第03講認識三角形之與三角形有關(guān)的角（內(nèi)角和定理與外角和定理）

第03講認識三角形之與三角形有關(guān)的角（內(nèi)角和定理與外角和定理）1．學會證明三角形的內(nèi)角和是180°，并運用三角形內(nèi)角和定理去計算角的度數(shù)；2．理解三角形的外角概念，掌握三角形的外角和定理；3、掌握三角形的一個外角和等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和；知識點一、三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明：證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）兩個角互余的三角形是直角三角形．（5）三角形內(nèi)角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．知識點二、三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．考點一：三角形內(nèi)角和定理的證明例1．某班學生對三角形內(nèi)角和為展開證明討論，以下四個學生的作法中，不能證明的內(nèi)角和為的是（

）A．過點A作 B．延長BC到點D，過點C作C．過點A作于點D D．過BC上一點D作，【答案】C【分析】本題運用轉(zhuǎn)化的思想作出相應的平行線，把三角形的內(nèi)角進行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義解決此題．【詳解】解：A、由，則，．由，得，故符合題意．B、由，則，．由，得，故符合題意．C、由于，則，無法證得三角形內(nèi)角和是，故不符合題意．D、由，得，，則．由，得，，由，得，故符合題意，故選：C．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和的定理的證明，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．已知：的三個內(nèi)角為、、求證：．證法1：如圖∵，，（量角器測量）∵（計算所得）∴（等量代換）證法2：如圖，延長到，過點作．∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）（兩直線平行，同位角相等）∵（平角定義）．∴（等量代換）即．下列說法正確的是（

