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文檔簡介

平面向量

一、單選題

1.已知實數(shù)4同時滿足:(1)AD=ZAB+(\-^AC,其中。是AABC邊8。延長

線上一點;(2)關(guān)于x的方程2sin2》-(2+l)sinx+l=0在[0,2萬)上恰有兩解,則實

數(shù)2的取值范圍是()

A.2.<-2-\/2-1或4=-2B.A.<—4

C.4=-2D.或夭=一20—1

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根據(jù)(1)確定幾<0,再結(jié)合換元法把(2)轉(zhuǎn)化為二次方程在區(qū)間內(nèi)有唯一解的

問題,即可得解.

【詳解】

ADAAB+(1-=AC+—AC)=AC+2,CB,

又A/5=AC+CD,,XCB=CD,

QO是AABC邊BC延長線上一點,,/1<0,

?.?關(guān)于x的方程2sin?x—(2+l)sinx+1=0在[0,2萬)上恰有兩解,

令,=sinx,由正弦函數(shù)的圖象可知,

方程2產(chǎn)一(4+l)f+1=0在(-1,1)上有唯一解,

入=0

.?.[2-(幾+1)+1][2+(/1+1)+1]<0或,A+1,

-1<-----<1

I4

解得/1<Y或/1>2(舍)或4=一1一2"或4=一1+2"(舍),

??A<-4或zl=-1?-2-y2.

故選:D.

【點睛】

此題考查向量變換、換元法、二次方程的根等,考查邏輯推理能力和運算求解能力,綜

合性較強(qiáng),難度較大.

2.已知向量。與B的夾角為60°,|£|=2,|切=5,則2£-萬在£方向上的投影為()

65

A.—B.2C.-D.3

22

【答案】A

【解析】

試題分析:因向量〃,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=5,.?.(2a-B)?a=3,則2。一行

在】方向上的投影為=3,故應(yīng)選A.

1?12

考點:向量的有關(guān)概念及運算.

3.已知向量a,6滿足a_LZ>,\a\—1,|b\=2,貝!||2a一引=()

A.0B.20C.4D.8

【答案】B

【解析】

忸一,=J(2M—5)2="萬2—4&?5+方=故選B.

4.在AAHC中,AB=1,BC=2,8=60。,M為BC中點,則麗.麗7的值為

()

1

A.0B.-C.1D.2

2

【答案】B

【解析】

【分析】

由題可得:AABM為等邊三角形,運算荏.而即可.

【詳解】

vAB=1,BC=2,8=60。,M為8C中點,

:.^ABM為等邊三角形,|詬|=[而|=1,NBAM=60),

AB-AM=|AB|-|AM\COSNBAM=1,

故選:B

【點睛】

本題主要考查向量數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.

5.若點O和點F分別為橢圓[+1=1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,

則6F?而的最大值為()

A.2B.3C.6D.8

【答案】C

【解析】

左焦點F(-1,0),設(shè)P(x,y),

_____3ii

OP-FP=(x,^)?(x4-1,y)=x2+x+=x2+%+3——x2=—x2+x+3=—(x+2)2+2

444

,,

因為工£[-2,2],所以當(dāng)x=2時,麗.而取得最大值,最大值為6.

6.若向量相=(0,-2),〃=則與2m+〃共線的向量可以是()

A.(V3,-l)B.(-1,73)C.(-73,-1)D.(-1,-73)

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用向量坐標(biāo)運算求出向量2玩+而,然后利用向量平行的條件判斷即可.

【詳解】

?歷=(0,—2),萬=(6,1)

2m+n=(3,-3)

(1,⑹=_當(dāng)(后,一3)

故選B

【點睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐

標(biāo)對應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對應(yīng),切不可錯位.

7.設(shè)。為兩個非零向量五5的夾角,且對任意的實數(shù)左,忸-妨|的最小值為常數(shù)

>0),則下列判斷正確的是()

A.若e確定,則問確定B.若。確定,則M確定

C.若問確定,則。確定D.若M確定,則。確定

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)g(A)=(B一姐)2,根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),求得g伏)的最小值”7,從而得出。

確定,w唯一確定.

