專題12平行四邊形性質(zhì)的其他應(yīng)用(原卷版+解析)

專題12平行四邊形性質(zhì)的其他應(yīng)用知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航必備知識點(diǎn)1.平行四邊形相鄰的兩邊之和等于它的周長的一半。2.當(dāng)平行線和角平分線同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，構(gòu)造等腰三角形。3.平行四邊形的兩條對角線把平行四邊形分割成四個(gè)面積相等的三角形。4.若一條直線過平行四邊形兩條對角線交點(diǎn)，則該直線平分平行四邊形的周長和面積。平行四邊形被它的兩條對角線分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形的周長之差等于平行四邊形的兩鄰邊之差。兩等底平行四邊形面積的比等于它們高的比;兩等高平行四邊形面積的比等于它們底的比。題型精煉題型精煉一、單選題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），若直線經(jīng)過點(diǎn)D（2，0），且將平行四邊形OABC分割成面積相等的兩部分，則直線DE的表達(dá)式是（

）A．y=x-2 B．y=2x-4 C．y=x-1 D．y=3x-62．如圖，在平行四邊形中，A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分別是ABCD的五等分點(diǎn)，點(diǎn)B1，B2和D1，D2分別是BC和DA的三等分點(diǎn)，已知四邊形A4B2C4D2的面積為2，則平行四邊形ABCD的面積為（

）A．4 B． C． D．303．如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)交的延長線于點(diǎn)于點(diǎn)，若，則的周長為（

）A． B． C． D．4．如圖，已知△ABC的面積為12，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長線上，且BF=4CF，四邊形DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．55．如圖，在平行四邊形中，將沿著所在的直線翻折得到，交于點(diǎn)，連接，若，，，則的長是（

）A．1 B． C． D．6．如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC+BD=16，CD=6，則△ABO的周長是（

）A．10 B．14 C．20 D．227．如圖，在?ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，連接CE，若△CED的周長為6，則?ABCD的周長為（）A．6 B．12 C．18 D．248．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝2，AF＝3，?ABCD的周長為20，則?ABCD的面積為（）A．24 B．16 C．8 D．129．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論①∠DCF＝∠BCD；②S△BEC＝2S△CEF；③∠DFE＝3∠AEF；④當(dāng)∠AEF＝54°時(shí)，則∠B＝68°，中一定成立的是（）A．①③ B．②③④ C．①④ D．①③④10．如圖，P是面積為S的內(nèi)任意一點(diǎn)，的面積為，的面積為，則（

