2020-2021學(xué)年 浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《第5章特殊的平行四邊形》優(yōu)生輔導(dǎo)訓(xùn)練

2021年度浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《第5章特殊的平行四邊形》優(yōu)生輔導(dǎo)訓(xùn)練（附答案）

1.矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.兩組對(duì)邊分別平行B.對(duì)角線平分一組對(duì)角

C.對(duì)角線互相垂直D.對(duì)角線相等

2.菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為6,邊AB的長(zhǎng)是方程7-7x+12=0的一個(gè)根，則菱形ABCD的

面積是（）

A.12B.677C.16D.1277

3.四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD,下面給出的三個(gè)條件中，選取兩個(gè)，能使四邊形4BCD

是矩形，①AC,8?；ハ嗥椒郑?ACVBD-,③AC=B￡>,則正確的選法是（）

A.①②B.①③C.②③D.以上都可以

4.如圖，在△4BC中，AB=6,AC=8,BC=10,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（且點(diǎn)P不與點(diǎn)B、

C重合），于E,PF_LAC于凡例為EF中點(diǎn).設(shè)4W的長(zhǎng)為x,則x的取值范

圍是（）

C.4>x>2.4D.4>x22.4

5.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)P為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，PE1BC,PQA.AB,

垂足分別是E,Q,則PE+PQ的值是（）

c.平

3*

6.如圖，矩形ABCO的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)尸是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P

分別作14c于點(diǎn)E,于點(diǎn)尺若AB=6,8c=8,則PE+PF的值為（）

、D

A.10B.9.6C.4.8D.2.4

7.如圖，正方形ABC。和正方形AEFG有公共點(diǎn)A,點(diǎn)8在線段。G上.

(1)判斷。G與8E的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若正方形A8CD的邊長(zhǎng)為1,正方形AEFG的邊長(zhǎng)為J5，求8E的長(zhǎng).

D

8.如圖，在口ABCO中，BALAC,延長(zhǎng)。C至E,使得DC=CE,連接BE,連接AE交BC

于。.

(1)求證：△(%>￡：絲△BOA；

(2)當(dāng)AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABEC是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.已知菱形ABCD中，/BAO=120°,點(diǎn)E為邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)G

位于對(duì)角線BO上.

(1)求證：△EGO為直角三角形；

(2)若A2=4,求線段EG的長(zhǎng).

C

10.己知正方形ABC。的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O.

(1)如圖①，E,G分別是OB,OC上的點(diǎn)，CE與。G的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)尸，若

CE,求證：OE=OG；

(2)如圖②，若CE平分/BCO,O”_LCE于點(diǎn)尸，交BC于點(diǎn)、H,交AC于點(diǎn)G,求證:

OG=^BH.

11.如圖，在正方形ABC。中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,8重合)，連接OE,點(diǎn)

A關(guān)于直線QE的對(duì)稱點(diǎn)為F,連接EF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G,連接。G,過點(diǎn)E作EH,

OE交OG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接

(1)直接寫出GF與GC的數(shù)量關(guān)系：；

(2)用等式表示線段與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

12.四邊形ABC。是矩形，點(diǎn)P在邊C￡)上，/%0=30°,點(diǎn)G與點(diǎn)。關(guān)于直線AP對(duì)

稱，連接BG.

(1)如圖，若四邊形ABCQ是正方形，求NGBC的度數(shù)；

(2)連接CG,設(shè)AD=b,探究當(dāng)NCG8=120°時(shí)，。與6的數(shù)量關(guān)系.

13.如圖，正方形紙片ABC。中，E為BC的中點(diǎn)，折疊正方形，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，壓平

后，得折痕設(shè)梯形ADMN的面積為S,梯形的面積是T,求S：T的值.

14.如圖，已知在矩形A8C。中，AD=5,DC=7,點(diǎn)H為AQ上一點(diǎn)，并且Aa=2,點(diǎn)E

為AB上一動(dòng)點(diǎn)，以HE為邊長(zhǎng)作四條邊相等的平行四邊形”所G,并且使點(diǎn)G在CD邊

上，連接CF.

(1)如圖，當(dāng)。G=5時(shí)，求4CG尸的面積；

(2)當(dāng)。G的長(zhǎng)度為何值時(shí)，△CGF的面積最小，并求出ACG尸面積的最小值.

15.如圖，在平行四邊形A8CZ)中，按下列步驟作圖：

①以點(diǎn)8為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)、N.交BC于點(diǎn)M；

②再分別以點(diǎn)例和點(diǎn)N為圓心，大于2MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G；③作射線

2

BG交AD于F；

④過點(diǎn)4作尸交8尸于點(diǎn)P,交8c于點(diǎn)E；

⑤連接EF,PD.