【詳解】

令g(k)=(b—ka)1=b2-2ka-b+k2a2,

rr

?/對任意的實數(shù)左,人-hz的最小值為常數(shù)機(jī)>0)

.?.△=453)2_4必X般,0恒成立

1e,-2a-bIbIxcos^,八、骨』—、

當(dāng)且僅當(dāng)我=丁時,(幻取瑯小值”,

2Mh2=---:—\a:\g

rc\b|xcos。_1\b\2XCOS20-22

2-2x--!--------xa-b+--!------------a-m-

\a\l?T

bP(1-cos2。)=加2

化為|B|2sin26=m2

;.,確定,則w唯一確定,

故選:B

【點睛】

本題主要考查了平面向量數(shù)量積運算性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.

8.直線以+外+。=0與圓/+y2=9相交于兩點M,N,若="+82,則OM^ON

(O為坐標(biāo)原點)等于()

A.-7B.-14C.7D.14

【答案】A

【解析】

【分析】

取MN的中點A,連接0A,可得Q4,可得0點到直線MN的距離,在R^AON

中,設(shè)NAON=8,可得cos8及cosNMQV的值,利用向量的數(shù)量積公式可得

麗.西的值.

【詳解】

取MN的中點A,連接0A,可得OA±MN,

c2=(r+b2>0點到直線MN的距離°A==1,

\Ja2+b2

由f+>2=9,得圓的半徑為3,

0A1

.—ON中,設(shè)NAON=9,得cos6=——=一,

ON3

27

得cosZMON=cos29=2cos20-\=--

可得。必-ON=|0M|-|ON|cosAMON

7"

==3x3x=-7,

9>

故選A.

【點睛】

本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)及平面向量的數(shù)量積運算,由題意求出cosNA/QV

是解題的關(guān)鍵.

9.給出下列三個命題:

①若£=鉆則同=同;

②若屈=皮,則四邊形450是正方形;

③若M0■j|0(4.0,r,neR),則m=

其中正確的命題為()

A.①B.①②C.①③D.②③

【答案】C

【解析】試題分析:兩個向量相等,則它們的模相等,①正確.兩個向量相等,則它們

對應(yīng)的線段平行且相等,但不一定是正方形,故①錯誤.根據(jù)數(shù)乘向量的概念知③正確.

考點:空間向量的基本概念.

10.已知向量G=(逝,-0),5=(cosa,sina),則卜一可的最大值為()

A.1B.75C.3D.9

【答案】C

【解析】

【分析】

rr

由向量a=-3),^=(cosa,sine)表示a-Z,利用輔助角公式化簡求最值

即可.

【詳解】

sincz-cosa)

所以當(dāng)sin(a-?)=l時,rr

。一。取得最大值3.

【點睛】

本小題考查平面向量的基本運算,三角函數(shù)的最值,向量模的概念及其最值等基礎(chǔ)知識;

考查運算求解能力,推理論證能力,應(yīng)用意識.

11.在AABC,a,b,c分別是三個內(nèi)角A,B,C的對邊,設(shè)向量萬=(b-c,a-c),

q=(c+a,b)若p||q,則角A的大小是()

A.90°B.45°C.60°D.30°

【答案】C

【解析】

I7T

試題分析:(b-c)b=(a-c)(c+a),b2-be=a2-c2:.cosA----=—:.A=—

2bc23

考點:余弦定理,向量共線的坐標(biāo)運算.

12.在&AA8C中,CA=CB=2,M,N是斜邊AB上的兩個動點,且MN=&,

則CM:函的取值范圍為()

A.-|?2B.C.[1,2]D.[2,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】

可借助直線方程和平面直角坐標(biāo)系,代換出M,N之間的關(guān)系,再結(jié)合向量的數(shù)量積公

式進(jìn)行求解即可

【詳解】

如圖所示:

由MN=丘得(a-1>丫=1,可設(shè)a>6,則a—/?=1,a—b+1,0<b<\

麗=(a,2-a),函=(仇2-b),CM-CN=ab+(2-a)(2-b)=2ab-2(a+b)+4

,/、2、(z、2、「-

=292_匕+])=2+*,當(dāng)0W6W1時,2+[€/2,故

____—.-3-

CMCNe-.2

故選A

【點睛】

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,向量法在幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題

二、填空題

13.設(shè)點B,C為圓Y+丁=4上的兩點,。為坐標(biāo)原點,點A(l,l)且彳己A月=0,

AE^AB+AC'則AQ4E面積的最大值為.