）A． B．C． D．的大小與P點(diǎn)位置有關(guān)11．菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．對角線互相垂直 B．對角線相等C．對角線互相平分 D．對角相等二、填空題12．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=cm，BC=2cm，∠ABC=45°，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿折線BC→CD→DA運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A為止，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s)，△ABP的面積為S(cm2)，則S與t的函數(shù)表達(dá)式為_______________.13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，B（3，0），△AOB是等邊三角形，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿BO勻速運(yùn)動，動點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)以同樣的速度沿OA延長線方向勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動．過點(diǎn)P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，得出下面三個(gè)結(jié)論，①當(dāng)t=1時(shí)，△OPQ為直角三角形；②當(dāng)t=2時(shí)，以AQ，AE為邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)在∠AOB的平分線上；③當(dāng)t為任意值時(shí)，．所有正確結(jié)論的序號是________．14．平行四邊形的面積等于，兩對角線的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線分別交平行四邊形一組對邊、于點(diǎn)、，則四邊形的面積等于________．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），在第一象限內(nèi)找一點(diǎn)D，使四邊形ABCD是平行四邊形，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)是_____．16．平行四邊形的對角線長分別是、，則它的邊長的取值范圍是__________．三、解答題17．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意兩點(diǎn)A（a，b），B（c，d），若點(diǎn)T（x，y）滿足x＝，y＝，那么稱點(diǎn)T是點(diǎn)A，B的三分點(diǎn)．例如：A（﹣1，5），B（7，7），當(dāng)點(diǎn)T（x，y）滿足x＝＝2，y＝＝4時(shí)，則點(diǎn)T（2，4）是點(diǎn)A，B的三分點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)C（﹣1，8），D（1，2），E（4，﹣2），請說明其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的三分點(diǎn)．（2）如圖，點(diǎn)A為（3，0），點(diǎn)B（t，2t+3）是直線l上任意一點(diǎn)，點(diǎn)T（x，y）是點(diǎn)A，B的三分點(diǎn)．①試確定y與x的關(guān)系式．②若①中的函數(shù)圖象交y軸于點(diǎn)M，直線l交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)以M，N，B，T為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．③若直線AT與線段MN有交點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．18．問題探究：已知平行四邊形的面積為，是所在直線上一點(diǎn)．如圖：當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，________；如圖，當(dāng)點(diǎn)與與均不重合時(shí)，________；如圖，當(dāng)點(diǎn)在（或）的延長線時(shí)，________．拓展推廣：如圖，平行四邊形的面積為，、分別為、延長線上兩點(diǎn)，連接、、、，求出圖中陰影部分的面積，并說明理由．實(shí)踐應(yīng)用：如圖是一平行四邊形綠地，、分別平行于、，它們相交于點(diǎn)，，，，，現(xiàn)進(jìn)行綠地改造，在綠地內(nèi)部作一個(gè)三角形區(qū)域（連接、、，圖中陰影部分）種植不同的花草，求出三角形區(qū)域的面積．19．如圖，□ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE，F(xiàn)為CD邊上一點(diǎn)，且滿足∠DFA=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度數(shù)；（2）求證：AF=CD+CF．20．如圖在小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段AB，點(diǎn)A，B均在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）在圖1中畫出平行四邊形ABCD，且四邊形ABCD的面積為6，點(diǎn)C，D均在小正方形的頂點(diǎn)上；（2）在圖2中畫一個(gè)△ABE，點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上，且BE=BA,請直接寫出EA的長．21．將平行四邊形放在平面直角坐標(biāo)系中，對角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)，，請根據(jù)要求畫出圖形，并求出平行四邊形的面積和周長.22．如圖，小剛和小華共同承包一塊平行四邊形田地ABCD，在這塊地里有一口井P，現(xiàn)要拉一條直線將這塊田地進(jìn)行平均劃分，且讓小剛和小華都能公平使用這口井，請你只能使用不帶刻度的直尺在圖中畫出這條直線.（保留作圖痕跡，不寫作法）專題12平行四邊形性質(zhì)的其他應(yīng)用知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航必備知識點(diǎn)1.平行四邊形相鄰的兩邊之和等于它的周長的一半。2.當(dāng)平行線和角平分線同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，構(gòu)造等腰三角形。3.平行四邊形的兩條對角線把平行四邊形分割成四個(gè)面積相等的三角形。4.若一條直線過平行四邊形兩條對角線交點(diǎn)，則該直線平分平行四邊形的周長和面積。平行四邊形被它的兩條對角線分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形的周長之差等于平行四邊形的兩鄰邊之差。兩等底平行四邊形面積的比等于它們高的比;兩等高平行四邊形面積的比等于它們底的比。題型精煉題型精煉一、單選題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），若直線經(jīng)過點(diǎn)D（2，0），且將平行四邊形OABC分割成面積相等的兩部分，則直線DE的表達(dá)式是（

）A．y=x-2 B．y=2x-4 C．y=x-1 D．y=3x-6【答案】A【解析】【分析】過平行四邊形的對稱中心的直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分，先求出平行四邊形對稱中心的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），∴平行四邊形的對稱中心坐標(biāo)為（4，2），設(shè)直線DE的函數(shù)解析式為y=kx+b，則，解得，∴直線DE的解析式為y=x-2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握過平行四邊形的中心的直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在平行四邊形中，A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分別是ABCD的五等分點(diǎn)，點(diǎn)B1，B2和D1，D2分別是BC和DA的三等分點(diǎn)，已知四邊形A4B2C4D2的面積為2，則平行四邊形ABCD的面積為（