(1)求證：四邊形ABE尸是菱形；

(2)若AB=8,AO=10,乙4BC=60°,求△APO的面積.

16.如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)。是邊8c的中點(diǎn)，連接。。并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E,連接BZ),EC.

(1)求證：△20E絲△COO：

(2)當(dāng)°時(shí)，四邊形BECD是菱形.

17.如圖，在△ABC中，AE//BC,AB=AC,。為BC中點(diǎn)，AE=BD.

(1)求證：四邊形AEB。是矩形.

(2)連接CE交AB于點(diǎn)凡若/ABE=30°,4E=2,求FG的長(zhǎng).

18.如圖，在菱形ABCQ中，AB=6,ND4B=60°,點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊

上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，延長(zhǎng)ME交射線8于點(diǎn)N,連接MD,AN.

(1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形;

(2)填空:

①當(dāng)AM的值為時(shí)，四邊形AMDN是矩形;

②當(dāng)AM的值為時(shí)，四邊形AM￡W是菱形.

D

\fR

19.如圖，菱形A8CD的對(duì)角線AC、B。相交于點(diǎn)。，BE//AC,AE//BD,0E與AB交于

點(diǎn)F.

(1)試判斷四邊形AEBO的形狀，并說(shuō)明理由;

(2)若0E=5,AC=8,求菱形ABC。的面積.

20.如圖，菱形ABCC中，AC與8。交于點(diǎn)O,DE//AC,DE=1AC.

2

(1)求證：四邊形OCED是矩形：

(2)連接4E,交。。于點(diǎn)F,連接CF,若CF=CE=l,求AC長(zhǎng).

21.在矩形ABCO中，AB=6cw,BC=8cm,點(diǎn)尸是對(duì)角線AC上的一個(gè)由A往C方向運(yùn)

動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)速度為上c%/s,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s).

2

(1)求4c的長(zhǎng)；

(2)問f為何值時(shí)，△PCD為等腰三角形?

22.如圖1,已知長(zhǎng)方形ABC。，AB=4,BC=6,E為C。邊的中點(diǎn)，P為長(zhǎng)方形A8CO邊

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿著A-B-C運(yùn)動(dòng)，設(shè)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

為f秒.

(1)當(dāng)AAPE是以EP為腰的等腰三角形時(shí)，求r的值；

(2)當(dāng)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)尸使得aAPE的周長(zhǎng)最小？若存在，求出此

時(shí)f的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

23.如圖，矩形ABCD中，直線MN是對(duì)角線AC的垂直平分線，垂足為O,MN交BC于

點(diǎn)交AD于點(diǎn)、N,交C。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

(1)△AON冬△COM；

(2)已知A8=6,8c=8,求坨的值.

PC

24.如圖，已知四邊形A8C力為正方形，AB=4m，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接OE、

過點(diǎn)E作E/UQE.交BC點(diǎn)F,以￡>E、EF為鄰邊作矩形OEFG,連接CG.

(1)求證：矩形。EFG是正方形；

(2)探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

25.如圖，在△ABC中，。是4c上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C重合)，過點(diǎn)。平行于BC

的直線/分別與N8CA、NQCA的平分線交于點(diǎn)E、F.

(1)0E與OF相等嗎？證明你的結(jié)論.

(2)試確定點(diǎn)。的位置，使四邊形AEC尸是矩形，并加以證明.

26.正方形的邊長(zhǎng)為6,E,尸分別是AB,BC邊上的點(diǎn)，且NEO尸=45°,將△D4E

繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△￡>€1〃.

(1)求證：EF=CF+AE；

(2)當(dāng)4E=2時(shí)，求EF的長(zhǎng).

27.如圖，在平行四邊形A8CQ中，BC=2AB,ABLAC,分別在邊BC,AO上的點(diǎn)E與點(diǎn)

F關(guān)于AC對(duì)稱，連接EF,AE,CF,DE.

(1)求證：四邊形AECF為菱形；

(2)求證：AELDE.

28.如圖，在平行四邊形A8CD中，DB=DA,N4OB的角平分線與AB相交于點(diǎn)凡與CB

的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E連接AE.

(1)求證：四邊形AEBO是菱形.

(2)若四邊形ABCC是菱形，OC=10,則菱形的面積是.(直

接填空，不必證明)

29.如圖，已知平行四邊形ABC。中，EF垂直平分線段8力，連接BE,DF.

(1)求證：四邊形BEOF是菱形；

(2)若48=3M，AO=6,ZBAD=135°,求AE的長(zhǎng).

30.如圖，已知平行四邊形ABCD,若M,N是8。上兩點(diǎn)，且8M=ON,AC=2OM.

(1)求證：四邊形AMCN是矩形；

(2)aABC滿足什么條件，四邊形AMCN是正方形，請(qǐng)說(shuō)明理由.

