初中數(shù)學(xué)幾何模型大全及經(jīng)典題型

精編初中數(shù)學(xué)幾何模型大全及經(jīng)典題型匯總

全等變換

平移：平行等線段（平行四邊形）

對稱：角平分線或垂直或半角

旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點旋轉(zhuǎn)

對稱全等模型

角分線模型

過角施某點作■線

/一嫡他作■枝船地州那地

說明：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長補短或者作邊的垂線,

形成對稱全等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直

也可以做為軸進(jìn)行對稱全等。

對稱半角模型

A

說明：上圖依次是45。、30。、22.5。、15。及有一個角是30。直角

三角形的對稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等

邊三角形、對稱全等。

旋轉(zhuǎn)全等模型

半角：有一個角含1/2角及相鄰線段

自旋轉(zhuǎn)：有一對相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等

共旋轉(zhuǎn)：有兩對相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等

中點旋轉(zhuǎn)：倍長中點相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問題

旋轉(zhuǎn)半角模型

說明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個二分之一角，

通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個和為二分之一的角拼接在一起,成對稱全等。

自旋轉(zhuǎn)模型

構(gòu)造方法：

遇60度旋60度，造等邊三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋頂點，造旋轉(zhuǎn)全等

遇中點旋180度，造中心對稱

B

共旋轉(zhuǎn)模型

說明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個經(jīng)?？?/p>

察的內(nèi)容。通過“8”字模型可以證明。

模型變形

D

a

說明：模型變形主要是兩個正多邊形或者等腰三角形的夾角的變

化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。

當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時，先找兩個正多邊形或者等腰

三角形的公共頂點，圍繞公共頂點找到兩組相鄰等線段，分組組

成三角形證全等。

中點旋轉(zhuǎn):

說明：兩個正方形、兩個等腰直角三角形或者一個正方形一個等

腰直角三角形及兩個圖形頂點連線的中點，證明另外兩個頂點與

中點所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長所要證等腰直

角三角形的一直角邊,轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的

等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉(zhuǎn)頂點，通過證明旋轉(zhuǎn)全等

三角形證明倍長后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。

中點模型

倍長中線連中點構(gòu)造中位竣倍長一邊樹中位線陸t三靖臺一內(nèi)造斜邊中線

幾何最值模型

對稱最值（兩點間線段最短）

線段和差模型

X.

HlRU

MS*

同側(cè)、異側(cè)兩線段之和最短模型同側(cè)、異側(cè)兩線段之舉最小模型

軸砸模型

乩春

//八L/>

UX1----1---

\'，?

、二『r

?f-A

三線段之和過橋模型四邊形周長三角形周長

最短模型最小模型最小模型

對稱最值（點到直線垂線段最短）

說明：通過對稱進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點間距離及點到直線距

離。

旋轉(zhuǎn)最值（共線有最值）

說明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個定長線段，定長線

段的和為最大值，定長線段的差為最小值。

剪拼模型

三角形一四邊形

四邊形T四邊形

說明：剪拼主要是通過中點的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。

矩形一正方形

H

說明：通過射影定理找到正方形的邊長，通過平移與旋轉(zhuǎn)完成形

狀改變

正方形+等腰直角三角形一正方形

面積等分

旋轉(zhuǎn)相似模型

DE

B

說明：兩個等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個有一個角是300角

的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。

推廣：兩個任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三

邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律。

相似模型

A

AAA

說明：注意邊和角的對應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中

起到通過等量代換來構(gòu)造相似三角形的作用。

說明：（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45

度、60度形式出現(xiàn)的居多。

（2）內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與

不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓

寨定理）之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過等線段、等比值、等

乘積進(jìn)行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。

說明：相似證明中最常用的輔助線是做平行，根據(jù)題目的條件或

者結(jié)論的比值來做相應(yīng)的平行線。

A模型一：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等

a新：A048.AOCC均為等邊三角形

a牯論：①A04c?&OBD,②LAEB-60°；?平分LAEIK

<2）等原K7A

a條件：A（〃8,A"C/）均為等腰直角三角形

a結(jié)論：①A（〃C?AOBD）②LAEB-90°,

a③OE平分

<3）任意等腰三角形

?條件：A"。均為等腰三角形

a結(jié)論：①AO/IC■NOBD.②LAEB-LAOB.

a③?！昶椒忠?￡7\

A模型二:手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型相似

⑴況

a條件：C'。/78,將族轉(zhuǎn)至右圖位腔

A犍

a右圖中①AW"AO/8oAO4C&OBD;

a②延長/C交8。于點E,必有乙BEC0乙BCU

（2）特殊情況

A條件：C0//18,乙108?90°,將AOC。旋轉(zhuǎn)至右圖

位置

a結(jié)論：右圖中①AOC0s"M8=ACMCAO5D；?

