數(shù)字信號(hào)處理 - DFT的性質(zhì)

數(shù)字信號(hào)處理Lecture7:PropertiesofDiscreteFourierTransformationTuesday,October15,20242DFT的性質(zhì)Tuesday,October15,20243已知：線性特性：a、b為任意常數(shù)DFT的性質(zhì)周期性：Tuesday,October15,20244循環(huán)移位特性特性1：時(shí)域中循環(huán)移位引起頻域產(chǎn)生相移Proof：Tuesday,October15,20245循環(huán)移位特性特性2：頻域中循環(huán)移位引起時(shí)域相移Proof：Tuesday,October15,20246循環(huán)移位特性特性2：頻域中循環(huán)移位引起時(shí)域相移Tuesday,October15,20247Parseval定理平均功率功率密度譜P141，Ex3-9頻域計(jì)算方法時(shí)域計(jì)算方法Tuesday,October15,20248復(fù)序列DFT的對(duì)稱性

復(fù)序列可以寫成實(shí)部與虛部的和復(fù)序列也可以寫成周期共軛對(duì)稱與周期共軛反對(duì)稱的和Tuesday,October15,20249

復(fù)序列的共軛分解10證明：復(fù)序列DFT的對(duì)稱性性質(zhì)1：復(fù)序列x(n)共軛的DFT等于序列DFT共軛的循環(huán)折疊11性質(zhì)2：證明：復(fù)序列x(n)的共軛做循環(huán)折疊后的DFT是原序列DFT的共軛復(fù)序列DFT的對(duì)稱性12證明：性質(zhì)3：復(fù)序列x(n)實(shí)部的DFT等于序列DFT的周期共軛對(duì)稱分量復(fù)序列DFT的對(duì)稱性13推論3：實(shí)序列x(n)的DFT即X(k)是周期共軛對(duì)稱序列性質(zhì)3：復(fù)序列x(n)實(shí)部的DFT等于序列DFT的周期共軛對(duì)稱分量復(fù)序列DFT的對(duì)稱性14證明：性質(zhì)4：復(fù)序列x(n)虛部的DFT等于序列DFT的周期共軛反對(duì)稱分量復(fù)序列DFT的對(duì)稱性15推論：純虛數(shù)序列的DFT是一個(gè)周期共軛反對(duì)稱序列性質(zhì)4：復(fù)序列x(n)虛部的DFT等于序列DFT的周期共軛反對(duì)稱分量復(fù)序列DFT的對(duì)稱性16性質(zhì)5：性質(zhì)6：復(fù)序列DFT的對(duì)稱性Tuesday,October15,202417實(shí)序列的DFT對(duì)稱性

