專題2.1垂徑定理（專項拔高卷）教師版

20232024學年蘇科版數(shù)學九年級上冊同步專題熱點難點專項練習專題2.1垂徑定理（專項拔高卷）考試時間：90分鐘試卷滿分：100分難度：0.45一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?芝罘區(qū)一模）如圖，弓形ADB的跨度AB＝8，高CD＝3，則弓形所在圓的直徑長為?（）A．5 B．10 C． D．解：設(shè)弓形所在圓的圓心是O，圓的半徑是r，連接OC，OA，由題意知O、C、D共線，∵AB＝8，∴AC＝AB＝4，∵高CD＝3，∴OC＝r﹣3，∵OA2＝OC2+AC2，∴r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴弓形所在圓的直徑長2r＝．故選：C．2．（2分）（2022秋?新?lián)釁^(qū)期末）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于E點，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，則CD的長為（）A．4 B．4 C．3 D．5解：作OM⊥CD于點M，連接OC，則CM＝CD，∵BE＝1，AE＝5，∴OC＝AB＝＝＝3，∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2，∵Rt△OME中，∠AEC＝30°，∴OM＝OE＝×2＝1，在Rt△OCM中，∵OC2＝OM2+MC2，即32＝12+CM2，解得CM＝2，∴CD＝2CM＝2×2＝4．故選：A．3．（2分）（2023?雙柏縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且CE＝DE，∠COB＝52°，則∠DCO的度數(shù)為（）A．52° B．50° C．48° D．38°解：∵AB是直徑，CE＝ED，∴AB⊥CD，∴∠CEO＝90°，∴∠DCO＝90°﹣52°＝38°，故選：D．4．（2分）（2022秋?仙居縣期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是（）A．點P B．點Q C．點R D．點M解：作AB和BC的垂直平分線，它們相交于Q點．故選：B．5．（2分）（2023?城西區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P在第一象限，⊙P與x軸交于O，A兩點，點A的坐標為（6，0），⊙P的半徑為，則點P的坐標為（）A．（3，2） B．（2，3） C．（3，1） D．（2，2）解：作PB⊥AO交AO于B，連接AP，∵PB⊥AO，∴B是OA的中點，∵點A（6，0），∴AB＝OB＝3，∵Rt△PBA中，AP＝，AB＝3，∴PB＝＝2，∴P（3，2）．故選：A．6．（2分）（2023?鄄城縣三模）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，點E在線段BC上，CE＝5，以點C為圓心，CE長為半徑作弧交AC于點D，交BC的延長線于點F，以點F為圓心，DE長為半徑作弧，交于點G，連接CG，過點G作GH⊥BF，垂足為點H，則線段GH的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵以點F為圓心，DE長為半徑作弧，交于點G，∴＝，∴∠GCH＝∠ACB，∵GH⊥BF，∴∠GHC＝90°，∴∠B＝∠GHC＝90°，∴△CGH∽△CAB，∴GH：AB＝CG：AC，∵AC＝＝＝10，∴GH：6＝5：10，∴GH＝3．故選：B．7．（2分）（2023?陜西模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且＝3，則弦AC與弦BC的關(guān)系是（）A．AC＝3BC B．AC＝BC C．AC＝（+1）BC D．AC＝BC解：如圖，過點O作OD⊥AB，交AC于D，連接BD，OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵＝3，∴∠AOC＝135°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝22.5°，∵OD是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝22.5°，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，設(shè)CD＝CB＝x，則AD＝BD＝x，∴＝＝，∴AC＝（+1）BC．故選：C．8．（2分）（2022?包河區(qū)校級二模）如圖，在⊙O中，直徑AB＝10，CD⊥AB于點E，CD＝8．點F是弧BC上動點，且與點B、C不重合，P是直徑AB上的動點，設(shè)m＝PC+PF，則m的取值范圍是（）A．8＜m≤4 B．4＜m≤10 C．8＜m＜8 D．6＜m＜10解：如圖，連接OC，BD，BC，∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE＝ED＝CD＝4，當為P在E點位置，點F在點C時，PC+PF有最小值，此時PC+PF＝2CE，∴PC+PF＞8；∵AB＝10，∴OC＝AB＝5，∴OE＝＝3，∴BE＝OE+OB＝8．∴BD＝＝4．∵P是直徑AB上的動點，CD⊥AB，∴AB是CD的垂直平分線，∴PC＝PD＝4．當為P在E點位置，點F在點C時，PC+PF有最小值，此時PC+PF＝2BC，∴8＜m＜8．故選：C．9．（2分）（2020秋?