2024-2025學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：菱形中的幾何綜合（壓軸題）解析版

菱形中的幾何綜合

?思維方法

正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從

可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。

逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)

進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采

用間接證明。

分類討論思想：當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，我們就需要對研究對象進(jìn)行分類，然后對每

一類分別進(jìn)行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果，得到整個問題的解答。分類討論的分類并

非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：

1.不重（互斥性）不漏（完備性）；

2.按同一標(biāo)準(zhǔn)劃分（同一性）；

3.逐級分類（逐級性）。

?知識點(diǎn)總結(jié)

一、菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

二、菱形的性質(zhì)

1.菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

2.菱形的四條邊都相等；

3.菱形的兩條對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角；

4.菱形是軸對稱圖形，它有1條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.

三、菱形的判定

1.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

2四條邊都相等的四邊形是菱形

3.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）.

?典例分析

【典例1】菱形ABC。中，對角線BD=6cm,乙4=60。，點(diǎn)P從4出發(fā)，沿a-D-B以2cm/秒的速度勻速運(yùn)動,

到點(diǎn)B停止，過P作邊4B的垂線交48于Q,以PQ為邊向右作等邊△PQE,設(shè)運(yùn)動時間為t秒.

備用圖

(1)菱形2BCD的邊長為cm.

(2)當(dāng)P在邊4。上運(yùn)動時，用含t的代數(shù)式表示PQ、BQ.

(3)連接BE,當(dāng)aQEB是直角三角形時，求t的值.

(4)當(dāng)菱形力BCD的對角線BD平分aPQE的邊時，t的取值范圍是

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)菱形的邊長相等以及等邊三角形的性質(zhì)即可；

(2)設(shè)運(yùn)動t秒，則4P=2t,根據(jù)30。所對直角邊是斜邊的一半求出2Q,進(jìn)一步即可表示PQ和BQ；

(3)分類討論：點(diǎn)P在4D上時，①當(dāng)“EB=90。時，表示出QE和QB,根據(jù)QE=乎QB列方程即可求得;

②當(dāng)NEBQ=90。時，表示出QE和Q8,根據(jù)Q8=苧QE列方程即可求得；點(diǎn)P在上時，此時△QEB為鈍

角三角形；

(4)分類討論：當(dāng)B。平分8E時，則￡T=#E,表示出EH,QH,根據(jù)QH=學(xué)?3列方程即可；當(dāng)BD平分QE

時，此時點(diǎn)P在B。上，即可得出取值范圍.

【解題過程】

(1)解：???四邊形4BCD是菱形,

：.AD=AB,

?%=60。,對角線=6,

??.△ABD是等邊三角形，

.'.AD=BD=6(cm).

故答案為：6.

(2)設(shè)運(yùn)動力秒，

???點(diǎn)P從/出發(fā)，沿以2cm/秒的速度勻速運(yùn)動，到點(diǎn)8停止，過P作邊的垂線交48于Q,

：.AP=23/-PQA=90°,

???〃=60°,

：.^LAPQ=90°-60°=30°,

?../Q=t,PQ=個AP2_AQ2=J(2t)2-2=V3t(cm),

??.BQ=BA—AQ=(6—t)(cm).

:.PQ=V3t(cm),BQ=(jo—t)(cm).

(3)點(diǎn)P在4。上，當(dāng)aQEB是直角三角形，設(shè)運(yùn)動時間為t秒,

①NQEB=90。時，如圖所示：

-PQ1AB,是等邊三角形，

.'.^PQE=60°,"QB=30。，QE=PQ=V3t,

.?.QB=2BE,

-BQ2=QE2+BE2,

2

???(2BE)2=(怎)+BE2,

：.BE=t或BE=—t(不符合題意，舍去)

；.QB=23

*'?2t=6—tf

.?.t=2(秒)；

②當(dāng)乙EBQ=90。時，如圖所示：

MEQB=30°,QE=PQ=V3t,

■-BE==爭，

:?BQ=VQE2—BE2=J(V3t)2—(苧)=§3

*',^t=6—t,

?.t=y(秒).

③點(diǎn)P在BD上運(yùn)動時，設(shè)QE交BD于點(diǎn)”，如圖所示,

■.-PQ1AB,△PQE是等邊三角形，

“PQE=乙QPE=60°,4EQB=90°-60°=30°,PQ=PE,

?.?四邊形4BCD是菱形，"=60。，

11

.,ZABD=^ABC=-(180°-Z.A)=60°,

"BPQ=90°-乙PBQ=90°-60°=30°,

.?ZBPE=(QPE-乙BPQ=60°-30°=30°,

"BPQ=乙BPE=30°,

在△8PQ和aBPE中，

(PQ=PE

]Z-BPQ=乙BPE,

(PB=PB

A5PE(SAS),

.?/PBE=乙PBQ=60°,

."QBE=4PBE+乙PBQ=60°+60°=120°,

??.△QEB是鈍角三角形，不可能是直角三角形.

???綜上所述，當(dāng)aQEB是直角三角形時，t的值為2秒或裝秒.

