數(shù)學(xué)三同步訓(xùn)練：+古典概型的特征和概率計(jì)算公式建立概率模型

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§2古典概型2．1古典概型的特征和概率計(jì)算公式2．2建立概率模型1．?dāng)S一顆骰子，出現(xiàn)3點(diǎn)的概率是(）A。eq\f（1,2)B。3C.eq\f（1,6）D.eq\f(1,3)2．下面是古典概型的是()A．任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件時(shí)B．為求任意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為基本事件時(shí)C．從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率D．拋擲一枚均勻硬幣至首次出現(xiàn)正面為止3．先后拋擲兩枚均勻的硬幣，出現(xiàn)“一枚正面、一枚反面”的概率為（）A。eq\f（1,4）B。eq\f(1，3）C。eq\f（1,2)D．14．利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽查了某校200名學(xué)生,其中戴眼鏡的同學(xué)有123人，若在這個(gè)學(xué)校隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，則他戴眼鏡的概率是________．5．某國(guó)際科研合作項(xiàng)目由兩個(gè)美國(guó)人、一個(gè)法國(guó)人和一個(gè)中國(guó)人共同開發(fā),現(xiàn)從中隨機(jī)選出兩人作為成果發(fā)布人，選出的兩人中有中國(guó)人的概率是多少？答案：1．C發(fā)生的概率：發(fā)生事件數(shù)除以全部事件數(shù)．?dāng)S一顆骰子共有6種等可能結(jié)果，出現(xiàn)3點(diǎn)是其中的一種結(jié)果，其概率為eq\f（1，6)。2．CA項(xiàng)盡管點(diǎn)數(shù)之和只有有限個(gè)取值:2,3，…，12，但它們不是等可能的，例如拋一次兩枚都出現(xiàn)2點(diǎn)，和為4點(diǎn)，也可能是1點(diǎn)，3點(diǎn)或3點(diǎn)，1點(diǎn)，其和都為4點(diǎn)，共3種情況，但點(diǎn)數(shù)和為2的只有一種情況是1點(diǎn)，1點(diǎn)；B項(xiàng)盡管各個(gè)正整數(shù)被取到是等可能的，但正整數(shù)有無(wú)限多個(gè)；C項(xiàng)只有n個(gè)等可能的結(jié)果；D項(xiàng)可能結(jié)果（即拋擲次數(shù)可能取值)是無(wú)限多的．故選C項(xiàng)．3．C拋擲兩枚均勻的硬幣，可能出現(xiàn)“兩正”“兩反”“一正一反”或“一反一正”四種情況，而出現(xiàn)“一枚正面、一枚反面”包括“一正一反”與“一反一正”兩種情況,∴概率為eq\f（2,4）＝eq\f(1,2）。4．61。5%簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是等可能抽樣，所以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相同，即eq\f（123，200）＝61.5％.5．解：兩個(gè)美國(guó)人分別用美1和美2表示，這個(gè)試驗(yàn)的基本事件共有六個(gè)：（美1，美2)，（美1，法），(美1，中)，（美2，法），(美2,中)，（法，中),記事件A＝“選出的兩人中有中國(guó)人"，則P（A)＝eq\f(3,6）＝eq\f(1，2).1．某小組共9人,分得一張演出的入場(chǎng)券，組長(zhǎng)將一張寫有“得票”字樣和寫有“不得票”字樣的紙簽混合后讓大家依次各抽取一張，以決定誰(shuí)得入場(chǎng)券，則(）A．第一個(gè)抽簽者得票的概率最大B．第五個(gè)抽簽者得票的概率最大C．每個(gè)抽簽者得票的概率相同D．最后抽簽者得票的概率最小2．?dāng)S兩顆骰子,事件“點(diǎn)數(shù)之和為6"的概率為（)A.eq\f(1，11）B。eq\f(1,9)C.eq\f(5，36)D.eq\f(1,6)3．(2009福建高考，理8)已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5，6，7,8，9,0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為()A．