四川省成都市2021-2023三年中考數(shù)學真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類

四川省成都市2021-2023三年中考數(shù)學真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類一．一次函數(shù)的應用（共1小題）1．（2023?成都）2023年7月28日至8月8日，第31屆世界大學生運動會將在成都舉行．“當好東道主，熱情迎嘉賓”，成都某知名小吃店計劃購買A，B兩種食材制作小吃．已知購買1千克A種食材和1千克B種食材共需68元，購買5千克A種食材和3千克B種食材共需280元．（1）求A，B兩種食材的單價；（2）該小吃店計劃購買兩種食材共36千克，其中購買A種食材千克數(shù)不少于B種食材千克數(shù)的2倍，當A，B兩種食材分別購買多少千克時，總費用最少？并求出最少總費用．二．反比例函數(shù)綜合題（共3小題）2．（2021?成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝x+的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象相交于點A（a，3），與x軸相交于點B．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）過點A的直線交反比例函數(shù)的圖象于另一點C，交x軸正半軸于點D，當△ABD是以BD為底的等腰三角形時，求直線AD的函數(shù)表達式及點C的坐標．3．（2022?成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣2x+6的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（a，4），B兩點．（1）求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標；（2）過點A作直線AC，交反比例函數(shù)圖象于另一點C，連接BC，當線段AC被y軸分成長度比為1：2的兩部分時，求BC的長；（3）我們把有兩個內(nèi)角是直角，且一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形稱為“完美箏形”．設P是第三象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上一點，Q是平面內(nèi)一點，當四邊形ABPQ是完美箏形時，求P，Q兩點的坐標．4．（2023?成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+5與y軸交于點A，與反比例函數(shù)y＝的圖象的一個交點為B（a，4），過點B作AB的垂線l．（1）求點A的坐標及反比例函數(shù)的表達式；（2）若點C在直線l上，且△ABC的面積為5，求點C的坐標；（3）P是直線l上一點，連接PA，以P為位似中心畫△PDE，使它與△PAB位似，相似比為m．若點D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點P的坐標及m的值．三．二次函數(shù)綜合題（共3小題）5．（2023?成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+c經(jīng)過點P（4，﹣3），與y軸交于點A（0，1），直線y＝kx（k≠0）與拋物線交于B，C兩點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，求點B的坐標；（3）過點M（0，m）作y軸的垂線，交直線AB于點D，交直線AC于點E．試探究：是否存在常數(shù)m，使得OD⊥OE始終成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．6．（2022?成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝kx﹣3（k≠0）與拋物線y＝﹣x2相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），點B關(guān)于y軸的對稱點為B'．（1）當k＝2時，求A，B兩點的坐標；（2）連接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面積與△OAB的面積相等，求k的值；（3）試探究直線AB'是否經(jīng)過某一定點．若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．7．（2021?成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝a（x﹣h）2+k與x軸相交于O，A兩點，頂點P的坐標為（2，﹣1）．點B為拋物線上一動點，連接AP，AB，過點B的直線與拋物線交于另一點C．