2020-2021學(xué)年北師大版八年級下冊數(shù)學(xué)期末試題含答案

2020-2021學(xué)年北師大新版八年級下冊數(shù)學(xué)期末試題

一.選擇題

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

3.下列各式，從左到右變形是因式分解的是（）

A.a(a+2b)=a2+2abB.x-l=x(1-—)

X

C.x1+5x+4=x(x+5)+4D.4-m2=(2+m)(2-m}

4.如圖，在□ABCD中，AE.LBC,垂足為E,AF±CD,垂足為E若AE：AF=2：3,

□ABC。的周長為10,則A3的長為（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

5.如圖，四邊形A3CO的對角線AC,BD交于點(diǎn)O,則不能判斷四邊形ABC。是平行四邊

形的是（）

A./ABD=/BDC,OA=OCB.ZABC=ZADC9AB=CD

C.ZABC=ZADC,AD//BCD.NABD=NBDC,ZBAD=ZDCB

6.將點(diǎn)A（2,-3）沿/軸向左平移3個單位長度后得到的點(diǎn)4'的坐標(biāo)為（）

A.(-1,-6)B.(2,-6)C.(-1,-3)D.(5,-3)

7.如圖，線段AB的長為10,點(diǎn)。在AB上，△AC。是邊長為3的等邊三角形，過點(diǎn)。作

與CD垂直的射線DP,過DP上一動點(diǎn)G（不與。重合）作矩形CDGH,記矩形CDGH

的對角線交點(diǎn)為。，連接08,則線段8。的最小值為（)

1

A.4B.5C.3MD.473

8.如圖，RtZVIBC中，/C=90°,BC=3,AC=4,將AABC繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)得AA，

9.若順次連接四邊形A8C￡＞各邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形，則四邊形4BC。一定是（）

A.矩形

B.正方形

C.對角線互相垂直的四邊形

D.對角線互相垂直且相等的四邊形

10.若把分式等中的x與），都擴(kuò)大3倍，則所得分式的值（）

3xy

A.縮小為原來的!B.縮小為原來的!

C.擴(kuò)大為原來的3倍D.不變

11.若〃邊形的內(nèi)角和等于外角和的3倍，則邊數(shù)〃為（）

A.n=6B.〃=7C.〃=8D.〃=9

12.已知：如圖，。、E、尸分別是△ABC的三邊的延長線上一點(diǎn)，且AB=BF,BC=CD,

2

AC=AE,SAABC=567W,貝的值是（）

2

A.15crn2B.20cm2C.30cm2D.35cnr

二.填空題

21

13.若分式的值為零，則1=.

x-l

14.已知x+y=8,xy=2,則/y+孫2=.

15.若三:4,則代數(shù)式的值是

y3x+2y

16.如圖，在直角三角形ABC中，ZC=90°,/A=30°,AB=\O,點(diǎn)E、尸分別為AC、

AB的中點(diǎn)，則EF=

17.若一個菱形的周長為200cm,一條對角線長為60cm,則它的面積為.

18.如圖，將平行四邊形A8C。放置在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)A的

坐標(biāo)是(5,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,3),則點(diǎn)8的坐標(biāo)是.

三.解答題

19.分解因式：

(1)-3次+64匕-3戶；

(2)9a2(x-y)+4b2(y-x).

20.先化簡，再求值：X2-2X-3-(x+2-三)，其中x=4.

x-2x-22

3

21.如圖，在。ABCD中，對角線AC、8。相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)O的直線分別交4。、BC于

22.解方程:

⑴土房

^-+1.

(2)

x+13x+3

23.如圖所示，已知△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,3),B(-6,0),C(-I,

0).

(1)請直接寫出點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)。對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

(2)將△ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AB1G，畫出圖形，并直接寫出

點(diǎn)A、Bi、Ci的坐標(biāo).

