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文檔簡介
平面向量
一、單選題
1.已知實數(shù)4同時滿足:(1)AD=ZAB+(\-^AC,其中。是AABC邊8。延長
線上一點;(2)關(guān)于x的方程2sin2》-(2+l)sinx+l=0在[0,2萬)上恰有兩解,則實
數(shù)2的取值范圍是()
A.2.<-2-\/2-1或4=-2B.A.<—4
C.4=-2D.或夭=一20—1
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根據(jù)(1)確定幾<0,再結(jié)合換元法把(2)轉(zhuǎn)化為二次方程在區(qū)間內(nèi)有唯一解的
問題,即可得解.
【詳解】
ADAAB+(1-=AC+—AC)=AC+2,CB,
又A/5=AC+CD,,XCB=CD,
QO是AABC邊BC延長線上一點,,/1<0,
?.?關(guān)于x的方程2sin?x—(2+l)sinx+1=0在[0,2萬)上恰有兩解,
令,=sinx,由正弦函數(shù)的圖象可知,
方程2產(chǎn)一(4+l)f+1=0在(-1,1)上有唯一解,
入=0
.?.[2-(幾+1)+1][2+(/1+1)+1]<0或,A+1,
-1<-----<1
I4
解得/1<Y或/1>2(舍)或4=一1一2"或4=一1+2"(舍),
??A<-4或zl=-1?-2-y2.
故選:D.
【點睛】
此題考查向量變換、換元法、二次方程的根等,考查邏輯推理能力和運算求解能力,綜
合性較強(qiáng),難度較大.
2.已知向量。與B的夾角為60°,|£|=2,|切=5,則2£-萬在£方向上的投影為()
65
A.—B.2C.-D.3
22
【答案】A
【解析】
試題分析:因向量〃,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=5,.?.(2a-B)?a=3,則2。一行
在】方向上的投影為=3,故應(yīng)選A.
1?12
考點:向量的有關(guān)概念及運算.
3.已知向量a,6滿足a_LZ>,\a\—1,|b\=2,貝!||2a一引=()
A.0B.20C.4D.8
【答案】B
【解析】
忸一,=J(2M—5)2="萬2—4&?5+方=故選B.
4.在AAHC中,AB=1,BC=2,8=60。,M為BC中點,則麗.麗7的值為
()
1
A.0B.-C.1D.2
2
【答案】B
【解析】
【分析】
由題可得:AABM為等邊三角形,運算荏.而即可.
【詳解】
vAB=1,BC=2,8=60。,M為8C中點,
:.^ABM為等邊三角形,|詬|=[而|=1,NBAM=60),
AB-AM=|AB|-|AM\COSNBAM=1,
故選:B
【點睛】
本題主要考查向量數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.
5.若點O和點F分別為橢圓[+1=1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,
則6F?而的最大值為()
A.2B.3C.6D.8
【答案】C
【解析】
左焦點F(-1,0),設(shè)P(x,y),
則
_____3ii
OP-FP=(x,^)?(x4-1,y)=x2+x+=x2+%+3——x2=—x2+x+3=—(x+2)2+2
444
,,
因為工£[-2,2],所以當(dāng)x=2時,麗.而取得最大值,最大值為6.
6.若向量相=(0,-2),〃=則與2m+〃共線的向量可以是()
A.(V3,-l)B.(-1,73)C.(-73,-1)D.(-1,-73)
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用向量坐標(biāo)運算求出向量2玩+而,然后利用向量平行的條件判斷即可.
【詳解】
?歷=(0,—2),萬=(6,1)
2m+n=(3,-3)
(1,⑹=_當(dāng)(后,一3)
故選B
【點睛】
本題考查向量的坐標(biāo)運算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐
標(biāo)對應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對應(yīng),切不可錯位.
7.設(shè)。為兩個非零向量五5的夾角,且對任意的實數(shù)左,忸-妨|的最小值為常數(shù)
>0),則下列判斷正確的是()
A.若e確定,則問確定B.若。確定,則M確定
C.若問確定,則。確定D.若M確定,則。確定
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)g(A)=(B一姐)2,根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),求得g伏)的最小值”7,從而得出。
確定,w唯一確定.
