力,即=3—i-做=。3，則S九的最大值為.

Ar<n

13.已知函數(shù)/(%)=x八的值域為R,則實數(shù)。的取值范圍是___.

2x—a,x>0

14.如果/(第)=mx-e”在區(qū)間(-1,0)上是單調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍為.

15.已知函數(shù)f(x)=整+I'ax^>a給出下列四個結(jié)論：

①當(dāng)a=—3時，/(%)存在最小值；

②當(dāng)a=0時，/(%)存在唯一的零點；

③/(%)的零點個數(shù)為9(a),則函數(shù)g(a)的值域為｛0,1,2,3｝；

④當(dāng)a21時，對任意打，X26R,八必)+八式2)22/(能與.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題12分)

已知集合4=(x\x2-x-2<0｝,B=｛x||x-1|>|].

(1)求4UB,An(CRB)；

(2)記關(guān)于x的不等式.x2-(2m+4)x+m2+4m<0的解集為M,若BUM=R,求實數(shù)m的取值范圍.

17.(本小題12分)

已知等比數(shù)列｛an｝滿足由+=3,a4+a5=24.

(1)求｛%J的通項公式；

(2)從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求數(shù)列｛%｝的前幾項和S%

條件①:設(shè)怎=log2a271-1；

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條件②：設(shè)bn=a”+2n.

18.(本小題12分)

2022年11月，因受疫情的影響，北京高中全都采用網(wǎng)絡(luò)授課的方式進行在線教學(xué).北京35中的某老師在

高一任教高一1班和高一2班兩個班級，其中1班共有學(xué)生28人，2班共有學(xué)生29人.為了研究學(xué)生的學(xué)習(xí)

主動性是否會受到疫情的影響，該名老師統(tǒng)計了連續(xù)6天的交作業(yè)人數(shù)情況，數(shù)據(jù)如下表：

班級/天123456

1班(人數(shù))252520212221

2班(人數(shù))272625242522

(1)從兩班所有人當(dāng)中，隨機抽取1人，求該生在第6天作業(yè)統(tǒng)計當(dāng)中，沒有交作業(yè)的概率；

(2)在高一2班的前3天的作業(yè)統(tǒng)計當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)只有小明和小華兩位同學(xué)，是連續(xù)3天未交作業(yè)，其他人均只

有一天未交作業(yè).從高一2班前3天所有未交作業(yè)的人中，隨機抽取3人，記只有一天未交作業(yè)的人數(shù)為X,

求X的分布列和期望；

(3)在這6次數(shù)據(jù)統(tǒng)計中，記高一1班每天交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差為腎，每天沒交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差

為W，記高一2班每天交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差為黃，每天沒交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差為或，請直接寫出

sj,sj,sj,S寵的大小關(guān)系.

19.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(X)=/士

(1)求函數(shù)/(尤)的極值；

(2)求證：當(dāng)％6(0,+8)時，/(%)>+1;

(3)過原點是否存在曲線/(久)的切線，若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由.

20.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=In(l-x)+fcln(l+x),請從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，解答下面的

問題.

條件①:/(%)+/(-%)=0；

條件②：/(%)-/(-%)=0.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

(1)求實數(shù)k的值；

(2)設(shè)函數(shù)FQ)=+x￥，求函數(shù)尸(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+如+2|k|,指出函數(shù)g(x)在區(qū)間(—1,0)上的零點個數(shù)，并說明理由.

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21.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(x)=alnx+xex—e,其中aER.

(1)當(dāng)a=0時，求曲線y=/(均在點(1/(1))處的切線方程;

(2)當(dāng)a>0時，判斷f。)的零點個數(shù)，并加以證明；

(3)當(dāng)a<0時，證明：存在實數(shù)m,使人萬)26恒成立.

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參考答案

1.5

2.B

3.C

4.B

5.4

6.D

7.C

8.4

9.5

10.C

ll.(O,l)U(l,+<x>)

12.6

13.a>1

14.(-oo,1]u[L+8)

15.②③

16.(1)因為%2一%一2<0,解得一IV%<2,所以/={x|-l<x<2},

又因為|2%—5]>3,解得工〉4或久<1,所以8=(-8,1)u(4,+8),

所以AU8=(-00,2)U(4,+oo)；

又因為CRB={x\l<x<4},所以ZnQRB={X\1<X<2]

(2)因為％2—(2m+4)x+m2+4m<0?(x—m)[x—(m+4)]<0,

所以M={x\m<x<m+4},

若BUM=R,則{北乎：“，解得OWwWl,

所以根的取值范圍是{m[0<m<1].

17.解：(I)根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{冊}的公比為q,

若。1+即=3,a4+a5=24,則q3=：：*：：=8,解可得q=2,

又由+敢=+aiQ=3,則有=1,

故冊=。1中一1=2九T,

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(n)根據(jù)題意,

若選擇條件①：貝Qn=log2a2n-i=2n-2,此時Sn=0+2+4+6+……+2n-2=（°十2：2）x”_/

n

若選擇條件②：則以=an+2n=2t+2n,

此時Sn=(1+2)+(2+4)+(4+6)+……+(2"T+2n)=(1+2+4+……+2"-1

)+(2+4+6+……+2n)

=2n—1+n2+n.

