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文檔簡介
專題09幾何綜合題1.(2021?廣東)如圖,邊長為1的正方形中,點為的中點.連接,將沿折疊得到,交于點,求的長.2.(2021?廣東)如圖,在四邊形中,,,,點、分別在線段、上,且,,.(1)求證:;(2)求證:以為直徑的圓與相切;(3)若,,求的面積.3.(2018?廣東)已知,,,斜邊,將繞點順時針旋轉(zhuǎn),如圖1,連接.(1)填空:;(2)如圖1,連接,作,垂足為,求的長度;(3)如圖2,點,同時從點出發(fā),在邊上運動,沿路徑勻速運動,沿路徑勻速運動,當兩點相遇時運動停止,已知點的運動速度為1.5單位秒,點的運動速度為1單位秒,設(shè)運動時間為秒,的面積為,求當為何值時取得最大值?最大值為多少?4.(2022?東莞市一模)如圖,在正方形中,是對角線上任意一點,的延長線交于點,連接.(1)求證:;(2)當時,求的值.5.(2022?東莞市一模)如圖1,正方形中,,點、分別在邊、上,且.(1)如圖2,當繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時,請判斷線段與線段的位置、數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(2)當繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時,當,時,求的正弦值.6.(2022?東莞市校級一模)如圖1,的邊長,對角線平分,點從點出發(fā)沿方向以1個單位秒的速度運動,點從點出發(fā)沿方向以2個單位秒的速度運動,其中一點到達終點時,另一點也隨之停止運動,設(shè)運動時間為秒.(1)求證:四邊形是菱形;(2)若對角線,當為多少秒時,為等腰三角形;(3)如圖2,若,點是是中點,作交于.點在邊上運動過程中,線段存在最小值,請你直接寫出這個最小值.7.(2022?東莞市校級一模)如圖,在正方形中,為的中點,連接,將沿對折,得到,延長交的延長線于點.(1)求證:是等腰三角形.(2)若,求的長度.8.(2022?東莞市一模)在矩形中,,是邊上一點,把沿直線折疊,頂點的對應(yīng)點是點,過點作,垂足為且在上,交于點.(1)如圖1,若點是的中點,求證:;(2)如圖2,當,且時,求的值;(3)如圖3,當時,求的值.9.(2022?中山市一模)已知在中,是的中點,是延長線上的一點,連接,.(1)如圖1,若,,,.①求證:是等邊三角形;②求的長;(2)過點作,交延長線于點,如圖2所示.若,.求證.10.(2022?中山市校級一模)如圖,在矩形中,是邊上點.連接,過點向作垂線,交于點,交的延長線于點.且滿足.(1)求證:;(2)若,求的長.11.(2022?中山市三模)如圖,點,是菱形的對角線上的兩點,以為對角線作矩形、使點,分別在菱形的邊,上.(1)求證:;(2)若為中點,,求菱形的周長.12.(2022?中山市三模)新定義:頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”.(1)如圖1,和互為“兄弟三角形”,點為重合的頂角頂點.求證:.(2)如圖2,和互為“兄弟三角形”,點為重合的頂角頂點,點、均在外,連接、交于點,連接,求證:平分.13.(2022?香洲區(qū)校級一模)如圖,、分別是正方形邊、的中點,將沿折疊,點落在點處,連接并延長,交于點.(1)求證:;(2)若,求的值.14.(2022?香洲區(qū)校級一模)如圖①,四邊形是矩形,,,點是線段上一動點(不與、兩點重合),點是線段延長線的一動點,連接,,,交于點,設(shè),,已知與之間的函數(shù)關(guān)系式如圖②所示,(1)圖②中與的函數(shù)關(guān)系式為;(2)求證:;(3)當是等腰三角形時,求的值.15.(2022?香洲區(qū)校級一模)如圖,在菱形中,,,點從點沿以1個單位的速度向點運動,同時點從點出發(fā),以同樣的速度沿的延長線運動,當點到達點時,它們同時停止運動,且、相交于點.(1)當點運動秒時,四邊形是平行四邊形?(2)當點運動幾秒時?