延長/C交BD于點E,必有LBEC-LBOA.

旦型.應(yīng)。

③/COCOAi@BD1ACf

?ii接QBC,必有心⑥'J''5'"X""（對角蟠相垂直的四那）

A模型三:對角互補模型

(1)^^90°

?條件：①LAOB-LDCE-90°,②%平分LAOB

a雄論：①CD=CE②OD+OE-6OC,③

?

SOOCE0co+S皿工=

A證明提示：

?乍垂直，如圖，證明AS”。ACE”

②過點C作°尸，℃,如上圖（右），證明\ODC-AF￡C.

a當(dāng)々WE的一邊交X。的延長線于點。時：

以上三浮訟0）CD=C￡（不變）1

@OE-（）D-410c；③Sg-'s"2°C

此結(jié)論研方法與前T幡況一致，可自行嘗試。

(2)4^33120°

AMft：①4/"8?2LDCE-120°J

A②乙40%

a結(jié)論：①CD■CE,②()D+0E■OC9

H

aiiR股示：①可參考“全等型3。.'證法一；

②如圖：在QB上取一點F,使0F=0C,證明A6XF

為等邊三角形。

(3)全等型任意角“

a^f|_：①々"".2a，"X￡-18°-2?；②c￡>=CE；

A結(jié)論：①a平分乙〃)％②a)+0￡-20C?cosa3

?Sg**S3n+Sg=OC:?sina?cosa

當(dāng)4CCE的一邊交d。的延長線于點。時（如右上圖）：

摩結(jié)論變成：①..

②，

③>

可善考上述第②種方法進(jìn)行證明，語思考初始條件的變化對模型轆響.

>對角互型哨

①常見初始條件：四邊形對角互補；注意兩點、：四點共同及直角三角形符邊中線;

②初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；

③兩種常見的鈾牌恚作法；

④注意"C平分乙108時，LCDE-LCED-LCOA-4CO相等如何推導(dǎo)？

A模型四：角含半角模型90,

《1》龜含半角模型90°-1

a條件：①正方形，②乙族戶?45\

a牯論：①￡尸?。尸+8E；②SCEF的周長為正方形,48CZ）周長的一半.

也可以這樣：

a條件：①正方形ABCD,②EF-DF+HE

a給論：LEAF-45°

<2）角含半角模型90°-2

a條件：①正方形ABCD,@LEAF-45°；

A陸論：EF~DF-BE

a$刎捱如T醐i示：

<3）角含半角型型90--3

a條件：①RTMBC,②LDAE-45°,

a結(jié)論：RD'^CE'-DE1CBD

若4。"施樣qAJ8C外部時，結(jié)論BD+C￡=06仍然成立.

（4）角含半角鎮(zhèn)型90-變形

理明：HitAC（才我不唯一》

7ZA4<"ZE"'-45.：.NJXUI-4：4E

VZ.4/W-Z.4CZ-45.XUVf-^XtCE

￡>.|4C

.?.上,LAXy/K^XUK

AH.4E

條件：①正方形X88;②4E4尸=45°

結(jié)論：為等腰直角三角形。

A模型五：倍長中線類模型

(1)信長中線類模型-1

a條件：①)S形4BCD、②BD?BE?DF?EF,

a結(jié)論：/尸■LCF

模型提?。?DW啊亍線AD"BE；②帝亍線磔戔段有中點DF-EF；

可以構(gòu)造“8”字全等MDF?A/fEF.

(2)feKcp^*m-2

a條件：任評行四邊形188,?BC-2AB,③AM-DM,@CE±AD.

a結(jié)論：LEMD,3ZLA/E4

住財饅：稈+什.3〃CD,有中點.”，■/[”

T長EM.構(gòu)it&4歸q*“卜,itMCM種

逢等?XXK'F

通過構(gòu)遣8字企等城稔條及現(xiàn)dJt美尿.角的大

，卜好化

A模型六：相似三角形360°旋轉(zhuǎn)模型

<1>形〈等JR?&〉360-xse：MKw?1.<G.AT?-￡HF.遑

4*<P?M?Bn證F.\WX/m

A條件=CD&4DE、A4GC均

為等腰直角三角形，②A:A4A/FMWC；

EF-CF

?G：逆FN29t.Q_NACD

a結(jié)論：0D尸■BF§②

1>FXBF

<O(等JR?&,seo。

A條件=OzDE、23c均為等腰直角三角形3②EF-CF、

a結(jié)論：CDD尸-BF；②DF_LBE

13E.:附逢斗犍=用A4E<7,A^ifC'

內(nèi)：玨1'F與Hi=4匕ajt<i與EH

<2>任意相WSLfe三角形360,旋轉(zhuǎn)澳型T田去“MG：W長BAX*G.fit.?#一出.M.K

?二OAQABsRQ",②乙。AB-JLOOC-90°；<7>X4H?IN4m.?卜*MRB.