(4)當(dāng)菱形2BCD的對角線BD平分△PQE的邊時，

如圖所示，當(dāng)BD平分PE時，此時點(diǎn)P在4。上，

?.?四邊形4BCD是菱形，乙4=60°,

；/ADB=240c=|（180°-乙4）=60°,

■.-PQLAB,△PQE是等邊三角形，

.-.APQA=90°,乙QPE=乙PEQ=60°,QE=PQ=V3t

."APQ=90°-ZX=90°-60°=30°,

:.乙DPE=180°-乙4PQ-乙QPE=180°-30°-60°=90°,

.-./-EFH=乙DFP=90°-4PDF=90°-60°=30°,

:/EHF=180°-乙EFH-乙FEH=180°-30°-60°=90°,

???HE=押=*E=*Q=爭，

:.QH=QE-HE=每一爭=苧3

■:/-EQB=30°,乙BHQ=4EHF=90°,

.-.BQ=2BH,

?:BQ2=QH2+BH2,

.-.（2BH）2=（竽）+BH2,

解得：8//=$或3//=—%（不符合題意，舍去）

3

??.BQ=2BH=-t,

■,■|t=6—t,

?.t=y（秒）;

②當(dāng)8D平分QE時，此時點(diǎn)P在B。上，如圖所示:

MPQB=90°,乙PBQ=60°,

."QPB=30°,

△PEQ是等邊三角形，Z.BPQ=乙BPE=30°,

.?.PH是QE邊上的中線，

.??點(diǎn)H是QE的中點(diǎn)，

當(dāng)P在。點(diǎn)時，2t=6,

At=3,

當(dāng)P在點(diǎn)B時，2t=12,

;.t—6,

???P在80上運(yùn)動時，t的取值范圍是3<t<6,

綜上所述，當(dāng)菱形4BCD的對角線BD平分△PQE的邊時，t=費(fèi)或3Wt<6.

17

故答案為：t=彳或3Wt<6.

?學(xué)霸必刷

1.（22-23八年級下?福建廈門?期中）在菱形4BCD中，zS=60°,AB=8,點(diǎn)E在BC上，CE=4V3,若點(diǎn)P

是菱形力BCD四條邊上異于點(diǎn)E的一點(diǎn)，CE=CP,則以下長度中，不可能是DP的長度的是（）

E

B、C

A.8-4V3B.4C.4V7-8D.4V7

【思路點(diǎn)撥】

分點(diǎn)P位于邊CD上、位于邊4。上、位于邊2B上三種情況討論，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾

股定理求解即可.

【解題過程】

???CD=8,CP=4V3,

???DP=CD-CP=8-4V3；

.?.A4CD是等邊三角形，

過點(diǎn)C作CH_L4D于點(diǎn)H,

■■.AH=HD=4,

由勾股定理得CH=4V3,

???CE=4V3,

點(diǎn)P與點(diǎn)H重合，

???DP=4；

:.乙BPC=90°

???ABCP=30°,

???乙PCD=乙BCD-乙BCP=90°,

由勾股定理得DP=7PC2+CD2=4A/7.

綜上，DP的長為8-4VJ或4或4V7.

故選：C.

2.（23-24九年級上?寧夏銀川?期中）如圖，在菱形4BCD中，ZX=60°,AD=2,E,F分別是力B,4。的

中點(diǎn)，DE,BF相交于點(diǎn)G,連接BD,CG,有下列結(jié)論：①ABGD=120。；@BG+DG=CG；

③△BDF三ACGB；?S&ABD=?其中正確的結(jié)論有（）

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)菱形的性質(zhì)和乙4=60。，可知△48。是等邊三角形，△BDC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可

得4BFD=4DEB=90°,4GDB=乙GBD=30°,即可判斷①；根據(jù)SSS可證△CDG三△CBG,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)可得NDGC=NBGC=60。，再根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可判斷②；根據(jù)△GBC為直角

三角形，可知CG>BC,進(jìn)一步可知CGHBD,即可判斷③；根據(jù)勾股定理可得DE=亭48=遙，再根據(jù)

三角形面積的求法即可判斷④.從而得出答案.

【解題過程】

解：在菱形2BCD中，AB=BC=CD=AD,

vzX=60°,

???乙BCD=Z-A=60°,

是等邊三角形，△BQC是等邊三角形，

Z.ADB=乙ABD=60°,Z.CDB=乙CBD=60°,

,:E,F分別是4B,4。的中點(diǎn),

???乙BFD=乙DEB=90°,

???乙GDB=Z.GBD=30°,

:?乙GDC=^GBC=90。,DG=BG,

???乙BGD=180°-30°-30°=120°,

故①正確；

在△CDG和ACBG中，

(CD=CB

\CG=CG,

WG=BG

???△COGW2\CBG(SSS),

???乙DGC=乙BGC=60°,

:,乙GCD=30°,

CG=2GD,

DG=BG,

**?CG=DG+BGf

故②正確；

???△GBC為直角三角形，

CG)BCf

???CGHBD,

"/與△CGB不全等,

故③錯誤；

?.?菱形力BCD,AD=2,

.'.AB=AD=2

VBE=^AB=1,BD=AB=2,^DEB=90°,

根據(jù)勾股定理，得DE=7BD2一BE2=，22-12=VJ,

?1?S^ABD=,AB-￡>￡=1x2x73=V3,

故④正確，

故正確的有①②④，共3個，

故選：C.