(3)當點從點開始向左運動到點時,試判斷點運動路徑是什么圖形,并求路徑的最大值.16.(2022?香洲區(qū)一模)如圖,在中,,,,點是中點,連接,動點從點出發(fā)以的速度向終點運動.過點作于,以、為鄰邊作平行四邊形.設(shè)點的運動時間為,平行四邊形的面積為.(1)求的長;(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并求出的最大值.17.(2022?香洲區(qū)校級一模)如圖,已知為正方形的邊上一點,連結(jié),點關(guān)于的對稱點為,連結(jié),并延長交的延長線于點,延長交于點,連結(jié),.(1)請寫出所有與相等角(必須用圖中所給的字母);(2)請判斷的形狀,并證明;(3)若,,求的長.18.(2022?澄海區(qū)模擬)如圖,已知矩形中,,,點,分別在邊,上,沿著折疊矩形,使點,分別落在,處,且點在線段上(不與兩端點重合),過點作于點,連接.(1)求證:;(2)若,求的長;(3)若,求折疊后重疊部分的面積.19.(2022?潮南區(qū)模擬)如圖,在四邊形中,,對角線,相交于點.點是對角線的中點,連接,.如果,,且.(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)延長交于點,求的值.20.(2022?潮南區(qū)模擬)如圖1,在中,,,,點從點出發(fā)以的速度沿折線運動,同時點也從點出發(fā)以的速度沿運動,當某一點運動到點時,兩點同時停止運動.設(shè)運動時間為,的面積為.(1)如圖2,當點在上運動時,為何值,;(2)求關(guān)于的函數(shù)表達式;(3)當點在上運動時,存在某一時段的的面積大于在上運動的任意時刻的的面積,請你求出這一時段的取值范圍.21.(2022?龍湖區(qū)一模)已知在中,為邊的中點,連接,將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角為鈍角),得到,連接,.(1)如圖1,當且時,則與滿足的數(shù)量關(guān)系是;(2)如圖2,當且時,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程;若不成立,請說明理由.(3)如圖3,延長到點,使,連接,當,時,求的長.22.(2022?南海區(qū)一模)如圖,在正方形中,點、分別是邊、的中點,.(1)求證:;(2)若點、分別在射線、上同時向右、向上運動,點運動速度是點運動速度的2倍,是否成立(只寫結(jié)果,不需說明理由)?(3)正方形的邊長為4,是正方形內(nèi)一點,當,求周長的最小值.23.(2022?禪城區(qū)校級一模),分別為正方形的邊,的中點,分別與,相交于點,.(1)求證:;(2)若,求的值;(3)求的值.24.(2022?三水區(qū)一模)如圖,在中,,是邊上的中線,是的中點,過點作,交的延長線于點,交于點,連接交于點.(1)判斷四邊形的形狀,并說明理由;(2)若,且,求四邊形的面積;(3)連接,求證:.25.(2022?南海區(qū)校級一模)如圖,已知正方形的邊長為6,點是邊上的一個動點,連接,過點作的垂線交于點,以為斜邊作等腰.(1)若,則.(2)在點從點到點的運動過程中,的外接圈的圓心也隨之運動,求該圓心到邊的距離的最大值.(3)連結(jié)、.當時,求長度.26.(2022?新會區(qū)模擬)如圖所示,在中,是的中點,是線段延長線上一點,過點作交的延長線于點,連接,.求證:(1)四邊形是平行四邊形;(2).27.(2022?惠陽區(qū)一模)如圖1,把一個含45角的直角三角板和一個正方形擺放在一起,使三角板的直角頂點和正方形的頂點重合,點、分別在正方形的邊、上,連,取的中點,的中點,連接、.(1)請判斷與之間的數(shù)量關(guān)系,直接寫出結(jié)論;(2)將圖1中的直角三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到圖2,其他條件不變,則(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請加以證明;若不成立,請說明理由.