18.(1)解：兩個班級第6天應(yīng)交作業(yè)的總?cè)藬?shù)為28+29=57,

未交作業(yè)的人數(shù)為7+7=14,

所以從兩個班級所有人中，隨機抽取1人，其未交作業(yè)的概率為差.

(2)解：根據(jù)題意知，2班前三天由2人連續(xù)三天未交作業(yè)，3人只有一天未交作業(yè)，

所以隨機變量X的可能取值為1,2,3,

又5人中3人有量=10種抽法，

所以P(X=1)=余P(X=2)=^=|,P(X=3)=A

所以X的分布列為：

X123

331

P

10510

所以，期望為E(X)=lx■+2x|+3x^=：

(3)解：根據(jù)數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)，可得：

1班交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差為沒交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差為屬，可得￡=sg；

2班每天交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差為受，每天沒交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差為或，可得s'=s3

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得1班數(shù)據(jù)的波動性更大一些，所以￡=s9>s孑=sa

ex-(x+l)ex-x

19o.(1)/(%)=一后一=萩，

則當(dāng)久6(—8,0)時，當(dāng)X6(0,+8)時，f'(x)<0,

即/(X)在(—8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

故/(久)有極大值/(0)=*=1,無極小值；

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(2)令gQ)+x6(0,+oo),

則g'Q)=W+x=比(1_白)，

由xG(0,+oo),貝！|1一白>0,故g(x)>。在xG(0,+8)上恒成立,

故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

n_|_"11

則gO)〉g(o)=-^-+萬義o2-i=o,

1

即當(dāng)Xe(0,+8)時，以x)>一#+1，

(3)不存在，理由如下：

假設(shè)曲線/(切存在過原點的切線，且切點坐標(biāo)為10,嗡口，

由廣(無)=U，則該切線斜率為/'(血)=高，

即該切線方程為y-暗=/(比一比0)，

即有?！?=金(0一為)，整理得就+通+1=0,

/=1-4=-3<0,該方程無解，

故過原點不存在曲線f。)的切線.

20.(1)選①：/(%)+/(-%)=0,

即ln(l—%)+fcln(l+%)+ln(l+x)+fcln(l—%)=0,

所以(k+l)ln(l+x)+(fc+l)ln(l—%)=0,(fc+l)ln(l—x2)=0,

當(dāng)k+1=0時，上式恒成立，故k=-1；

選②：/(%)-/(-%)=0,

即ln(l—%)+fcln(l+%)—ln(l+x)-kln(l-x)=0,

所以(l-k)ln(l-%)+(fc-l)ln(l+x)=0,故(l—k)ln*=0,

當(dāng)l-k=0時，上式恒成立，故k=1；

(2)選①，尸(久)=祟，定義域為(―8,—l)U(—1,+8),

則尸'(久)=T工，廠)=(1+1)2＜。在無e(-CO-1)U(-1,+8)恒成立,

故F(X)=急單調(diào)遞減區(qū)間為+8),無遞增區(qū)間；

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選②，F(xiàn)(x)=(l-x)(l+x)=l-x2,定義域為R,為二次函數(shù)，開口向下，

對稱軸為y軸，

故單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0),遞減區(qū)間為(0,+8);

(3)選①，9(久)在區(qū)間(-1,0)上的零點個數(shù)為1,理由如下：

］一x>0

g(%)=ln(l—%)—ln(l+%)4---12,令1+%>0,解得—1<x<0或0<%<1,

x(%W0

故定義域為(-1,0)u(0,1),

111

g'(x)=-六一+-專<o在(TO)上恒成立，

故g(%)在(-1,0)上單調(diào)遞減，

又g(-=ln3—2+2=ln3>0,g(一目=5+2=ln^—3<0,

由零點存在性定理可得(-，，一5，使得g(x)=0,

故g。)在區(qū)間(-1,0)上的零點個數(shù)為1；

選②，9(久)在區(qū)間(-1,0)上的零點個數(shù)為1,理由如下：

g(x)-In(l-x)+ln(l+x)+x+2,令｛；，無馬，解得一1<工<1，

故定義域為(-1,1),

“㈤=-土+++1=弓竽1="卡>。在(TO)上恒成立，

故貝久)在(-1,0)上單調(diào)遞增，

又。(—與=尾+|>0,當(dāng)久趨向于—1時’g(x)趨向于—8,

由零點存在性定理可得故26(-1,-，，使得90)=0,

故9。)在區(qū)間(-1,0)上的零點個數(shù)為1.

21.(1)解：由題知a=0,

/(%)=xex—e,

f'(x)=Q+l)e\

f(l)=0,f'(l)=2e,

故/(x)