專題08三角形綜合篇（原卷版）

專題07三角形的綜合知識回顧知識回顧角平分線的性質(zhì)：①平分角。②角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等。角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊相等的點一定在角平分線上。角平分線的尺規(guī)作圖：具體步驟：①以角的頂點O為圓心，一定長度為半徑畫圓弧，圓弧與角的兩邊分別交于兩點M、N。如圖①。②分別以點M與點N為圓心，大于MN長度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧交于點P。如圖②。③連接OP，OP即為角的平分線。垂直平分線的性質(zhì)：①垂直且平分線段。②垂直平分線上任意一點到這條線段兩個端點的距離相等。垂直平分線的判定：到線段兩端點距離相等的點一定在線段的垂直平分線上。垂直平分線的吃規(guī)作圖：具體步驟：①以線段兩個端點為圓心，大于線段長度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧在線段的兩側(cè)別分交于M、N。如圖①②連接MN，過MN的直線即為線段的垂直平分線。如圖②中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等。②等腰三角形的兩底角相等。（簡稱“等邊對等角”）③等腰三角形底邊的中線、高線以及頂角平分線相互重合。（簡稱底邊上三線合一）等腰三角形的判定：①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。②有兩個底角相等的三角形是等腰三角形。（等角對等邊）③若一個三角形某一邊上存在“三線合一”，則三角形是等腰三角形。等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形的三條邊都相等，三個角也相等，且三個角都等于60°。②等邊三角形三條邊都存在“三線合一”③等腰三角形是一個軸對稱圖形，有三條對稱軸。④等腰三角形的面積等于（為等腰三角形的邊長）。等腰三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形。②三個角都相等（兩個角是60°）的三角形是等腰三角形。③底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形。④有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。直角三角形的性質(zhì)：①直角三角形的兩銳角互余。②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。③含30°的直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。④直角三角形的兩直角邊的成績等于斜邊乘以斜邊上的高線。⑤直角三角形的勾股定理。勾股定理的內(nèi)容：在直角三角形中，兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方。若直角三角形的兩直角邊是，斜邊是，則。勾股定理的逆定理：若三角形的三條邊分別是，且滿足，則三角形是直角三角形，且∠C是直角。特殊三角形三邊的比：①含30°的直角三角形三邊的比例為（從小打大）：。②45°的等腰直角三角形三邊的比例為（從小到大）：。兩點間的距離公式：若點與點，則線段AB的長度為：。專題練習專題練習1．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點M為邊AB的中點，點E在線段AM上，EF⊥AC于點F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求證：CE＝CM．（2）若AB＝4，求線段FC的長．2．如圖1，將長為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個正方形．（1）用關(guān)于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長．（2）當a＝3時，該小正方形的面積是多少？3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，點D在AC上，CD＝3，連接DB，AD＝DB，點P是邊AC上一動點（點P不與點A，D，C重合），過點P作AC的垂線，與AB相交于點Q，連接DQ，設AP＝x，△PDQ與△ABD重疊部分的面積為S．（1）求AC的長；（2）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍．4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．（1）如圖1，點E、F分別是線段BD、AD上的點，且DE＝DF，AE與CF的延長線交于點M，則AE與CF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）如圖2，點E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE＝DF，EA的延長線交CF于點M．①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；③若DM＝6，ED＝12，求EM的長．5．【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形、例如：如圖①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分別是BC和B'C'邊上的高線，且AD＝A'D'、則△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性質(zhì)探究】如圖①，用S△ABC，S△A'B'C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積，則S△ABC＝BC?AD，S△A'B'C′＝B′C′?A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性質(zhì)應用】（1）如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝；（2）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，則S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，則S△CDE＝．6．在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點．若△OAB≌△OCD，則點O叫做該四邊形的“等形點”．（1）正方形“等形點”（填“存在”或“不存在”）；（2）如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點O是四邊形ABCD的“等形點”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，連接AC，求AC的長；（3）在四邊形EFGH中，EH∥FG．