31.如圖所示，平行四邊形ABCZ),對(duì)角線8。平分NA8G

(1)求證：四邊形ABC。為菱形;

(2)已知AEJ_BC于E,若CE=2BE=4,求8D

BC

32.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形0A8C繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到矩形ODER

若4(3,0),C(0,?),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為

33.如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,OC=2cm,/A8O=30°,則菱

形ABCD的面積是___________________

34.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。、E、F分別在邊AB、BC、CA±,MDE//CA,DF//BA,

下列四種說(shuō)法：①四邊形AECF是平行四邊形；

②如果NB4C=90°,那么四邊形AEOF是菱形；

③如果A力平分/8AC,那么四邊形AE￡?產(chǎn)是菱形;

④如果AB=AC,那么四邊形AE￡＞尸是菱形.

其中，正確的有.（只填寫序號(hào)）

35.如圖，點(diǎn)E為正方形ABCO的邊D4的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以BE為邊在BE的另一側(cè)作正

方形BEFG,連接CG,若A8=12,BE=13,則4BCG的面積為.

36.正方形48CD,ZD￡C=90°,EC=6,則陰影△CBE面積是

37.如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起，重合的部分構(gòu)成一個(gè)西邊形，這個(gè)四邊形一定

是，依據(jù)是

38.如圖，小華剪了兩條寬為3的紙條，交叉疊放在一起，且它們較小的交角為60。，則

它們重疊部分的面積為

39.如圖，在矩形紙片ABC。中，邊AB=12,AE>=5,點(diǎn)P為。C邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與

點(diǎn)。，C重合），將紙片沿AP折疊，則的最小值為.

D

?D'

B

參考答案

1.解：A.因?yàn)榫匦闻c菱形都是特殊的平行四邊形，所以矩形與菱形的兩組對(duì)邊分別平行,

故A不符合題意；

B.菱形的對(duì)角線平分對(duì)角，而矩形不是，故8不符合題意；

C.菱形的對(duì)角線對(duì)角線互相垂直，而矩形不是，故C不符合題意；

D.矩形的對(duì)角線相等，而菱形不是，故。符合題意；

故選：D.

2.解：？-7x+12=0,

(x-3)(%-4)=0,

???菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為6,

菱形對(duì)角線的一半為3,

:菱形兩條對(duì)角線的一半，菱形的邊長(zhǎng)組成以邊長(zhǎng)為斜邊的直角三角形，

."8=4,

菱形另一對(duì)角線的一半為,42_32=5,

...菱形另一對(duì)角線長(zhǎng)為丁7，

菱形面積為工X6X2—7=6J7，

2

故選:B.

3.解：當(dāng)具備①③兩個(gè)條件，能得到四邊形A8CD是矩形.理由如下：

?.,對(duì)角線AC、BO互相平分，

二四邊形ABCD為平行四邊形.

又：AC=B。，

四邊形ABC。為矩形.

故選：B.

4.解：連接AP.

：AB=6,AC=8,BC=10,

AAB2+AC2=36+64=100,BC2=100,

:.AB2+AC2^BC2,

：.ZBAC=90°,

VPEIAB,PFLAC,

：./L\EP^ZAFP^ZBAC=90°,

四邊形AEPF是矩形，

：.AP=EF,

VZBAC=90°,M為EF中點(diǎn)，

:.AM=1.EF=1AP,

22

當(dāng)AP_LBC時(shí)，AP值最小，

此時(shí)SABAC=AX6X8=-1X10XAP,

22

AP=4.8,

即AP的范圍是APN4.8,

.?.2AMN4.8,

的范圍是4M22.4（即x22.4）.

綜上所述，x的取值范圍是：2.4Wx<4.

故選：D.

5.解：：四邊形48C。是正方形,

；.NC4B=45°,/8=90°.

"：PELBC,PQ1.AB,

：.NPQB=NPEB=90°.

：.NPQB=/PEB=NB=90°.

；?四邊形PQBE為矩形.

：.PE=BQ.

:PQLAB,ZCAB=45°,

...△B4Q為等腰三角形.

：.PQ=AQ.

，PE+PQ=BQ+AQ=AB=3.

故選：B.

6.解：連接OP,

??,矩形A8CO的兩邊A8=6,8C=8,

,S也形ABCO=A8?BC=48，OA=OC,OB=OD,AC=BD,2=10,

*??S^AOD=-S矩形A6CQ=12,OA=OD=5f

4

/.S^AOD=S&AOP+S&DOP=^-OA?PE+^OD?PF=1.0A(.PE+PF)=2X5X(PE+PF)=

2222

12,

.?.PE+PW處=4.8.

5

故選：C.