0BE-CE0

CJC'ff，遑設(shè)”偃R.??ft.T與QE91(TG

?結(jié)論:①〃￡=DE3②jED-2乙ABC)

HH.0￡d=\N4/Z>

條件-①AC人B—ACDC：§②4OY8-Z_℃XT_900.③林2.外展片“化與HF、心〃a、SC?it

BE-CE。

結(jié)論=①AE-DE,②NED-2乙ABO

7H、SCJ收網(wǎng)一邊氏rtJL會就<

此蚣e.￡4/5LABX,.

A模型七二最短路程模型

3"：以上四國為常電的體&最加冷〃問題.

暴后每”化到：“㈣支之劃，代伐多加”

物點：①動點,AA，l上:②抬息，t?AM<

瘠作0關(guān)于CX時體22?.鐘正

W?pg.itA1/作Aff/±m(xù)

唯紋以以如O0MHMP，PA-w?Pir^SfH（?-八最M）

a條件：①儀.平分乙〃）％②.”為（陽上一定點,③〃為優(yōu)上F點，④。為08上一動點?

A求：'"+『。最小時，0?。的位置？

<3）疑路程模型二（，朝直?？冢?/p>

A^ft：/（0,4）,8（-20）,P（0.〃）

PB+—PA

>同覆：”為何值時，5最小

-

_._nsinL.OAC--

求解方法：①）軸上取C（-°）,使5,②過8作8/）J.1C,交》軸于點%艮防所求,

tanLEBO?tanLOAC

2,即￡（?！梗?

(4)最短路程模型三(窗段最值模型)

M小侑位，工一八、'一/

A()

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A模型九：相似三角形模型

?卜

(1)砌(2)才眼三角形模型制港

4兇nM

甲M2P*文*4■事

?許；如左■一小na//<￡/，■/?力-wr

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一/?餐小圍JCE?乙W

“論；-AE<AB

?Mt>fli￡4.IH0EC-BC*dC

ZWu-W*BA.■RExAE

<3）相忙角形模型一線三角型(4)相IttEft影崛Tm^9^

務(wù)件；在用：乙的（?4伏，=/C7M-9（尸

?1,?:Z^lBC?Z.If'E-^CDE-60）條件：中用.PA為BB的切人

方圍:ZJZTC-ZrlCT-ZCOf-45-”論：左圍：PAKPB?PC'KPI）

”地：所/圉?，?奇A的結(jié)論

中陽：PA：■PCxPB

1'，故"八（7M'：②.4"x/￥?僅*《八

右圖：PAxPB?PCxPD

一城三號跳幔支禮修翕用■在3方式起4代美

以上”均1T以通過恰似三角的遺竹迎明

初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何題（附答案）

經(jīng)典難題（一）

1、已知：如圖，o是半圓的圓心，c、E是圓上的兩點，CD±

AB,EF±AB,EG±CO.

求證：CD=GF.（初二）

c

G

AB

D0F

2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點，ZPAD=ZPDA=15°.

求證：APBC是正三角形.（初二）

3、如圖,已知四邊形ABCD、A1B1GD1都是正方形，A2>B2>

C2>D2分別是AAi、BBnCCnDD1的中點.

求證：四邊形A2B2c2D2是正方形.（初二）

4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分別是

AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F.

求證：ZDEN=ZF.

M

經(jīng)典難題（二）

1、已知：AABC中，H為垂心（各邊高線的交點），O為夕卜心,

且OM_LBC于M.

（1）求證：AH=2OM;

(2)若NBAC=60°,求證：AH=AO.(初二)

2、設(shè)MN是圓O外一直線，過O作OA_LMN于A,自A引圓

的兩條直線，交圓于B、C及D、E,直線EB及CD分別交

MN于P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命

題：

設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE,

設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）

4、如圖，分別以AABC的AC和BC為一邊，在AABC的外側(cè)

作正方形ACDE和正方形CBFG,點P是EF的中點.

求證：點p到邊AB的距離等于AB的一半.（初二）

經(jīng)典難題（三）

1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE/7AC,AE=AC,AE

與CD相交于F.