3.（23-24九年級上?湖北?周測）如圖，在菱形2BCD中，AB=BD,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且

BE=CF,連接BF、DE交于點(diǎn)M,延長ED到“使=BM,連接則以下四個結(jié)論:①△8。尸三△DCE；

@^BMD=120°；③△4M”是等邊三角形；④S四邊形=?用2.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.IB.2C.3D.4

【思路點(diǎn)撥】

先證明△48。是等邊三角形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得NBDF=NC=60。，再求出。尸=CE,然后利用“邊角

邊”即可證明△BDF三△DCE,從而判定①正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得NDBF=NEDC,由三角

形的外角性質(zhì)求出ACWF=乙BDC=60°,再求出NBMD=120°,從而判定②正確；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)

和平行線的性質(zhì)求出乙4BM=/.ADH,由SAS證明八ABM三3。乩根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AH=AM,

ABAM=ADAH,然后求出NM4H=ABAD=60。，從而判定出△AMH是等邊三角形，得出③正確；根據(jù)

全等三角形的面積相等可得△4M”的面積等于四邊形力BMD的面積，然后判定出④正確.

【解題過程】

解：在菱形4BCD中，AB=BC=CDAD,AD\\BC,

'.'AB=BD,

.t.AB=BD=AD,

??.△ZBD是等邊三角形，

：.Z.BAD=Z.BDA=^ABD=60°,

同理，△BCD是等邊三角形，

??ZBDF=ZC=60°,

-BE=CF,

：,BC-BE=CD—CF,

BPCE=DF,

在△80尸和△OCE中，

(CE=DF

］乙BDF="=60°,

IBD=CD

??.△BDF=△DCE(SAS),故①正確；

:.乙DBF=(EDC,

MDMF=乙DBF+乙BDE=乙EDC+乙BDE=乙BDC=60°,

.?/BMD=180°-Z,DMF=180°-60°=120°,故②正確；

-Z-DEB=乙EDC+ZC=乙EDC+60。,AABM=4ABD+乙DBFZ7)BF+6O°,

"DEB=Z.ABM,

X-MDIIBC,

：.Z.ADH=乙DEB,

??/ADH=/-ABM,

在△ZBM和△40”中，

(AB=AD

］乙ADH=/.ABM,

IDH=BM

??.△ABM=△ADH(SAS).

：.AH=AM,^LBAM=^DAH,

：,Z-MAH=Z.MAD+匕DAH=AMAD+ABAM=Z-BAD=60°,

???△/MH是等邊三角形，故③正確；

過點(diǎn)4作4G1MH于點(diǎn)G,貝此MAG=30。

11

???MG=-MH=-AM,

由勾股定理得，AG=7AM2—MG2=JAM2-QXM）2=爭1”,

AABM=AADH,

△4MH的面積等于四邊形ABMD的面積，

又???△4MH的面積=|XM-爭IM=^AM2,

四邊形ABMD=,故④正確，

綜上所述，正確的是①②③④.

故選：D.

4.（23-24九年級下?黑龍江綏化?階段練習(xí)）如圖，在一張菱形紙片4BCD中，AB=2,AABC=30°,點(diǎn)E

在BC邊上（不與點(diǎn)2,C重合），將△ABE沿直線AE折疊得到△4FE,連接BF,EF,DF.有以下四個結(jié)

論：①AE=BE；②△力BE沿直線4E折疊過程中，ABFD是一個定值；③當(dāng)4E1BC時，四邊形4CFD的面

積為VI;④當(dāng)FE平分42FB時，F(xiàn)D=2Vl.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【思路點(diǎn)撥】

①根據(jù)折疊的性質(zhì)即可判斷結(jié)論①；

②由折疊和菱形性質(zhì)得：AB=AF=AD,再由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形性質(zhì)可得：.??乙4FB=

180丁4F,^FD=比丁嗎得出/"FD=105°；

③根據(jù)折疊性質(zhì)和菱形性質(zhì)可證得三ADFC（SAS）,即可推出S四邊形4CFD=SA4BF=^BF-AF-V3；

④由折疊和已知可得NB4E=N凡4E,根據(jù)三角形的角平分線交于一點(diǎn)，結(jié)合已知可得BE平分N4BF,從而

可證△力BF是等邊三角形，再證△ADF是等腰直角三角形，即可判斷結(jié)論④.