7.解：(1)DGA.BE,

理由如下：?.?四邊形A8CD,四邊形AE『G是正方形，

：.AB=AD,NDAB=NGAE,AE=AG,NAQB=NABZ)=45°,

：.ZDAG^ZBAE,

在△￡><4G和△BAE中，

，AD=AB

-ZDAG=ZBAE-

AG=AE

.?.△QAG絲△BAE(SAS).

：.DG=BE,NAZ)G=NABE=45°,

，NABO+/ABE=90°,即NGBE=90°.

：.DG±BE；

(2)連接GE,

G

c,

_____E

D

；正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,正方形AEFG的邊長(zhǎng)為圾,

:.BD=?,GE=2,

設(shè)BE=x,則BG=x-&,

在RtZXBGE中，利用勾股定理可得：

(x-&)2=22,

2

的長(zhǎng)為」也電).

2

8.(1)證明：?.?四邊形ABCO是平行四邊形，

：.ZABO=ZD,AB=DC,AB//DC,

：.AB//DE,

.".ZCEO^ZBAO,

"：DC=CE,

：.AB=CE,

在△C0￡和△BOA中，

"ZC0E=ZB0A

-ZCE0=ZBA0-

CE=AB

.?.△COE嶺△BOA(A4S)；

(2)解：當(dāng)時(shí)，四邊形A8EC是正方形，

理由如下：

由(1)知，AB=CE,AB//CE,

四邊形ABEC是平行四邊形，

"：BA±AC,

：.ZBAC=90°,

二四邊形48EC是矩形,

在n△ABC中，

?：BC2=AB2+AC2,BC=42AB,

：.（料48）2=AB2+AC1,

:.AB2=AC2,

：.AB=AC,

四邊形A8EC是正方形.

9.證明：（1）,??四邊形ABCQ是菱形，

：.AB=AD,

"：ZBAD=120°,

.,.NA￡>B=NA2Z）=30°,

,/點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)G位于對(duì)角線BDL.

:.AE=DE,NBAE=NBGE=120°,

AZEGD=60°,

：.ZGED=90°,

：./\EGD為直角三角形：

（2）VZGED=90°,ZADB=30°,

:.DE=y[^EG=4^\E,

：AB=4,

，AE+V§4E=4,

.?.A￡=2?-2,

：.EG=2yf3-2.

10.證明：（1）,?四邊形A8CQ是正方形，

J.ACLBD,OD=OC,

：.ZDOG=ZCOE=90°,

AZOEC+ZOC￡=90°,

'JDFLCE,

：.ZOEC+ZODG=90Q,

：.NODG=ZOCE,

在△OOG與△COE中,

fZODG=ZOCE

<OD=OC，

ZDOG=ZCOE

：./\DOG^^COE(ASA),

???OE=OG,

(2)過點(diǎn)3作3M〃AC交OH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

TCE平分NBC。，DHLCE,

：.ZECH=ZOCEfNCFH=NCFG=90°,

在△CFG與△6777中，

<ZGCF=ZHCF

,CF=CF，

ZGFC=ZHFC

:?△CFGQXCFH(ASA),

，/CGF=NCHF,

'：BM//AC,

:./M=/CGF,

?:/CHF=/BHM,

；./BHM=NM,

???四邊形ABC。是正方形，

:.OB=OD,

,:BM〃AC,

：.DG=MG,

???OG=/BH卷BB

11.證明：（1）如圖1,連接。F,

圖1

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.DA=DC,NA=NC=90°,

:點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F,

：.△ADEQ/\FDE,

：.DA=DF=-DC,NOFE=NA=90°,

AZDFG=90°,

在RtADFG和Rt/XOCG中，

[DF=DC,

1DG=DG，

.,.RtADFG^RtADCG(HL),

：.GF=GC；

(2)BH=?\E,理由是：

證法一：如圖，在線段A。上截取AM,使AM=AE,

H

\"AD=AB,

：.DM=BE,

由(1)知：NADE=NEDF,4FDG=/GDC,

VZADC=90Q,

ZADE+ZEDF+ZFDG+ZGDC=90°,

：.2ZEDF+2ZFDG^90°,

:.NEDF+NFDG=45°,

即NE￡>G=45°，

?:EHLDE,

；.NDEH=90°,

.?.△OEH是等腰直角三角形，

AZAED+ZBEH=ZAED+ZADE=90°,DE=EH,

：.NADE=/BEH,

在△￡??：和△EBH中，

fDM=BE

-ZADE=ZBEH)

DE=EH

:ADME必EBH(SAS),

：.EM=BH,

RtZXAEM中，NA=90°,AM=AE,

：.EM=，^\E,

:.BH=y[^E；

證法二：如圖，過點(diǎn)H作HNLAB于N,

...NENH=90°,

由方法一可知：DE=EH,Nl=NNEH,

在△￡>/!￡和△ENH中，

"ZA=ZENH

<Z1=ZNEH-

DE=EH

.?.△DAE妾AENH(A45),

：.AE=HN,AD=EN,

'：AD=AB,

AB=EN=AE+BE=BE+BN,

：.AE=BN=HN,

...△BN”是等腰直角三角形，

:.BH=&HN=?正.