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點B的橫坐標與縱坐標相等，∠ABC＝∠OAP，且點C位于x軸上方，求點C的坐標；（3）若點B的橫坐標為t，∠ABC＝90°，請用含t的代數(shù)式表示點C的橫坐標，并求出當t＜0時，點C的橫坐標的取值范圍．四．三角形綜合題（共1小題）8．（2023?成都）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點，且＝（n為正整數(shù)），E是AC邊上的動點，過點D作DE的垂線交直線BC于點F．【初步感知】（1）如圖1，當n＝1時，興趣小組探究得出結(jié)論：AE+BF＝AB，請寫出證明過程．【深入探究】（2）①如圖2，當n＝2，且點F在線段BC上時，試探究線段AE，BF，AB之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE，BF，AB之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）．【拓展運用】（3）如圖3，連接EF，設EF的中點為M，若AB＝2，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．五．圓的綜合題（共2小題）9．（2022?成都）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑作⊙O，交AB邊于點D，在上取一點E，使＝，連接DE，作射線CE交AB邊于點F．（1）求證：∠A＝∠ACF；（2）若AC＝8，cos∠ACF＝，求BF及DE的長．10．（2021?成都）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，連接AC，BC，D為AB延長線上一點，連接CD，且∠BCD＝∠A．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為，△ABC的面積為2，求CD的長；（3）在（2）的條件下，E為⊙O上一點，連接CE交線段OA于點F，若＝，求BF的長．六．幾何變換綜合題（共2小題）11．（2022?成都）如圖，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），點E是AD邊上一動點（點E不與A，D重合），連接BE，以BE為邊在直線BE的右側(cè)作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直線CD于點H．【嘗試初探】（1）在點E的運動過程中，△ABE與△DEH始終保持相似關(guān)系，請說明理由．【深入探究】（2）若n＝2，隨著E點位置的變化，H點的位置隨之發(fā)生變化，當H是線段CD中點時，求tan∠ABE的值．【拓展延伸】（3）連接BH，F(xiàn)H，當△BFH是以FH為腰的等腰三角形時，求tan∠ABE的值（用含n的代數(shù)式表示）．12．（2021?成都）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′，其中點A，C的對應點分別為點A′，C′．（1）如圖1，當點A′落在AC的延長線上時，求AA′的長；（2）如圖2，當點C′落在AB的延長線上時，連接CC′，交A′B于點M，求BM的長；（3）如圖3，連接AA′，CC′，直線CC′交AA′于點D，點E為AC的中點，連接DE．在旋轉(zhuǎn)過程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，請說明理由．七．解直角三角形的應用（共1小題）13．（2022?成都）2022年6月6日是第27個全國“愛眼日”，某數(shù)學興趣小組開展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實踐探究活動．如圖，當張角∠AOB＝150°時，頂部邊緣A處離桌面的高度AC的長為10cm，此時用眼舒適度不太理想．小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究，最后聯(lián)系黃金比知識，發(fā)現(xiàn)當張角∠A'OB＝108°時（點A'是A的對應點），用眼舒適度較為理想．求此時頂部邊緣A'處離桌面的高度A'D的長．（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）八．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共1小題）14．（2021?成都）越來越多太陽能路燈的使用，既點亮了城市的風景，也是我市積極落實節(jié)能環(huán)保的舉措．某校學生開展綜合實踐活動，測量太陽能路燈電池板離地面的高度．如圖，已知測傾器的高度為1.6米，在測點A處安置測傾器，測得點M的仰角∠MBC＝33°，在與點A相距3.5米的測點D處安置測傾器，測得點M的仰角∠MEC＝45°（點A，D與N在一條直線上），求電池板離地面的高度MN的長．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

