廣東省惠州市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)7月期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣東省惠州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合A={N%2—3%<o},5={Hlnx>O},則AB=()

A.1x|O<x<l|B.{木>0}C.{x|O<x<31D.|x|l<x<3}

2.若i(l—z)=l,貝lJz+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.在等差數(shù)列{〃〃}中，已知〃1=2,42+〃3=13,貝!J〃4+〃5+〃6等于()

A.40B.42C.43D.45

4.卜3一/J的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（：

)

A.14B.-14C.42D.-42

5.在正三棱柱A5C-A與G中，若A5=2,AA=1,則點(diǎn)A到平面A5C的距離為（）

A.自B.典C.上D.2也

24

6.在VA2C中，內(nèi)角A,民C所對(duì)的邊分別為瓦c.向量力=（a+c/）,q=（6-a,c-a）.若

p//q,則角c的大小為（）

717C7C2兀

A.-B.—C.—D.—

6433

7.設(shè)點(diǎn)48在曲線y=log?X上.若A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為（5,2）,則|AB|=（）

A.6B.2MC.473D.4百

jr57r

8.已知函數(shù)/（X）=5皿35-：）5皿28+~-）在區(qū)間（0,兀）恰有6個(gè)零點(diǎn)，若Q〉0,貝！J①的

46;

取值范圍為（）

313D?雷

A。("c?(屋

二、多選題

9.現(xiàn)有甲、乙兩家檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)某品牌的一款智能手機(jī)進(jìn)行拆解測(cè)評(píng)，具體打分如下表(滿

分100分).設(shè)事件M表示“從甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中任取3個(gè)，至多1個(gè)超過平均分”，事件N

表示“從甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中任取3個(gè)，恰有2個(gè)超過平均分”.下列說法正確的是()

B.甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差大于乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差

C.乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為92.5

D.事件M,N互為對(duì)立事件

10.設(shè)公比為g的等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)積為北，若=16,貝()

A.%=4B.當(dāng)％=1時(shí)，q=±y/2

C.logj?=18D.城+蠟＞32

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡為曲線C,且動(dòng)點(diǎn)尸(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)

片(-1,0),瑪(1,0)的距離之積等于3.則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱B.曲線C的方程為三+^+1=而百

c.面積的最大值5D.IOPI的取值范圍為［應(yīng),2］

三、填空題

12.雙曲線V一@2=1的一個(gè)焦點(diǎn)是(2Q),貝!］左=.

13.若點(diǎn)A(cose,sin。)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為B(cos(e+m),sin(9+3)),寫出6的一個(gè)取值為

OO

14.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椋跲H,對(duì)于?！对伲悸暎?,恒有/(%)《/區(qū))，且滿足

/?+f(l-x)=l,/(j)=1fix),貝I/(七)=.

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=xlnx+ax+2在點(diǎn)處的切線與直線尤-2丁+2=0相互垂直.

試卷第2頁，共4頁

(1)求實(shí)數(shù)。的值;

⑵求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.某企業(yè)舉行招聘考試，共有1000人參加，分為初試和復(fù)試，初試成績總分100分，初

試通過后參加復(fù)試.

(1)若所有考生的初試成績X近似服從正態(tài)分布其中〃=65。=10,試估計(jì)初試

成績不低于75分的人數(shù)；(精確到個(gè)位數(shù))

(2)復(fù)試共三道題，每答對(duì)一題得10分，答錯(cuò)得0分，答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)

試成績.已知某考生進(jìn)入復(fù)試，他在復(fù)試中第一題答對(duì)的概率為3:，后兩題答對(duì)的概率均為

4

3

且每道題回答正確與否互不影響.記該考生的復(fù)試成績?yōu)樨扒笱镜姆植剂屑捌谕?

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NJ,"),貝P(〃—b〈Xv〃+b)=0.6827,

P(/z-2(y<X<//+2cr)=0.9545,P(//-3cr<X<〃+3cr)=0.9973.

IT

17.在三棱錐尸—ABC中，尸CL平面ABC,尸C=3,/ACB=—.RE分別為線段AB,BC上

2

的點(diǎn)，且CD=DE=RCE=2EB=2.

/:C\\.g\

產(chǎn)D

⑴證明：￡>E_L平面PCD；

(2)求平面PAD與平面尸CD夾角的余弦值.

18.如圖，已知橢圓G：［+y2=i和拋物線。2：犬=2刀(p〉。)，J的焦點(diǎn)尸是G的上頂

點(diǎn)，過歹的直線交C?于M、N兩點(diǎn)，連接NO、MO并延長之，分別交C|于A、3兩點(diǎn)，

連接A3,設(shè)人沏、△OAB的面積分別為黑0的、SOAB?

⑴求P的值；

⑵求OATON的值；

(3)求〉1的取值范圍.