12.解：(1)連接DG,交AP于點(diǎn)E,連接AG,如圖1,

?點(diǎn)G與點(diǎn)O關(guān)于直線AP對(duì)稱，

；.AP垂直平分。G,

：.AD=AG.

?.?在△AQG中，AD=AG,AE±DG,

：.ZPAG=ZPAD=30°,

又?.?在正方形A8CD中，AD=AB,NOAB=NABC=90°,

：.AG=AB,ZGAB^ZDAB-ZPAD-ZMG=30°,

180

.?.在△GAB中，ZABG=ZAGB=0-AGAB=75?,

2

：.ZGBC=ZABC-ZABG=l5a；

由(1)可知，在△AQG中，AD=AG,

ZDAG^ZPAD+ZPAG=60°,

：.ZVIOG是等邊三角形,

：.DG=AG=AD,ZDAG=ZADG=ZDGA=60°,

又：在矩形ABC。中，AB=DC,ZDAB=ZADC=ZABC=90°,

：.ADAB-4DAG=ZADC-ZADG,

即NGAB=NGDC=30°,

:.△GAB9AGDC(SAS),

：.GB=GC.

當(dāng)/CGB=120°時(shí)，點(diǎn)G可能在矩形A8C￡)的內(nèi)部或外部.

若點(diǎn)G在矩形ABC。的內(nèi)部，

?.?在△BGC中，GB=GC,ZCGB=120°,

.?./G8C=]gO。_/OGE=30。,

2

：.ZGBA^ZABC-ZGBC=90Q-30°=60°,

在aASG中，NAGB=180°-ZGAB-ZGBA=90°,

3

若點(diǎn)G在矩形ABCD的外部，

在△BGC中，NGBC=30°,

，NABG=120°,

又,../GAB=30°,

/.ZAGB=180°-30°-120°=30°.

:.BA=BG,

過點(diǎn)8作B”,AG,垂足為“，

.,.AH=^AG—^-b.

22

在RtZ\ABH中，NAHB=90°,NHAB=3Q°,

：.a=J^b,

3

在Rt^AOP中，ZADP=90°,/力力=30°,

:.DP=^~b.

3

所以無(wú)論點(diǎn)G在矩形ABC。內(nèi)部還是點(diǎn)G在矩形ABC。外部，都有DPWDC,均符合題

j思iK..

綜上，當(dāng)/CGB=120°時(shí)a與b的數(shù)量關(guān)系為“=2氏或

33

13.解：連接MA,ME,

由翻折可得，AN=NE,AM=ME,

設(shè)AB=2x,AN=a,在RtABEN中，/=(2x-a)2+?,4xa=57,〃=旦

4

.,.在設(shè)。M=b,RtZ\AZ)M中，4序=(2x)2+^2,

在RtZiEMC中，CM=2x-b,

(2x-b)2+/=(2x)2+b2,

則DM—b—^x,

4

15

交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

?.?四邊形ABC。為矩形,

：.AB\\CD,

；./l+/2=N3+N4.

；四邊形EFGH為菱形,

；.N2=N3,

Z1=Z4.

又；FP_LOC,

.?.NA=/P=90°,

在和APG尸中，

'N4=N1

<ZA=ZP-

HE=FG

:.△AEgXPGF(A4S),

PF=AH=2.

又*:GC=DC-DG=1-5=2,

??.&CGF=』XCGXPF=J_X2X2=2；

22

(2)由(1)知，點(diǎn)F到。C的距離為定值，即松=2恒成立.

...當(dāng)。G取得最大值時(shí)，ACGF的面積取得最小值，

設(shè)DG—x,

"：DH=AD-AH=5-2=3,

HG2=DG2+DH2=/+9.

又,.?”E2=A42+AE2WA42+AB2=22+72=53且HG=HE,

；.7+9W53.

又,.,QO,

.?.o?27Ti，

GC的最小值為GC=7-2丁五，

此時(shí)SACGF=」XCGXPF=」X2X(7-2^71)=7-2771.