四川省成都市2021-2023三年中考數(shù)學真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類參考答案與試題解析一．一次函數(shù)的應用（共1小題）1．（2023?成都）2023年7月28日至8月8日，第31屆世界大學生運動會將在成都舉行．“當好東道主，熱情迎嘉賓”，成都某知名小吃店計劃購買A，B兩種食材制作小吃．已知購買1千克A種食材和1千克B種食材共需68元，購買5千克A種食材和3千克B種食材共需280元．（1）求A，B兩種食材的單價；（2）該小吃店計劃購買兩種食材共36千克，其中購買A種食材千克數(shù)不少于B種食材千克數(shù)的2倍，當A，B兩種食材分別購買多少千克時，總費用最少？并求出最少總費用．【答案】（1）A種食材單價是每千克38元，B種食材單價是每千克30元；（2）A種食材購買24千克，B種食材購買12千克時，總費用最少，為1272元．【解答】（1）設A種食材的單價為x元/千克，B種食材的單價為y元/千克，由題意得：，解得：，∴A種食材單價是每千克38元，B種食材單價是每千克30元；（2）設A種食材購買m千克，B種食材購買（36﹣m）千克，總費用為w元，由題意得：w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，∵m≥2（36﹣m），∴24≤m≤36，∵k＝8＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當m＝24時，w有最小值為：8×24+1080＝1272（元），∴A種食材購買24千克，B種食材購買12千克時，總費用最少，為1272元．二．反比例函數(shù)綜合題（共3小題）2．（2021?成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝x+的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象相交于點A（a，3），與x軸相交于點B．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）過點A的直線交反比例函數(shù)的圖象于另一點C，交x軸正半軸于點D，當△ABD是以BD為底的等腰三角形時，求直線AD的函數(shù)表達式及點C的坐標．【答案】（1）反比例函數(shù)的表達式為y＝；（2）直線AD的函數(shù)表達式為y＝﹣x+，點C的坐標為（4，）．【解答】（1）∵一次函數(shù)y＝x+的圖象經(jīng)過點A（a，3），∴a+＝3，解得：a＝2，∴A（2，3），將A（2，3）代入y＝（x＞0），得：3＝，∴k＝6，∴反比例函數(shù)的表達式為y＝；（2）如圖，過點A作AE⊥x軸于點E，在y＝x+中，令y＝0，得x+＝0，解得：x＝﹣2，∴B（﹣2，0），∵E（2，0），∴BE＝2﹣（﹣2）＝4，∵△ABD是以BD為底邊的等腰三角形，∴AB＝AD，∵AE⊥BD，∴DE＝BE＝4，∴D（6，0），設直線AD的函數(shù)表達式為y＝mx+n，∵A（2，3），D（6，0），∴，解得：，∴直線AD的函數(shù)表達式為y＝﹣x+，聯(lián)立方程組：，解得：（舍去），，∴點C的坐標為（4，）．3．（2022?成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣2x+6的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（a，4），B兩點．（1）求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標；（2）過點A作直線AC，交反比例函數(shù)圖象于另一點C，連接BC，當線段AC被y軸分成長度比為1：2的兩部分時，求BC的長；（3）我們把有兩個內(nèi)角是直角，且一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形稱為“完美箏形”．設P是第三象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上一點，Q是平面內(nèi)一點，當四邊形ABPQ是完美箏形時，求P，Q兩點的坐標．【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為：y＝，點B（2，2）；（2）BC的長為4或；（3）點P（﹣4，﹣1），點Q（﹣1，5）．