(3)連接,若,,將圖1中的直角三角板繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),其他條件不變,請直接寫出面積的最大值和最小值.28.(2022?惠城區(qū)一模)如圖,正方形中,,點是對角線上的一點,連接.過點作交于點,以、為鄰邊作矩形,連接.(1)求證:矩形是正方形;(2)求的值.29.(2022?惠東縣三模)如圖,將平行四邊形紙片沿折疊,使點與點重合,點落在點處.(1)連接,求證:四邊形是菱形;(2)若為中點,,,求的長.30.(2022?惠城區(qū)校級二模)如圖,在中,,,,點從點出發(fā)以每秒2個單位的速度沿向終點運動,當點不與點,重合時,作,邊交折線于點,點關(guān)于直線的對稱點為,連結(jié),得到.設(shè)點的運動時間為(秒).(1)直接寫出線段的長(用含的代數(shù)式表示);(2)當點落在邊上時,求的值;(3)設(shè)與重合部分圖形的面積為,求與的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出的最大值.31.(2022?梅州模擬)已知和都是等腰直角三角形,.(1)如圖1,連接,,求證:;(2)將繞點順時針旋轉(zhuǎn).①如圖2,當點恰好在邊上時,求證:;②當點,,在同一條直線上時,若,,請直接寫出線段的長.32.(2022?河源一模)如圖,扇形的半徑,圓心角,點是上異于,的動點,過點作于點,作于點,連接,點,在線段上,且.(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)當點是上運動時,在,,這三條線段中,是否存在長度不變的線段?若存在,請指出這條線段并求該線段的長度;若不存在,請說明理由.33.(2022?紫金縣二模)如圖,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得,其中點,點的對應(yīng)點分別是點,點,點落在上,延長交于點,,交于點.(1)若是的中點,求證:是等腰三角形;(2)若,,求的長.專題09幾何綜合題1.(2021?廣東)如圖,邊長為1的正方形中,點為的中點.連接,將沿折疊得到,交于點,求的長.【答案】(1)見解析;(2)【詳解】延長交于,連接.四邊形是正方形,,,,,由翻折的性質(zhì)可知,,,,點是的中點,,,在和中,,,,,,,,,,,,,,,.2.(2021?廣東)如圖,在四邊形中,,,,點、分別在線段、上,且,,.(1)求證:;(2)求證:以為直徑的圓與相切;(3)若,,求的面積.【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)【詳解】(1)證明:,,,,,,,,,,,,,,,,,;(2)證明:如圖1,取的中點,過點作于,,,,,,,四邊形是梯形,點是的中點,,連接并延長交的延長線于,,,,,,,是的中位線,,,以為直徑的圓與相切;(3)如圖2,由(1)知,,,,在中,,,,,,,,過點作,交的延長線于,,,四邊形是矩形,,過點作于,四邊形是矩形,,由(1)知,,,,在中,,,,.3.(2018?廣東)已知,,,斜邊,將繞點順時針旋轉(zhuǎn),如圖1,連接.(1)填空:;(2)如圖1,連接,作,垂足為,求的長度;(3)如圖2,點,同時從點出發(fā),在邊上運動,沿路徑勻速運動,沿路徑勻速運動,當兩點相遇時運動停止,已知點的運動速度為1.5單位秒,點的運動速度為1單位秒,設(shè)運動時間為秒,的面積為,求當為何值時取得最大值?最大值為多少?【答案】(1)60;(2);(3)有最大值,最大值為【詳解】(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知:,,是等邊三角形,.故答案為:60.(2)如圖1中,,,,,,是等邊三角形,,,,.(3)①當時,在上運動,在上運動,此時過點作且交于點.則,,.時,有最大值,最大值.②當時,在上運動,在上運動.作于.則,,.當時,取最大值,,③當時,、都在上運動,作于.,,,當時,有最大值,,最大值,綜上所述,有最大值,最大值為.4.