22

15.證明：(1)由作圖，NABF=NEBF,AE1BF,

：.AB=EB,

?..四邊形ABC。是平行四邊形，

.,.AD//BC,

：.NEBF=ZAFB,

：.NABF=NAFB,

：.AB=AF=BE,

四邊形A8EF是平行四邊形，

又AB=BE,

四邊形ABE尸是菱形;

(2)作PH_LAQ于H,

:四邊形A8EF是菱形，NABC=60°,A8=8,

：.AB^AF^S,NABF=NAFB=30°,APVBF,

；.AP=XAB=4,

2

：.PH=2-/3,

SAAPDVAD'PHM3X10x2V3=10>/3-

16.證明：（1）二?四邊形ABC。為平行四邊形，

：.AB//DC,AB=C￡>,

：.NOEB=NODC,

又為BC的中點(diǎn)，

：.BO=CO,

在△BOE和△COD中，

<Z0EB=Z0DC

<ZB0E=ZC0D>

BO=CO

：./\BOE^/\COD(A4S)；

：.OE=OD,

...四邊形BECD是平行四邊形；

(2)當(dāng)/8。。=90°時(shí)，四邊形BECD是菱形;

理由：：四邊形8ECD是平行四邊形，

.?.當(dāng)/8。。=90°時(shí)，四邊形8ECD是菱形.

故答案為：90.

17.(1)證明：'：AE//BC,

：.AE//BD,

'JAE^BD,

二四邊形AEBO是平行四邊形,

VAB=AC,。為BC的中點(diǎn)，

：.AD.LBC,

：.ZADB=90°,

???四邊形AEBD是矩形；

(2)解：:四邊形是矩形，

AZAEB=ZDBE=W°,BD=AE=2,

VZABE=30Q,

：.BE=42\E=2^BC=2BD=4,

'￡C=VBE2+BC2=V(2V3)2+42=2^

\'AE//BCf

:?EF=、EC=2'Z,

33

?JAE//BC,

：.NAEG=/CDG,

??,。為8c中點(diǎn),

:?BD=DC,

?：AE=BD,

：.AE=DC,

在△AEG和△COG中，

<ZAEB=ZCDG

</AGE=NCGD，

AE=DC

:.AAEG烏4CDG(A4S),

EG=CG—"^"EC=,

2

:.FG=EG-EF=Jj-

33

18.解：(1)證明：???四邊形ABC。是菱形，

：.AB//CDf

；.NDNE=NAME,ZNDE=ZMAE,

??,點(diǎn)E是AO邊的中點(diǎn)，

：.AE=DEf

...在△7￡)￡；和△MAE中，△NDE"AMAE(AAS),

：.NE=ME,

四邊形AMDN是平行四邊形；

(2)①當(dāng)AM的值為3時(shí)，四邊形AM￡?N是矩形.理由如下:

；四邊形ABCO為菱形，

：.AB=AD=6,

?點(diǎn)E是AO邊的中點(diǎn)，

'.AE=—AD=3,

2

：.AM=AE=3,

'：ZDAB=60°,

...△AEM是等邊三角形，

：.EM=AE,

,:NE=EM=1~MN,

2

：.MN=AD,

?：四邊形AMDN是平行四邊形，

二四邊形AMQN是矩形.

故答案為：3；

②當(dāng)4W的值為6時(shí)，四邊形AMOV是菱形.理由如下：

AB=AD=6,AM=6,

：.AD=AM,

u：ZDAB=60°,

**.△AM。是等邊三角形，

：.ME±ADt

V四邊形AMDN是平行四邊形，

???四邊形AMOV是菱形.

故答案為：6.

19.解：(1)四邊形AEB。是矩形，理由如下：

■:BE//AC,AE//BD

，四邊形AE5。是平行四邊形.

又?.?菱形ABC。對(duì)角線交于點(diǎn)O

：.ACLBD,即乙408=90°.

四邊形AEBO是矩形；

(2)?.?四邊形4BQ)是菱形，

:.OA=XAC=A,OB=OD,ACYBD,

2

?.?四邊形4EBO是矩形，

：.AB=OE=5,

；?Ofi=VAB2-0A2=V52-42=3,

：.BD=2OB=6,

，菱形ABCD的面積=上^乂8。=1*8乂6=24.

22

20.(1)證明：?.?四邊形ABC。為菱形，

J.ACVBD,OA=OC=1AC,

2

AZDOC=90°,

\'DE//AC,DE=^AC,

2

OC=DE,

四邊形OCED為平行四邊形，

又；NOOC=90°,

二四邊形OCED是矩形；

(2)解：由(1)得：四邊形OCEC是矩形，

J.OD//CE,NOCE=90°,

是AC中點(diǎn)，

二尸為AE中點(diǎn),

,CF=AF=EF,

,;CF=CE=1,

：.EF=l,

：.AE=2,

'AC=QAE2-CE2=62-]2=?.