）A．證法1采用了從特殊到一般的方法證明了該定理B．證法1還需要測量一百個進行驗證，就能證明該定理C．證法2還需證明其它形狀的三角形，該定理的證明過程才完整D．證法2用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理【答案】D【分析】利用理論與實踐結(jié)合可以判斷C與D，根據(jù)三角形的平行的性質(zhì)與平角的定義可以判斷C與D，【詳解】解：A．證法1用量角器量三個內(nèi)角和為180°，只能驗證該定理的正確性，用特殊到一般法證明該定理缺少理論證明過程，故選項A不符合題意；B．證法1只要測量一百個三角形進行驗證，驗證的正確性更高，就能證明該定理還需要理論證明，故選項B不符合題意；C．證法2給出的證明過程是完整正確的，不需要分情況討論，故C不符合題意；D．證法2給出的證明過程是完整正確的，不需要分情況討論，故D符合題意．故選：D．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和的證明問題，命題的正確性需要嚴謹推理證明．2．如圖,將鉛筆放置在三角形ABC的邊AB上，筆尖方向為點A到點B的方向，把鉛筆依次繞點A、點C、點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠A、∠C、∠B的度數(shù)，觀察筆尖方向的變化，該操作說明了_________．【答案】三角形內(nèi)角和等于180°【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)后反方向說明旋轉(zhuǎn)度數(shù)等于180°解答．【詳解】解：筆尖方向發(fā)生了由點B到點A的方向，∵鉛筆依次繞點A、點C、點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠A、∠C、∠B的度數(shù)，∴旋轉(zhuǎn)角度之和為∠A＋∠B＋∠C，∵筆尖方向變?yōu)辄cB到點A的方向，∴旋轉(zhuǎn)角度之和為180°，∴這種變化說明三角形內(nèi)角和等于180°．故答案為：三角形內(nèi)角和等于180°．【點睛】本題考查了平角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，理解旋轉(zhuǎn)度數(shù)之和與三角形的內(nèi)角和的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．通過學習第5章《幾何證明初步》知道：由觀察、實驗、歸納、類比、猜想得到的結(jié)論還需要通過證明來確認它的正確性，實驗的方法能給我們證明提供思路．例如：在證明“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論時，如圖，有兩種實驗方法．小明受實驗方法1的啟發(fā)，形成了證明該結(jié)論的思路，寫出了已知、求證，并進行了證明，如下：已知：∠A，∠B，∠C是的三個內(nèi)角．求證：．證明：延長BC，過點C作．∴，．∵，∴．(1)小明的證明過程依據(jù)有哪些？（寫兩條即可）(2)請你參考小明同學解決問題的方法1的思路，寫出實驗方法2的證明過程．【答案】(1)兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平角的定義(2)見解析【分析】（1）過點C作，利用平行線的性質(zhì)，可得出，，結(jié)合平角等于，即可證出；（2）過點A作直線，利用平行線的性質(zhì)，可得出，結(jié)合平角等于，即可證出．【詳解】（1）證明：延長BC，過點C作．∴(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，(兩直線平行，同位角相等)．∵(平角的定義)，∴；（2）證明：如圖所示，過點A作直線，∴，∠4=∠C(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)．∵(平角的定義)，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及平角的定義，牢記“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”及“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．考點二：三角形內(nèi)角和定理的相關(guān)計算例2．如圖，在中，，平分交于點，，交于點，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用平行線的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，接著利用角平分線的定義求出∠ABC，再利用三角形的內(nèi)角和求出∠A的度數(shù)．【詳解】解：∵DEAB，∠BDE＝50°，∴∠ABD＝∠BDE＝50°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝100°，∴∠A＝180°?∠C?∠ABC＝180°?30°?100°＝50°．故選：B．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．如圖，是的外角，平分，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)外角的性質(zhì)求出，再根據(jù)角平分線的定義即可求解．【詳解】解：∵是的外角，，，∴，∵平分，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．2．如圖，中，，將沿翻折后，點A落在邊上的點處．如果，那么的度數(shù)為____．【答案】/度【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到，根據(jù)平角計算即可．【詳解】根據(jù)折疊性質(zhì)，得，，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角，熟練掌握折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．3．實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．(1)如圖，一束光線m射到平面鏡上，被反射到平面鏡b上，又被b反射，若被b反射出的光線n與光線m平行，且，則_________，________．(2)在（1）中，若，則_______；若，則________；(3)由（1）、（2），請你猜想：當兩平面鏡、的夾角________時，可以使任何射到平面鏡上的光線m，經(jīng)過平面鏡、的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行．請說明理由．【答案】(1)，(2)，(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)入射角與反射角相等，可得，．根據(jù)鄰補角的定義可得，根據(jù)，所以，，根據(jù)三角形內(nèi)角和為，即可求出答案；（2）結(jié)合題（1）可得的度數(shù)都是；（3）證明，由，證得與互補即可．【詳解】（1）解：入射角與反射角相等，即，，根據(jù)鄰補角的定義可得，根據(jù)，∴，∴，根據(jù)三角形內(nèi)角和為，∴；故答案為：，．（2）由（1）可得，當時的度數(shù)是．同理，當時，，根據(jù)，∴，∴，根據(jù)三角形內(nèi)角和為，∴；故答案為：，．（3），理由：因為，所以，又由題意知，，所以，，，．由同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，可知：．故答案為：．【點睛】本題是數(shù)學知識與物理知識的有機結(jié)合，充分體現(xiàn)了各學科之間的滲透性．考點三：直角三角形兩個銳角互余的計算例3．如圖，含有角的直角三角板的兩個頂點、放在一個長方形的對邊上，點為直角頂點，，延長交于點，如果，那么的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠1=25°，根據(jù)平角的定義得到∠AEF=90°∠1=65°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠D=90°，∠3=65°，∴∠1=25°，∵∠FEG=90°，∴∠AEF=90°∠1=65°，∵ADBC，∴∠2=180°∠AEF=115°，故選：C．【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余和平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是得出∠AEF與∠2互補．【變式訓練】1．一塊直角三角板放置在上，三角板的兩條直角邊，恰好分別經(jīng)過點，，已知，則的度數(shù)是（