求證：CE=CF.（初二）AD

E

BC

2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE/7AC,且CE=CA,直

線EC交DA延長線于F.

求證：AE=AF.（初二）

3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點，PF±AP,CF平

分NDCE.

求證：PA=PF.（初二）---------|D

F

BPCE

4、如圖，PC切圓O于C,AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，

AE、AF與直線PO相交于B、D.求證:AB=DC,BC=AD.（初

三）

經(jīng)典難題（四）

1、已知：AABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點，PA=3,PB

=4,PC=5.

求：NAPB的度數(shù).（初二）A

P

2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點，且

DC

求證：ZPAB=ZPCB.（初二）

3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：ABCD4-ADBC=

ACBD.（初三）

4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點,

AE與CF相交于P,且

AE=CF.求證：ZDPA=ZDPC.（初二）

經(jīng)典難題（五）

1、設(shè)P是邊長為1的正AABC內(nèi)任一點，L=PA+PB+PC,

求證：'WLV2.

2、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點，求PA+PB

+PC的最小值.

3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點，并且PA=a,

3a,求正方形的邊長.

4、如圖，AABC中，ZABC=ZACB=80°,D、E分別是AB、

AC上的點，ZDCA=30°,ZEBA=20°,求/BED的度數(shù).

A

經(jīng)典難題（一）

1.如下圖做GHJ_AB,連接EOo由于GOFE四點共圓，所以N

GFH=ZOEG,

即AGHFSAOGE,可得穿=號=嗝，又CO=EO,所以

CrrG77C1J

CD=GF得證。

2.如下圖做ADGC使與AADP全等，可得APDG為等邊△,從

而可得

△DGCg△APDg△CGP,得出PC=AD=DC,和ZDCG=Z

PCG=15°

所以NDCP=30°,從而得出APBC是正三角形

3.如下圖連接BG和ABi分別找其中點F,E.連接C2F與A2E并

延長相交于Q點，

連接EB2并延長交C2Q于H點，連接FB2并延長交A2Q于G

點，

由A2E=iA1B1=iB1C1=FB2,EB2=iAB=|BC=FCi,又N

GFQ+NQ=90°和

所以又

ZGEB2+ZQ=90°,zGEB2=NGFQNB2FC2=ZA2EB2,

可得△BzFCzgZkAzEBz,所以A?B2=B2c2,

又NGFQ+NHB2F=90°和NGFQ=NEB2A2,

從而可得NA2B2C2=90°,

同理可得其他邊垂直且相等，

從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。

BC

4.如下圖連接AC并取其中點Q,連接QN和QM,所以可得N

QMF=ZF,ZQNM=ZDEN和NQMN=NQNM,從而得出

ZDEN=ZFO

經(jīng)典難題(二)

1.(1)延長AD到F連BF,做OG_LAF,

又NF=NACB=NBHD,

可得BH=BF,從而可得HD=DF,

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)連接OB,OC,既得NBOC=120°,

從而可得NBOM=60°,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得證。

3.作OF_LCD,OG1BE,連接OP,OA,OF,AF,OG,AG,

OQo

士工ADACCFD

~XE-B豆-，

由此可得AADFgZkABG,從而可得NAFC=NAGE。

又因為PFOA與QGOA四點共圓，可得NAFC=NAOP和N

AGE=ZAOQ,

ZAOP=ZAOQ,從而可得AP=AQ。

E

c

4.過E,C,F點分別作AB所在直線的高EG,CI,FHO可得PQ=

EG+FH

----------------o

2

由AEGAg△AIC,可得EG=AI,由ABFH2△CBI,可得

FH=BIO

從而可得PQ=笥8=從而得證。

經(jīng)典難題（三）

1.順時針旋轉(zhuǎn)AADE,到AABG,連接CG.

由于NABG=NADE=90°+45°=135°

從而可得B,G,D在一條直線上，可得△AGB04CGB。

推出AE=AG=AC=GC,可得AAGC為等邊三角形。

ZAGB=30°,既得NEAC=30°,從而可得NAEC=75°。

XZEFC=ZDFA=450+30°=75°.

可證：CE=CFO

2.連接BD作CH_LDE,可得四邊形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH,

可得NCEH=30°,所以NCAE=NCEA=NAED=15°,

又NFAE=90°+45°+15°=150°,

從而可知道NF=15°,從而得出AE=AFo

3.作FG_LCD,FE±BE,可以得出GFEC為正方形。

令A(yù)B=Y,BP=X,CE=Z，可得PC=Y-X。

tanZBAP=tanZEPF=-=--—,可得YZ=XY-X2+XZ,

YY-X+Z