19.如果數(shù)列｛4｝對(duì)任意的〃eN*,an+2~an+l>an+l~%，則稱｛%｝為“速增數(shù)列”.

(1)判斷數(shù)列｛2,｝是否為“速增數(shù)列”？說明理由；

(2)若數(shù)列｛4｝為“速增數(shù)列”.且任意項(xiàng)為eZ,%=1,%=3s=2023,求正整數(shù)k的最大值;

(3)已知項(xiàng)數(shù)為2左(^>2,^eZ)的數(shù)列也｝是“速增數(shù)列”，且也｝的所有項(xiàng)的和等于左，若

4=2"”，〃=1,2,3,,2k,證明：ckck+l<2.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DDBAACBCBDBCD

題號(hào)11

答案ABD

1.D

【分析】解不等式化簡集合A,8,再利用交集的定義求解即得.

【詳解】由]2-3x<0，得0<x<3,即A={%|0<%<3},由lnx〉O,得x>l,即8={x\x>1),

所以Ac5={x[l<%<3}.

故選：D

2.D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求z,從而可求z+N.

【詳解】由題設(shè)有l(wèi)-z=1=3=-i,故z=l+i,故z+彳=(l+i)+(l-i)=2,

故選：D

3.B

【分析】根據(jù)已知求出公差即可得出.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列{冊(cè)}的公差為d,

因?yàn)?=2,%+生=2%+3d=13,所以d=3,

則。4+%+。6=3al+12d=3x2+12x3=42.

故選：B.

4.A

【解析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】展開式的通項(xiàng)為4M=C；(2X3廠[一9)=C；27-r(-l)r/^r,

由21-1=0,得廠=6,那么展開式中常數(shù)項(xiàng)是C”7-6(_I)6=]4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)，屬基礎(chǔ)題.

5.A

答案第1頁，共10頁

【分析】利用匕-4BC―^Ay-ABC結(jié)合已知條件求解即可.

【詳解】因?yàn)樵谡庵鵄BC-44G中，若A8=2,AA=1,

所以45=A。=Ji2+12=，^ABC=—x2x2sin—=A/3,

ABC=/C2B=gx2xQ=2,

所以S}BJ(A,B)-QJ

設(shè)點(diǎn)A到平面\BC的距離為d,

因?yàn)閊A-AXBC~A}-ABC，

所以M=§SKg.明,

所以2d=\/3x1,得d=.

2

故選：A

【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示，結(jié)合余弦定理求解即得.

【詳解】在VABC中,由"=（a+c,/?）&=（/?-〃,。一〃），pllq,#{a+c）（c-a）=b（b-a）,

整理得片+廿一，=而，由余弦定理得cosC="+"—=玉,WO<C<71,

2ab2

所以C=￡

故選：c

7.B

【分析】設(shè)A（占,log2%）,8（%，log2%），根據(jù)題意，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算，求得%，%的值，結(jié)合

兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解.

【詳解】設(shè)4%,1082尤1），8（%，1。82%），

答案第2頁，共10頁

芯+%=5

因?yàn)锳8的中點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2),可得"-J

2

整理得玉+無2=1°，%々=16,解得％1=2,%2=8或玉=8,々=2,

不妨設(shè)A(2,1),8(8,3),所以恒回=7(2-8)2+(1-3)2=2廊.

故選：B.

8.C

TTSIT7jr97r137r177r197r

【分析】令〃x)=。，求得小)從左到右的零點(diǎn)依次為行后后后而言，商,

結(jié)合題意，列出不等式，即可求解.

TT57r7T

【詳解】函數(shù)/(%)=sin(3°x——)sin(2G%+一),由/(%)=。，得sin(3Gx——)=0或

464

57T

sin(2s+—)=0,

6

e/0/?/、/?-T-1、r(1+4左)兀_p.(1+6左)兀,,

解得了(%)的正零點(diǎn)為'一或。NT,

12G12co

Jr57r7兀9兀13兀177r197r

則函數(shù)f(x)從左到右的零點(diǎn)依次為：『泮黑，泮等，瀉等,

12a)12?12?12。12。12。12。

為了使得了⑴在區(qū)間(0,兀)恰有6個(gè)零點(diǎn)，只需177/T<一19等兀，解得1上719

12a)12G1212

所以實(shí)數(shù)0的取值范圍為1七7苣19.

故選：C

9.BD

【分析】直接由平均數(shù)、方差、百分位數(shù)及對(duì)立事件的概念，逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷，即

可得出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分百=以1+尤+;+以+距=93,

乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分充2=；=93,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差

22

s：=g[(90-93)2+(98—93)2+(90_93)2+(92-93)+(95-93)]=9.6,

乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差$=￥(93-93了+(95-93>+(92—93)2+(91-93『+(94-93力=2,B

正確；

對(duì)于C,乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)從小排到大為：91,92,93,94,95,乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為

答案第3頁，共10頁

93,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中有且僅有2個(gè)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)超過平均分，事件",N不可能同時(shí)發(fā)

生，

但必有一個(gè)發(fā)生，因此事件M,N互為對(duì)立事件，D正確.