【解題過程】

解：①???將△4BE沿直線4E折疊得到△AFE,

：.BE=EF,

只有=時，=才成立，

故結(jié)論①不正確；

②由折疊得：AF=AB,

???四邊形力BCD是菱形，

：.AB=AD,ADWBC,

：.^BAD=180°-ZB=180°-30°=150°,

???AB=AF=AD,

180°-^BAF1800-AFAD

???Z-AFB=/-AFD=

22

；.4BFD=Z.AFB+Z.AFD=180°-|(zB4F+AFAD)=180°-^BAD=105°,

故結(jié)論②正確；

③如圖，-.-AE1BC,將aaBE沿直線4E折疊得到△2FE,

???^AEB=^AEF=90°,AF=AB,^AFE=Z.B,

四邊形力BCD是菱形，

■.AB=CD,乙B=4ADC,AD\\BC,

???AF=CD,乙DCF=Z.ADC,/.AFE=/.ADC,

Z.AFE=乙DCF,

在△AC尸和△OFC中，

(AF=CD

\z-AFE=Z.DCF,

ICF=FC

.?.△XCF=APFC(SAS),

:S^DCF=尸，

又???S/k/BC=S&ACD，

???S四邊形4CF0=^AACD+S^DCF=^AACF+^AABC=^AABFf

在RtZkABE中，/8=30。，

：.AE=^AB=1,

■■BE=7AB2-旃=V3,

:.BF=2BE=273,

,??S四邊形4CFD=S&ABF=,BF-AF=V3,

故結(jié)論③正確；

④如圖，由折疊得：FA=AB,Z.BAE=/.FAE,

F

圖2

???FE平分N4FB,

Z.BFE=Z.AFE,

AAE,E尸分另lj平分484尸、AAFB,

??,三角形三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，

???BE平分

v/-ABC=30°,

???乙ABF=2(ABF=60°,

/是等邊三角形，

???乙ABF=Z.BAF=Z-AFB=60°,

Z.DAF=匕BAD-Z.BAF=90°,

AD=AB=AF=2,

.?.△ZMF是等腰直角三角形，

...FD=\AD2+4尸2=<22+22=2小

故結(jié)論④不正確，

綜上所述，正確的結(jié)論是：②③；

故選：B.

5.（23-24九年級下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）如圖，在菱形紙片A8CD中，乙48c=60。，￡是CD邊的中點(diǎn)，將

菱形紙片沿過點(diǎn)/的直線折疊，使點(diǎn)8落在直線4E上的點(diǎn)G處，折痕為力?，F(xiàn)G與CD交于點(diǎn)H,,則

S/\ABF；S四邊AFCD=--------------------

【思路點(diǎn)撥】

過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)連接2C,得到△aCD,aABC是等邊三角形，根據(jù)三線合一的性質(zhì)得到

AG1CD,得至UNDAE=90°-ZD=30°,/.BAG=90°,由折疊得48AF=/.GAF=45°,MF=43BM,設(shè)

BM=x,貝!|力"=MF=板刀，求出S&4BF，再得至IJ4D=CD=4B=（1+遍）%,根據(jù)S菱形ABCD—S^BF求

出四邊形2FCD的面積，即可求解.

【解題過程】

解：過點(diǎn)尸作FM14B于點(diǎn)M,連接4C,

???四邊形4BCD是菱形，2LABC=60°,

???乙BAD=180°-乙ABC=120°,

???ABAC=Z.DAC=60°,NO=￡.ABC=60°,

.,.AD=CD=AB,

??.AACD,AABC是等邊三角形，

??名是CD邊的中點(diǎn)，

.'.AG1CD,

???404E=900—N0=30。，

：./-BAG=90°,

由折疊得NBZF=AGAF=45°,

?"FM=45°=^LBAF,

.'.AM=FM,

-￡.BFM=90°一乙ABC=30°,

.-.MF=WBM,

設(shè)BM=%,貝==

-'-AB=(1+V3)x,SMBF=(1+V3)x-V3x=

?：AD=CD=XB=(1+V3)x,

'-AE=曰x(1+V3)x=號當(dāng)

■■S菱形ZBC。=CD,AE=(1+V^)%,~^2~^=(3+2A/^)久2,

四邊形/FCZ)的面積=s菱形43CD—S4ABF=(3+2A/^)%2—年電/=,

S四邊形AFCD=^產(chǎn)=百：3,

故選：V3：3.

6.(23-24九年級上?廣東深圳?期中)菱形/BCD中，^DAB=60°,E,尸分別在48,CO邊上，將菱形沿EF

折疊，點(diǎn)力,。的對應(yīng)點(diǎn)分別是4,D',且4。經(jīng)過5點(diǎn)，若4E1ZB,則喋=.

【思路點(diǎn)撥】

延長4E交CO的延長線于點(diǎn)“，作/GJ.CO交C。的延長線于點(diǎn)G,由菱形的性質(zhì)得CDII4B,則

/-ADG=Z.DAB=60°,所以4￡MG=30°,由4E1AB,得N4E/=乙AEH=乙BEH=Z,A'EB=90°,則

乙EHG=LBEH=90°,所以四邊形4EHG是矩形，由折疊得N4==60。，N4EF=乙4石F=135。，

所以/BEF=45。,/.A'BE=30°,則NHFE=NHEF=45。,設(shè)ZE=4E=m,則4B=2A

E=2m,GH=AE=m,可求得BE=y/A'B2—A'E2=V3m,所以4B=AD=CD=V3m+m=(V3+則

DG=^AD=AG=^DG=所以FH=EH=AG=可求得DF=2巾,則CF=(V3-1)

犯即可求得差=V3+1,于是得到問題的答案.

Cr

【解題過程】

解：延長4E交CD的延長線于點(diǎn)8,作4GleD交CD的延長線于點(diǎn)G,貝此G=90。，

GHPF

□--7-------------7T7Cr

???四邊形4BCD是菱形，ADAB=60°,

.-.CDWAB,

:./.ADG—/.DAB-60°,

.-.^DAG=30°,

?：A'ELAB,

：.Z.A'EA=Z.AEH=Z.BEH=/.A'EB=90°,

"EHG=乙BEH=90°,

???四邊形ZEHG是矩形，

由折疊得乙4'=/-DAB=60°,Z,A'EF=Z,AEF=1x(360°一90°)=135°,

"BEF=/-A'EF-/.A'EB=45%乙ABE=30°,

???乙HEF=90°一乙BEF=45%乙HFE=(BEF=45°=CHEF,

?,?設(shè)/E=A'E=?n,則48=2A'E=2m,GH=AE=m,

???BE=y/A'B2—A'E2=7(2m)2—m2=V3m,

.t.AB=AD=CD=V3m+m=(V3+l)m,

.-.DG=1AD=--m,

■,■AD=2DG,

■-AG=7AD2-DG2=J(2DG)2—DG2=回G=V3X號』=檸％,

：.FH=EH=AG=檸％，

：.DF=FH+GH-DG=亙竭n+m-^-m=2m,

22

：.CF—CD—DF—(V3+l)m—2m—(V3—l)m,

.變一一——e+i

""CF-(V3-l)m-V3±±,

故答案為：V3+1.