VA

24.某商場準(zhǔn)備購進(jìn)A,B兩種書包，每個A種書包比8種書包的進(jìn)價少20元，用700元

購進(jìn)A種書包的個數(shù)是用450元購進(jìn)B種書包個數(shù)的2倍，A種書包每個標(biāo)價是90元，

B種書包每個標(biāo)價是130元.請解答下列問題：

(1)48兩種書包每個進(jìn)價各是多少元？

(2)若該商場購進(jìn)B種書包的個數(shù)比A種書包的2倍還多5個，且A種書包不少于18

個，購進(jìn)4,8兩種書包的總費(fèi)用不超過5450元，則該商場有哪幾種進(jìn)貨方案？

4

(3)該商場按(2)中獲利最大的方案購進(jìn)書包，在銷售前，拿出5個書包贈送給某希

望小學(xué)，剩余的書包全部售出，其中兩種書包共有4個樣品，每種樣品都打五折，商場

仍獲利1370元.請直接寫出贈送的書包和樣品中，A種，B種書包各有幾個？

25.如圖，在菱形A8CZ)中，對角線AC,3。交于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AE_L3C于點(diǎn)E,延長

8C到點(diǎn)凡使得C/=BE,連接。兄

(1)求證：四邊形是矩形；

(2)連接。E,若AB=13,OE=2V13>求AE的長.

26.中國古賢常說萬物皆自然.而古希臘學(xué)者說萬物皆數(shù).小學(xué)我們就接觸了自然數(shù)，在數(shù)

的學(xué)習(xí)過程中，我們會對其中一些具有某種特性的自然數(shù)進(jìn)行研究，比如奇數(shù)、偶數(shù)、

質(zhì)數(shù)、合數(shù)等，今天我們來研究另一種特殊的自然數(shù)--“歡喜數(shù)”.

定義：對于一個各數(shù)位不為零的自然數(shù)，如果它正好等于各數(shù)位數(shù)字的和的整數(shù)倍，我

們就說這個自然數(shù)是一個“歡喜數(shù)”.

例如：24是一個“歡喜數(shù)”，因?yàn)?4=4X(2+4),125就不是一個“歡喜數(shù)”因?yàn)?+2+5

=8,125不是8的整數(shù)倍.

(1)判斷28和135是否是“歡喜數(shù)”？請說明理由；

(2)有一類“歡喜數(shù)”，它等于各數(shù)位數(shù)字之和的4倍，求所有這種“歡喜數(shù)”.

27.如圖，在邊長為a的正方形ABC。中，作N4CQ的平分線交AO于F,過尸作直線AC

的垂線交AC于尸，交CO的延長線于。，又過戶作4。的平行線與直線CF交于點(diǎn)E,

連接。E,AE,PD,PB.

(1)求AC,。。的長；

(2)四邊形。FPE是菱形嗎？為什么？

(3)探究線段。Q,DP,E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明探究結(jié)論；

(4)探究線段P8與AE之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明探究結(jié)論.

5

四.填空題

28.若關(guān)于x的分式方程*+?=2。無解,則。的值為___________.

x-33-x

29.如圖，在正方形ABC。外取一點(diǎn)E,連接AE,BE,DE.過點(diǎn)4作AE的垂線AP交。E

于點(diǎn)P.若AE=AP=1,PB=y[^,則正方形ABC。的面積為.

30.如圖，已知四邊形ABCZ)為正方形，A8=4&,點(diǎn)E為對角線AC上一動點(diǎn)，連接QE、

過點(diǎn)E作EELOE.交8c點(diǎn)F,以O(shè)E、EF為鄰邊作矩形OEFG,連接CG.

(1)求證：矩形DEFG是正方形；

(2)探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

6

參考答案與試題解析

選擇題

1.解：A、是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)正確；

B、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；

。、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；

故選：A.

2.解：在所列代數(shù)式中，分式有2,—",共2個，

xa-x

故選：B.

3.解：A.從左邊到右邊變形是整式乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；

等式的右邊不是整式積的形式是整式乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.從左邊到右邊變形不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.從左邊到右邊變形是因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

4.解：??,四邊形ABCO是平行四邊形，

：.AB=CD,AD=BC,

.-.BC+CD=104-2=5,

根據(jù)平行四邊形的面積公式，得BC：CD=AF：AE=3：2.