故選：BD

10.BCD

【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)和應(yīng)用判斷ABC,根據(jù)基本不等式的應(yīng)用判斷D.

【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)榫?%%=16,所以為=±4,所以A不正確；

B選項(xiàng)：因?yàn)?=1,4a9=16,則a；/=i6,所以/=16,所以4=±0,所以B正確；

C選項(xiàng)：因?yàn)?；=%的的=W,所以闿=|0=2%所以log2國=18,所以C正確；

D選項(xiàng)：a；+a；N2a3%=2。得9=32,當(dāng)且僅當(dāng)。3=%時(shí)，等號(hào)成立.所以D正確.

故選：BCD.

11.ABD

【分析】根據(jù)給定的信息，列式求出曲線C的方程，再逐項(xiàng)分析判斷即可.

[詳解]對(duì)于B,依題意，J（x+l）2+y2.J（尤_iy+y2=3,整理得/+/+1=心+9,

因此曲線C的方程為/+8+1=，4犬2+9,B正確；

對(duì)于A,方程中的x換成一無方程不變，因此曲線C關(guān)于V軸對(duì)稱，A正確；

對(duì)于C,顯然丁=,4爐+9-（/+1）20,貝!]-2^2-8<0,解得：-2<X<2,

令14爐+9=/€[3,5]，則;/=一：+/+：=一："一2）2+^^0,2],即

片尸身的面積S=；|月月||y|=|y|4&,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,|OP『=/+/=92+9一1e[2,4]，因此1。川的取值范圍為[&,2],D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：曲線C的方程為尸（無4）=0,①如果歹（-羽>）=0,則曲線C關(guān)于y軸

對(duì)稱；②如果尸（無,->）=0,則曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱；③如果/％-y）=0,則曲線C關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱.

答案第4頁，共10頁

【分析】化雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，再結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求出左值.

2

,°f-匕一111

【詳解】雙曲線爐-a2=1方程為1一，依題意，1+==4,所以左=：.

Ik3

故答案為：—

13.—(滿足0=池+及匹及eZ即可)

1212

【分析】根據(jù)48在單位圓上，可得。,。+9關(guān)于y軸對(duì)稱，得出。+9+。=萬+2左萬內(nèi)€2求

66

解.

【詳解】A(cose,sine)與小os［6)+V］,sin.+關(guān)于y軸對(duì)稱，

即仇?+￡關(guān)于y軸對(duì)稱，

6

JI

3-----F夕=7T+2k7l、kGZ,

6

57r

則夕=左左+法,左￡2,

當(dāng)左=0時(shí)，可取e的一個(gè)值為廠57r.

12

故答案為：=(滿足0=4萬+3,左eZ即可).

1212

14.—/0.03125

32

【分析】根據(jù)給定條件，可得當(dāng)xeg,：］時(shí)，再借助/($=變形/(焉)

即可得解.

【詳解】函數(shù)/(X)的定義域?yàn)椋?,1］,由/(x)+/(l-x)=l,得y(；)+/(g)=l,即/g)=g

又/(0)+"1)=1,由公)=g/(x),得/(0)=?(0),解得/(。)=0,則/⑴=1,

于是/(1)=1/(I)=g,由對(duì)于。<玉<龍2<1，恒有/(再)<f(xj，得當(dāng)XeB,；］時(shí)，f(x)=1,

HLI1、1512511251￡(625

，2024=2”2024=21，2024=21*2024=F，2024'

而［<反3<1，即有/(空_)=,，所以〃」_)=_L.

52024220242202432

故答案為：—

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)題意求得f(1)=|，心=；,進(jìn)而求得當(dāng)xeBf時(shí)，

答案第5頁，共10頁

15.⑴a=—3；

（2）增區(qū)間為k2,+s）,減區(qū)間為（0,e2）,極小值2-e2,無極大值.

【分析】（1）根據(jù)gx尸⑴=-1,代值計(jì)算即可求得參數(shù)值；

（2）根據(jù)（1）中所求參數(shù)值，求得尸（x）,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可判斷函數(shù)單調(diào)性和極值.

【詳解】⑴因?yàn)?'（x）=lnx+l+a,在點(diǎn)（1"（1））處的切線斜率為％=/'（l）=l+a,

又元）在點(diǎn)（1,/。））處的切線與直線x-2y+2=0相互垂直，

所以;x/⑴=-1,解得°=一3.