）A．50° B．40° C．45° D．44°【答案】B【分析】在和中分別使用三角形內(nèi)角和定理，即可得出答案．【詳解】∵，∴，∵，∴．∵，∴，∵，∴．故選：B．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練使用三角形內(nèi)角和定理進行導角是解本題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，若，，則的度數(shù)是______【答案】【分析】由題意易得∠DBA+∠EAB=180°，∠CBA+∠CAB=90°，進而問題可求解．【詳解】解：∵BD∥AE，∴∠DBA+∠EAB=180°，∵∠C=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵∠EAB=∠CAE+∠CAB，∠DBA=∠DBC+∠CBA，，∴∠CAE=180°90°20°=70°；故答案為：70°．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及直角三角形的兩個銳角互余，熟練掌握平行線的性質(zhì)及直角三角形的兩個銳角互余是解題的關(guān)鍵．3．如圖，點A在MN上，點B在PQ上，連接AB，過點A作交PQ于點C，過點B作BD平分∠ABC交AC于點D，且．(1)求證：；(2)若，求∠ADB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，利用三角形內(nèi)角和．根據(jù)，得出，根據(jù)平行線判定定理即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)，得出方程，解方程求出，根據(jù)BD平分，求出，再根據(jù)余角性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴．∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴∵BD平分，∴，∵，∴．【點睛】本題考查平行線判定，三角形內(nèi)角和，等角的余角性質(zhì)，一元一次方程，角平分線定義，掌握平行線判定，三角形內(nèi)角和，等角的余角性質(zhì)，一元一次方程，角平分線定義是解題關(guān)鍵．考點四：三角形外角的定義與性質(zhì)例4．如圖，點在的邊的延長線上，，若，，則的度數(shù)為（

）

A．15° B．20° C．30° D．50°【答案】B【分析】由平行線的性質(zhì)可得，再由三角形外角的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵，∴．在中，∵，∴．故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是關(guān)鍵．【變式訓練】1．某學校將國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)“抖空竹”引入陽光特色大課間．某同學“抖空竹”的一個瞬間如圖1所示，若將圖1抽象成圖2的數(shù)學問題：，，，則的大小是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長，交于點，利用同位角求出的度數(shù)，再利用“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和”求．【詳解】解：延長，交于點，如圖．

，，在中，，．故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，、的角平分線交于點，若，，則____．

【答案】/度【分析】延長交于點，根據(jù)角平分線的定義，得，，根據(jù)三角形的外角和，得，，根據(jù)等量代換，；根據(jù)，，根據(jù)等量代換，得，聯(lián)立，即可求出．【詳解】延長交于點，∵、的角平分線交于點，∴，，∵，，∴，∵，，∴，由得，，解得：，故答案為：．

【點睛】本題考查角平分線的定義，三角形的外角和，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的定義，三角形的外角和．3．探究：中華人民共和國國旗上的五角星的每個角均相等，小明為了計算每個角的度數(shù)，畫出了如圖①的五角星，每個角均相等，并寫出了如下不完整的計算過程，請你將過程補充完整．

(1)解：∵，．∴．∵________，∴________，∴________．(2)拓展：如圖②，小明改變了這個五角星的五個角的度數(shù)，使它們均不相等，請你幫助小明求，，，，的和．(3)應用：如圖③．小明將圖②中的點落在上，點落在上，若，則________．【答案】(1)，，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)閱讀材料、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、結(jié)合圖形解得即可；（2）根據(jù)閱讀材料、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、結(jié)合圖形解得即可；（3）根據(jù)閱讀材料、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、結(jié)合圖形解得即可；【詳解】（1），．．，，；（2），．．，；（3）．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和等于和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．考點五：三角形外角和定理的計算例5．如圖，C是內(nèi)一點，連接，的平分線與的平分線交于點E，延長交于點F．已知，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】首先延長交于F，由三角形外角的性質(zhì)，可得，又由角平分線的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解：如圖，延長交于F，