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝﹣2x+6的圖象過點A，∴4＝﹣2a+6，∴a＝1，∴點A（1，4），∵反比例函數(shù)y＝的圖象過點A（1，4），∴k＝1×4＝4；∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝，聯(lián)立方程組可得：，解得：，，∴點B（2，2）；（2）如圖，過點A作AE⊥y軸于E，過點C作CF⊥y軸于F，∴AE∥CF，∴△AEH∽△CFH，∴，當＝時，則CF＝2AE＝2，∴點C（﹣2，﹣2），∴BC＝＝4，當＝2時，則CF＝AE＝，∴點C（﹣，﹣8），∴BC＝＝，綜上所述：BC的長為4或；（3）如圖，當∠AQP＝∠ABP＝90°時，設直線AB與y軸交于點E，過點B作BF⊥y軸于F，設BP與y軸的交點為N，連接BQ，AP交于點H，∵直線y＝﹣2x+6與y軸交于點E，∴點E（0，6），∵點B（2，2），∴BF＝OF＝2，∴EF＝4，∵∠ABP＝90°，∴∠ABF+∠FBN＝90°＝∠ABF+∠BEF，∴∠BEF＝∠FBN，又∵∠EFB＝∠BFN＝90°，∴△EBF∽△BNF，∴，∴FN＝＝1，∴點N（0，1），∴直線BN的解析式為：y＝x+1，聯(lián)立方程組得：，解得：，，∴點P（﹣4，﹣1），∴直線AP的解析式為：y＝x+3，∵AP垂直平分BQ，∴設BQ的解析式為y＝﹣x+4，∴x+3＝﹣x+4，∴x＝，∴點H（，），∵點H是BQ的中點，點B（2，2），∴點Q（﹣1，5）．4．（2023?成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+5與y軸交于點A，與反比例函數(shù)y＝的圖象的一個交點為B（a，4），過點B作AB的垂線l．（1）求點A的坐標及反比例函數(shù)的表達式；（2）若點C在直線l上，且△ABC的面積為5，求點C的坐標；（3）P是直線l上一點，連接PA，以P為位似中心畫△PDE，使它與△PAB位似，相似比為m．若點D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點P的坐標及m的值．【答案】（1）點A的坐標為（0，5），反比例函數(shù)的表達式為（2）點C的坐標為（6，9）或（﹣4，﹣1）；（3）點P的坐標為的值為3．【解答】解：（1）令x＝0，則y＝﹣x+5＝5，∴點A的坐標為（0，5），將B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，∴a＝1，∴B（1，4），將B（1，4）代入y＝得，4＝，解得k＝4，∴反比例函數(shù)的表達式為y＝；（2）設直線l與y軸交于M，直線y＝﹣x+5與x軸交于N，令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，∴N（5，0），∴OA＝ON＝5，∵∠AON＝90°，∴∠OAN＝45°，∵A（0，5），B（1，4），∴＝，∵直線l是AB的垂線，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，∴，∴M（0，3），設直線l的解析式為y＝k1x+b1，將M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，，解得，∴直線l的解析式為y＝x+3，設點C的坐標為（t，t+3），∵?|xB﹣xC|＝，解得t＝﹣4或t＝6，當t＝﹣4時，t+3＝﹣1，當t＝6時，t+3＝9，∴點C的坐標為（6，9）或（﹣4，﹣1）；方法二：設點C的坐標為（t，t+3），∴BC＝＝|1﹣t|，∴S△ABC＝＝＝5，∴t＝﹣4或t＝6，當t＝﹣4時，t+3＝﹣1，當t＝6時，t+3＝9，∴點C的坐標為（6，9）或（﹣4，﹣1）；（3）∵位似圖形的對應點與位似中心三點共線，∴點B的對應點也在直線l上，不妨設為E點，則點A的對應點為D，將直線l與雙曲線的解析式聯(lián)立方程組，解得，或，∴E（﹣4，﹣1），畫出圖形如圖所示，∵△PAB∽△PDE，∴∠PAB＝∠PDE，∴AB∥DE，∴直線AB與直線DE的一次項系數(shù)相等，設直線DE的解析式為y＝﹣x+b2，∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，∴b2＝﹣5，∴直線DE的解析式為y＝﹣x﹣5，∵點D在直線DE與雙曲線的另一個交點，∴解方程組得，或，∴D（﹣1，﹣4），則直線AD的解析式為y＝9x+5，解方程組得，，∴P（﹣，），∴，，∴m＝．三．二次函數(shù)綜合題（共3小題）5．（2023?成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+c經(jīng)過點P（4，﹣3），與y軸交于點A（0，1），直線y＝kx（k≠0）與拋物線交于B，C兩點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，求點B的坐標；（3）過點M（0，m）作y軸的垂線，交直線AB于點D，交直線AC于點E．試探究：是否存在常數(shù)m，使得OD⊥OE始終成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+1；（2）點B的坐標為（﹣4，﹣3）或（﹣2﹣2、5，﹣5﹣2，5）或（﹣2+2，﹣5+2）；（3）存在，2或．