【詳解】
令g(k)=(b—ka)1=b2-2ka-b+k2a2,
rr
?/對任意的實數(shù)左,人-hz的最小值為常數(shù)機(jī)>0)
.?.△=453)2_4必X般,0恒成立
1e,-2a-bIbIxcos^,八、骨』—、
當(dāng)且僅當(dāng)我=丁時,(幻取瑯小值”,
2Mh2=---:—\a:\g
rc\b|xcos。_1\b\2XCOS20-22
2-2x--!--------xa-b+--!------------a-m-
\a\l?T
bP(1-cos2。)=加2
化為|B|2sin26=m2
;.,確定,則w唯一確定,
故選:B
【點睛】
本題主要考查了平面向量數(shù)量積運算性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.
8.直線以+外+。=0與圓/+y2=9相交于兩點M,N,若="+82,則OM^ON
(O為坐標(biāo)原點)等于()
A.-7B.-14C.7D.14
【答案】A
【解析】
【分析】
取MN的中點A,連接0A,可得Q4,可得0點到直線MN的距離,在R^AON
中,設(shè)NAON=8,可得cos8及cosNMQV的值,利用向量的數(shù)量積公式可得
麗.西的值.
【詳解】
取MN的中點A,連接0A,可得OA±MN,
c2=(r+b2>0點到直線MN的距離°A==1,
\Ja2+b2
由f+>2=9,得圓的半徑為3,
0A1
.—ON中,設(shè)NAON=9,得cos6=——=一,
ON3
27
得cosZMON=cos29=2cos20-\=--
可得。必-ON=|0M|-|ON|cosAMON
7"
==3x3x=-7,
9>
故選A.
【點睛】
本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)及平面向量的數(shù)量積運算,由題意求出cosNA/QV
是解題的關(guān)鍵.
9.給出下列三個命題:
①若£=鉆則同=同;
②若屈=皮,則四邊形450是正方形;
③若M0■j|0(4.0,r,neR),則m=
其中正確的命題為()
A.①B.①②C.①③D.②③
【答案】C
【解析】試題分析:兩個向量相等,則它們的模相等,①正確.兩個向量相等,則它們
對應(yīng)的線段平行且相等,但不一定是正方形,故①錯誤.根據(jù)數(shù)乘向量的概念知③正確.
考點:空間向量的基本概念.
10.已知向量G=(逝,-0),5=(cosa,sina),則卜一可的最大值為()
A.1B.75C.3D.9
【答案】C
【解析】
【分析】
rr
由向量a=-3),^=(cosa,sine)表示a-Z,利用輔助角公式化簡求最值
即可.
【詳解】
sincz-cosa)
所以當(dāng)sin(a-?)=l時,rr
。一。取得最大值3.
【點睛】
本小題考查平面向量的基本運算,三角函數(shù)的最值,向量模的概念及其最值等基礎(chǔ)知識;
考查運算求解能力,推理論證能力,應(yīng)用意識.
11.在AABC,a,b,c分別是三個內(nèi)角A,B,C的對邊,設(shè)向量萬=(b-c,a-c),
q=(c+a,b)若p||q,則角A的大小是()
A.90°B.45°C.60°D.30°
【答案】C
【解析】
I7T
試題分析:(b-c)b=(a-c)(c+a),b2-be=a2-c2:.cosA----=—:.A=—
2bc23
考點:余弦定理,向量共線的坐標(biāo)運算.
12.在&AA8C中,CA=CB=2,M,N是斜邊AB上的兩個動點,且MN=&,
則CM:函的取值范圍為()
A.-|?2B.C.[1,2]D.[2,+oo)
【答案】A
【解析】
【分析】
可借助直線方程和平面直角坐標(biāo)系,代換出M,N之間的關(guān)系,再結(jié)合向量的數(shù)量積公
式進(jìn)行求解即可
【詳解】
如圖所示:
由MN=丘得(a-1>丫=1,可設(shè)a>6,則a—/?=1,a—b+1,0<b<\
麗=(a,2-a),函=(仇2-b),CM-CN=ab+(2-a)(2-b)=2ab-2(a+b)+4
,/、2、(z、2、「-
=292_匕+])=2+*,當(dāng)0W6W1時,2+[€/2,故
____—.-3-
CMCNe-.2
故選A
【點睛】
本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,向量法在幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題
二、填空題
13.設(shè)點B,C為圓Y+丁=4上的兩點,。為坐標(biāo)原點,點A(l,l)且彳己A月=0,
AE^AB+AC'則AQ4E面積的最大值為.