∵，∴，∵平分，平分，∴，，∵，∴，∵，即．故選：A．【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義，掌握角平分線的定義和等量代換是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．已知直線，將一塊含30°角的直角三角板按如圖方式放置（），若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對頂角相等，三角形的外角性質(zhì)得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故選：B.【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，平分的外角，射線將分成兩部分．若交于點G，則_________．【答案】或【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，再由角平分線的定義得到，再分當靠近時，當靠近時，兩種情況利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴；如圖1所示，當靠近時，∵射線將分成兩部分，∴，∴；同理如圖2所示，當靠近時，；綜上所述，的度數(shù)為或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟知三角形一個外角的度數(shù)等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的度數(shù)之和是解題的關(guān)鍵．3．如圖①，在中，與的平分線相交于點．(1)如果，求的度數(shù)；(2)如圖②，作外角，的角平分線交于點，試探索、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，由此利用三角形內(nèi)角和定理求出答案即可；（2）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義得到，再由三角形內(nèi)角和定理得到，則．【詳解】（1）解：∵，∴，∵與的平分線相交于點，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：∵，的角平分線交于點，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．考點六：三角形內(nèi)角和與外角和定理的綜合應用例6．如圖，分別將三角板與的一邊與放置在直線l上，邊與所在直線重合．現(xiàn)將三角板繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)．當與第一次重合時，三角板停止運動．在旋轉(zhuǎn)過程中，下列說法不正確的是（

）A．當與垂直時， B．當與平行時，C．當與垂直時， D．當與平行時，【答案】B【分析】畫出各選項對應的圖形，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理進行求解判斷即可．【詳解】解：當與垂直時，如圖1，由題意知，∴，∴，∴A正確，故不符合要求；當與平行時，如圖2，過作，則，∴，，∴，∴B錯誤，故符合要求；當與垂直時，如圖3，∴，∴，∴C正確，故不符合要求；當與平行時，如圖4，∴，∴D正確，故不符合要求；故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識．解題的關(guān)鍵在于正確的作圖求解．【變式訓練】1．如圖，在中，，點在邊上（如圖1），先將沿著翻折，使點落在點處，交于點（如圖2），再將沿著翻折，點恰好落在上的點處，此時（如圖3），則的度數(shù)為（

）A．66° B．23° C．46° D．69°【答案】D【分析】根據(jù)翻折后對應角相等得到，利用已知條件和三角形的內(nèi)角和等于，建立等量關(guān)系可求的度數(shù)．【詳解】解：由題意可得，，設，則，三角形的內(nèi)角和等于，在中，，即；在中，，即；，解得：，故選：D．【點睛】本題考查翻折后對應角相等，利用三角形的內(nèi)角和等于，設未知數(shù)并建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題的難點是是兩個三角形的公共角，由此列方程求解．2．下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點為C，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中______°．

【答案】10【分析】連接，在中，求出，然后再中，求出，即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示，

∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：10．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和的度數(shù)以及對頂角相等，靈活運用所學知識是解題關(guān)鍵．3．如圖甲所示，已知點在直線上，點，在直線上，且，平分．(1)判斷直線與直線是否平行，并說明理由．(2)如圖乙所示，是上點右側(cè)一動點，的平分線交的延長線于點，若，，求的值．設，，點在運動過程中，寫出和的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)平行，理由見解析；(2)①；②，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，得到，進而得到，即可推出；（2）①根據(jù)平行的性質(zhì)和角平分線的定義，推出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到，最后利用三角形外角的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)；②根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到，，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出，，據(jù)此求出和的關(guān)系，即可得到答案．【詳解】（1）解：，理由如下：平分，，又，，；（2）解：①，，，平分，，，，，，；②是的外角，是的外角，，，又平分，平分，，，，設，，．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解決問題的關(guān)鍵是利用三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．1．（2022·山東德州·統(tǒng)考中考真題）將一副三角板（厚度不計）如圖擺放，使含角的三角板的斜邊與含角的三角板的一條直角邊平行，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得的度數(shù)．【詳解】解：∵含角的三角板的斜邊與含角的三角板的一條直角邊平行，如圖所示：∴，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線l1//l2，直線l3與l1，l2分別交于A，B兩點，過點A作AC⊥l2，垂足為C，若∠1＝52°，則∠2的度數(shù)是（