(2022?東莞市一模)如圖,在正方形中,是對角線上任意一點,的延長線交于點,連接.(1)求證:;(2)當時,求的值.【答案】(1)見解析;(2)2【詳解】(1)證明:在正方形中,,,在與中,,,,,,,;(2)連接交于,設(shè)正方形的邊長為,,,,,.5.(2022?東莞市一模)如圖1,正方形中,,點、分別在邊、上,且.(1)如圖2,當繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時,請判斷線段與線段的位置、數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(2)當繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時,當,時,求的正弦值.【答案】(1)見解析;(2)【詳解】(1),,理由如下:延長交于,交于,如圖:四邊形是正方形,,,繞點逆時針旋轉(zhuǎn),,,,,,,,,,,;(2)過作于,如圖:,是等腰直角三角形,,,,在中,,,由(1)知,,.6.(2022?東莞市校級一模)如圖1,的邊長,對角線平分,點從點出發(fā)沿方向以1個單位秒的速度運動,點從點出發(fā)沿方向以2個單位秒的速度運動,其中一點到達終點時,另一點也隨之停止運動,設(shè)運動時間為秒.(1)求證:四邊形是菱形;(2)若對角線,當為多少秒時,為等腰三角形;(3)如圖2,若,點是是中點,作交于.點在邊上運動過程中,線段存在最小值,請你直接寫出這個最小值.【答案】(1)見解析;(2)的值為或或;(3)【詳解】(1)證明:四邊形是平行四邊形,,,平分,,,四邊形是菱形;(2)解:如圖,交于點,四邊形是菱形,,,,,,,,,,當時,,,當時,如圖,過點作于點,則,,,,,,,當時,過點作于點,則,,又,,,即,,綜上,的值為或或;(3)解:過點作于點,過點作于點,連接,,,四邊形是菱形,,,又,,,,,,,是線段的中垂線,,,在和中,,,,,,,,,,當時,此時有最小值是,的最小值為.7.(2022?東莞市校級一模)如圖,在正方形中,為的中點,連接,將沿對折,得到,延長交的延長線于點.(1)求證:是等腰三角形.(2)若,求的長度.【答案】(1)見解析;(2)1【詳解】(1)證明:在正方形中,,,根據(jù)翻折,可得,,,是等腰三角形;(2)設(shè),,,為的中點,,根據(jù)翻折,,,,,,在中根據(jù)勾股定理,得,解得,.8.(2022?東莞市一模)在矩形中,,是邊上一點,把沿直線折疊,頂點的對應(yīng)點是點,過點作,垂足為且在上,交于點.(1)如圖1,若點是的中點,求證:;(2)如圖2,當,且時,求的值;(3)如圖3,當時,求的值.【答案】(1)見解析;(2);(3)9【詳解】(1)在矩形中,,,是中點,,在和中,,;(2),,,,,,,,設(shè),,,或,,,,,,由折疊得,,在矩形,,沿折疊得到,,,,,,,.(3)如圖,連接,,,,;,是菱形,,,,,,,,,.9.(2022?中山市一模)已知在中,是的中點,是延長線上的一點,連接,.(1)如圖1,若,,,.①求證:是等邊三角形;②求的長;(2)過點作,交延長線于點,如圖2所示.若,.求證.【答案】見解析【詳解】(1)證明:①,,,,,是等邊三角形,②解:是等邊三角形,,是的中點,,在中,,,;(2)證明:連接,,,在和中,,,,,,又,,是等邊三角形,,,,,在和中,,,.10.(2022?中山市校級一模)如圖,在矩形中,是邊上點.連接,過點向作垂線,交于點,交的延長線于點.且滿足.(1)求證:;(2)若,求的長.【答案】(1)見解析;(2)【詳解】(1)證明:在矩形中,,,,,,,,,在和中,,,;(2)解:,,,,,,,,,,,,,.的長為.11.(2022?中山市三模)如圖,點,是菱形的對角線上的兩點,以為對角線作矩形、使點,分別在菱形的邊,上.(1)求證:;(2)若為中點,,求菱形的周長.【答案】(1)見解析;(2)12【詳解】(1)證明:延長交于點,如圖所示:四邊形是矩形,,,四邊形是菱形,,,;(2)解:連接,如圖所示:在矩形中,,,又,,四邊形是菱形,,,,,為中點,,,,四邊形是平行四邊形,,四邊形是矩形,,,,菱形的周長為.12.