北碚區(qū)校級月考）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，且CD⊥AB于點E，點F為圓上一點，若AE＝BF，，OE＝1，則BC的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5解：如圖，連接OC交AF于J，設(shè)BC交AF于T，過點T作TH⊥AB于H．∵AB⊥CD，∴＝，∵＝，∴＝，∴OC⊥AF，∴∠AJO＝∠CEO＝90°，∵∠AOJ＝∠COE，OA＝OC，∴△AJO≌△CEO（AAS），∴OJ＝OE，∴AE＝CJ，∵AB是直徑，∴∠F＝∠CJT＝90°，∵AE＝BF，∴BF＝CJ，∵∠CTJ＝∠BTF，∴△CTJ≌△BTF（AAS），∴CT＝BT，∵TH⊥AB，CD⊥AB，∴TH∥CE，∴EH＝BH，∵＝，∴∠TBF＝∠TBH，∵∠F＝∠THB＝90°，BT＝BT，∴△BTF≌△BTH（AAS），∴BF＝BH，∵AE＝BF，∴AE＝BH，∵OA＝OB，∴OE＝OH＝1，∴EH＝BH＝2，∴AE＝BH＝2，∴AB＝6，OC＝OB＝3，∴EC＝＝＝2，∴BC＝＝＝2，故選：A．10．（2分）如圖，AB、CD是⊙O的直徑，∠AOD＝60°，點P在上，若OA＝1，m＝PA+PC，則m的最大值是（）A．2 B．2 C．4 D．2解：連AC，AD，過點A作AH⊥PC于點H．∵∠AOD＝60°，OA＝OD，∴三角形AOD為等邊三角形，又∵CD為直徑，∴∠DAC＝90°，則∠ACD＝30°，且AO＝1，因此AC＝，在△ACH中：AC2＝AH2+CH2＝AP2﹣PH2+（PC﹣PH）2＝PA2﹣AP2+PC2﹣2AP?PCcos60°，即AP2+PC2﹣AP?PC＝3，∴（AP+PC）2＝3+3AP?PC，而S△APC＝?AP?PC?sin60°，又∵點P在上運動，則點P到AC的距離是變化的，底邊AC為定值，∴△APC的面積是變化的，從而AP?PC的值也是變化的，且隨點P到AC的距離的增大而增大，當點P為的中點時，點P到AC的距離的最大．∵此時三角形APC為正三角形，∴此時點P到AC的距離為×＝，∴△PAC的面積的最大值＝××＝，此時PA?PC的最大值＝3，∴m的最大值為2．故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?西湖區(qū)校級開學）如圖，在⊙O中的半徑OA＝5cm，圓心O到弦AB的距離為3cm，則弦AB的長度為8cm．解：如圖，連接OB，由題意可知，OM⊥AB，OM＝3cm，OA＝OB＝5cm，∵OM⊥AB，AB是弦，∴AM＝BM＝AB，在Rt△AOM中，由勾股定理得，AM＝＝4（cm），∴AB＝2AM＝8（cm），故答案為：8．12．（2分）（2023?盱眙縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，∠D＝36°，則∠AOC＝108°．?解：∵∠D＝36°，∴∠BOC＝2∠D＝72°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AOC＝180°﹣72°＝108°．故答案為：108°．13．（2分）（2023?西城區(qū)一模）“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用．例如古典園林中的門洞．如圖，某地園林中的一個圓弧形門洞的高為2.5m，地面入口寬為1m，則該門洞的半徑為1.3m．解：設(shè)圓的半徑為rm，由題意可知，DF＝CD＝m，EF＝2.5m，Rt△OFD中，OF＝，r+OF＝2.5，所以+r＝2.5，解得r＝1.3．故答案為：1.3．14．（2分）（2022秋?天長市校級期末）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E，連接OC，若OC＝5，AE＝2，則CD等于8．解：∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CD＝2CE，∵OC＝5，AE＝2，∴OA＝5，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，∴CE＝＝＝4，∴CD＝2CE＝8．故答案為：8．15．（2分）（2023?頭屯河區(qū)模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點F，OE⊥AC于點E，若OE＝3，OB＝5，則CD的長度是．解：∵OE⊥AC，∴AE＝EC，∵AB⊥CD，∴∠AFC＝∠AEO＝90°，∵OE＝3，OB＝5，∴AE＝＝＝4，∴AC＝8，∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC，∴△AEO∽△AFC，∴＝，即＝，解得：FC＝，∵CD⊥AB，∴CD＝2CF＝，故答案為：．16．（2分）（2023?池州三模）如圖1，圓形拱門是中國古代建筑喜歡采用的樣式，美觀且實用，圖2是拱門的示意圖，拱門底端寬2米，拱門高3米，拱門所在圓的半徑為米．解：如圖，取圓心為O，連接OA，設(shè)OA＝x米，則OC＝x米，∵CD＝3米，∴OD＝（3﹣x）米，∵CD⊥AB，∴AD＝AB＝×2＝1m，OA2＝OD2+AD2，∴x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，故答案為：．17．（2分）（2023?鼓樓區(qū)模擬）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇O，點C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個花壇的半徑為20．