0.35B．0。25C．0。20D．0.154．從1，2,3,4，5五個(gè)數(shù)字中，任意有放回地連續(xù)抽取三個(gè)數(shù)字,則三個(gè)數(shù)字完全相同的概率為…（）A。eq\f（1,250）B.eq\f(1,100）C.eq\f（1,125)D。eq\f（1,25)5．有一個(gè)四位數(shù)字的密碼鎖，每位上的數(shù)字都在0到9這10個(gè)數(shù)字中任選，某人忘記了密碼的最后一個(gè)號(hào)碼，那么此人開鎖時(shí),在對(duì)好前3位號(hào)碼后，隨意撥動(dòng)最后一個(gè)號(hào)碼恰好能開鎖的概率為______．6．已知集合M＝｛－2,3｝,N＝{－4,5，6}，從兩集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),該點(diǎn)為第二象限點(diǎn)的概率為多少？7．某校奧運(yùn)會(huì)志愿者小組有男生三名,分別記為a1、a2、a3,女生兩名,分別記為b1、b2，現(xiàn)從中任選2名志愿者去參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽．(1)寫出這種選法的基本事件總數(shù);(2)求參加競(jìng)賽的志愿者中恰有一名男生的概率;(3）求參賽志愿者中至少有一名男生的概率．答案:1．C根據(jù)古典概型的基本特征可知“每個(gè)抽簽者得票的概率相同”，此即抽簽具有公平性原則．因?yàn)槌楹灧ㄊ呛?jiǎn)單隨機(jī)抽樣，所以是等概率抽樣，故選C項(xiàng)．2．C擲兩顆骰子，每顆骰子可能的結(jié)果有6種，所以共有36個(gè)基本事件：事件“點(diǎn)數(shù)之和為6"包含的基本事件有（1，5），(2，4)，（3，3)，（4，2），（5,1）共5個(gè)，因此其概率為eq\f(5,36).3．B20組數(shù)中表示恰有兩次命中的共有5組（191，271，812,393，932），因此所求概率為eq\f(5,20）＝0.25。4．D從這5個(gè)數(shù)字中任意有放回地連續(xù)抽取三個(gè)數(shù)字有53種抽法，三個(gè)數(shù)字完全相同的抽法有5種，所以要求的概率為eq\f(1，25）.5。eq\f（1，10)最后一位號(hào)碼可以是0到9中的任何一個(gè)數(shù)字，共有10種等可能的結(jié)果,而正確開鎖的號(hào)碼只有1個(gè)，∴P＝eq\f（1，10）。6．解:由題知:從M、N中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),基本事件共有12個(gè)：(－2,－4）,(－2，5),（－2，6)，(3，－4）,（3,5），(3，6)，(－4，－2），(－4,3），(5,－2），（5,3）,(6，－2)，(6，3）．設(shè)點(diǎn)為第二象限內(nèi)的點(diǎn)為A，則A包含3個(gè)基本事件：(－2,5），(－2,6),（－4,3），∴P（A)＝eq\f(3，12）＝eq\f(1，4).7．解：(1）從3名男生和2名女生中任選2名去參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件總數(shù)為（a1，a2)，(a1，a3），(a2，a3),（a1，b1)，(a1，b2），(a2，b1)，（a2,b2),(a3，b1)，(a3，b2），(b1，b2)共10個(gè)．(2）用A表示“恰有一名參賽志愿者是男生”這一事件,則A中含有6個(gè)基本事件：（a1，b1），（a1，b2），(a2，b1)，（a2，b2)，（a3,b1），(a3，b2）．故P(A)＝eq\f(6，10)＝0.6。(3)用B表示“至少有一名參賽志愿者是男生”這一事件，則B中含有9個(gè)基本事件：（a1，a2),（a1,a3),(a1，b1），（a1，b2)，(a2，a3)，(a2,b1),（a2，b2），(a3，b1），（a3，b2）．∴P（B）＝eq\f（9,10）＝0。9。1．在分別寫有1、2、…、9的9張卡片上任意抽取一張，則抽得卡片上的數(shù)字能被3整除的概率是(）A。eq\f（1，9)B。eq\f(1,6）C。eq\f（2,3)D。eq\f（1,3)答案：D從9張卡片中任取一張有9種不同的取法，其中3的倍數(shù)有3、6、9三個(gè)數(shù)，所以抽得卡片被3整除的概率為eq\f（1,3).2．從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為()A。eq\f（1，2）B。