Niseven周期共軛對(duì)稱性（循環(huán)折疊=共軛）：注意DTFT的共軛對(duì)稱性（折疊=共軛）：推論3Tuesday,October15,202418例7.1已知連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)，設(shè)定采樣頻率為8000Hz，求采樣序列x(n)，計(jì)算8點(diǎn)DFT并畫出頻譜和DFT的實(shí)部與虛部，計(jì)算分析頻率。Solution：Tuesday,October15,202419例7.1已知連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)，設(shè)定采樣頻率為8000Hz，求采樣序列x(n)，計(jì)算8點(diǎn)DFT并畫出頻譜和DFT的實(shí)部與虛部，計(jì)算分析頻率。Solution：利用DFT的對(duì)稱性，8點(diǎn)DFT只需計(jì)算前4個(gè)點(diǎn)的值Tuesday,October15,202420分析頻率：例7.1已知連續(xù)時(shí)間信號(hào)想x(t)，設(shè)定采樣頻率為8000Hz，求采樣序列x(n)，計(jì)算8點(diǎn)DFT并畫出頻譜和DFT的實(shí)部與虛部，計(jì)算分析頻率。Tuesday,October15,202421DFT的應(yīng)用一計(jì)算長(zhǎng)度為N的兩個(gè)實(shí)序列x(n)和y(n)的DFT，利用實(shí)序列DFT的對(duì)稱性質(zhì)，只需做一次DFT，同時(shí)得到兩個(gè)序列的DFT變換值1.兩個(gè)實(shí)序列構(gòu)造一個(gè)復(fù)序列2.復(fù)序列共軛分解3.實(shí)序列DFT用共軛分解的形式表達(dá)Tuesday,October15,2024225.把上述結(jié)論代入第3步的線性方程組，得到結(jié)論：DFT的應(yīng)用一4.求復(fù)序列的DFTTuesday,October15,202423例7.2已知兩個(gè)序列，計(jì)算各自的DFTSolution：1.兩個(gè)實(shí)序列構(gòu)造一個(gè)復(fù)序列2.求復(fù)序列的DFT3.利用對(duì)稱性質(zhì)求解兩個(gè)序列的DFTTuesday,October15,202424例7.2已知兩個(gè)序列，計(jì)算各自的DFTSolution：Tuesday,October15,202425序列的循環(huán)卷積（CircularConvolution）兩個(gè)長(zhǎng)為N的序列x(n)及h(n)，N點(diǎn)循環(huán)卷積定義為計(jì)算過程：將其中一個(gè)序列如h(i)進(jìn)行循環(huán)折疊；將折疊后的序列循環(huán)移位n；移位后的序列取樣值與另一序列的取樣值對(duì)應(yīng)相乘;將所有乘積求和；NTuesday,October15,202426序列的循環(huán)卷積（CircularConvolution）定理：如果將序列x(n)及h(n)進(jìn)行周期拓，則循環(huán)卷積也可表示為延拓后兩個(gè)周期序列線性卷積取主值：N兩個(gè)長(zhǎng)為N的序列x(n)及h(n)，N點(diǎn)循環(huán)卷積定義為Tuesday,October15,202427循環(huán)卷積的矩陣計(jì)算方法NinTuesday,October15,202428線性卷積的矩陣計(jì)算方法線性卷積：Tuesday,October15,202429例7.3已知兩個(gè)序列，計(jì)算他們的線性卷積和3點(diǎn)循環(huán)卷積Solution:3點(diǎn)循環(huán)卷積線性卷積長(zhǎng)度為5Tuesday,October15,202430卷積定理時(shí)域循環(huán)卷積與頻域DFT乘積構(gòu)成變換對(duì)時(shí)域卷積定理NN這一定理給出了一種求時(shí)域循環(huán)卷積的方法：求的兩個(gè)序列的DFT；兩個(gè)DFT逐項(xiàng)相乘；對(duì)乘積求IDFTTuesday,October15,202431例7.3已知兩個(gè)序列，計(jì)算他們的線性卷積和3點(diǎn)循環(huán)卷積Solution:1.計(jì)算DFT2.計(jì)算頻域乘積3.計(jì)算IDFTTuesday,October15,202432卷積定理時(shí)域循環(huán)卷積與頻域DFT乘積構(gòu)成變換對(duì)時(shí)域卷積定理NN頻域循環(huán)卷積與時(shí)域乘積也構(gòu)成變換對(duì)頻域卷積定理NTuesday,October15,202433DFT的應(yīng)用二：用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積設(shè)x(n)和h(n)分別為長(zhǎng)度為L(zhǎng)和M的有限長(zhǎng)序列，他們的線性卷積長(zhǎng)度為N=L+M-1，現(xiàn)對(duì)x(n)和h(n)分別補(bǔ)零，使得兩個(gè)序列的長(zhǎng)度都變?yōu)镹，補(bǔ)零后的序列如下：此時(shí)，這兩個(gè)序列可以進(jìn)行循環(huán)卷積：34循環(huán)卷積是線性卷積的周期為N的延拓在主值區(qū)間上，xN(n)和hN(n)的循環(huán)卷積與x(n)和h(n)的線性卷積相等，因此可以用循環(huán)卷積來計(jì)算線性卷積！NTuesday,October15,202435操作如下：周期延拓；折疊；移位；在[0,N-1]內(nèi)取出一個(gè)周期；兩個(gè)序列xN(n)和hN(n)補(bǔ)零使得長(zhǎng)度相等，他們的循環(huán)卷積與x(n)和h(n)的線性卷積相等！從圖中可以看出，對(duì)于循環(huán)移位和循環(huán)折疊序列等效于折疊周期序列后者又可以用取代DFT的應(yīng)用二：用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積Tuesday,October15,202436P174

Ex3-15取N=4Solution:第一步：補(bǔ)零補(bǔ)M-1個(gè)零補(bǔ)L-1個(gè)零N點(diǎn)DFTN點(diǎn)IDFTN點(diǎn)DFTDFT的應(yīng)用二：用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積Tuesday,October15,202437第二步：求DFT第三步：逐項(xiàng)相乘Tuesday,October15,202438第四步：求IDFT直接計(jì)算卷積：Tuesday,October15,202439DFT的應(yīng)用三：計(jì)算分段卷積必要性：數(shù)字信號(hào)處理中，需要處理的輸入信號(hào)序列很長(zhǎng)，濾波器的沖擊響應(yīng)長(zhǎng)度有限；采樣與存儲(chǔ)需要大量的時(shí)間和硬件緩存器；輸入數(shù)據(jù)需要實(shí)時(shí)處理；解決方案：把輸入數(shù)據(jù)截?cái)?，依次與濾波器沖擊響應(yīng)求卷積，利用卷積的線性疊加特性在重新組合，得到完整的卷積和*輸入序列濾波器沖擊響應(yīng)=期望的輸出序列Tuesday,October15,202440DFT的應(yīng)用三：計(jì)算分段卷積設(shè)有兩個(gè)序列：對(duì)長(zhǎng)序列進(jìn)行等間隔截?cái)啵豪镁矸e的線性疊加特性：Tuesday,October15,202441DFT的應(yīng)用三：計(jì)算分段卷積設(shè)有兩個(gè)序列：第i段卷積和：自變量n取值范圍是iL~(i+1)L-1自變量n取值范圍是0~M-1n取值范圍是iL~iL+L+M-2第i+1段卷積和：自變量n取值范圍是(i+1)L~(i+2)L-1自變量n取值范圍是0~M-1n取值范圍是iL+L~iL+2L+M-2Tuesday,October15,202442DFT的應(yīng)用三：計(jì)算分段卷積卷積和最后M-1個(gè)點(diǎn)與開始的M-1個(gè)點(diǎn)重合，重疊范圍是：重疊相加法:Tuesday,October15,202443DFT的應(yīng)用三：計(jì)算分段卷積最后M-1個(gè)點(diǎn)的數(shù)值不是卷積和的真實(shí)值。的部分，因此由于被截?cái)?，在第i段卷積和n取值范圍：