21.解：（1）在矩形ABC。中，ZB=90°,

...在RQABC中，由勾股定理得：AC=A/AB2+BC2=762+82=10;

（2）△PCD為等腰三角形，分類討論:

當(dāng)CD=CP時(shí)，△CPD為等腰三角形,

；.CZ)=CP=6,

貝ijAP=AC-PC=10-6=4,

t-(S)

v0.5

當(dāng)PC=P。時(shí)，△PC。為等腰三角形，此時(shí)P是對(duì)角線的交點(diǎn),

：.PC=PD=5,

則AP=AC-PC=10-5=5,

AP5(<)

t=—=^T-^=1A01s)

v0.5

當(dāng)。P=OC時(shí)，△OPC為等腰三角形,

過點(diǎn)D作DQ±AC,則PQ=QC,

.11

??5,6,8=I，10-DQ'

DQ

卷b

同理勾股定理得:

.??PC號(hào),

貝UAP=AC_PC=10t63

普5義5??里v言0.5沁

???/=8—=10,r=5.6時(shí)，△CP。為等腰三角形.

22.解：(1)當(dāng)AE=PE時(shí),

...點(diǎn)￡是AP的垂直平分線上,

?.?四邊形48C。是矩形，E為C。邊的中點(diǎn),

；.CE=OE=2,點(diǎn)E是A8的垂直平分線上,

二點(diǎn)P與點(diǎn)B互相重合,

：.AP=AB=4,

'.t=—=2,

2

當(dāng)EP=AP時(shí)，點(diǎn)P在BC上，

：.AB2+BP2=EC2+CP2,

A16+BP2=4+(6-BP)2,

：.BP=2,

."生2=3,

2

綜上所述：當(dāng)f=2或3時(shí)，是以EP為腰的等腰三角形；

(2)如圖，延長(zhǎng)EC到E,使得fC=EC,連接AE,交BC于點(diǎn)P,

此時(shí)△/1「￡：周長(zhǎng)最短；

■:EC=EC=2=DE,

：.DE=6=AD,

，ND4E=45°,

:.NBAP=NBFA=45°,

：.AB=BP=4,

2

23.(1)證明：；AC的垂直平分線是MM

：.AO=CO,

；四邊形ABC。是矩形，

：.AD//BC,

：.4NA0=NMC0,

在△AON和△COM中，

rZNAO=ZMCO

?AO=CO，

ZA0N=ZC0M

...AON絲△COM(ASA)；

（2）解：連接CN,

;四邊形4BCZ）是矩形,

.\AD=BC=S,AB=CD=f>,NNDC=9Q°,AD//BC,

,：AC的垂直平分線是MN,

；.AN=CN,

設(shè)EW=x,則AN=CV=8-x,

在中，由勾股定理得：DN2+DC2=CN2,

即X2+62=(8-x)

解得：x=Z,

4

即￡W=工，AN=8-工=生

444

,/AAON咨ACOM,

；.CM=AN=空，

4

'：AD//BC,

7_

?PD-DN_4_7

，-PCCM25_25-

4

24.解：（1）如圖所示，過E作EMJLBC于M點(diǎn)，過E作EN_LC￡）于N點(diǎn),

???正方形ABCQ,

，NBC￡>=90°,NECN=45°,

:./EMC=NENC=NBCD=9G°,且NE=NC,

四邊形EMCN為正方形，

；四邊形DEFG是矩形，

:.EM=EN,4DEN+/NEF=NMEF+2NEF=90°,

/DEN=NMEF,

又NDNE=NFME=90°,

fZDNE=ZFME

在△￡>EN和△FEM中，，EN=EM

ZDEN=ZFEM

：.4DEN迫XFEM(ASA),

：.ED=EF,

，矩形。EFG為正方形，

(2)“+CG的值為定值，理由如下：

:矩形。EFG為正方形，

：.DE=DG,ZEDC+ZCDG=90°,

?..四邊形ABC。是正方形，

'：AD=DC,ZADE+Z￡Z)C=90°,

NADE=NCDG,

'AD=CD

在△ACE和△COG中，，ZADE=ZCDG>

DE=DG

.'.△ADE妾/\CDG(SAS),

：.AE=CG,

."C=AE+CE=V^4B=&X4&=8,

25.(1)解:相等;理由是：：直線/〃BC,

NOEC=NECB,

平分乙ACB,

：.40CE=NBCE,

；.NOEC=NOCE,

：.OE=OC,

同理OF=OC,

：.OE=OF.

(2)解：O在AC的中點(diǎn)上時(shí)，四邊形AECF是矩形,

理由是：：OA=OC,OE=OF,

二四邊形4EC尸是平行四邊形，

'：OE=OF=OC=OA,

：.AC=EF,

，平行四邊形AECF是矩形.