：.BC=3,CD=2,

：.AB=CD=2,

故選：A.

5.解：A、?:/ABD=NBDC,OA=OCf

又NA08=NC0。，

???/\AOB^/\COD,

:?DO=BO,

???四邊形ABC。是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、ZABC=ZADC,A8=CO不能判斷四邊形ABC。是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意;

C、■:AD//BC,

：.ZABC+ZBAD=\S0Q,

7

??,ZABC=ZADCf

：.ZADC^ZBAD=\SO°,

：.AB//CD,

??.四邊形ABC。是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意;

D、?:NABD=/BDC,NBAD=NDCB,

：./ADB=/CBD,

：.AD//CB,

*.*NABD=NBDC,

：.AB//CDf

???四邊形ABC。是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意;

6.解：點(diǎn)4（2,-3）沿x軸向左平移3個單位長度后得到的點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（2-3,-3）,

即（-1,-3）,

故選：C.

7.解：連接A0,

??,四邊形CQG"是矩形，

:?CG=DH,OC=-CG,OD=』DH,

22

：.OC=OD,

???△AS是等邊三角形，

：.AC=ADfZCAD=60°,

在△ACO和△AO。中，

8

fAC=AD

<AO=AO)

CO=DO

AAACO^AADO(SSS),

.../048=/CAO=3O°,

，點(diǎn)O一定在NCA8的平分線上運(yùn)動，

二當(dāng)08,A。時，0B的長度最小，

VZOAB=30°,乙4。8=90°,

：.OB=—AB^—X10=5,

22

即03的最小值為5.

故選：B.

8.解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：

ZA'CB=NC=90°,A'C=AC=4,AB=A'B,

根據(jù)勾股定理，得AB={BC2+AC2={32+42=5,

.?.A'B=AB=5,

：.AC=AB-BC=2,

在RtZ^AA'C'中，根據(jù)勾股定理，得

A4，2+AyCy2~V22+42~2V5-

故選：C.

9.解：，；E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AO的中點(diǎn)，

：.EH//FG//BD,EF//AC//HG,

四邊形EFGH是平行四邊形，

?.,四邊形EFGH是正方形，即EFLFG,FE=FG,

：.AC±BD,AC=BD,

故選：D.

9

D

11.解：由題意得：180(〃-2)=360X3,

解得：n=8,

故選：C.

12.解：連接AZ),EB,FC,如圖所示：

?：BC=CD,三角形中線等分三角形的面積，

??SAABC=S^ACD;

同理S/SDE=S&ADC，

S4CDE=2SAABC

同理可得：S.EF=2S?C，SABFD=2S^ABC，

4_

?"△EFZ尸54。西氏4￡7什548。+5“8。=2s△ABC2SA/4BL2S”BC+%4BC=7S"BC；

2

故答案為：5AEFD=75AABC=7X5=35C/H

二.填空題

13.解：由題意得：x2-1=0,且x-1W0,

解得：x=-1,

故答案為：-1.

14.解：?.h+y=8,xy=2,

10

J.x2y+xy1=xy(x+y)

=2X8

=16.

故答案是：16.

15.解：V—

y3

?,?設(shè)1=21,y=3tf

.x-y2t-3t-t_1

x+2y2t+6t8t8

故答案為

o

16.解：在RtaABC中，ZC=90°,NA=30°,

：.BC=—Afi=5,

2

;點(diǎn)E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，

；.EF=Zc=2.5,

2

故答案為：2.5.

17.解：已知AC=60ca,菱形對角線互相垂直平分,

又V菱形ABCD周長為200cm,

.\AB=50cm,

,AB2-AO2=V502-302=40?n，

：.AC=2BO=SOcm,

二菱形的面積為ax60X80=2400(cw2).

故答案為：2400cm2.

18.解：???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.OA=BC,OA//BC,

11

VA(5,0),

：.OA=BC=5,

VC(1,3),

：.B(6,3),

故答案為(6,3).

三.解答題

19.解：(1)原式=-3(次-2ab+b2)=-3(a-/?)2；

(2)原式=(x-y)(3〃+2b)(3〃-2。).

