專題02翻折、直尺、三角板中的平行問題(原卷版+解析)

七年級數(shù)學(xué)下冊解法技巧思維培優(yōu)專題02翻折、直尺、三角板中的平行問題典例題型一翻折與平行線1．（2020?西湖區(qū)校級月考）一次教學(xué)活動中，檢驗兩條紙帶①、②的邊線是否平行（如圖），小明和小華采用兩種不同的方法：小明對紙帶①沿AB折疊，量得∠1＝∠2＝50°；小華對紙帶②沿GH折疊，發(fā)現(xiàn)GD與GC重合，HF與HE重合．則紙帶①的邊線__________；紙帶②的邊線________．（橫線上填“平行”或“不平行”）2．（2020?鄂州期中）把一張對邊互相平行的紙條折成如圖那樣，EF是折痕，若∠EFB＝32°，則∠D′FD的度數(shù)為__________．3．（2020?覃塘區(qū)期末）如圖，把長方形ABCD沿EF按圖那樣折疊后，點A，B分別落在G，H點處，若∠1＝50°，則∠AEF的度數(shù)是____________．典例題型二直尺、三角板與平行線4．（2020?莒南期末）如圖，有一塊含有30°角的直角三角板的兩個頂點放在直尺的對邊上．如果∠2＝44°，那么∠1的度數(shù)是__________．5．（2020?孟津期末）如圖，將三角板與直尺貼在一起，使三角板的直角頂點C（∠ACB＝90°）在直尺的一邊上，若∠2＝65°，則∠1的度數(shù)是（）A．15° B．25° C．35° D．65°6．（2020?牡丹區(qū)期中）如圖，將一塊含有30°角的直角三角板的兩個頂點放在矩形直尺的一組對邊上，如果∠2＝50°，那么∠1的度數(shù)為__________．典例題型三三角板與平行線7．（2020?長春模擬）將一副三角尺按如圖的方式擺放，則∠α的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．75° D．105°8．（2020?豐城市期末）將一副三角板按如圖放置，小明得到下列結(jié)論：①如果∠2＝30°，則有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，則有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，則∠4＝∠C；那么其中正確的結(jié)論有__________．9．（2020?岱岳區(qū)期末）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放（兩條直角邊在同條直線上，且兩銳角頂點重合），連接另外兩條銳角頂點，并測得∠1＝47°，則∠2的度數(shù)為__________．鞏固練習(xí)1．（2020?長春模擬）如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，則有BC∥AE；③如果∠1＝∠2＝∠3，則有BC∥AE；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正確的有（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④2．（2020?煙臺）小明將一張正方形紙片按如圖所示順序折疊成紙飛機，當(dāng)機翼展開在同一平面時（機翼間無縫隙），∠AOB的度數(shù)是________．3．（2020?蘇州期末）將一張長方形紙條折成如圖所示的圖形，如果∠1＝64°，那么∠2＝__________．4．（2020?遂寧期末）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，若∠EFG＝52°，則∠AEG的度數(shù)是__________．5．（2020?東至期末）如圖，將一張長方形紙條折疊，若∠1＝52°，則∠2＝__________．6．（2020?河西區(qū)期中）如圖，一副直角三角板技如圖所示的方式擺放，其中點C在FD的延長線上，且AB∥FC，則∠CBD的度數(shù)為__________．7．（2020?沙坪壩區(qū)校級期末）將一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點為G、D、C分別在M、N的位置上，若∠EFG＝52°，則∠2﹣∠1＝____________°．8．（2020?諸城市期末）如圖（1）是長方形紙帶，∠DEF＝20°，將紙帶沿EF折疊圖（2）形狀，則∠FGD等于__________度．9．（2020?南昌期末）將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，若∠1＝30°，∠2＝56°，則∠3的度數(shù)是____________．10．（2020?泉州期末）如圖，將一張長方形紙條沿某條直線折疊，若∠1＝116°，則∠2等于__________．七年級數(shù)學(xué)下冊解法技巧思維培優(yōu)專題02翻折、直尺、三角板中的平行問題典例題型一翻折與平行線1．（2020?西湖區(qū)校級月考）一次教學(xué)活動中，檢驗兩條紙帶①、②的邊線是否平行（如圖），小明和小華采用兩種不同的方法：小明對紙帶①沿AB折疊，量得∠1＝∠2＝50°；小華對紙帶②沿GH折疊，發(fā)現(xiàn)GD與GC重合，HF與HE重合．則紙帶①的邊線不平行；紙帶②的邊線平行．（橫線上填“平行”或“不平行”）【點睛】直接利用翻折變換的性質(zhì)結(jié)合平行線的判定方法得出答案．