eq\f（1，3)C.eq\f（2,3）D．1答案:C這里所有的基本事件為：甲、乙;甲、丙；乙、丙,即基本事件共有三個(gè)．甲被選中的事件有兩個(gè)，按等可能性事件的概率，有P(甲）＝eq\f（2，3）。故選C.3．某班準(zhǔn)備到郊外野營(yíng)，為此向商店定了帳篷，如果下雨與不下雨是等可能的，能否準(zhǔn)時(shí)收到帳篷也是等可能的,只要帳篷如期運(yùn)到，他們就不會(huì)淋雨，則下列說(shuō)法正確的是()A．一定不會(huì)淋雨B．淋雨機(jī)會(huì)為eq\f(3,4)C．淋雨機(jī)會(huì)為eq\f(1,2)D．淋雨機(jī)會(huì)為eq\f(1，4)答案：D由題意知，基本事件總數(shù)有4個(gè)：不下雨且未準(zhǔn)時(shí)收到帳篷，不下雨準(zhǔn)時(shí)收到帳篷，下雨準(zhǔn)時(shí)收到帳篷，下雨未準(zhǔn)時(shí)收到帳篷，而只有下雨未準(zhǔn)時(shí)收到帳篷時(shí)才會(huì)淋雨,故淋雨的機(jī)會(huì)為eq\f(1，4).4．4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3,4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為(）A.eq\f（1，3）B。eq\f(1，2）C.eq\f（2，3)D。eq\f(3，4）答案：C4張卡片隨機(jī)取2張，有6種可能結(jié)果：1和2,1和3，1和4,2和3,2和4,3和4.而2張卡片上數(shù)字之和為奇數(shù)有1和2，1和4，2和3,3和4.∴所求概率為eq\f(4，6）＝eq\f(2,3)。5．有100張卡片(從1號(hào)到100號(hào)),從中任取1張，取得卡號(hào)是7的倍數(shù)的概率為（）A.eq\f（7,50)B.eq\f（7，100)C。eq\f（7,48）D。eq\f(15，100)答案：A有100張卡片(從1號(hào)到100號(hào))，從中任取1張,有100種取法，而卡號(hào)是7的倍數(shù)的有14張，所以概率為eq\f(7,50）.6．（易錯(cuò)題）下列隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型屬于古典概型的是(）A．在適宜條件下,種一粒種子,它可能發(fā)芽，也可能不發(fā)芽B．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一個(gè)點(diǎn)C．某射手射擊一次，可能命中0環(huán),1環(huán)，2環(huán),…，10環(huán)D．四位同學(xué)用抽簽的方法選一人去參加一個(gè)座談會(huì)答案:D在適宜條件下,一粒種子發(fā)芽與不發(fā)芽不等可能．∴A不是古典概型；直角坐標(biāo)系中的整點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)．∴B不是古典概型；某射手擊中0環(huán)，1環(huán)，…，10環(huán)的可能性不相同,水平高者可能命中的環(huán)數(shù)高些．∴C也不是古典概型．故選D.點(diǎn)評(píng)：古典概型是最簡(jiǎn)單而又基本的概率模型，判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型關(guān)鍵在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征——有限性與等可能性．本題出錯(cuò)的原因是弄不清試驗(yàn)的所有結(jié)果是否等可能地發(fā)生(如A、C選項(xiàng)不等可能)．古典概型試驗(yàn)強(qiáng)調(diào)所有結(jié)果出現(xiàn)的概率都相等，且結(jié)果為有限個(gè)．7．(2009江蘇高考，5)現(xiàn)有5根竹竿，它們的長(zhǎng)度（單位：m)分別為2。5，2.6，2.7，2。8,2。9，若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長(zhǎng)度恰好相差0。3m的概率為__________．答案：eq\f（1,5）5根竹竿中取2根的基本事件有10個(gè)：2。5，2.6；2.5，2.7;2.5,2.8；2。5,2。9；2。6，2.7；2.6，2.8;2。6,2。9；2.7,2。8；2.7,2.9;2。8，2。9。其中長(zhǎng)度相差0。3m的基本事件有2個(gè)：2。5，2。8；2.6，2.9.