20.解：原式=5H13生小豈!*.

x-2x-2

_(x-3)(x+l).x-2

x-2(x+3)(x-3)

_x+1

一商，

當(dāng)X=[■時，

2

f+1

原式—

2+3

=3,

21.證明：?.?oABCD的對角線AC,3。交于點(diǎn)0,

：.BO=DO,AD//BC,

:./EDO=NFBO,

在△￡>OE和△8OF中，

'NED0=NFB0

，D0=B0>

ZE0D=ZF0B

.?.△OOE絲△BO尸(ASA),

：.DE=BF.

22.解：(1)去分母得：x+2=4,

解得:x=2,

經(jīng)檢驗(yàn)x=2是增根，分式方程無解；

(2)去分母得：3x=2x+3x+3,

12

為軍得：x="3，

2

經(jīng)檢驗(yàn)X=-微是分式方程的解.

23.解：（1）點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)。對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-3）；

故答案為：（2,-3）

（2）如圖，△AW1G即為所求,

Ai(-3,-2),B\(0,-6),Ci(0,-1).

24.解：（1）設(shè)每個A種書包的進(jìn)價為x元，則每個B種書包的進(jìn)價為（x+20）元,

依題意得：一=2X黑

解得：x=70,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=70是原方程的解，且符合題意,

/.A+20=90.

答：每個A種書包的進(jìn)價為70元，每個B種書包的進(jìn)價為90元.

（2）設(shè)購進(jìn)4種書包機(jī)個，則購進(jìn)8種書包（2m+5）個,

m>18

依題意得:

70m+90(2m+5)<545C，

解得：18＜根＜20.

又；，〃為整數(shù),

，加可以為18,19,20,

，該商場有3種進(jìn)貨方案,

13

方案1：購進(jìn)18個A種書包，41個8種書包；

方案2：購進(jìn)19個A種書包，43個8種書包；

方案3：購進(jìn)20個A種書包，45個B種書包.

(3)設(shè)該商場銷售4,B兩種書包獲利卬元，則卬=(90-70)m+(130-90)(2w+5)

=100z?+200,

V100>0,

w隨m的增大而增大，

當(dāng)〃?=20時，卬取得最大值，即購進(jìn)20個4種書包，45個8種書包.

設(shè)贈送的書包中A種書包有a個，銷售的4種書包中有b個樣品，則贈送的書包中B種

書包有(5-a)個，銷售的8種書包中有(4-b)個樣品，

依題意得：90(20-a-h)+90X0.5Z>+130[45-(5-a)-(4-Z?)]+130X0.5(4-ft)

-70X20-90X45=1370,

整理得：2a+b=4.

又丁。為非負(fù)整數(shù)，6為正整數(shù)，

.?.當(dāng)”=0時，6=4,此時4-b=0不合題意，舍去；當(dāng)a=l,h=2.

.'.5-a=4,4-b—2,

贈送的書包中A種書包有1個，B種書包有4個，樣品中A種書包有2個，8種書包

有2個.

25.(1)證明：?.?四邊形ABCQ是菱形，

.?.AZ)〃BC且4D=BC,

,:BE=CF,

：.BC=EF,

：.AD=EF,

'：AD//EF,

四邊形AEFD是平行四邊形，

VAE1BC,

AZAEF=9Q°,

四邊形AEFD是矩形；

(2)解：：四邊形ABC。是菱形，A3=13,

14

：.BC=AB=13ACA.BD,OA=OC=—AC,OB=OD=—BD,

922

VAE1BC,

AZAEC=90°,

/.OE=-^AC=OA=2y/12fAC=2OE=4\[\2,

J08=加2_皿2=仙2_(2卷)2=3后,

BD=203=6^/13，

?.?菱形ABCD的面積=28。*4。=8。*4￡

2

即6^義4任=13XA￡,

解得：AE^12.