【解析】解：如圖①所示：∵∠1＝∠2＝50°，∴∠3＝∠2＝50°，∴∠4＝∠5＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠2≠∠4，∴紙帶①的邊線不平行；如圖②所示：∵GD與GC重合，HF與HE重合，∴∠CGH＝∠DGH＝90°，∠EHG＝∠FHG＝90°，∴∠CGH+∠EHG＝180°，∴紙帶②的邊線平行．故答案為：不平行，平行．2．（2020?鄂州期中）把一張對邊互相平行的紙條折成如圖那樣，EF是折痕，若∠EFB＝32°，則∠D′FD的度數(shù)為64°．【點睛】直接利用平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)得出∠C′EG＝64°，進而得出答案．【解析】解：∵EF是折痕，∠EFB＝32°，AC′∥BD′，∴∠C′EF＝∠GEG＝32°，∴∠C′EG＝64°，∵CE∥FD，∴∠D′FD＝∠EGB＝64°．故答案為：64°．3．（2020?覃塘區(qū)期末）如圖，把長方形ABCD沿EF按圖那樣折疊后，點A，B分別落在G，H點處，若∠1＝50°，則∠AEF的度數(shù)是115°．【點睛】依據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠AEF+∠BFE＝180°；借助翻折變換的性質(zhì)求出∠BFE，即可解決問題．【解析】解：∵四邊形ABCD為長方形，∴AE∥BF，∠AEF+∠BFE＝180°；由折疊變換的性質(zhì)得：∠BFE＝∠HFE，而∠1＝50°，∴∠BFE=1∴∠AEF＝180°﹣65°＝115°．故答案為：115°．典例題型二直尺、三角板與平行線4．（2020?莒南期末）如圖，有一塊含有30°角的直角三角板的兩個頂點放在直尺的對邊上．如果∠2＝44°，那么∠1的度數(shù)是16°．【點睛】依據(jù)∠ABC＝60°，∠2＝44°，即可得到∠EBC＝16°，再根據(jù)BE∥CD，即可得出∠1＝∠EBC＝16°．【解析】解：如圖，∵∠ABC＝60°，∠2＝44°，∴∠EBC＝16°，∵BE∥CD，∴∠1＝∠EBC＝16°，故答案為：16°．5．（2020?孟津期末）如圖，將三角板與直尺貼在一起，使三角板的直角頂點C（∠ACB＝90°）在直尺的一邊上，若∠2＝65°，則∠1的度數(shù)是（）A．15° B．25° C．35° D．65°【點睛】根據(jù)直尺的兩邊是平行的，從而可以得到CD∥EF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠2和∠DCE的關(guān)系，再根據(jù)∠ACB＝∠1+∠DCE，從而可以求得∠1的度數(shù)，本題得以解決．【解析】解：如右圖所示，∵CD∥EF，∠2＝65°，∴∠2＝∠DCE＝65°，∵∠DCE+∠1＝∠ACB＝90°，∴∠1＝25°，故選：B．6．（2020?牡丹區(qū)期中）如圖，將一塊含有30°角的直角三角板的兩個頂點放在矩形直尺的一組對邊上，如果∠2＝50°，那么∠1的度數(shù)為20°．【點睛】利用平行線的性質(zhì)三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．【解析】解：如圖，∵m∥n，∴∠3＝∠2＝50°，∵∠3＝∠1+30°，∴∠1＝50°﹣30°＝20°．典例題型三三角板與平行線7．（2020?長春模擬）將一副三角尺按如圖的方式擺放，則∠α的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．75° D．105°【點睛】根據(jù)平行線的性質(zhì)和根據(jù)三角形的內(nèi)角和計算即可．【解析】解：如圖：∵∠DEC＝∠ABE＝90°，∴AB∥DE，∴∠AGD＝∠D＝30°，∴∠α＝∠AHG＝180°﹣∠A﹣∠AGD＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故選：D．8．（2020?豐城市期末）將一副三角板按如圖放置，小明得到下列結(jié)論：①如果∠2＝30°，則有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，則有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，則∠4＝∠C；那么其中正確的結(jié)論有①②④．【點睛】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定和三角形內(nèi)角和定理逐個判斷即可．【解析】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，∴∠1＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正確；∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正確；∵BC∥AD，∠B＝45°，∴∠3＝∠B＝45°，∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，∴∠2＝45°，故③錯誤；∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAE＝30°，∵∠E＝60°，∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，∴∠4+∠B＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∵∠C＝45°，∴∠4＝∠C，故④正確；故答案為：①②④．