7.(23-24八年級上?黑龍江哈爾濱?期中)在等邊△ABC中，點(diǎn)尸為C8延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),

連接。尸交AB于點(diǎn)〃，以DF為邊向下作等邊△￡)?￡',連接C￡\ME,若ME1DF,BM+BF=6,貝UCE的長

為.

【思路點(diǎn)撥】

如圖，記4B、BC的中點(diǎn)為P、Q,連接DP、DQ,則DP、DQ是的中位線，DP=^BC=^AB=DQ,

DP||BC,DQ||AB,證明四邊形BPDQ是菱形，△CDQ,△APD是等邊三角形，證明△FOQ三△EDC

(SAS),貝UCE=FQ,證明aBFM三△PDM(AAS),則BF=DP=^B,BM=PM=^BP=^AB,由

BM+BF=6,^AB+^AB=6,可得AB=8,根據(jù)CE=FQ=BF+BQ,計算求解即可.

【解題過程】

解：?.?等邊△4BC,

：.AB=BC=AC,ZX=/.ABC=/.ACB=60°,

如圖，記AB、BC的中點(diǎn)為P、Q,連接L?P、DQ,

A

又?.?。是4C的中點(diǎn)，

.■.DP.DQ是△4BC的中位線，

.-.DP=^BC=^AB=DQ,DP||BC,DQ\\AB,

.??四邊形BPDQ是菱形，△CDQ,△力PD是等邊三角形,

.-.DP=BQ=1BC=^AB,DQ=CD,"DC=60°,

?.?等邊△DFE,

:.DF=DE,Z.EDF=60°,

：/EDF-乙QDE="DC-乙QDE,即NFDQ=乙EDC,

■：DF=DE,Z.FDQ=Z.EDC,DQ=CD,

△FDQ三△EDC(SAS),

：.CE=FQ,

?等邊△DFE,ME1DF,

：.FM=DM,

■■DP||BC,

:ZFBM=乙DPM,乙BFM="DM,

又「FM=DM,

△BFM=△PDM(AAS),

：.BF=DP=^AB,BM=PM=湖=^AB,

,：BM+BF=6,

mAB+=6,

解得，AB=8,

.-.CE=FQ=BF+BQ=8,

故答案為：8.

8.（23-24八年級下?山東聊城?階段練習(xí)）菱形4BCD中，AD=4,N&=45。，DELAB,垂足為E,點(diǎn)P在

菱形的邊上，若DE=DP,貝UCP的長為.

EB

【思路點(diǎn)撥】

利用△?!￡）￡1為等腰直角三角形得到DE=2近，所以DP=2VL當(dāng)P點(diǎn)在CD上，CP=DC—DP=4—2五,

當(dāng)P點(diǎn)在BC上，過點(diǎn)P作PH1CD于H點(diǎn)，如圖1,證明為等腰直角三角形，所以PH=CH,PC=立

CH,則DH=4—CH,在Rtz\DPH中利用勾股定理得到（4—CH）2+C"2=（2&）,然后解方程求出CH,

從而得到PC的長；當(dāng)點(diǎn)P在上，過P點(diǎn)于H點(diǎn)，連接PC,如圖2,由于NHDP=乙4=45。，

PD=PE=2?所以PH=DH=2,然后利用勾股定理計算出PC的長.

【解題過程】

解：在Rt△4QE中,Z.A=45°,

.?.△4DE為等腰直角三角形，

DE=當(dāng)AD=辛x4=2V2,

DP=DE=2V2,

當(dāng)P點(diǎn)在CD上，CP=DC-DP=4-2V2,

當(dāng)P點(diǎn)在BC上，過點(diǎn)P作PH1CD于H點(diǎn)，如圖1,

EB

圖1

四邊形4BCD是菱形,

zC=ZX=45°,CD=AD=4,

??.△PC”為等腰直角三角形,

???PH=CH,PC=V2CW,

■■.DH=4-CH,

在Rt△DPH中,■■DH2+PH2=DP2,

2

???(4-CH)2+CH2=(2V2),

解得CH=2,

PC=2V2.

當(dāng)點(diǎn)P在。2上，過P點(diǎn)PHICD于H點(diǎn)，連接PC,如圖2,

圖2

乙HDP=Z_A=45。，PD=PE=2VL

■■■PH=DH=2,

???CH=CD+DH=6,

...pc=V22+62=2V10,

綜上所述，PC的長為4—2四或2魚或2V1U.

故答案為：4—2魚或2魚或2V1U.

9.（23-24九年級下?廣東深圳?開學(xué)考試）如圖，在菱形A8CD中，E、尸分別是AB,BC邊上的中點(diǎn)，G為

DE上一點(diǎn)，若4B=4,ZF=AEGF=60°,則DG的長為

【思路點(diǎn)撥】

本題考查菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分割法求三角形面積,

學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形；

連接力C、EF、DF、CE、AF,作先求出△DEF的面積，再求出高FH,利用勾股定理求出DE、

EH、HG,利用線段和差求出DG即可.