【答案】G
【解析】
【分析】
分析可知平行四邊形A6EC為矩形,由矩形的性質(zhì)可得06+04=082+。02,進(jìn)而
得到點E的軌跡為以原點為圓心,逐為半徑的圓,由此得解.
【詳解】
解:如圖,
設(shè)E(x,y),由通=福+/可知,四邊形ABEC為平行四邊形,=
則平行四邊形ABEC為矩形,
由矩形性質(zhì)可知,OE2+O42=OB2+OC2.即。匹2+2=4+4,
:.x2+y2=6,即點£的軌跡為以原點為圓心,逐為半徑的圓,
???點E到直線0A的距離為de(0,V6],
(邑AOE)M=gx0x灰=7L
故答案為:6
【點睛】
本題考查平面向量的綜合運用,考查矩形的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.
14.設(shè)e2為單位向量,非零向量石=*6[+丫62,x、ySR.若e2的夾角為
30。,則罟1x1的最大值等于_________.
lbI-------------
【答案】2
【解析】
epe2為單位向量,和e2的夾角等于30°,,e1,e2=lxlxcos3(T=-^.
==<22=2x+2
:非零向量b=xet+ye2>---Ibli/^^x+2xyej,e2+y7x+V3Yy)
x21
?|x|=llIxI----2=Ir2—
lbI7x2+Vsxy+y2Vx2+Vsxy+y2]/1+??}+(])|+i
故當(dāng)]=-乎時,得取得最大值為2,
故答案為2.
15.已知矩形ABC。中,A3=4,4)=3,動點M、N分別在射線C8、CD±
運動,且滿足石,■+得"=1.對角線AC交MN于點P,設(shè)而=x^+y而,則
X+)'的最大值是.
Q
【答案】-
【解析】
【分析】
由條件可知CA/2+CN2=C"2.CN2,^|ACV|=|CM|-|C7V|,則點。到MN的距離
”8
X+y<
-一5--
為1,即|CP|21,故|AP|W4,5
一2
【詳解】
由于石,+/石=1,所以CM?+CN2
所以|MN「=CM2.CN?,所以|MN|=|CMJCN|,所以點。到MN的距離為1,所
以|C“21,ffi|AC|=V32+42=5,所以|AP|W4,
34
設(shè)NC4B=a,則sina=g,cosa=《
r|AB|y-\AD\1..
所以sina=:J,cos?='1,則x=y=-AP.
\AP\\AP\511
則》+二如耳+如耳2網(wǎng)8
--------------士—■
55
Q
故答案為:—
【點睛】
本小題主要考查向量在幾何計算中的運用,屬于中檔題.
16.若J與石是互為相反向量,則&+B=.
【答案】0
【解析】
【分析】
根據(jù)相反向量的概念即可得出結(jié)果.
【詳解】
因為。與B是互為相反向量,所以@=一日,因此4+5=。.
故答案為。
【點睛】
本題主要考查向量的和,熟記相反向量的概念即可,屬于基礎(chǔ)題型.
三、解答題
17.向量£=(4cos?,sin?),石=(sin夕,4cos£),"=(cos/,—4sin(3)(a、旬eR
■JT
且。、B、£均不等于一+.
2
(i)、求忸+q的最大值;
(II)、當(dāng)Z〃石且£-L(b—2c)時,求tana+tan夕的值.
【答案】(I)最大值為4&;(II)-30.
【解析】
【分析】
(I)根據(jù)向量模長的計算公式得到表達(dá)式,再由三角函數(shù)的性質(zhì)得到最值;(II)由
向量點積的坐標(biāo)公式得到sin(a+7?)=2cos(a+A),再由向量平行的坐標(biāo)運算得至I]tan
atan夕=16,聯(lián)立兩式得到結(jié)果.