9．（2020?岱岳區(qū)期末）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放（兩條直角邊在同條直線上，且兩銳角頂點重合），連接另外兩條銳角頂點，并測得∠1＝47°，則∠2的度數(shù)為58°．【點睛】由三角尺角的特殊性，利用平角定義及三角形內(nèi)角和定理即可求出．【解析】解：如圖所示，∠3＝180°﹣60°﹣45°＝75°，則∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣47°﹣75°＝58°．故答案為：58°鞏固練習(xí)1．（2020?長春模擬）如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，則有BC∥AE；③如果∠1＝∠2＝∠3，則有BC∥AE；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正確的有（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④【點睛】根據(jù)三角板的性質(zhì)以及平行線的判定一一判斷即可．【解析】解：∵∠EAD＝∠CAB＝90°，∴∠1＝∠3，故①正確，當(dāng)∠2＝30°時，∠3＝60°，∠4＝45°，∴∠3≠∠4，故AE與BC不平行，故②錯誤，當(dāng)∠1＝∠2＝∠3時，可得∠3＝∠4＝45°，∴BC∥AE，故③正確，∵∠E＝60°，∠4＝45°，∴∠E≠∠4，故④錯誤，故選：B．2．（2020?煙臺）小明將一張正方形紙片按如圖所示順序折疊成紙飛機，當(dāng)機翼展開在同一平面時（機翼間無縫隙），∠AOB的度數(shù)是45°．【點睛】根據(jù)折疊的軸對稱性，180°的角對折3次，求出每次的角度即可；【解析】解：在折疊過程中角一直是軸對稱的折疊，∠AOB＝22.5°×2＝45°；故答案為45°．3．（2020?蘇州期末）將一張長方形紙條折成如圖所示的圖形，如果∠1＝64°，那么∠2＝58°．【點睛】由折疊可得，∠2＝∠CEF，再根據(jù)平角的定義，即可得到∠2的度數(shù)．【解析】解：由折疊可得，∠2＝∠CEF，∵∠1＝64°，∴∠2=1故答案為：58°．4．（2020?遂寧期末）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，若∠EFG＝52°，則∠AEG的度數(shù)是76°．【點睛】由平行線的性質(zhì)可求得∠DEF，由折疊可知∠GEF＝∠DEF，再由鄰補角可求得∠AEG的度數(shù)．【解析】解：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝52°，又由折疊的性質(zhì)可得∠GEF＝∠DEF＝52°，∴∠AEG＝180°﹣∠DEF﹣∠GEF＝180°﹣52°﹣52°＝76°．故答案為：76°．5．（2020?東至期末）如圖，將一張長方形紙條折疊，若∠1＝52°，則∠2＝76°．【點睛】依據(jù)鄰補角的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，即可得到∠2的度數(shù)．【解析】解：如圖，由折疊性質(zhì)可知∠3＝∠1+∠2∴∠1＝∠3﹣∠2＝180°﹣∠1﹣∠2，∠2＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×52°＝76°．故答案為76°．6．（2020?河西區(qū)期中）如圖，一副直角三角板技如圖所示的方式擺放，其中點C在FD的延長線上，且AB∥FC，則∠CBD的度數(shù)為15°．【點睛】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABD的度數(shù)，進而可得出結(jié)論．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDF＝45°，∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°．故答案為：15°．7．（2020?沙坪壩區(qū)校級期末）將一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點為G、D、C分別在M、N的位置上，若∠EFG＝52°，則∠2﹣∠1＝28°．【點睛】由折疊的性質(zhì)可得，∠DEF＝∠GEF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，∠DEF＝∠EFG＝55°，根據(jù)平角的定義即可求得∠1，再由平行線的性質(zhì)求得∠2，從而求解．【解析】解：∵AD∥BC，∠EFG＝52°，∴∠DEF＝∠FEG＝52°，∠1+∠2＝180°，由折疊的性質(zhì)可得∠GEF＝∠DEF＝52°，∴∠1＝180°﹣∠GEF﹣∠DEF＝180°﹣52°﹣52°＝76°，∴∠2＝180°﹣∠1＝104°，∴∠2﹣∠1＝104°﹣76°＝28°．故答案為：28．8．（2020?諸城市期末）如圖（1）是長方形紙帶，∠DEF＝20°，將紙帶沿EF折疊圖（2）形狀，則∠FGD等于40度．【點睛】根據(jù)圖形的翻折變換，依據(jù)平行線性質(zhì)即可求解．【解析】解：根據(jù)折疊可知：∠AEG＝180°﹣20°×2＝140°，∵AE∥BF，∴∠EGB＝180°﹣∠AEG＝40°，∴∠FGD＝40°．故答案為：40．9．（2020?南昌期末）將三角尺的直角頂點放在直尺的