26.解：(1)???2+8=10,28不是10的整數(shù)倍，

???根據(jù)“歡喜數(shù)”的概念，28不是“歡喜數(shù)”；

71+3+5=9,135=15X9是9的倍數(shù)，

,根據(jù)“歡喜數(shù)”的概念，135是“歡喜數(shù)”；

(2)①設(shè)這個數(shù)為一位數(shù)m且a為自然數(shù)，a#0,

根據(jù)題意可知?=4a,

又“W0,

,這種情況不存在；

②設(shè)這個數(shù)為兩位數(shù)彘，。，匕為整數(shù)，

\0a+b=4(a+b),即匕=2a,

???這種歡喜數(shù)為12,24,36,48；

③設(shè)這個數(shù)為三位數(shù)忘，a,b,c為整數(shù)，

.?.100a+10/c=4(a+b+c),

則96〃+66=3c,

又a,b,c為0到9的整數(shù)，且。力，

這種情況不存在；

④設(shè)這個數(shù)為四位數(shù)而方，小b,c,4為0到9的整數(shù)，且

...1000a+100A+10c+d=4(a+b+c+d),

15

：.996a+96b+6c=3d,

故沒有。到9的整數(shù)a,b,c,"使等式成立，

由此類推，當(dāng)這個數(shù)的位數(shù)不斷增加時，更加無法滿足等式，

,當(dāng)一個歡喜數(shù)等于各數(shù)位數(shù)字之和的4倍時，這個數(shù)為：12或24或36或48.

22=,

27.解：⑴AC=^a+aV2a

■:CF平分4BCD,FDLCD,FPrAC,

：.FD=FP,又NF￡)Q=/尸P4,ZDFQ=ZPFA,

：./\FDQ^/XFPA(ASA),

：.QD=AP,

?.?點(diǎn)P在正方形ABCD對角線AC上，

：.CD=CP=a,

：.QD=AP=AC-PC^(72-1)(2)-：FD=FP,CD=CP,

；.CF垂直平分DP,即。PJ_CF,

ED=EP,則ZEDP=ZEPD,

；FD=FP,

:"FDP=NFPD,

而EP//DF,

NEPD=NFDP,

：.NFPD=ZEPD,

：.NEDP=ZFPD,

：.DE//PF,ffijEP//DF,

.?.四邊形DFPE是平行四邊形，

EFLDP,

.?.四邊形。尸PE是菱形；

(3)DP2+EF2=4QD2,理由是：

???四邊形。FPE是菱形，設(shè)DP與EF交于點(diǎn)G,

：.2DG=DP,2GF=EF,

VZACD=45°,FPLAC,

：./\PCQ為等腰直角三角形，

16

：.ZQ=45°,

可得AQDF為等腰直角三角形，

:.QD=DF,

在△OGb中，DG2+FG2=DF2,

?,?有(■1?〃「)2+2=Q￡)2,整理得：DP2+EF2=4QD1；

(4)VZDFQ=45°,DE//FP,

：.ZEDF=45°,

又?：DE=DF=DQ=AP=(&-1)a,AD=AB,：.^ADE^BAP(SAS),

，AE=BP,ZEAD=ZABPf

延長8P,與AE交于點(diǎn)”，

?/NHPA=NPAB+NPBA=NPAB+NDAE,

ZPAB+ZDAE+ZHAP=90Q,

AZHPA+ZHAP=90°,

AZPHA=90°,BPBP±AEf

綜上：BP與AE的關(guān)系是：垂直且相等.

28.解：與+爭=2a,

x-33-x

去分母得：x-2a=2a(x-3),

整理得：(1-2〃)x=-4〃，

當(dāng)1-2。=0時，方程無解，故4=0.5；

當(dāng)1-2〃#0時，K=：4”「=3時,分式方程無解，則〃=1.5,

2a-l

17

則。的值為0.5或1.5.

故答案為：0.5或1.5.

29.解：如圖，過點(diǎn)B作BFLAE,交AE的延長線于F,連接BC,

在RtzMEP中，AE=AP=1,

:.EP=&，

?；NEAB+NBAP=90°,ZPAD+ZBAP=90°,

:?/EAB=/PAD,

又?.?AE=AP,AB=ADf