（2）由（1）得,/"（x）=lnx-2,xe（0,+oo）,

令得x>e2,令r（x）<。,得o<九ve?,

即/（X）的增區(qū)間為卜2,+8）,減區(qū)間為

又/'（"）=6211162-362+2=2-62,

所以/（X）在無=『處取得極小值2-e2,無極大值.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬綜合中檔題.

16.（1）159；

（2）分布列見解析，期望為195

【分析】（1）分析可知75=〃+。，計(jì)算出尸（XN75）的值，乘以1000可得結(jié)果；

（2）分析可知隨機(jī)變量y的取值分別為0、io、20、30,計(jì)算出隨機(jī)變量y在不同取值下

的概率，可得出隨機(jī)變量y的分布列，進(jìn)而可求得E"）的值.

【詳解】（1）由學(xué)生初試成績X服從正態(tài)分布N（〃Q2）,其中〃=65,<7=10,得

75=65+10=〃+b,

因此「（*275）=2（乂2〃+（7）=3[1-尸（〃一64乂4〃+（7）]=^1^=0.15865,

所以估計(jì)初試成績不低于的人數(shù)為015865X1000°159人.

答案第6頁，共10頁

(2)y的可能取值為0,10,20,30,

則P(y=0)=(l_3)x(l-%=—,P(y=10)=-x(l--)2+(l--)xC*x-x-=—

4525454-5525

49333Q3377

P(y=20)=-xC^x-x-+(l--)x(-)2=—,P(y=30)=-x(-)2=一,

4255452045100

所以y的分布列為:

Y0102030

16927

P

252520100

數(shù)學(xué)期望為E(y)=0x」+10x9+20x2+30x^=19.5.

v7252520100

17.(1)證明見解析;

(2)T

【分析】(1)根據(jù)PC，平面A3C并結(jié)合t.CDE的形狀,利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求解出平面APD、平面PDC的法向量，再用面面角的向量求

法求解即得..

【詳解】(1)由PC,平面ABC,OEu平面ABC,得「CLDE,

由CE=2,8=。后=應(yīng)得。E為等腰直角三角形，即

又PCcCD=C,且尸Cu面PCD,CDu面尸CD,

所以DE_L平面PCD.

(2)在三棱錐P-ABC中，取CE中點(diǎn)尸，連接。/，由(1)知，DF=1,DFLBC,

DFBF23

而ACJ_3C,于是DFV/AC,==—,則AC=—

ACBC32

顯然直線C4,C氏C尸兩兩垂直，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，直線C4,C氏CP分別為％yz軸建立空間直

角坐標(biāo)系，

答案第7頁，共10頁

3

C(0,0,0),P(0,0,3),A(-,0,0),E(0,2,0),0(1,1,0)

ED=(1,-1,0),DP=(-1,-1,3),DA=(1,-l,0),

n?DP=-x-y+3z=0

設(shè)平面PAD的法向量為n=(%,%z)則1,令x=2,得“=(2,1,1).

n-DA=-x-y=0

12'

由DEL平面PCD,則平面PCD的法向量為E。，設(shè)平面PAD與平面P6夾角為6,

因止匕cos0=|cos〈",DE)|=?〃0FI=廣1「=

\n\\DE\76x726

所以平面PAD與平面PCD夾角的余弦值為f.

6

18.⑴P=2

(2)-3

(3)[2,^o)

【分析】(1)由拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)求P的值;

(2)設(shè)直線跖V的方程，與拋物線聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求ON的值;

s\OM'ON\

(3)設(shè)直線NO、MO的方程，與橢圓聯(lián)立方程組表示出乙,4,由《幽

)OAB\OB-OA\'

化簡并結(jié)合基本不等式求取值范圍.

【詳解】⑴橢圓C1：1+y2=i的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),

則拋物線G的焦點(diǎn)為尸(0,1),故p=2.

(2)若直線MN與，軸重合，則該直線與拋物線Q只有一個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意,

所以直線"N的斜率存在，設(shè)直線的方程為>=履+1,點(diǎn)MO1,月)、N(x2,y2),

y=kx+1

聯(lián)立x2_4y可得/_4履-4=0A=16/+16>0恒成立，貝1]%％=-4,

答案第8頁，共10頁

OM-ON=+y^2=尤［%+：］：=-4+］=-3.

(3)設(shè)直線NO、MO的斜率分別為尤、k2,其中勺＞0,k2＜0,

XX-可得(%+i產(chǎn)明解得金后

聯(lián)立

2

點(diǎn)A在第三象限,則乙=一

小4］；+1

2

點(diǎn)3在第四象限,同理可得/二

小4代+1

%%=%送2二1

且桃2=

玉/164

S.OMN=WHOM=卜?馬|=卜fl

22

SOAB~\OB\-\OA\-k-x4r

7^+144.+1

=J(%+D(M+1)=/好+6+22H：-L+2=2,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

￥”的取值范圍為［2,