）A．4 B． C． D．30【答案】C【解析】【詳解】設(shè)平行四邊形ABCD的面積是S，設(shè)AB=5a，BC=3b．AB邊上的高是3x，BC邊上的高是5y．則S=5a?3x=3b?5y．即ax=by=，△AA4D2與△B2CC4全等，B2C=BC=b，B2C邊上的高是，則△AA4D2與△B2CC4的面積是2by=，同理△D2C4D與△A4BB2的面積是，則四邊形A4B2C4D2的面積是S－＝，即＝2，∴S＝；故選C．3．如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)交的延長線于點(diǎn)于點(diǎn)，若，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)說明△ABE是等腰三角形、求得BE、EC，再結(jié)合BG⊥AE，運(yùn)用勾股定理求得AG，進(jìn)一步求得AE和△ABE的周長，然后再說明△ABE∽△FCE且相似比為，最后根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比列方程求解即可．【詳解】解：∵∴AD∥BC，AB//DF∴∠DAE=∠BEA∵∠DAE=∠BAE∴∠BAE=∠BEA∴BE=AB=10,即EC=BC-BE=5∵BG⊥AE∴AG=EG=AE∵在Rt△ABG中，AB=10,BG=8∴∴AE=2AG=12∴△ABE的周長為AB+BE+AE=10+10+12=32∵AB∥DF∴△ABE∽△FCE且相似比為∴,解得=16．故答案為A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握相似三角形的周長之比等于相似比是解答本題的關(guān)鍵．4．如圖，已知△ABC的面積為12，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長線上，且BF=4CF，四邊形DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】想辦法證明S陰＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解決問題.【詳解】連接AF、EC．∵BC＝4CF，S△ABC＝12，∴S△ACF＝×12＝4，∵四邊形CDEF是平行四邊形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB＝S△DEC，∴S陰＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC＝S△ACF＝4，∴S陰＝4．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積、等高模型等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等高模型解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．5．如圖，在平行四邊形中，將沿著所在的直線翻折得到，交于點(diǎn)，連接，若，，，則的長是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)、翻折不變性可得△AEC為等腰直角三角形，根據(jù)已知條件可得CE得長，進(jìn)而得出ED的長，再根據(jù)勾股定理可得出；【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形∴AB=CD∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠ACB′=45°，∴△AEC為等腰直角三角形∴AE=CE∴Rt△AEB′≌Rt△CDE∴EB′=DE∵在等腰Rt△AEC中，∴∵在Rt△DEC中，，∠ADC=60°∴∠DCE=30°∴DE=1在等腰Rt△DEB′中，EB′=DE=1∴=故選：B【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．6．如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC+BD=16，CD=6，則△ABO的周長是（

）A．10 B．14 C．20 D．22【答案】B【解析】【分析】直接利用平行四邊形的性質(zhì)得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的長，進(jìn)而得出答案．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，∴△ABO的周長是：14．故選B．【點(diǎn)睛】平行四邊形的性質(zhì)掌握要熟練，找到等值代換即可求解．7．如圖，在?ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，連接CE，若△CED的周長為6，則?ABCD的周長為（）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【解析】【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC=AB，AD=BC，∵AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，∴AE=CE，∴△CDE的周長=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，∴?ABCD的周長=2×6=12，故選B．8．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝2，AF＝3，?ABCD的周長為20，則?ABCD的面積為（）A．24 B．16 C．8 D．12【答案】D【解析】【分析】設(shè)BC=x，根據(jù)平行四邊形的周長表示出CD，然后根據(jù)平行四邊形的面積列式求出x，再根據(jù)平行四邊形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：設(shè)BC＝x，∵?ABCD的周長為20，∴CD＝10﹣x，∵?ABCD的面積＝BC?AE＝CD?AF，∴2x＝3（10﹣x），解得x＝6，∴?ABCD的面積＝BC?AE＝2×6＝12．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，主要利用了平行四邊形的周長與面積的求解，根據(jù)面積的表示出列式求出平行四邊形的一條邊的長度是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論①∠DCF＝∠BCD；②S△BEC＝2S△CEF；③∠DFE＝3∠AEF；④當(dāng)∠AEF＝54°時(shí)，則∠B＝68°，中一定成立的是（）A．①③ B．②③④ C．①④ D．①③④【答案】A【解析】【分析】分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可得.【詳解】①∵F是AD的中點(diǎn)，∴AF＝FD，∵在?ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DCF＝∠BCD，故①正確；②∵EF＝FM，∴S△EFC＝S△CFM，∵M(jìn)C＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故②錯(cuò)誤；③設(shè)∠FEC＝x，則∠FCE＝x，∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，∴∠EFC＝180°﹣2x，∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，∵∠AEF＝90°﹣x，∴∠DFE＝3∠AEF，故③正確；④延長EF，交CD延長線于M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F為AD中點(diǎn)，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵∠AEF＝54°，∴∠CEF＝36°＝∠ECF，∴∠DCF＝54°．∴∠BCD＝2∠DCF＝108°，∴∠B＝72°，故④錯(cuò)誤，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．10．如圖，P是面積為S的內(nèi)任意一點(diǎn)，的面積為，的面積為，則（