【解題過程】

四邊形2BCD是菱形，AB=4,ZB=60°

???AB=BC=CD=DA=4,/.BAD=乙BCD=120°,

△ABC為等邊三角形，

連接4F,CE

???點(diǎn)E、尸分別是48、BC邊上的中點(diǎn),

：.AFLBC,BF=FC=2,

在RtZiAFB中

AF=NAB2-BF2=742-22=2V3,

同理在RtaBEC中

CE=2V3,4BCE=30°

Z.DCE=/.BCD-乙BCE=90°,

在Rt2XDCE中

DE=yjEC2+DC2=2V7

???點(diǎn)￡分別是48邊上的中點(diǎn)，

BE=^AB=2,

△BEF為等邊三角形，

,t?SABEF=5x2xV3=V3>

連接DF,

S^DCF=：xFCx4F=2V3,

???AE=CF,LEAD=乙FCD,AD=DC,

△BEF=ADCF

SADAE=

?，SABCD=4FxBC=2V3x4=8V3

???S^DEF=^ABCD—S^BEF—S^DCF~^ADAE=8V3—V3—2V3—2V3=3V3,

過F作FH1CE,

.-.|xZ)ExFH=3V3,

??.FH=3V3義2+DE=亨，

在中

EH=VFF2-FH2=J22_(嚕J]=冬

在RtzXFHG中，

?:乙EGF=60°,

.-./.HFG=30°

?-?HG2=FG2-FH2=(2HG)2-FH2,

：.DG=DE—EH—HG=2--與—當(dāng)=誓,

故答案為：警

10.（2023?江西撫州?三模）在菱形4BCD中，AB=4,48=2乙4,點(diǎn)E,尸分別是4D,48的中點(diǎn)，動點(diǎn)尸

從3出發(fā)，沿著順時針方向運(yùn)動到C點(diǎn)，當(dāng)APEF為直角三角形時，BP的長度為.

【思路點(diǎn)撥】

分三種情況考慮：點(diǎn)尸在4B邊上；點(diǎn)尸在4D邊上；點(diǎn)尸在CD邊上，利用等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股

定理即可求得.

【解題過程】

解：???四邊形4BCD為菱形，AB=4,

???菱形四邊長為4,且40出C,

.?.乙4+=180°,

vzB=244

乙4+=180°,即乙4=60°,.

"E,尸分別是4。，48的中點(diǎn).

.-.AE=AF=2；

①當(dāng)點(diǎn)尸在AB邊上時；如圖，

當(dāng)點(diǎn)尸是2F的中點(diǎn)時，aPEF為直角三角形，此時4P=，1F=1,

.-.BP=AB—ZP=4—1=3；

②當(dāng)點(diǎn)尸在4。邊上時，如圖，連接PF,

當(dāng)點(diǎn)P是4E的中點(diǎn)時，△PEF為直角三角形，此時AP=PE=/E=L

連接BD,BE,BP,

■：AB=AD,ABAD=60°,

.?.△ABD是等邊三角形，

.■.BE1AD,由勾股定理得BE=<42-V=2遮，

由勾股定理得：PB=7BE2+PE2=V12+1=V13;

③當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上時，連接8。，AC,PE,PF,PB,如圖,

■.■AC^.BD,PE為△AC。的中位線，EF為△ABD的中位線，

.-.PEWAC,EF\\BD,

:.PE1EF,

.?.△PEF為直角三角形，

■：CD=BC,乙BCD=/.BAD=60°,

.?.△BCD是等邊三角形，

.-.BPLCD,

由勾股定理得PB=\BC2—PC2=V16-4=2V3；

故答案為：3或舊或2g.

11.（22-23八年級下?浙江臺州?期中）菱形4BCD中，乙4BC=60。，△BEF為等邊三角形，將△BEF繞點(diǎn)

B順時針旋轉(zhuǎn)，G為線段DF的中點(diǎn)，連接4G、EG.

圖1圖2

（1）如圖1,E為邊4B上一點(diǎn)（點(diǎn)4、E不重合），則EG、4G的關(guān)系是_,請說明理由.

（2）將△BEF旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置，（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明

理由.

【思路點(diǎn)撥】

（1）延長EG,交4。于點(diǎn)N,結(jié)合菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)證明aNDG三△EFG,由全等三角形

的性質(zhì)可得DN=EF,EG=NG,易得DN=BE,進(jìn)而證明ZN=4E,可知AG平分NE4D,EGLAG,可求

得NE4G=^BAD=60。，即可證明結(jié)論；

(2)延長4G至Q,使得GQ=AG,連接EG、EQ,連接FQ交于R,證明△4GDmzXQGF,進(jìn)而證明

AQFE=AABE,進(jìn)一步得出結(jié)論.

【解題過程】

(1)解：如下圖，延長EG,交4。于點(diǎn)N,

???G為線段DF的中點(diǎn)，

：.DG=FG,

???△BEF為等邊三角形，

.ZBEF=60°,EF=BE,

??.乙4EF=180°-乙BEF=120°,

???四邊形為菱形，A.ABC=60°,

.-.ADWBC,AB=AD,

"AD=180°-/.ABC=120°,

：.Z.BAD=Z.AEF,

.-.ADWEF,

：/NDG=Z.EFG,

在aNOG和△EFG中，

(ANDG=(EFG

]DG=FG,

JNGD=(EGF

.?.△NOGwz\EFG(ASA),

；,DN=EF,EG=NG,

；.DN=BE,

'.'AD=AB,

：.AD-DN=AB-BE,

.-.AN=AE,

.?.AG平分ZEHD,EG1AG,

.-.^EAG=^BAD=60°,

:.EG=WAG.