26.(1)證明：：△D4E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM,

.?./FCM=NFCO+NOCM=180°,AE=CM,

:.F、C、M三點(diǎn)共線，

：.DE=DM,ZEDM=90°,

；./EDF+/FDM=90°,

VZEDF=45°,

：.NFDM=NEDF=45°,

在△DEF和中，

rDE=DM

；ZEDF=ZMDF>

DF=DF

:.ADEgADMF(SAS),

；.EF=MF,

：.EF=CF+AE；

(2)解：設(shè)EF=MF=x,

"：AE=CM=2,且8c=6,

BM=BC+CM=6+2=8,

：.BF=BM-MF=BM-EF=8-x,

'：EB=AB-AE=6-2^4,

在Rl/XEBF中，由勾股定理得EB1+BF1=EF1,

即4?+(8-x)2=f,

解得：x—5,

則EF=5.

27.證明：（1）設(shè)AC,EF的交點(diǎn)為。,

J.AD//BC.ZOAF=ZOCE,

丁點(diǎn)E與點(diǎn)尸關(guān)于AC對(duì)稱，

：.AE=AF,CE=CF,OE=OF.

在△AOb和△COE中，

<Z0AF=Z0CE

<NAOF=NCOE，

OF=OE

AAAOF^ACOE(A4S),

:?AF=CE,

；.AE=AF=CE=CF,

???四邊形AECF是菱形；

(2)*：AE=CE,

:.ZEAC=ZECA9

VAB±AC,

:./B=/BAE,

：.AE=BE=CEf

,

\BC=2ABf

.\AB=AE=BE,

?**/\ABE是等邊三角形.

???NAE8=60°,

AZAEC=\20°,

???四邊形A3CO是平行四邊形，

J.AB//CD,AB=CD,

：.Z￡>C￡=180°-ZB=120°,

CE=BE=1.BC=AB=CD,

2

：.ZCED=ZCDE=30a,

AZAED=120°-30°=90°,

：.AE1DE.

28.證明：(1)I?四邊形ABC。是平行四邊形

：.AD//BC

二ZADE=ZDEB,

；Z)E平分NAO2

NADE=NBDE

：.NBED=ZBDE

：.BE=BD,KBD=DA

：.AD=BE,且AZ)〃BE

四邊形AOBE是平行四邊形

且A￡)=B。

...四邊形AEBQ是菱形.

(2)?.?四邊形ABCD是菱形

：.AB=AD=CD^\0,且

△ABD是等邊三角形

AZBAD=60°

?.?四邊形AEBO是菱形

：.AF=BF,ABIDE,EF=DF,

NA力尸=30°

：.AF=5,DF=543

:.DE=IOM

二菱形AEBD的面積=」X10X10V3=50A/3

2

故答案為：5073

29.(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

:.AD//BC,OB=OD,OA=OC,AD=BC,

：.NODE=/OBF,

在△OOE和△OB尸中,

"ZODE=ZOBF

<OD=OB，

ZDOE=ZBOF

：./\ODE^/\OBF(ASA),

：.DE=BF,

又‘：AD"BC,

四邊形BEQF是平行四邊形，

又；EFLBD,

...四邊形BEDF是菱形;

(2)如圖，過點(diǎn)8作BA/_LA。于M,

；./BAM=45。，KBM±AD,AB=3瓜

：.BM=AM=3,

:四邊形BEDF是菱形,

:.BE=DE,

'：BE1=BM2+EM2,

：.(6-AE)2=(AE+3)2+9,

：.AE=\

故答案為：1

30.證明：(1)?.?四邊形ABC。是平行四邊形,

：.OA=OC,OB=OD,

;對(duì)角線3。上的兩點(diǎn)M、N滿足BM=LW,

OB-BM=OD-DN,即OM=ON,

四邊形AMCN是平行四邊形，

"：AC=2OM,

：.MN=AC,

二四邊形4MCN是矩形;

(2)由(1)可知，四邊形AMCN為矩形，

，只需AM=MC,則矩形AMCN為正方形，

；0為AC中點(diǎn)，M在80上，

：.B0LAC,時(shí)，AM=MC,

在△BOA與△BOC中，

fAO=OC

<ZAOB=ZCOB-

OB=OB

：./\BOA^/\BOC(SAS),

：.AB=BC,

...△ABC是等腰三角形，

故△ABC為等腰三角形時(shí)，四邊形AMCN是正方形.

31.(1)證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,

NADB=ZDBC,

平分NA8C,

NABD=NDBC,

：.NABD=ZADB,

：.AB=AD,

平行四邊形A8CO是菱形；

(2)解：連接4C,如圖所示：

,:CE=2BE=4,

：.BE=2,

：.BC=BE+CE=6,

由(1)得：四邊形ABC。是菱形，

.,.AC.LBD,AB=BC=6,

,：AELBC,

；.NAEB=/AEC=90°,