）A．32° B．38° C．48° D．52°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ABC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：∵直線l1∥l2，∠1＝52°，∴∠ABC＝∠1＝52°，∵AC⊥l2，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，故選：B．【點睛】本題考查了對平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的運用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．3．（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）要得知作業(yè)紙上兩相交直線AB，CD所夾銳角的大小，發(fā)現(xiàn)其交點不在作業(yè)紙內(nèi)，無法直接測量．兩同學提供了如下間接測量方案（如圖1和圖2）：對于方案Ⅰ、Ⅱ，說法正確的是（

）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行【答案】C【分析】用夾角可以劃出來的兩條線，證明方案Ⅰ和Ⅱ的結(jié)果是否等于夾角，即可判斷正誤【詳解】方案Ⅰ：如下圖，即為所要測量的角∵∴∴故方案Ⅰ可行方案Ⅱ：如下圖，即為所要測量的角在中：則：故方案Ⅱ可行故選：C【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和；本題的突破點是用可畫出夾角的情況進行證明4．（2021·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，則∠C等于（）A．32° B．36° C．40° D．128°【答案】A【分析】直接根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，且∠A＝20°，∠B＝4∠C，∴∴∴∠C=32°故選：A．【點睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應用以及解一元一次方程，運用方程思想解答此類試題是常用的思想方法．5．（2021·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點在上，其中，，，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設AB與EF交于點M，根據(jù)，得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出結(jié)果．【詳解】解：設AB與EF交于點M，∵，∴，∵，，∴，∴,∵,∴=，故選：A．．【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記平行線的性質(zhì)并應用是解題的關(guān)鍵．6．（2021·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，點D、E分別在線段、上，連接、．若，，，則的大小為（

