專題04勾股定理在幾何最短路徑問(wèn)題中的應(yīng)用（題型與解法）（原卷版）

專題04勾股定理在幾何最短路徑問(wèn)題中的應(yīng)用最短路線問(wèn)題通常是以“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短”為原則引申出來(lái)的.人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問(wèn)題.對(duì)于數(shù)學(xué)中的最短路線問(wèn)題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線問(wèn)題，對(duì)于平面內(nèi)的最短路線問(wèn)題可先畫(huà)出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對(duì)于幾何題內(nèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解.最短路徑問(wèn)題在中學(xué)教學(xué)中是個(gè)難點(diǎn)，本文結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的幾類最短路程問(wèn)題，用實(shí)例從知識(shí)的趣味性、實(shí)際生活中的應(yīng)用等方面探討了最短路線的簡(jiǎn)單應(yīng)用。希望能給學(xué)生培養(yǎng)空間想象能力及動(dòng)手動(dòng)腦探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想、學(xué)會(huì)“轉(zhuǎn)化思想”的方法，找出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。這樣有助于學(xué)生充分去體會(huì)數(shù)學(xué)中的有趣知識(shí)，從興趣出發(fā)學(xué)到有用的數(shù)學(xué)。方法總結(jié)：①解決立體圖形中最短距離問(wèn)題的關(guān)鍵是把立體圖形平面化，即把立體圖形沿著某一條線展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題后，借助“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“垂線段最短”，進(jìn)而構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理求解.②平面圖形的最短路徑通常是作軸對(duì)稱變換，轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”的模型來(lái)解決問(wèn)題.常見(jiàn)的有圓柱體的展開(kāi)、長(zhǎng)方體的展開(kāi)、樓梯的展開(kāi)、繞繩的展開(kāi)等等，下面我們就通過(guò)一些典型的例題對(duì)這些問(wèn)題逐一講解.如圖，有一圓柱體如圖，高8cm，底面半徑5cm，A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離.（π取3）如圖21，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為20、3、2，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是．如圖31是一個(gè)長(zhǎng)方體，一只螞蟻如果沿長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B′點(diǎn)，那么沿哪條路最近，最短的路程是多少？（長(zhǎng)方體的長(zhǎng)2cm、寬為1cm、高為4cm）如圖41，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AB邊上一點(diǎn)，若AE=2，求EM+BM的最小值．圖41如圖51所示一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個(gè)小正方形．其邊長(zhǎng)都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點(diǎn)A沿表面爬行至側(cè)面的B點(diǎn)，最少要用秒鐘．圖51如圖61，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點(diǎn)A到達(dá)A1，若圓柱底面半徑為，高為5，則螞蟻爬行的最短距離為．圖61我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：枯木一根直立地上高二丈,周三尺,有葛藤自根纏繞而上,五周而達(dá)其頂,問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何?題意是:如圖71所示,把枯木看作一個(gè)圓柱體,因一丈是十尺,則該圓柱的高為20尺,底面周長(zhǎng)為3尺,有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上,繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處,則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是尺.

圖71如圖81所示，將一根長(zhǎng)24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為hcm，則h的取值范圍是．圖81如圖91，是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為10m的半圓，其邊緣AB＝CD＝30m.小明要在AB上選取一點(diǎn)E，能夠使他從點(diǎn)D滑到點(diǎn)E再到點(diǎn)C的滑行距離最短，則他滑行的最短距離為_(kāi)_________m．(π取3)圖91如圖101，已知AB=20，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，DA=10，CB=5．（1）在AB上找一點(diǎn)E，使EC=ED，并求出EA的長(zhǎng)；（2）在AB上找一點(diǎn)F，使FC+FD最小，并求出這個(gè)最小值．圖101如圖111，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=，AD平分∠BAC，點(diǎn)P、Q分別是AB、AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ+BQ的最小值是 題1111．如圖，開(kāi)口玻璃罐長(zhǎng)、寬、高分別為16、6和6，在罐內(nèi)點(diǎn)E處有一小塊餅干碎末，此時(shí)一只螞蟻正好在罐外長(zhǎng)方形的中心H處，螞蟻到達(dá)餅干的最短距離是多少（）A． B． C． D．172．如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿的點(diǎn)處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為，則該圓柱底面周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．固定在地面上的一個(gè)正方體木塊（如圖①），其棱長(zhǎng)為，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）去掉一角，得到如圖②所示的幾何體木塊，一只螞蟻沿著該木塊的表面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路程為（

）A． B． C． D．4．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（）A． B．25 C． D．355．如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是一條棱的中點(diǎn)，將正方體按圖中所示展開(kāi)，則在展開(kāi)圖中兩點(diǎn)間的距離為（）A． B． C． D．6．如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其長(zhǎng)、寬、高分別為4，2，9，用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點(diǎn)A，B處，不計(jì)線頭，細(xì)線的最短長(zhǎng)度為（

）A．12 B．15 C．18 D．217．有一個(gè)如圖所示的上底面是敞口的長(zhǎng)方體透明玻璃魚(yú)缸，其長(zhǎng)，高，寬，在頂點(diǎn)處有一塊面包屑，一只螞蟻想從魚(yú)缸外的點(diǎn)沿魚(yú)缸側(cè)面吃面包屑，螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)是（

）．A． B．C． D．8．如圖，在長(zhǎng)方體盒子中，已知，長(zhǎng)為的細(xì)直木棒恰好從小孔G處插入，木棒的一端I與底面接觸，當(dāng)木棒的端點(diǎn)I在長(zhǎng)方形內(nèi)及邊界運(yùn)動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．9．小強(qiáng)家因裝修準(zhǔn)備用電梯搬運(yùn)一些木條上樓，如圖，已知電梯的長(zhǎng)、寬、高分別是，，，那么電梯內(nèi)能放入這些木條的最大長(zhǎng)度是______10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3cm，已知點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為1cm，一只螞蟻沿著正方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C，需要爬行的最短距離為_(kāi)________．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，M，N是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則與周長(zhǎng)和的最小值是______．12．如圖，若圓柱的底面半徑是，高是，從圓柱底部處沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部處，則這條絲線的最小長(zhǎng)度是__________．13．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長(zhǎng)度是__________寸．14．在底面直徑為2cm，高為3cm的圓柱體側(cè)面上，用一條無(wú)彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長(zhǎng)度為_(kāi)_______（π取3）15．如圖，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長(zhǎng)度最短為_(kāi)__________cm．16．棱長(zhǎng)分別為兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)P在上，且，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P，需要爬行的最短距離是______．17．如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為8dm，圓柱高為4dm，在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)的最小值的平方為_(kāi)____dm．18．如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯上沿的點(diǎn)處粘有一粒面包渣，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯底與面包渣相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離為_(kāi)________（杯壁厚度不計(jì)）．19．初中幾何的學(xué)習(xí)始于空間的“實(shí)物和具體模型”，聚焦平面的“幾何圖形的特征和運(yùn)用”，形成了空間幾何問(wèn)題要轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題的解題策略．問(wèn)題提出：如圖所示是放在桌面上的一個(gè)圓柱體，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，如何求最短路程呢？(1)問(wèn)題分析：螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，可以有幾條路徑？在圖中畫(huà)出來(lái)；(2)問(wèn)題探究：①若圓柱體的底面圓的周長(zhǎng)為，高為，螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，求最短路程；②若圓柱體的底面圓的周長(zhǎng)為，高為，螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，求最短路程；③若圓柱體的底面圓的半徑為，高為，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，求最短路程．20．如圖，A，B兩個(gè)村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距