∴概率P＝eq\f(2,10）＝eq\f（1，5).8．若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m，n作為點(diǎn)Q的坐標(biāo)，則點(diǎn)Q在圓x2＋y2＝16內(nèi)的概率為________．答案:.eq\f（2，9)基本事件總數(shù)為6×6＝36，記事件“點(diǎn)Q在圓x2＋y2＝16內(nèi)”為事件A，則事件A所包含的基本事件有(1,1)，(2,2)，(1，3)，（1,2），(2，3），(3,1)，(3，2），(2，1)共8個(gè)，∴P（A）＝eq\f(8,36)＝eq\f(2，9）。9．同時(shí)拋擲2個(gè)均勻的正方體玩具（各個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)1，2,3,4,5,6)，則：(1)求朝上的一面的數(shù)相同的概率；(2）求朝上的一面的數(shù)之積為奇數(shù)的概率．解：由題意知:基本事件總數(shù)為6×6＝36種不同的結(jié)果，每一種結(jié)果都是等可能地出現(xiàn)．（1）其中朝上的一面的數(shù)相同的結(jié)果有6種:（1,1),（2,2），（3,3），(4，4)，（5，5），（6,6），故所求事件的概率是P＝eq\f（6,6×6)＝eq\f(1,6）。(2）朝上的一面的數(shù)之積為奇數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)正方體朝上的一面的數(shù)都是奇數(shù)，其可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為：P＝eq\f（3×3，6×6)＝eq\f（1，4）。10．（易錯(cuò)題)在兩個(gè)袋內(nèi),分別裝有寫著數(shù)字0,1，2,3,4,5的6張卡片，今從每個(gè)袋中任取一張卡片，求兩數(shù)之和等于7的概率．錯(cuò)解：∵兩數(shù)之和共有0，1，2，…，10十一種可能,∴和為7的概率為P＝eq\f(1,11）。正解：從裝有6張卡片的袋子中任取一張有6種可能，兩個(gè)袋子中分別任取一張共有6×6＝36種不同結(jié)果，和為7共有2＋5＝7,3＋4＝7,5＋2＝7,4＋3＝7這4種．∴所求概率為P(A)＝eq\f（4，36）＝eq\f（1,9).點(diǎn)評(píng)：(1)本題錯(cuò)因在于對(duì)古典概型認(rèn)識(shí)不夠．本題中基本事件應(yīng)為卡片組成的有序數(shù)對(duì)，而不是所取卡片上數(shù)字之和，十一個(gè)數(shù)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是不相等的．(2）解本題要先正確求出基本事件總數(shù)，再確定事件A的基本事件數(shù),雖然數(shù)字之和為7，但因卡片從兩個(gè)袋中拿,與次序有關(guān)，如2＋5＝7與5＋2＝7是不同事件．11．(2009天津高考，文18)為了了解某市工廠開展群眾體育活動(dòng)的情況，擬采用分層抽樣的方法從A,B，C三個(gè)區(qū)中抽取7個(gè)工廠進(jìn)行調(diào)查．已知A，B，C區(qū)中分別有18，27，18個(gè)工廠．(1）求從A，B,C區(qū)中應(yīng)分別抽取的工廠個(gè)數(shù);（2）若從抽得的7個(gè)工廠中隨機(jī)地抽取2個(gè)進(jìn)行調(diào)查結(jié)果的對(duì)比,用列舉法計(jì)算這2個(gè)工廠中至少有1個(gè)來(lái)自A區(qū)的概率．答案：（1)解:工廠總數(shù)為18＋27＋18＝63（個(gè)），樣本容量與總體中的個(gè)體數(shù)的比為eq\f（7,63）＝eq\f(1,9)，所以從A，B，C三個(gè)區(qū)中應(yīng)分別抽取的工廠個(gè)數(shù)為2個(gè),3個(gè),2個(gè)．(2)解:設(shè)A1,A2為在A區(qū)中抽得的2個(gè)工廠，B1,B2,B3為在B區(qū)中抽得的3個(gè)工廠，C1，C2為在C區(qū)中抽得的2個(gè)工廠．在這7個(gè)工廠中隨機(jī)地抽取2個(gè)，全部可能的結(jié)果有：（A1,A2)，（A1，B1),（A1，B2)，（A1,B3），(A1，C1）,(A1，C2)，（A2，B1），（A2，B2），(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2），（B1，B2），(B1，B3)，（B1,C1)，（B1，C2),(B2，B3），(B2,C