【答案】G

【解析】

【分析】

分析可知平行四邊形A6EC為矩形,由矩形的性質(zhì)可得06+04=082+。02,進(jìn)而

得到點E的軌跡為以原點為圓心,逐為半徑的圓,由此得解.

【詳解】

解:如圖,

設(shè)E(x,y),由通=福+/可知,四邊形ABEC為平行四邊形,=

則平行四邊形ABEC為矩形,

由矩形性質(zhì)可知,OE2+O42=OB2+OC2.即。匹2+2=4+4,

:.x2+y2=6,即點£的軌跡為以原點為圓心,逐為半徑的圓,

???點E到直線0A的距離為de(0,V6],

(邑AOE)M=gx0x灰=7L

故答案為:6

【點睛】

本題考查平面向量的綜合運用,考查矩形的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

14.設(shè)e2為單位向量,非零向量石=*6[+丫62,x、ySR.若e2的夾角為

30。,則罟1x1的最大值等于_________.

lbI-------------

【答案】2

【解析】

epe2為單位向量,和e2的夾角等于30°,,e1,e2=lxlxcos3(T=-^.

==<22=2x+2

:非零向量b=xet+ye2>---Ibli/^^x+2xyej,e2+y7x+V3Yy)

x21

?|x|=llIxI----2=Ir2—

lbI7x2+Vsxy+y2Vx2+Vsxy+y2]/1+??}+(])|+i

故當(dāng)]=-乎時,得取得最大值為2,

故答案為2.

15.已知矩形ABC。中,A3=4,4)=3,動點M、N分別在射線C8、CD±

運動,且滿足石,■+得"=1.對角線AC交MN于點P,設(shè)而=x^+y而,則

X+)'的最大值是.

Q

【答案】-

【解析】

【分析】

由條件可知CA/2+CN2=C"2.CN2,^|ACV|=|CM|-|C7V|,則點。到MN的距離

”8

X+y<

-一5--

為1,即|CP|21,故|AP|W4,5

一2

【詳解】

由于石,+/石=1,所以CM?+CN2

所以|MN「=CM2.CN?,所以|MN|=|CMJCN|,所以點。到MN的距離為1,所

以|C“21,ffi|AC|=V32+42=5,所以|AP|W4,

34

設(shè)NC4B=a,則sina=g,cosa=《

r|AB|y-\AD\1..

所以sina=:J,cos?='1,則x=y=-AP.

\AP\\AP\511

則》+二如耳+如耳2網(wǎng)8

--------------士—■

55

Q

故答案為:—

【點睛】

本小題主要考查向量在幾何計算中的運用,屬于中檔題.

16.若J與石是互為相反向量,則&+B=.

【答案】0

【解析】

【分析】

根據(jù)相反向量的概念即可得出結(jié)果.

【詳解】

因為。與B是互為相反向量,所以@=一日,因此4+5=。.

故答案為。

【點睛】

本題主要考查向量的和,熟記相反向量的概念即可,屬于基礎(chǔ)題型.

三、解答題

17.向量£=(4cos?,sin?),石=(sin夕,4cos£),"=(cos/,—4sin(3)(a、旬eR

■JT

且。、B、£均不等于一+.

2

(i)、求忸+q的最大值;

(II)、當(dāng)Z〃石且£-L(b—2c)時,求tana+tan夕的值.

【答案】(I)最大值為4&;(II)-30.

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)向量模長的計算公式得到表達(dá)式,再由三角函數(shù)的性質(zhì)得到最值;(II)由

向量點積的坐標(biāo)公式得到sin(a+7?)=2cos(a+A),再由向量平行的坐標(biāo)運算得至I]tan

atan夕=16,聯(lián)立兩式得到結(jié)果.