）A． B．C． D．的大小與P點(diǎn)位置有關(guān)【答案】C【解析】【分析】過點(diǎn)P作AD的垂線PF，交AD于F，再延長FP交BC于點(diǎn)E，表示出S1+S2，得到即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作AD的垂線PF，交AD于F，再延長FP交BC于點(diǎn)E，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知PE⊥BC，AD=BC，∴S1=AD×PF，S2=BC×PE，∴S1+S2=AD×PF+BC×PE=AD×（PE+PE）=AD×EF=S，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出平行四邊形過點(diǎn)P的高．11．菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．對角線互相垂直 B．對角線相等C．對角線互相平分 D．對角相等【答案】A【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：A.菱形的對角線互相垂直，而平行四邊形的對角線不一定垂直，故本選項(xiàng)符合題意；B.菱形和平行四邊形的對角線都不一定相等，故本選項(xiàng)不符合題意；C.菱形和平行四邊形的對角線都互相平分，故本選項(xiàng)不符合題意；D.菱形和平行四邊形的對角都相等，故本選項(xiàng)不符合題意．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查的是菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．二、填空題12．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=cm，BC=2cm，∠ABC=45°，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿折線BC→CD→DA運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A為止，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s)，△ABP的面積為S(cm2)，則S與t的函數(shù)表達(dá)式為_______________.【答案】S=【解析】【分析】分三種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)P在CD上，點(diǎn)P在AD上，分別依據(jù)三角形的面積計(jì)算公式，即可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時(shí)，即0≤t≤2時(shí)，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵AB=,∠B=45°，∴AH=BH=1，S=BP·AH=t·1=t；（2）當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動時(shí)，即2<t≤2+時(shí)，S=S四邊形ABCD=1；（3）當(dāng)點(diǎn)P在DA上運(yùn)動時(shí)，即2+<t≤4+時(shí)，S=AP·AH=(4+－t)；故答案為：S=.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積以及動點(diǎn)函數(shù)的圖象問題，解決本題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，B（3，0），△AOB是等邊三角形，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿BO勻速運(yùn)動，動點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)以同樣的速度沿OA延長線方向勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動．過點(diǎn)P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，得出下面三個(gè)結(jié)論，①當(dāng)t=1時(shí)，△OPQ為直角三角形；②當(dāng)t=2時(shí)，以AQ，AE為邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)在∠AOB的平分線上；③當(dāng)t為任意值時(shí)，．所有正確結(jié)論的序號是________．【答案】①③【解析】【分析】由題意根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)進(jìn)行綜合分析判斷即可.【詳解】解：①如圖1中，取OQ的中點(diǎn)H，連接PH．∵t=1，∴AQ=PB=1，∵B（3，0），∴OB=3，∵△AOB是等邊三角形，∴OA=OB=AB=3，∴OQ=4，∵，∴OH=OP=2，∵∠HOP=60°，∴△HOP是等邊三角形，∴PH=OH=HQ，∴，∴△OPQ是直角三角形．故①正確，②當(dāng)t=2時(shí)，如圖2中，由題意PB=AQ=2，∵PE⊥AB，∴∠PEB=90°，∵∠PBE=60°，∴，∴AE=AB-BE=3-1=2，∴AE=AQ=2，∵四邊形AEMQ是平行四邊形，AQ=AE，∴四邊形AEMQ是菱形，∵∠QAE=120°，∴∠MAE=∠MAQ=60°，∴△MAE是等邊三角形，∴MA=ME＜BM，∴點(diǎn)M不在AB的垂直平分線上，∴點(diǎn)M不在∠AOB的角平分線上，故②錯(cuò)誤，③如圖3中，作PM∥OA交AB于M．