故答案為：EGTAG；

(2)(i)中結(jié)論仍成立，證明如下：

如下圖，延長4G至Q,使得GQ=4G,連接EG、EQ,連接FQ交48于R,

在△4G。和△QGF中，

(AG=QG

]/.AGD=乙QGF,

IDG=FG

???△ZG022\QGF(SAS),

.-.FQ=DA,乙ADG=^QFG,

'.ADWFQ,

??.NARQ=180°一乙BAD=60°,

,ZFRB=^ARQ=60°,

???△BEF為等邊三角形，

：.EF=BE,乙BEF=60。,

"FRB=Z-BEF,

.\Z-QFE=Z-ABE,

???四邊形/BCD為菱形，

：.AD—AB,

1.FQ=AB,

在△QFE和中,

FQ

QFE=AB

EF=Z.ABE,

=BE

AQFE=AABE（SAS）,

:.EQ=AE,Z-QEF=Z.AEB,

：.Z-QFE—Z.AEF=Z.AEB—Z-AEF,

：.^.AEQ=乙BEF=60°,

.?.△4EQ為等邊三角形，

.-.EG1AQ,/.AEG=^AEQ=30°,

：.EG=遮AG.

12.（2023?江蘇?模擬預(yù)測）如圖，菱形力BCD中，乙4BC=60。，4B=4,點(diǎn)E是線段B。上一點(diǎn)（不含端

點(diǎn)），將△ABE沿2E翻折，4B的對應(yīng)邊4B'與8D相交于點(diǎn)F.

備用圖

(1)當(dāng)NB2E=15。時，求EF的長;

(2)若aaBF是等腰三角形，求力尸的長；

(3)若EF=k-BE,求k的取值范圍.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)可得△48C是等邊三角形，AC1BD,4。=2,B。=26，

ABAF=AFBA=30°,則BF=4F=2板一。尸，根據(jù)勾股定理求出。F=竽，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)

可得。E=O4=2,即可得EF的長；

(2)分兩種情況：①當(dāng)4F=B尸時，②當(dāng)48=時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別求解即可；

(3)過點(diǎn)E作EM14B于M,作ENLAF于N,根據(jù)三角形的面積公式可得差=薨，則EF=空，由

crZlrAD

EF=k?BE得/c=哀，由點(diǎn)F在BD上可得49的最大值為4,當(dāng)月F1BD,即點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時，4F的值最小

AD

為。力=2,可得2W4FV4,即可得k的取值范圍.

【解題過程】

(1)菱形ABCD中，4aBe=60°,AB=4

△ABC是等邊三角形，AC1BD,4。=^AC,UBD=ABD=力IBC=30°

■■.AO=2,BO=2V3

由折疊得乙BAE=^FAE=15°

.-.ABAF=AFBA=30°

：.BF=AF=2V3-OF

在Rt△力。F中，OF2+O/12=AF2

2

.-.OF2+22=(2V3-OF)

.-.OF=—

3

^^.BAE=15°,Z.FBA=30°

：.Z-AEO=45°

??.△ZE。是等腰直角三角形，

：.OE=OA=2

:,EF=OE—OF=2—濁

3

(2)若aaBF是等腰三角形，分三種情況：

①當(dāng)4F=BF時

由(1)知，BF=AF=243-OF,。尸=竽

.-.AF=2V3--=—

33

②當(dāng)4B=BF時，如圖1,

：.BF=4

:.OF=BF—OB=4—2V3

■■.AF=VOX2+OF2=22+(4-2V3)2=2V6-2V2

綜上，4F的長為竽或4或2e-2也

(3)過點(diǎn)E作EMJ.4B于M,作ENJ.4F于N

圖2

由折疊得NB4E=AFAE

.-.EM=EN

.S-8E__AB

SzkAFE^xAFxENAF

▽S^BE_BE

?S&4FEEF

BE_AB

：'~EF~~AF

廠「AF-BE

?M=F

'：EF=k?BE

,AF

：.k=——AB

???點(diǎn)F在BO上

.必產(chǎn)的最大值為4,當(dāng)AF1BD

即點(diǎn)F與點(diǎn)。重合時，4F的值最小為。4=2

.-.2<AF<4

??.k的取值范圍為T<k<l

13.(22-23八年級下?黑龍江哈爾濱?期末)在四邊形2BCD中，BC=CD,對角線力C平分NBCD,點(diǎn)、H為CD

邊上一點(diǎn)，連接8H交4C于點(diǎn)尸，^AFH=ABAC+^BHC.

DAD

圖?圖2圖3

(1)如圖1,求證：四邊形4BCD是菱形；

(2)如圖2,點(diǎn)￡在BC上，BE=CF,AE交BH于點(diǎn)N,AL1BH于點(diǎn)L若N4BC=60。，求證：

AN=2NL.