【解答】解：（1）將P（4，﹣3）、A（0，1）代入y＝ax2+c，∴16a+1＝﹣3，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2+1；（2）設B（x，y），∵P（4，﹣3），A（0，1），∴AB＝，AP＝4，BP＝，當AB＝AP時，4＝，∵y＝﹣x2+1，∴x＝4或x＝﹣4，∴B（﹣4，﹣3）；當AB＝BP時，＝，解得x＝﹣2+2或x＝﹣2﹣2，∴B（﹣2+2，﹣5+2）或（﹣2﹣2，﹣5﹣2）；綜上所述：B點坐標為（﹣4，﹣3）或（﹣2+2，﹣5+2）或（﹣2﹣2，﹣5﹣2）；（3）存在常數(shù)m，使得OD⊥OE始終成立，理由如下：設B（t，kt），C（s，ks），聯(lián)立方程，整理得x2+4kx﹣4＝0，∴t+s＝﹣4k，t?s＝﹣4，直線AB的解析式為y＝x+1，直線AC的解析式為y＝x+1，∴D（，m），E（，m），過D點作DG⊥x軸交于G點，過點E作EK⊥x軸交于K點，∵∠DOE＝90°，∴∠DOG+∠EOK＝90°，∵∠DOG+∠ODG＝90°，∴∠EOK＝∠ODG，∴△DOG∽△OEK，∴＝，∴m2＝﹣，∴m2＝4（m﹣1）2，解得m＝2或m＝．6．（2022?成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝kx﹣3（k≠0）與拋物線y＝﹣x2相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），點B關(guān)于y軸的對稱點為B'．（1）當k＝2時，求A，B兩點的坐標；（2）連接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面積與△OAB的面積相等，求k的值；（3）試探究直線AB'是否經(jīng)過某一定點．若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．【答案】（1）A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；（2）k的值為或﹣；（3）直線AB'經(jīng)過定點（0，3），理由見解答過程．【解答】解：（1）當k＝2時，直線為y＝2x﹣3，由得：或，∴A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；（2）當k＞0時，如圖：∵△B'AB的面積與△OAB的面積相等，∴OB'∥AB，∴∠OB'B＝∠B'BC，∵B、B'關(guān)于y軸對稱，∴OB＝OB'，∠ODB＝∠ODB'＝90°，∴∠OB'B＝∠OBB'，∴∠OBB'＝∠B'BC，∵∠ODB＝90°＝∠CDB，BD＝BD，∴△BOD≌△BCD（ASA），∴OD＝CD，在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），OC＝3，∴OD＝OC＝，D（0，﹣），在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，解得x＝或x＝﹣，∴B（，﹣），把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：﹣＝k﹣3，解得k＝；當k＜0時，過B'作B'F∥AB交y軸于F，如圖：在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴E（0，﹣3），OE＝3，∵△B'AB的面積與△OAB的面積相等，∴OE＝EF＝3，∵B、B'關(guān)于y軸對稱，∴FB＝FB'，∠FGB＝∠FGB'＝90°，∴∠FB'B＝∠FBB'，∵B'F∥AB，∴∠EBB'＝∠FB'B，∴∠EBB'＝∠FBB'，∵∠BGE＝90°＝∠BGF，BG＝BG，∴△BGF≌△BGE（ASA），∴GE＝GF＝EF＝，∴OG＝OE+GE＝，G（0，﹣），在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，解得x＝或x＝﹣，∴B（，﹣），把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：﹣＝k﹣3，解得k＝﹣，綜上所述，k的值為或﹣；（3）直線AB'經(jīng)過定點（0，3），理由如下：由得：x2+kx﹣3＝0，設x2+kx﹣3＝0二根為a，b，∴a+b＝﹣k，ab＝﹣3，A（a，﹣a2），B（b，﹣b2），∵B、B'關(guān)于y軸對稱，∴B'（﹣b，﹣b2），設直線AB'解析式為y＝mx+n，將A（a，﹣a2），B'（﹣b，﹣b2）代入得：，解得：，∵a+b＝﹣k，ab＝﹣3，∴m＝﹣（a﹣b）＝b﹣a＝＝，n＝﹣ab＝﹣（﹣3）＝3，∴直線AB'解析式為y＝?x+3，令x＝0得y＝3，∴直線AB'經(jīng)過定點（0，3）．7．（2021?成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝a（x﹣h）2+k與x軸相交于O，A兩點，頂點P的坐標為（2，﹣1）．點B為拋物線上一動點，連接AP，AB，過點B的直線與拋物線交于另一點C．