∵PM∥OA，∴∠BMP=∠BAO=60°，∠BPM=∠AOB=60°，∴△PMB是等邊三角形，∴PB=PM=AQ，∵PE⊥BM，∴EM=BM，∵∠AQD=∠MPD，∠ADQ=∠MQP，AQ=PM，∴△ADQ≌△MDP（AAS），∴AD=DM，∴，故③正確.故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.14．平行四邊形的面積等于，兩對角線的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線分別交平行四邊形一組對邊、于點(diǎn)、，則四邊形的面積等于________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)“過平行四邊形對角線的交點(diǎn)的直線將平行四邊形等分為兩部分”解答即可．【詳解】如圖平行四邊形ABCD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OD=OB，OA=OC，則可得：△DF0≌△BEO，△ADO≌△CBO，△CF0≌△AEO，∴直線l將四邊形ABCD的面積平分．∵平行四邊形ABCD的面積等于10cm2，∴四邊形AEFD的面積等于5cm2，故答案為5cm2【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱，全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵在于舉例說明，利用全等的知識解決．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），在第一象限內(nèi)找一點(diǎn)D，使四邊形ABCD是平行四邊形，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)是_____．【答案】（2，5）．【解析】【分析】連接AB，BC，運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)，可知AD∥BC，所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是5，再跟BC間的距離即可推導(dǎo)出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)．【詳解】解：由平行四邊形的性質(zhì)，可知D點(diǎn)的縱坐標(biāo)一定是5；又由C點(diǎn)相對于B點(diǎn)橫坐標(biāo)移動了1﹣（﹣3）＝4，故可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)為﹣2+4＝2，即頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（2，5）．故答案為（2，5）．【點(diǎn)睛】本題主要是對平行四邊形的性質(zhì)與點(diǎn)的坐標(biāo)的表示等知識的直接考查，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合思想，題目的條件既有數(shù)又有形，解決問題的方法也要既依托數(shù)也依托形，體現(xiàn)了數(shù)形的緊密結(jié)合，但本題對學(xué)生能力的要求不高.16．平行四邊形的對角線長分別是、，則它的邊長的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分．得兩條對角線的一半分別是5，8；再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．進(jìn)行求解．【詳解】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得對角線的一半分別是5和8.再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，掌握任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵.三、解答題17．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意兩點(diǎn)A（a，b），B（c，d），若點(diǎn)T（x，y）滿足x＝，y＝，那么稱點(diǎn)T是點(diǎn)A，B的三分點(diǎn)．例如：A（﹣1，5），B（7，7），當(dāng)點(diǎn)T（x，y）滿足x＝＝2，y＝＝4時(shí)，則點(diǎn)T（2，4）是點(diǎn)A，B的三分點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)C（﹣1，8），D（1，2），E（4，﹣2），請說明其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的三分點(diǎn)．（2）如圖，點(diǎn)A為（3，0），點(diǎn)B（t，2t+3）是直線l上任意一點(diǎn)，點(diǎn)T（x，y）是點(diǎn)A，B的三分點(diǎn)．①試確定y與x的關(guān)系式．②若①中的函數(shù)圖象交y軸于點(diǎn)M，直線l交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)以M，N，B，T為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．