【詳解】

(I)b+C=(sin夕+cosJ3,4cos0—4sin0)

=>b+C=J17-15sin2/74夜=4狡,當(dāng)且僅當(dāng)夕=—?+hr(keZ)時

取等號,故最大值為4&.

(II)片〃另=16cosacos£=sinasinP=>tan?tan>9=16

由占一左)=0得:sin(a+/?)=2cos(a+£)

聯(lián)合以上兩式得:tan(a+£)=-30.

【點睛】

這個題目考查了向量的坐標(biāo)運算,以及三角函數(shù)的同角之間的弦切互化,題目比較基礎(chǔ).

18.設(shè)單位向量a的夾角是g,且萬=-(超+當(dāng)),5=4百一5弓.

(1)求Ml;

(2)求4與B的夾角.

【答案】(1);(2)一

112

【解析】

【分析】

1)根據(jù)平面向量的數(shù)量積求£的模長;

77

(2)根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律計算£石=0得出2_!_〃,即3與分的夾角為彳.

【詳解】

解:(工)單位向量,,02的夾角是

則聞=同=1,e^e=lxlxcosy=

22

又a=一(2q+e?),

—2—?2—?—?—?21

所以a=4et+4et?e2+e2=4xl+4x—+1=7,

所以問=方;

(2)由石=41一51,貝ij

a*b=-(2q+6-5e2)

——8^1~+6%+?

=-8xl+6x—+5x1

2

=0>

所以打人

所以a與6的夾角為3■.

【點睛】

本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長和夾角的計算問題,屬于基礎(chǔ)題.

19.如圖,在五邊形ABCDE中,若AB=m,BC=n,。方=P,瓦="EA=r,求作向量

m-p+n-q-r.

【答案】見解析.

【解析】

試題分析:利用加減法運算法則化筒向量m-p+n-q-r得/+/,

試題解析:0m-p+n-q-r=(m+n)-(p+q+r)=(AB+BC)(CD+DE+EA)=

AC-CA=AC+AC,

回延長AC至F點,使/CF1=1ACl,^iCF=AC,

^AF^AC+AC,

即向量/即為所求作的向量m-p+n-q-r.

B\E

'D

20.已知2=(1,2),6=(3,1),c=b-ka>且/,己

(1)求向量B在向量。的方向上的投影;

(2)求實數(shù)攵的值及向量°的坐標(biāo).

【答案】(1)垂)(2)k=l,c=(2,-l)

【解析】

a-h

試題分析:(1)由向量數(shù)量積運算的幾何意義知,向量加在£方向上的投影為了丁,

H

利用平面向量數(shù)量積公式求出々.5,從而可結(jié)果;(2)先求得

C=5-%=(3-左,1一2攵),再利用兩個向量垂直的數(shù)量積為零列出關(guān)于攵的方程求

解求得攵=1,從而解得.

試題解析:因為無5=同|5卜(《。,所以,向量日在向量日的方向上的投影為

ab3+2

M]COS6

(2)因為C=B—妨=(3-攵/一2%),且@=(1,2),

因為江,二,所以,ci-c=0,即,1x(3—Z)+2x(l-2Z)=0,

解得,k=\,此時,3=(2,—1).

【方法點睛】本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式、向量的投影,屬于中檔題.

平面向量數(shù)量積公式有兩種形式,一是=二是£3=玉&+乂%,主

要應(yīng)用以下幾個方面:(1)求向量的夾角,cos9=印亓(此時£石往往用坐標(biāo)形式求

m

a-b___

解);(2)求投影,a在B上的投影是萬一(3)。,/?向量垂直則4.〃=0;(4)求向量

ma+nb的模(平方后需求.

21.已知:同=4,5=(—1,G)

(1)若Z//5,求I的坐標(biāo);

(2)若£與萬的夾角為120°,求M/.

【答案】(1)(2,-2百)或(一2,2百).(2)卜―同=2,7

【解析】

試題分析:(1)利用向量共線定理、數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出.

(2)利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可的.

試題解析:

(1);5=(-1,、國,.胴=2,與5共線的單位向量為E=

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