【詳解】
(I)b+C=(sin夕+cosJ3,4cos0—4sin0)
=>b+C=J17-15sin2/74夜=4狡,當(dāng)且僅當(dāng)夕=—?+hr(keZ)時
取等號,故最大值為4&.
(II)片〃另=16cosacos£=sinasinP=>tan?tan>9=16
由占一左)=0得:sin(a+/?)=2cos(a+£)
聯(lián)合以上兩式得:tan(a+£)=-30.
【點睛】
這個題目考查了向量的坐標(biāo)運算,以及三角函數(shù)的同角之間的弦切互化,題目比較基礎(chǔ).
18.設(shè)單位向量a的夾角是g,且萬=-(超+當(dāng)),5=4百一5弓.
(1)求Ml;
(2)求4與B的夾角.
【答案】(1);(2)一
112
【解析】
【分析】
1)根據(jù)平面向量的數(shù)量積求£的模長;
77
(2)根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律計算£石=0得出2_!_〃,即3與分的夾角為彳.
【詳解】
解:(工)單位向量,,02的夾角是
則聞=同=1,e^e=lxlxcosy=
22
又a=一(2q+e?),
—2—?2—?—?—?21
所以a=4et+4et?e2+e2=4xl+4x—+1=7,
所以問=方;
(2)由石=41一51,貝ij
a*b=-(2q+6-5e2)
——8^1~+6%+?
=-8xl+6x—+5x1
2
=0>
所以打人
所以a與6的夾角為3■.
【點睛】
本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長和夾角的計算問題,屬于基礎(chǔ)題.
19.如圖,在五邊形ABCDE中,若AB=m,BC=n,。方=P,瓦="EA=r,求作向量
m-p+n-q-r.
【答案】見解析.
【解析】
試題分析:利用加減法運算法則化筒向量m-p+n-q-r得/+/,
試題解析:0m-p+n-q-r=(m+n)-(p+q+r)=(AB+BC)(CD+DE+EA)=
AC-CA=AC+AC,
回延長AC至F點,使/CF1=1ACl,^iCF=AC,
^AF^AC+AC,
即向量/即為所求作的向量m-p+n-q-r.
B\E
'D
20.已知2=(1,2),6=(3,1),c=b-ka>且/,己
(1)求向量B在向量。的方向上的投影;
(2)求實數(shù)攵的值及向量°的坐標(biāo).
【答案】(1)垂)(2)k=l,c=(2,-l)
【解析】
a-h
試題分析:(1)由向量數(shù)量積運算的幾何意義知,向量加在£方向上的投影為了丁,
H
利用平面向量數(shù)量積公式求出々.5,從而可結(jié)果;(2)先求得
C=5-%=(3-左,1一2攵),再利用兩個向量垂直的數(shù)量積為零列出關(guān)于攵的方程求
解求得攵=1,從而解得.
試題解析:因為無5=同|5卜(《。,所以,向量日在向量日的方向上的投影為
ab3+2
M]COS6
(2)因為C=B—妨=(3-攵/一2%),且@=(1,2),
因為江,二,所以,ci-c=0,即,1x(3—Z)+2x(l-2Z)=0,
解得,k=\,此時,3=(2,—1).
【方法點睛】本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式、向量的投影,屬于中檔題.
平面向量數(shù)量積公式有兩種形式,一是=二是£3=玉&+乂%,主
要應(yīng)用以下幾個方面:(1)求向量的夾角,cos9=印亓(此時£石往往用坐標(biāo)形式求
m
a-b___
解);(2)求投影,a在B上的投影是萬一(3)。,/?向量垂直則4.〃=0;(4)求向量
ma+nb的模(平方后需求.
21.已知:同=4,5=(—1,G)
(1)若Z//5,求I的坐標(biāo);
(2)若£與萬的夾角為120°,求M/.
【答案】(1)(2,-2百)或(一2,2百).(2)卜―同=2,7
【解析】
試題分析:(1)利用向量共線定理、數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出.
(2)利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可的.
試題解析:
(1);5=(-1,、國,.胴=2,與5共線的單位向量為E=
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