）A．60° B．70° C．75° D．85°【答案】B【分析】由題意易得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進行求解．【詳解】解：∵，，∴在△BEC中，由三角形內(nèi)角和可得，∵，∴；故選B．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2020·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，直線EFGH，射線AC分別交直線EF、GH于點B和點C，AD⊥EF于點D，如果∠A＝20°，則∠ACG＝（）A．160° B．110° C．100° D．70°【答案】B【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理，由AD⊥EF，∠A＝20°可得∠ABD＝70°，由平行線的性質(zhì)定理可得∠ACH，易得∠ACG．【詳解】解：∵AD⊥EF，∠A＝20°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣20°﹣90°＝70°，∵EF∥GH，∴∠ACH＝∠ABD＝70°，∴∠ACG＝180°﹣∠ACH＝180°﹣70°＝110°，故選：B．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得到角的關(guān)系，然后利用三角形內(nèi)角和進行求解即可．8．（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在和中，，，，AC與DE相交于點F．若，則的度數(shù)為_____．【答案】105°#105度【分析】在中，利用已知求得，再利用平行線的性質(zhì)求得，然后在中利用三角形的內(nèi)角和定理求得，最后在中，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得．【詳解】解：在中，，，∴；∵，∴，在中，，，∴，∴在中，．故答案為：【點睛】本題看考查了三角形的內(nèi)角和定理，熟練運用三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．9．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）兩個三角形如圖擺放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE與AC交于M，若，則∠DMC的大小為_________．【答案】110°/110度【分析】延長ED交BC于點G，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠C＝30°，∠E＝40°，再利用平行的性質(zhì)求出∠EGC＝∠E=40°，再利用三角形內(nèi)角和即可求出∠DMC＝110°．【詳解】解：延長ED交BC于點G，∵∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，∴∠C＝30°，∠E＝40°，∵，∴∠EGC＝∠E=40°，∴∠DMC＝180°∠EGC∠C=110°．故答案為：110°【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出∠C＝30°，∠E＝40°，證明∠EGC＝∠E=40°．10．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）將一副直角三角板如圖放置，已知，，，則________°．【答案】105【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對頂角相等即可求解．【詳解】，，，∵∠E=60°，∴∠F=30°，故答案為：105【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）一副三角板如圖放置，，，，則_________．【答案】105【分析】根據(jù)平行性的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，∵，∴，，，，，故答案為：105．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．12．（2020·湖南永州·中考真題）已知直線，用一塊含30°角的直角三角板按圖中所示的方式放置，若，則_________．【答案】35°【分析】如圖，標注字母，延長交于，利用平行線的性質(zhì)證明，三角形的外角的性質(zhì)證明，從而可得答案．【詳解】解：如圖，標注字母，延長交于，由題意得：故答案為：【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．13．（2020·湖南張家界·中考真題）如圖，的一邊為平面鏡，，一束光線（與水平線平行）從點C射入經(jīng)平面鏡反射后，反射光線落在上的點E處，則的度數(shù)是_______度．【答案】76°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADC的度數(shù)，由光線的反射定理可得∠ODE的度數(shù)，在根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵DC∥OB，∴∠ADC=∠AOB=38°，由光線的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，∠DEB=∠ODE+∠AOB=38°+38°=76°，故答案為：76°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)和光線的反射定理，掌握入射角=反射角是解題的關(guān)鍵．14．（2020·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將分別含有、角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為，則圖中角的度數(shù)為_______．【答案】/140度

【分析】如圖，首先標注字母，利用三角形的內(nèi)角和求解，再利用對頂角的相等，三角形的外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，標注字母，由題意得：故答案為：【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．15．（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點為，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應___________（填“增加”或“減少”）___________度．【答案】減少10【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到∠EDF與∠D、∠E、∠DCE之間的關(guān)系，進行計算即可判斷．【詳解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°110°=70°，∴∠DCE=70°，如圖，連接CF并延長，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調(diào)整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此應將∠D減少10度；故答案為：①減少；②10．【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時涉及到了三角形的內(nèi)角和與對頂角相等的知識；解決本題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關(guān)系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．1．定理：三角形的內(nèi)角和是180°．已知：、、是的三個內(nèi)角．求證：．有如下四個說法：①*表示內(nèi)錯角相等，兩直線平行；②@表示；③上述證明得到的結(jié)論，只有在銳角三角形中才適用；④上述證明得到的結(jié)論，適用于任何三角形．其中正確的是（

）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可推出結(jié)論．【詳解】解：證明：如圖，作點E作直線，使得，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴，∴．①*表示兩直線平行，內(nèi)錯角相等；故①不正確，不符合題意；②@表示，故②正確，符合題意；③④上述證明得到的結(jié)論，在任何三角形均適用；故③不正確，不符合題意；④正確，符合題意；綜上：正確的有②④，故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的證明，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．2．如圖，在中，，過點作．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的性質(zhì)可求得出的度數(shù)，然后在中利用三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，∵在中，，，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點．牢記三角形內(nèi)角和是是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，點在的延長線上，點在上，且，，，則的度數(shù)為()A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求得的度數(shù)，然后即可得到的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：，，，，，，故選：A．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．如圖，一個含有角的直角三角尺的兩個頂點放在直尺的對邊上．如果，那么的度數(shù)是（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，