③若直線AT與線段MN有交點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）①y＝2x﹣1；②點(diǎn)B的坐標(biāo)（，6）或（﹣，）；③﹣3≤t≤1【解析】【分析】（1）由“三分點(diǎn)”的定義可求解；（2）①由“三分點(diǎn)”定義可得：，消去t即可求解；②先求出點(diǎn)M，點(diǎn)N的坐標(biāo)，分兩種情況：MN為一邊或MN為對角線，利用平行四邊形的性質(zhì)可求解；（3）利用特殊位置，分別求出AT過點(diǎn)M和過點(diǎn)N時(shí)，t的值，即可求解．【詳解】（1）∵，，∴點(diǎn)D（1，2）是點(diǎn)C，點(diǎn)E的三分點(diǎn)；（2）①∵點(diǎn)A為（3，0），點(diǎn)B（t，2t+3）是直線l上任意一點(diǎn)，點(diǎn)T（x，y）是點(diǎn)A，B的三分點(diǎn)，∴，∴y＝2x﹣1；②∵y＝2x﹣1圖象交y軸于點(diǎn)M，直線l交y軸于點(diǎn)N，∴點(diǎn)M（0，﹣1），點(diǎn)N（0，3），當(dāng)四邊形MTBN是平行四邊形時(shí)，∴BT∥MN，∵B（t，2t+3），T（，），∴t＝，∴t＝，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)（，6）；當(dāng)四邊形MTNB是平行四邊形時(shí)，設(shè)BT與MN交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為BT與MN的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P（0，1），∵B（t，2t+3），T（，），∴t+＝0，∴t＝﹣，∴點(diǎn)B（﹣，），綜上所述：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，6）或（﹣，）；（3）當(dāng)直線AT過點(diǎn)M時(shí)，∵點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)M（0，﹣1），∴直線AM解析式為y＝x﹣1，∵點(diǎn)T是直線AM上，∴＝×﹣1∴t＝﹣3，當(dāng)直線AT過點(diǎn)N時(shí)，∵點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)M（0，3），∴直線AN解析式為y＝﹣x+3，∵點(diǎn)T是直線AN上，∴＝﹣+3，∴t＝1，∵直線AT與線段MN有交點(diǎn)，∴﹣3≤t≤1．【點(diǎn)睛】本題新定義考題，題目中給出一個(gè)新的概念，嚴(yán)格利用新的概念進(jìn)行求解；但是，新定義問題實(shí)質(zhì)上是課程內(nèi)知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用，比如本題考查了消元法，平行四邊形的性質(zhì)和一次函數(shù)，本類題目一定要注意分類討論，利用合適條件確定邊界條件是解題的關(guān)鍵．18．問題探究：已知平行四邊形的面積為，是所在直線上一點(diǎn)．如圖：當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，________；如圖，當(dāng)點(diǎn)與與均不重合時(shí)，________；如圖，當(dāng)點(diǎn)在（或）的延長線時(shí)，________．拓展推廣：如圖，平行四邊形的面積為，、分別為、延長線上兩點(diǎn)，連接、、、，求出圖中陰影部分的面積，并說明理由．實(shí)踐應(yīng)用：如圖是一平行四邊形綠地，、分別平行于、，它們相交于點(diǎn)，，，，，現(xiàn)進(jìn)行綠地改造，在綠地內(nèi)部作一個(gè)三角形區(qū)域（連接、、，圖中陰影部分）種植不同的花草，求出三角形區(qū)域的面積．【答案】（1）；（2）；（3）；拓展推廣：陰影部分的面積；實(shí)踐應(yīng)用：三角形區(qū)域的面積．【解析】【分析】(1)平行四邊形的面積等于底乘以高，設(shè)平行四邊形ABCD的高為h，△DCM邊CD的高也為h，由題S平行四邊形ABCD=CD×h，S△DCM=CD×h=S平行四邊形ABCD=50；(2)由（1）同理可得S△DCM

=50；(3)由（1）同理可得S△DCM=50；拓展推廣：由（1）的結(jié)論可得S△ADF=a，S△ABE=a，由此即可得陰影部分的面積；應(yīng)用，由推廣的結(jié)論，有，，，由此即可求出三角形區(qū)域的面積.【詳解】設(shè)平行四邊形ABCD的邊CD上的高為h，則△DCM邊CD的高也為h，∵S平行四邊形ABCD=CD×h，則平行四邊形的面積，；與同理可得；與同理可得；拓展推廣：根據(jù)的結(jié)論，，，∴陰影部分的面積；實(shí)踐應(yīng)用：根據(jù)前面信息，，，，∴三角形區(qū)域的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等底同高的三角形的面積等知識，弄懂題意，結(jié)合圖形、熟練運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.19．如圖，□ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE，F(xiàn)為CD邊上一點(diǎn)，且滿足∠DFA=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度數(shù)；（2）求證：AF=CD+CF．【答案】（