(2022?中山市三模)新定義:頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”.(1)如圖1,和互為“兄弟三角形”,點為重合的頂角頂點.求證:.(2)如圖2,和互為“兄弟三角形”,點為重合的頂角頂點,點、均在外,連接、交于點,連接,求證:平分.【答案】見解析【詳解】證明:(1)和互為“兄弟三角形”,,,,,即,在和中,,,;(2)如圖,過點作于,于,和互為“兄弟三角形”,,,即,在和中,,,,,,,又,,,,,平分.13.(2022?香洲區(qū)校級一模)如圖,、分別是正方形邊、的中點,將沿折疊,點落在點處,連接并延長,交于點.(1)求證:;(2)若,求的值.【答案】(1)見解析;(2)【詳解】(1)證明:、分別是正方形邊、的中點,,,在和中,,,;(2)解:如圖,連接,由折疊可知:,,,,在和中,,,,,,設(shè),則,,在中,根據(jù)勾股定理得:,,,,.14.(2022?香洲區(qū)校級一模)如圖①,四邊形是矩形,,,點是線段上一動點(不與、兩點重合),點是線段延長線的一動點,連接,,,交于點,設(shè),,已知與之間的函數(shù)關(guān)系式如圖②所示,(1)圖②中與的函數(shù)關(guān)系式為;(2)求證:;(3)當是等腰三角形時,求的值.【答案】(1);(2)見解析;(3)或或【詳解】(1)解:設(shè),由圖象得:當時,,當時,,代入得:,,.故答案為:.(2)證明:,,,,,四邊形是矩形,,,.(3)解:假設(shè)存在的值,使得是等腰三角形,①若,則,四邊形是矩形,,,,,在和中,,,,,在中,由勾股定理得:,.②若,如圖①,作,交于,,,四邊形是平行四邊形,,四邊形是矩形,,,,,,,,,,,,,(舍,經(jīng)檢驗是分式方程的解,.③若,則,,,,,,,,,,,.綜上,或或.15.(2022?香洲區(qū)校級一模)如圖,在菱形中,,,點從點沿以1個單位的速度向點運動,同時點從點出發(fā),以同樣的速度沿的延長線運動,當點到達點時,它們同時停止運動,且、相交于點.(1)當點運動2秒時,四邊形是平行四邊形?(2)當點運動幾秒時?(3)當點從點開始向左運動到點時,試判斷點運動路徑是什么圖形,并求路徑的最大值.【答案】(1)2;(2)當點運動時,;(3)見解析【詳解】(1)四邊形是菱形,,,當點運動2秒時,,此時四邊形是平行四邊形,故答案為:2;(2)設(shè)點運動時,,,,,,過點作,交的延長線于點,在中,,,,在中,,即,解得或(舍去),當點運動時,;(3)點運動的路徑是一條線段,理由如下:連接并延長交于點,,,,直線始終經(jīng)過定點,點的運動路徑就是線段,由題意知,當?shù)竭_點時路徑最大,如圖作于點,,,,四邊形是菱形,,,,,是等邊三角形,,,在中,,,在中,,,路徑的最大值為.16.(2022?香洲區(qū)一模)如圖,在中,,,,點是中點,連接,動點從點出發(fā)以的速度向終點運動.過點作于,以、為鄰邊作平行四邊形.設(shè)點的運動時間為,平行四邊形的面積為.(1)求的長;(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并求出的最大值.【答案】(1);(2)與的關(guān)系式為,的最大值是2【詳解】(1)中,,,,,點是中點,;(2)如圖,延長交于點,,,,四邊形是平行四邊形,,,,,,,,,,,,,與的關(guān)系式為,的最大值是2.17.(2022?香洲區(qū)校級一模)如圖,已知為正方形的邊上一點,連結(jié),點關(guān)于的對稱點為,連結(jié),并延長交的延長線于點,延長交于點,連結(jié),.(1)請寫出所有與相等角(必須用圖中所給的字母);(2)請判斷的形狀,并證明;(3)若,,求的長.【答案】(1),和;(2)見解析;(3)【詳解】(1)四邊形是正方形,,點與關(guān)于對稱,,,,,,四邊形是正方形,,由(1)知,,,,,,,,故答案為:,和;(2)是等腰直角三角形,證明:四邊形是正方形,,由(1)知,,,,,,點與關(guān)于對稱,,是等腰直角三角形;(3)將與的交點記作點,四邊形是正方形,,,,,,在中,根據(jù)勾股定理得,,點關(guān)于的對稱點為,,,,,,,在中,,,在中,,,.18.