在直尺中，，，∴，在中，，故選：．【點睛】本題主要考查平行形與直角三角形的綜合，掌握平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．兩個直角三角板如圖擺放，其中，，，與交于點P，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由直角三角形的性質(zhì)求出，從而得出，然后由三角形外角性質(zhì)得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．故選：D．【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，已知直線，則(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由可以推出，又因為，所以，就可以求出．【詳解】，，，．故選：C．【點睛】考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，掌握兩直線平行同位角相等是解題的關(guān)鍵．7．如圖，把紙片沿折疊，使點A落在圖中的處，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用折疊性質(zhì)得，，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，利用鄰補角得到，則，然后利用，進行計算即可．【詳解】解：，，紙片沿折疊，使點A落在圖中的處，°，，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，求一個角的鄰補角，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．8．如圖，在中，，點在邊上（如圖1），先將沿著翻折，使點落在點處，交于點（如圖2），再將沿著翻折，點恰好落在上的點處，此時（如圖3），則的度數(shù)為（

）A．66° B．23° C．46° D．69°【答案】D【分析】根據(jù)翻折后對應角相等得到，利用已知條件和三角形的內(nèi)角和等于，建立等量關(guān)系可求的度數(shù)．【詳解】解：由題意可得，，設，則，三角形的內(nèi)角和等于，在中，，即；在中，，即；，解得：，故選：D．【點睛】本題考查翻折后對應角相等，利用三角形的內(nèi)角和等于，設未知數(shù)并建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題的難點是是兩個三角形的公共角，由此列方程求解．9．如圖，，，，則________．【答案】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于，得出的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可得出的度數(shù)．【詳解】解：∵，又∵，，∴，解得：，∵，∴．故答案為：【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．10．如圖，將紙片沿折疊，使點A落在點處，且平分，平分，若，則____．【答案】/度【分析】先根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理求出，進而求出，由折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)平角的定義得到，則．【詳解】解：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∵，∴，∴．故答案為80°．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．11．如圖甲所示三角形紙片中，，將紙片沿過點B的直線折疊，使點C落到邊上的E點處，折痕為(如圖乙)．再將紙片沿過點E的直線折疊，點A恰好與點D重合，折痕為(如圖丙)，則的大小為______°．【答案】72【分析】設，根據(jù)翻折不變性可知，，利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：設，根據(jù)翻折不變性可知，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查翻折變換、三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是學會用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．12．將一副直角三角板按如圖所示位置擺放，點在直角邊上，點在直角邊上，若，則________．

【答案】/155度【分析】先根據(jù)與互補，求出，根據(jù)求出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得，進而求得，從而根據(jù)與互補，求出．【詳解】解：，，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查角的和與差，三角形的內(nèi)角和定理，利用角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解是解題的關(guān)鍵．13．如圖，中，是的平分線，中，是邊上的高，又有，則的度數(shù)為______．【答案】/45度【分析】設∠A=x，則∠EDA=∠CDB=5x，構(gòu)建方程求出x，再求出∠CDE，∠DCE，∠BCA即可解決問題．【詳解】解：設∠A=x，則∠EDA=∠CDB=5x，∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴6x=90°，∴∠A=x=15°，∠EDA=∠CDB=75°，∴∠CDE=180°75°75°=30°，∵是的平分線，∴∠BCD=∠DCE=60°，∴∠ACB=120°，∴∠B=180°120°15°=45°．故答案為45°．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會設未知數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．14．如圖，在中，平分，，分別交，，，的延長線于E，H，F(xiàn)，G，已知下列三個式子：①；②；③．其中正確的是________．（填序號）

【答案】【分析】由平分，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，而，即可求得；再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，得到，由此得到正確答案．【詳解】解：如圖：

平分，，，，，，；又，；故正確，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，垂線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握和運用基本圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．15．在中，，，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)三角形的外角定理得出，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．16．如圖，在中，是的角平分線，，．求和的度數(shù)．【答案】【分析】利用三角形外角性質(zhì)求出，根據(jù)角平分