若邊FG上的點O是四邊形EFGH的“等形點”，求的值．7．兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊．求證：BD＝CE；（2）解決問題：如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．8．在△ABC中，AC＝BC，點D在線段AB上，連接CD并延長至點E，使DE＝CD，過點E作EF⊥AB，交直線AB于點F．（1）如圖1，若∠ACB＝120°，請用等式表示AC與EF的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2．若∠ACB＝90°，完成以下問題：①當點D，點F位于點A的異側(cè)時，請用等式表示AC，AD，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當點D，點F位于點A的同側(cè)時，若DF＝1，AD＝3，請直接寫出AC的長．9．已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．（1）如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；（2）如圖2，將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度數(shù)．10．問題提出（1）如圖1，AD是等邊△ABC的中線，點P在AD的延長線上，且AP＝AC，則∠APC的度數(shù)為．問題探究（2）如圖2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．過點A作AP∥BC，且AP＝BC，過點P作直線l⊥BC，分別交AB、BC于點O、E，求四邊形OECA的面積．問題解決（3）如圖3，現(xiàn)有一塊△ABC型板材，∠ACB為鈍角，∠BAC＝45°．工人師傅想用這塊板材裁出一個△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人師傅在這塊板材上的作法如下：①以點C為圓心，以CA長為半徑畫弧，交AB于點D，連接CD；②作CD的垂直平分線l，與CD交于點E；③以點A為圓心，以AC長為半徑畫弧，交直線l于點P，連接AP、BP，得△ABP．請問，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？請證明你的結(jié)論．11．如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于點E．P是邊BC上的動點（不與B，C重合），連結(jié)AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結(jié)DC，記∠BCD＝α．（1）如圖，當P與E重合時，求α的度數(shù)．（2）當P與E不重合時，記∠BAD＝β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系．12．綜合與實踐問題情境：數(shù)學活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1，在△ABC中，D是AB上一點，∠ADC＝∠ACB．求證∠ACD＝∠ABC．獨立思考：（1）請解答王老師提出的問題．實踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答．“如圖2，延長CA至點E，使CE＝BD，BE與CD的延長線相交于點F，點G，H分別在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在圖中找出與BH相等的線段，并證明．”問題解決：（3）數(shù)學活動小組同學對上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當∠BAC＝90°時，若給出△ABC中任意兩邊長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標記的線段長均可求．該小組提出下面的問題，請你解答．“如圖3，在（2）的條件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的長．”13．如圖1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．點D從A點出發(fā)，沿線段AB向終點B運動．過點D作AB的垂線，與△ABC的直角邊AC（或BC）相交于點E．設線段AD的長為a（cm），線段DE的長為h（cm）．（1）為了探究變量a與h之間的關(guān)系，對點D在運動過程中不同時刻AD，DE的長度進行測量，得出以下幾組數(shù)據(jù)：變量a（cm）00.511.522.533.54變量h（cm）00.511.521.510.50在平面直角坐標系中，以變量a的值為橫坐標，變量h的值為縱坐標，描點如圖2﹣1；以變量h的值為橫坐標，變量a的值為縱坐標，描點如圖2﹣2．根據(jù)探究的結(jié)果，解答下列問題：①當a＝1.5時，h＝；當h＝1時，a＝．②將圖2﹣1，圖2﹣2中描出的點順次連接起來．③下列說法正確的是．（填“A”或“B”）A．變量h是以a為自變量的函數(shù)B．變量a是以h為自變量的函數(shù)（2）如圖3，記線段DE與△ABC的一直角邊、斜邊圍成的三角形（即陰影部分）的面積（cm2）為s．①分別求出當0≤a≤2和2＜a≤4時，s關(guān)于a的函數(shù)表達式；②當s＝時，求a的值．14．已知CD是△ABC的角平分線，點E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，AD＝m，BD＝n，△ADE與△BDF的面積之和為S．（1）填空：當∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC時，①如圖1，若∠B＝45°，m＝5，則n＝，S＝；②如圖2，若∠B＝60°，m＝4，則n＝，S＝；（2）如圖3，當∠ACB＝∠EDF＝90°時，探究S與m，n的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖4，當∠ACB＝60°，∠EDF＝120°，m＝6，n＝4時，請直接寫出S的大?。?5．回顧：用數(shù)學的思維思考（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．②點D，E分別是邊AC，AB的中點，連接BD，CE．求證：BD＝CE．（從①②兩題中選擇一題加以證明）猜想：用數(shù)學的眼光觀察經(jīng)過做題反思，小明同學認為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動點（不與點A，C重合）．對于點D在邊AC上的任意位置，在