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點B的橫坐標與縱坐標相等，∠ABC＝∠OAP，且點C位于x軸上方，求點C的坐標；（3）若點B的橫坐標為t，∠ABC＝90°，請用含t的代數(shù)式表示點C的橫坐標，并求出當t＜0時，點C的橫坐標的取值范圍．【答案】（1）y＝x2﹣x；（2）（6，3）或（﹣1，）；（3）C的橫坐標為﹣t﹣+4；當t＜0時，點C的橫坐標的取值范圍是xC≥12．【解答】解：（1）∵拋物線y＝a（x﹣h）2+k，頂點P的坐標為（2，﹣1），∴h＝2，k＝﹣1，即拋物線y＝a（x﹣h）2+k為y＝a（x﹣2）2﹣1，∵拋物線y＝a（x﹣h）2+k經(jīng)過O，即y＝a（x﹣2）2﹣1的圖象過（0，0），∴0＝a（0﹣2）2﹣1，解得a＝，∴拋物線的函數(shù)表達為y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣x；（2）在y＝x2﹣x中，令y＝x得x＝x2﹣x，解得x＝0或x＝8，∴B（0，0）或B（8，8），①當B（0，0）時，過B作BC∥AP交拋物線于C，此時∠ABC＝∠OAP，如圖：在y＝x2﹣x中，令y＝0，得x2﹣x＝0，解得x＝0或x＝4，∴A（4，0），設直線AP解析式為y＝kx+b，將A（4，0）、P（2，﹣1）代入得：，解得，∴直線AP解析式為y＝x﹣2，∵BC∥AP，∴設直線BC解析式為y＝x+b'，將B（0，0）代入得b'＝0，∴直線BC解析式為y＝x，由得（此時為點O，舍去）或，∴C（6，3）；②當B（8，8）時，過P作PQ⊥x軸于Q，過B作BH⊥x軸于H，作H關(guān)于AB的對稱點M，作直線BM交拋物線于C，連接AM，如圖：∵P（2，﹣1），A（4，0），∴PQ＝1，AQ＝2，Rt△APQ中，tan∠OAP＝＝，∵B（8，8），A（4，0），∴AH＝4，BH＝8，Rt△ABH中，tan∠ABH＝＝，∴∠OAP＝∠ABH，∵H關(guān)于AB的對稱點M，∴∠ABH＝∠ABM，∴∠ABM＝∠OAP，即C是滿足條件的點，設M（x，y），∵H關(guān)于AB的對稱點M，∴AM＝AH＝4，BM＝BH＝8，∴，兩式相減變形可得x＝8﹣2y，代入即可解得（此時為H，舍去）或，∴M（，），設直線BM解析式為y＝cx+d，將M（，），B（8，8）代入得；，解得，∴直線BM解析式為y＝x+2，解得或（此時為B，舍去），∴C（﹣1，），綜上所述，C坐標為（6，3）或（﹣1，）；（3）設BC交y軸于M，過B作BH⊥x軸于H，過M作MN⊥BH于N，如圖：∵點B的橫坐標為t，∴B（t，t2﹣t），又A（4，0），∴AH＝|t﹣4|，BH＝|t2﹣t|，OH＝|t|＝MN，∵∠ABC＝90°，∴∠MBN＝90°﹣∠ABH＝∠BAH，且∠N＝∠AHB＝90°，∴△ABH∽△BMN，∴＝，即＝∴BN＝＝4，∴NH＝t2﹣t+4，∴M（0，t2﹣t+4），設直線BM解析式為y＝ex+t2﹣t+4，將B（t，t2﹣t）代入得t2﹣t＝et+t2﹣t+4，∴e＝﹣，∴直線BC解析式為y＝﹣x+t2﹣t+4，由得，解得x1＝t（B的橫坐標），x2＝﹣＝﹣t﹣+4，∴點C的橫坐標為﹣t﹣+4；當t＜0時，xC＝﹣t﹣+4＝（）2+（）2+4＝（﹣）2+12，∴＝時，xC最小值是12，此時t＝﹣4，∴當t＜0時，點C的橫坐標的取值范圍是xC≥12．四．三角形綜合題（共1小題）8．（2023?成都）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點，且＝（n為正整數(shù)），E是AC邊上的動點，過點D作DE的垂線交直線BC于點F．【初步感知】（1）如圖1，當n＝1時，興趣小組探究得出結(jié)論：AE+BF＝AB，請寫出證明過程．【深入探究】（2）①如圖2，當n＝2，且點F在線段BC上時，試探究線段AE，BF，AB之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE，BF，AB之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）．【拓展運用】（3）如圖3，連接EF，設EF的中點為M，若AB＝2，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）見解析過程；（2）①＝，見解析過程；②當點F在射線BC上時，，當點F在CB延長線上時，；（3）點M運動的路徑長為．