(2022?澄海區(qū)模擬)如圖,已知矩形中,,,點,分別在邊,上,沿著折疊矩形,使點,分別落在,處,且點在線段上(不與兩端點重合),過點作于點,連接.(1)求證:;(2)若,求的長;(3)若,求折疊后重疊部分的面積.【答案】(1)見解析;(2)4;(3)【詳解】(1)證明:由折疊可知:,,,,,,,,;(2)解:由(1)得,,,,;(3)解:,,,連接,在中,,由對稱性得,設(shè),則,,,,,,,,,,,,,,,,且,,,,,由題意得四邊形為矩形,,,折疊后重疊部分的面積.19.(2022?潮南區(qū)模擬)如圖,在四邊形中,,對角線,相交于點.點是對角線的中點,連接,.如果,,且.(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)延長交于點,求的值.【答案】(1)見解析;(2)【詳解】(1)證明:,點為的中點,,,,,,,,,,,,,四邊形是平行四邊形;(2)解:點是的中點,,,,設(shè),則,,.20.(2022?潮南區(qū)模擬)如圖1,在中,,,,點從點出發(fā)以的速度沿折線運動,同時點也從點出發(fā)以的速度沿運動,當某一點運動到點時,兩點同時停止運動.設(shè)運動時間為,的面積為.(1)如圖2,當點在上運動時,為何值,;(2)求關(guān)于的函數(shù)表達式;(3)當點在上運動時,存在某一時段的的面積大于在上運動的任意時刻的的面積,請你求出這一時段的取值范圍.【答案】(1)當時,;(2);(3)當時,的面積大于在上運動的任意時刻的的面積【詳解】(1)若,,,,當時,;(2)當點在上時,如圖1,過點作于,,,,,當點在上時,如圖2,過點作于,過點作于,,,,由題意可得,,,,,,,綜上所述:;(3)當時,隨的增大而增大,當時,取得最大值為2,即當點在上時,最大面積為,令,即,解得:或,,拋物線的開口向下,當時,,即當時,的面積大于在上運動的任意時刻的的面積.21.(2022?龍湖區(qū)一模)已知在中,為邊的中點,連接,將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角為鈍角),得到,連接,.(1)如圖1,當且時,則與滿足的數(shù)量關(guān)系是;(2)如圖2,當且時,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程;若不成立,請說明理由.(3)如圖3,延長到點,使,連接,當,時,求的長.【答案】(1);(2)見解析;(3)【詳解】(1)結(jié)論:.理由:如圖1中,,,,,,,,,,,.(2)結(jié)論成立.理由:如圖2中,,,,,,,,,.(3)如圖3中,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,,,,,,,,,,,,,.22.(2022?南海區(qū)一模)如圖,在正方形中,點、分別是邊、的中點,.(1)求證:;(2)若點、分別在射線、上同時向右、向上運動,點運動速度是點運動速度的2倍,是否成立(只寫結(jié)果,不需說明理由)?(3)正方形的邊長為4,是正方形內(nèi)一點,當,求周長的最小值.【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)【詳解】(1)證明:四邊形是正方形,,,點、分別是邊、的中點,.,,,,,,,,;(2)解:成立;理由如下:根據(jù)題意得:,,,又,,,,,,;(3)解:過作,交于,于,如圖所示:則,,是正方形內(nèi)一點,當,作點關(guān)于的對稱點,連接,與交于點,此時的周長最小,,,,,,,,,,,,連接、、,則,,,,,,,由勾股定理得:,周長的最小值.23.(2022?禪城區(qū)校級一模),分別為正方形的邊,的中點,分別與,相交于點,.(1)求證:;(2)若,求的值;(3)求的值.