專項31二次函數(shù)與矩形存在性問題（原卷版）

專項31二次函數(shù)與矩形存在性問題1.矩形的判定:（1）有一個角是直角的平行四邊形；（2）對角線相等的平行四邊形；（3）有三個角為直角的四邊形．2.題型分析矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個等式：（AC為對角線時）因此在矩形存在性問題最多可以有3個未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個．下：（1）2個定點+1個半動點+1個全動點；（2）1個定點+3個半動點．思路1：先直角，再矩形在構(gòu)成矩形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點，可先確定其中3個點構(gòu)造直角三角形，再確定第4個點．對“2定+1半動+1全動”尤其適用．【例題】已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在平面中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標(biāo)．解：點C滿足以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的點C有在點C的基礎(chǔ)上，借助點的平移思路，可迅速得到點D的坐標(biāo)．思路2：先平行，再矩形當(dāng)AC為對角線時，A、B、C、D滿足以下3個等式，則為矩形：其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點坐標(biāo)后，代入點坐標(biāo)解方程即可．無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．【典例1】（2022?魚峰區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A（0，﹣2），B（4，0）兩點，直線BC：y＝﹣2x+8交y軸于點C．（1）求該拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)是否存在一點M，使得四邊形ABCM為矩形？如果存在，求出點M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【變式11】（2022?隨州）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸分別交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝﹣1，且OA＝OC，P為拋物線上一動點．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖2，連接AC，當(dāng)點P在直線AC上方時，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時P點的坐標(biāo)；（3）設(shè)M為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)P，M運動時，在坐標(biāo)軸上是否存在點N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點P及其對應(yīng)點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式12】（遼陽）如圖，直線y＝x﹣3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點B，與直線y＝x﹣3交于點E（8，5），且與x軸交于C，D兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使得以點P，Q，B，C為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．1．（2022?漢川市模擬）拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于另一點A，B兩點．與y軸交于C，D為拋物線的頂點．（1）求A，B，C，D的坐標(biāo)；（2）點M是y軸上一動點，點Q為平面內(nèi)任意一點，當(dāng)以A，D，M，Q為頂點的四邊形是矩形，直接寫出點Q的坐標(biāo)．2．（2022?巨野縣模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸分別交于A（﹣1，0），B兩點，與y軸交于點C，直線y＝﹣x+n經(jīng)過B、C兩點．點D為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點D作DE∥y軸，分別交x軸，BC于點E，F(xiàn)．（1）求直線BC及拋物線的表達(dá)式；（2）在拋物線上取點M，在坐標(biāo)系內(nèi)取點N，問是否存在以C、B、M、N為頂點且以CB為邊的矩形？如果存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點A（4，0）的直線AB與y軸交于點B（0，4）．經(jīng)過原點O的拋物線y＝﹣x2+bx+c交直線AB于點A，C，拋物線的頂點為D．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；（2）M是線段AB上一點，N是拋物線上一點，當(dāng)MN∥y軸且MN＝2時，求點M的坐標(biāo)；（3）P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點．是否存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．已知拋物線與x軸交于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．（1）求拋物線解析式；（2）如圖①，若點P是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點P作PD⊥BC于點D，求線段PD長的最大值；（3）如圖②，若點N是拋物線上另一動點，點M是平面內(nèi)一點，是否存在以點B、C、M、N為頂點，且以BC為邊的矩形，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．如圖，拋物線y＝ax2+2x+c的對稱軸是直線x＝1，與x軸交于點A，B（3，0），與y軸交于點C，連接AC．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點D作DM⊥x軸，垂足為點M，DM交直線BC于點N，是否存在這樣的點N，使得以A，C，N為頂點的三角形