【解答】（1）證明：連接CD，∵∠C＝90°，AC＝BC，AD＝DB，∴AB＝AC，∠A＝∠B＝∠ACD＝45°，AD＝CD＝BD，CD⊥AB，∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠CDB＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴CE＝BF，∴AE+BF＝AE+CE＝AC＝AB；（2）①AE+BF＝AB，理由如下：過點D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴＝，設AN＝DN＝x，BH＝DH＝2x，∴AD＝x，BD＝2x，∴AB＝3x，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴＝，∴FH＝2NE，∴AE+BF＝x+NE+（2x﹣FH）＝2x＝AB；②如圖4，當點F在射線BC上時，過點D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴＝，設AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝（n+1）x，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴＝，∴FH＝nNE，∴AE+BF＝x﹣NE+（nx+FH）＝2x＝AB；當點F在CB的延長線上時，如圖5，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴＝，設AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝（n+1）x，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴＝，∴FH＝nNE，∴AE﹣BF＝x+NE﹣（FH﹣nx）＝2x＝AB；綜上所述：當點F在射線BC上時，，當點F在CB延長線上時，；（3）如圖，連接CD，CM，DM，∵EF的中點為M，∠ACB＝∠EDF＝90°，∴CM＝DM＝EF，∴點M在線段CD的垂直平分線上運動，如圖，當點E'與點A重合時，點F'在BC的延長線上，當點E'與點C重合時，點F″在CB的延長線上，過點M'作M'R⊥F'C于R，∴M'R∥AC，∴＝，∴M'R＝1，F(xiàn)'R＝CR，設AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝（n+1）x＝2，∴x＝，∵F'D＝BD＝nx，∴F'B＝2nx，∴CF'＝2nx﹣2，∴CR＝nx﹣1＝﹣1＝，由（2）可得：CD＝＝x?，DF″＝nDE″＝nx?，∴CF″＝（1+n2）x，∴CM″＝＝＝，∴RM″＝n，∴M″M'＝，∴點M運動的路徑長為．五．圓的綜合題（共2小題）9．（2022?成都）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑作⊙O，交AB邊于點D，在上取一點E，使＝，連接DE，作射線CE交AB邊于點F．（1）求證：∠A＝∠ACF；（2）若AC＝8，cos∠ACF＝，求BF及DE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）BF＝5，DE＝．【解答】（1）證明：∵＝，∴∠BCF＝∠FBC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠FBC＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∴∠A＝∠ACF；（2）解：連接CD．∵∠A＝∠ACF，∠FBC＝∠BCF，∴AF＝FC＝FB，∴cos∠A＝cos∠ACF＝＝，∵AC＝8，∴AB＝10，BC＝6，∵BC是直徑，∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB，∵S△ABC＝?AC?BC＝?AB?CD，∴CD＝＝，∴BD＝＝＝，∵BF＝AF＝5，∴DF＝BF﹣BD＝5﹣＝，∵∠DEF+∠DEC＝180°，∠DEC+∠B＝180°，∴∠DEF＝∠B＝∠BCF，∴DE∥CB，∴△DEF∽△BCF，∴＝，∴＝，∴DE＝．10．（2021?成都）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，連接AC，BC，D為AB延長線上一點，連接CD，且∠BCD＝∠A．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為，△ABC的面積為2，求CD的長；（3）在（2）的條件下，E為⊙O上一點，連接CE交線段OA于點F，若＝，求BF的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：連接OC，如圖：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠BCO，又∠BCD＝∠A，∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）過C作CM⊥AB于M，過B作BN⊥CD于N，如圖：∵⊙O的半徑為，∴AB＝2，∵△ABC的面積為2，∴AB?CM＝2，即×2?CM＝2，∴CM＝2，Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA，Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA，∴∠BCM＝∠A，∴tan∠BCM＝tanA，即＝，∴＝，解得BM＝﹣1，（BM＝+1已舍去），∵∠BCD＝∠A，∠BCM＝∠A，∴∠BCD＝∠BCM，而