【答案】(1)見解析;(2);(3)【詳解】(1)證明:正方形,,,、為邊、的中點,,在與中,,;(2)解:,,,,,,,,,;(3)解:設(shè),則,則,四邊形是正方形,,,得,,,,由(1)同理得:,,,,由勾股定理得:,.24.(2022?三水區(qū)一模)如圖,在中,,是邊上的中線,是的中點,過點作,交的延長線于點,交于點,連接交于點.(1)判斷四邊形的形狀,并說明理由;(2)若,且,求四邊形的面積;(3)連接,求證:.【答案】(1)見解析;(2)30;(3)見解析【詳解】(1)四邊形是菱形.理由如下:,,是中點,,在和中,,,,又,四邊形是平行四邊形,是邊上的中線,,又,,平行四邊形是菱形;(2)四邊形是菱形,,,,設(shè),,在中,由勾股定理得,,解得,,,,,菱形的面積;(3)證明:四邊形是菱形,垂直平分,,,,,,,,,又,,,.25.(2022?南海區(qū)校級一模)如圖,已知正方形的邊長為6,點是邊上的一個動點,連接,過點作的垂線交于點,以為斜邊作等腰.(1)若,則.(2)在點從點到點的運動過程中,的外接圈的圓心也隨之運動,求該圓心到邊的距離的最大值.(3)連結(jié)、.當時,求長度.【答案】(1);(2);(3)【詳解】(1),,,,,,,,即,,故答案為:;(2)如圖,取的中點,過作于,由題意知,的外接圓心在線段的中點處,圓心到的距離為的長,,是的中位線,,設(shè),則,由(1)知,,,,當時,有最大值為,的最大值為,該圓心到邊的距離的最大值為;(3)如圖,作于,于,連接,,,,,設(shè),則,,,由(1)可知,,,,即,,,即,,,即,,,,,,,在與中,,,,,四邊形是正方形,,,即,,,,長度為.26.(2022?新會區(qū)模擬)如圖所示,在中,是的中點,是線段延長線上一點,過點作交的延長線于點,連接,.求證:(1)四邊形是平行四邊形;(2).【答案】見解析【詳解】(1)證明:,,,是的中點,,,,四邊形是平行四邊形;(2)證明:四邊形是平行四邊形,,,,,,,,.27.(2022?惠陽區(qū)一模)如圖1,把一個含45角的直角三角板和一個正方形擺放在一起,使三角板的直角頂點和正方形的頂點重合,點、分別在正方形的邊、上,連,取的中點,的中點,連接、.(1)請判斷與之間的數(shù)量關(guān)系,直接寫出結(jié)論;(2)將圖1中的直角三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到圖2,其他條件不變,則(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請加以證明;若不成立,請說明理由.(3)連接,若,,將圖1中的直角三角板繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),其他條件不變,請直接寫出面積的最大值和最小值.【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)面積的最大值和最小值分別為:,【詳解】(1),證明如下:如圖,連接,四邊形是正方形,,,,,,,為的中位線,,;(2)仍然成立,證明如下:如圖,連接,四邊形是正方形,,,,,即,,,,分別為,的中點,,,,;(3)解:如圖,連接,,設(shè)交于,交于,,,,,,,,,四邊形是正方形,,,,,由題意可知,,即,當時,最小值,當時,最大值,面積的最大值和最小值分別為:,.28.(2022?惠城區(qū)一模)如圖,正方形中,,點是對角線上的一點,連接.過點作交于點,以、為鄰邊作矩形,連接.(1)求證:矩形是正方形;(2)求的值.【答案】(1)見解析;(2)【詳解】(1)如圖,作于,于,四邊形是正方形,.,,,,四邊形是矩形,.四邊形是矩形,..,,.矩形是正方形;(2)四邊形是正方形,四邊形是正方形,,,..,..29.(2022?惠東縣三模)如圖,將平行四邊形紙片沿折疊,使點與點重合,點落在點處.(1)連接,求證:四邊形是菱形;(2)若為中點,,,求的長.【答案】(1)見解析;(2)10【詳解】(1)證明:如
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