(3)如圖3,在(2)的條件下，X為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在上，點(diǎn)〃在力E上，連接AG,CM,AG=5,

CM=2V5,若N4GB=2/EMC,求線段的長

【思路點(diǎn)撥】

(1)推出NB4C=NACD,從而4BIICD,可推出NACB=NB力C,從而4B=BC,進(jìn)而推出4B=CD,進(jìn)一

步得出結(jié)論；

(2)可證明△4BE三△8CF,乙BCF=4BAE,進(jìn)而推出乙4NF=乙48。=60。，進(jìn)一步得出結(jié)論；

(3)作CR14E,可證明aCRE三△/!〃，從而4L=CR,在上截取G7=4G=5,連接4T,可證得

2222

△CRM=△ALT,從而4L=CM=2V5,根據(jù)4/=AG-GL=AT一心產(chǎn)得出52_GL2=(2V5)-

(5-GL)2,從而求得GL=3,AL=4,連接Z”，可證得NBA"=90°,設(shè)C”=k,貝I|4B=CD=2k,

AH=母，表示出BH=5k,根據(jù)5448//=93"/乙=38-4/得出上=等，進(jìn)而求得BH.

【解題過程】

(1)證明：???AC平分NBCD,

???乙ACB=Z.ACD,

vZ-AFH=^BAC+乙BHC,Z.AFH=乙ACD+乙BHC,

???Z-BAC=Z-ACD,

/.ABWCD,/.ACB=/-BAC,

???AB=BC,

???BC=CD,

???AB=CD,

■■四邊形4BCD是平行四邊形,

???四邊形是菱形；

(2)證明：vAB=BC,AABC=60°,

???△4BC是等邊三角形，

???Z,ABC=乙ACB=60°,

???BE=CF,

A^CF(SAS),

???乙BCF=乙BAE,

???Z-BCF+Z.ABF=Z-BAE+乙ABF,

/.Z.ANF=/.ABC=60°,

???ALLBH,

CALN=90°,

???乙NAL=90°一"NF=30°,

AN=2NL；

(3)解：如圖，作CR1/E,在上截取GT=ZG=5,連接47、AH,

AD

■：由(2)得AABEmABCF,

???Z-AEB=Z-BFC,

/.Z-CER=Z.AFL,

???BC=AC,BE=CF,

：?CE=AF,

??.△CRE=AALF(AAS^

???AL=CR,

Z-GAT=Z-ATG,

???^LAGB=Z.GAT+Z.ATG=2/.ATG,

V^AGB=2乙CME,

???乙ATG=乙CME,

???乙MRC=乙ALT=90°,

.*.△CRM=AALT(AAS)f

.??AL=CM=2V5,

???AL2=AG2-GL2=AT2-LT2,

???52-GL2=(2V5)2-(5-GL)2,

???GL=3,

AL=4,

是CD的中點(diǎn)，

：.AHLCD,

AB\\CD,

：.AHLAB,

：./.BAH=90°,

設(shè)CH=k,貝=CD=2k,AH=V3fc,

???BH=7AB2+AH2=V7k,

???S^ABH=-AL=^AB-AH,

V7fc-4—2/c-V3fc,

?/,-2V2T

2V2114V3

???BH=V7X

14.（2024?貴州?一模）如圖，在菱形ABCD中，NB=60。，E,尸分別是BC,4D的中點(diǎn)，點(diǎn)G,H分別在

AB,CD上，且BG=DH,分別沿EG,折疊菱形ABCD,點(diǎn)、B,。的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)“，N,連接力M,CN

,EN,FM.

EE

②③

(1)問題解決：如圖①，請判斷線段力M,CN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系：_；

(2)問題探究：如圖②，當(dāng)點(diǎn)N分別落在力B,CD上時，請判斷四邊形ENFM的形狀，并說明理由;

(3)拓展延伸：如圖③，當(dāng)點(diǎn)4M,E恰好在一條直線上時，求霽的值.

DU

【思路點(diǎn)撥】

(1)連接4C,由菱形的性質(zhì)和線段中點(diǎn)的定義得到NB=4。=60。，BE=DF,進(jìn)而證明

△BEG三△DFH(SAS)得至UNBGE=/.DHF,由折疊的性質(zhì)可得BG=MG,DH=NH,乙BGE=乙MGE,

乙DHF=LNHF,再證明N4GM=NCHN,MG=NH,進(jìn)而證明△4GM三△CHN(SAS),得到AM=CN,

/.GAM=Z.HCN,證明NC4M=Z.ACN,得到4M||CN,貝=CN,AM||CN；

(2)由菱形的性質(zhì)得到ADIIBC,AB=BC=CD=AD,則乙4=180。-AB=120。，由折疊的性質(zhì)可得

ME=BE,Z.EMB=ZB=60°,即可證明△BEM是等邊三角形，得到=BE,證明AM=4F,得到

[ono_/A

AAMF=^AFM=---=30°,貝IUEMF=9O。，同理可證明/MEN=NMFN=90。，即可證明四邊形

ENFM是矩形；

(3)如圖所示，過點(diǎn)M作MHLAB于連接4C,證明△力BC是等邊三角形，由￡為的中點(diǎn)，得到

乙BAE=30°.由折疊的性質(zhì)可得BG=MG,乙EMG=NB=60°,則NAMG=120°,^AGM=30°,推出

AM=MG,貝lMG=2GH,在RtZkMGH中，GH=*M,則含=存

【解題過程】

(1)解：如圖所示，連接2C,

AFD

四邊形4BCD是菱形,

:.AB=BC=CD=AD,Z-B=Z-D=60°,

■:E,尸分別是BC,40的中點(diǎn),

??.OF=—O,BE=^BC,

.-.BE=DF,

又?