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC，∴△BCM≌△BCN（AAS），∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1，∵∠DNB＝∠DMC＝90°，∠D＝∠D，∴△DBN∽△DCM，∴＝＝，即＝＝，解得DN＝2﹣2，∴CD＝DN+CN＝2；方法二：過C作CM⊥AB于M，連接OC，如圖：∵⊙O的半徑為，∴AB＝2，∵△ABC的面積為2，∴AB?CM＝2，即×2?CM＝2，∴CM＝2，Rt△MOC中，OM＝＝1，∵∠DMC＝∠CMO＝90°，∠CDM＝90°﹣∠DCM＝∠OCM，∴△DCM∽△COM，∴＝，即＝，∴CD＝2；（3）過C作CM⊥AB于M，過E作EH⊥AB于H，連接OE，如圖：∵CM⊥AB，EH⊥AB，∴＝＝，∵＝，∴＝＝，由（2）知CM＝2，BM＝﹣1，∴HE＝1，MF＝2HF，Rt△OEH中，OH＝＝＝2，∴AH＝OA﹣OH＝﹣2，設HF＝x，則MF＝2x，由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，∴（﹣1）+2x+x+（﹣2）＝2，解得：x＝1，∴HF＝1，MF＝2，∴BF＝BM+MF＝（﹣1）+2＝+1．六．幾何變換綜合題（共2小題）11．（2022?成都）如圖，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），點E是AD邊上一動點（點E不與A，D重合），連接BE，以BE為邊在直線BE的右側(cè)作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直線CD于點H．【嘗試初探】（1）在點E的運動過程中，△ABE與△DEH始終保持相似關(guān)系，請說明理由．【深入探究】（2）若n＝2，隨著E點位置的變化，H點的位置隨之發(fā)生變化，當H是線段CD中點時，求tan∠ABE的值．【拓展延伸】（3）連接BH，F(xiàn)H，當△BFH是以FH為腰的等腰三角形時，求tan∠ABE的值（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）理由見解答；（2）tan∠ABE的值是；（3）tan∠ABE的值是或．【解答】解：（1）∵四邊形EBFG和四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠BEG＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEH＝90°，∴∠DEH＝∠ABE，∴△ABE∽△DEH，∴在點E的運動過程中，△ABE與△DEH始終保持相似關(guān)系；（2）如圖1，∵H是線段CD中點，∴DH＝CH，設DH＝x，AE＝a，則AB＝2x，AD＝4x，DE＝4x﹣a，由（1）知：△ABE∽△DEH，∴＝，即＝，∴2x2＝4ax﹣a2，∴2x2﹣4ax+a2＝0，∴x＝＝，∵tan∠ABE＝＝，當x＝時，tan∠ABE＝＝，當x＝時，tan∠ABE＝＝；綜上，tan∠ABE的值是．（3）分兩種情況：①如圖2，BH＝FH，設AB＝x，AE＝a，∵四邊形BEGF是矩形，∴∠BEG＝∠G＝90°，BE＝FG，∴Rt△BEH≌Rt△FGH（HL），∴EH＝GH，∵矩形EBFG∽矩形ABCD，∴＝＝n，∴＝n，∴＝，由（1）知：△ABE∽△DEH，∴＝＝，∴＝，∴nx＝2a，∴＝，∴tan∠ABE＝＝＝；②如圖3，BF＝FH，∵矩形EBFG∽矩形ABCD，∴∠ABC＝∠EBF＝90°，＝，∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE∽△CBF，∴∠BCF＝∠A＝90°，∴D，C，F(xiàn)共線，∵BF＝FH，∴∠FBH＝∠FHB，∵EG∥BF，∴∠FBH＝∠EHB，∴∠EHB＝∠CHB，∵BE⊥EH，BC⊥CH，∴BE＝BC，由①可知：AB＝x，AE＝a，BE＝BC＝nx，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，∴x2+a2＝（nx）2，∴x＝（負值舍），∴tan∠ABE＝＝＝，綜上，tan∠ABE的值是或．12．（2021?成都）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′，其中點A，C的對應點分別為點A′，C′．（1）如圖1，當點A′落在AC的延長線上時，求AA′的長；（2）如圖2，當點C′落在AB的延長線上時，連接CC′，交A′B于點M，求BM的長；（3）如圖3，連接AA′，CC′，直線CC′交AA′于點D，點E為AC的中點，連接DE．在旋轉(zhuǎn)過程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）8；（2）；（3）1．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∵∠ACB＝90°，△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)