解：如圖，連接OA，過點O作OD⊥AB，垂足為D，∵AB是弦，OD⊥AB，AC＝11，BC＝21，∴AD＝BD＝AB＝16，∴CD＝AD﹣AC＝5，∴OD＝＝＝12，∴OA＝＝＝20．故答案為：20．18．（2分）（2023?玉屏縣模擬）如圖所對圓心角∠AOB＝90°，半徑為4，C是OB的中點，D是上一點，把CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接AE，則AE的最小值是2﹣4．解：如圖，連接OD，以O(shè)C為邊向下作正方形OCTH，連接AT，ET．∵OA＝OB＝4，OC＝CB＝CT＝OH＝HT＝2，∴AH＝AO+OH＝6，∴AT＝＝＝2，∵∠OCT＝∠ECD＝90°，∴∠OCD＝∠TCE，在△OCD和△TCE中，，∴△OCD≌△TCE（SAS），∴ET＝OD＝4，∵AE≥AT﹣ET＝2﹣4，∴AE的最小值為2﹣4．故答案為：2﹣4．19．（2分）（2023?平谷區(qū)二模）直徑為10分米的圓柱形排水管，截面如圖所示．若管內(nèi)有積水（陰影部分），水面寬AB為8分米，則積水的最大深度CD為2分米．解：連接OA，如圖所示：∵⊙O的直徑為10分米，∴OA＝5分米，由題意得：OD⊥AB，AB＝8分米，∴分米，∴（分米），∴積水的最大深度CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（分米），故答案為：2．20．（2分）（2023?婺城區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，是⊙O上一點，點D是弧BC的中點，DE⊥AB于點E，交BC于點F，已知AC＝2，⊙O的半徑為2，則BF的長為．?解：延長DE交圓O于點G，連接BD、OD，如圖所示：∵點D是弧BC的中點，∴＝，又∵DE⊥AB，∴＝，∴＝，∴∠DBC＝∠BDF，∴DF＝BF，∵AB為⊙O的直徑，⊙O的半徑為2，∴AB＝4，∴∠ACB＝90°，OB＝OD＝2，∴BC＝＝2，∵AB為⊙O的直徑，DE⊥AB，∴DE＝GE，＝，∵D是的中點，∴＝＝，∴＝，∴BC＝DG＝2DE；即：DE＝BC＝，∵DE⊥AB，∴OE＝＝1，∴BE＝OB﹣OE＝1，設(shè)DF＝BF＝a，則EF＝﹣a，在Rt△BEF中，由勾股定理得：12+（﹣a）2＝a2，解得：a＝，∴BF＝DF＝．故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?佛山一模）《九章算術(shù)》標志中國古代數(shù)學形成了完整的體系．第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學語言可表述為：“如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直徑AB的長．”請你解答這個問題．解：如圖，連接OC，∵弦CD⊥AB，AB為圓O的直徑，∴E為CD的中點，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，設(shè)OC＝OB＝x寸，則AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，答：直徑AB的長為26寸．22．（6分）（2022秋?大荔縣期末）如圖，⊙O上依次有A，B，C，D四個點，＝，連接AB，AD，BD，延長AB到點E，使BE＝AB，連接EC，F(xiàn)是EC的中點，連接BF．求證：BF＝BD．證明：連接AC，OB，OD．∵AB＝BE，∴點B為AE的中點，∵F是EC的中點，∴BF為△EAC的中位線，∴BF＝AC，∵＝，∴＝，∴BD＝AC，∴BF＝BD．23．（8分）（2023?青山區(qū)校級模擬）如圖，A，B，C，D分別為⊙O上一點，連AB，AC，BC，BD，CD，AC垂直于BD于E，AC＝BC，連CO并延長交BD于F．（1）求證：CD＝CF；（2）若BC＝10，BE＝6，求⊙O的半徑．（1）證明：延長CO交AB于H點，交⊙O于G點，如圖，∵CA＝CB，∴＝，∴CG⊥AB，∴∠AHC＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∵∠CFD+∠ECF＝90°，∠A+∠ECF＝90°，∴∠CFD＝∠A，∵∠A＝∠D，∴∠D＝∠CFD，∴CD＝CF；（2）解：在Rt△BCE中，∵BC＝10，CE＝6，∴CE＝＝8，∵AC＝BC＝10，∴AE＝2，在Rt△ABE中，AB＝＝2，∵AG為直徑，∴∠CBG＝90°，∵∠G＝∠A，∠AEB＝∠GBC，∴△BCG∽△EBA，∴CG：AB＝BC：BE，即CG：2＝10：6，解得CG＝，∴⊙O的半徑為24．（8分）（2022秋?朝陽區(qū)期末）圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學性能好，而且構(gòu)造簡單、施工方便．某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為1m的圓，如圖所示，若水面寬AB＝0.8m，求水的最大深度．解：如圖，作OC⊥AB于點C，連接OA，∴∠ACO＝90°，，∵AB＝0.8m，∴AC＝0.4m，∵直徑為1m，∴OA＝0.5m，在Rt△ACO中，根據(jù)勾股定理，得（m），∴0.3+0.5＝0.8（m），∴水的最大深度為0.8m．25．（8分）（2022秋?石景山區(qū)期末）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．其中第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)代的語言表述如下，請解答：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，EB＝1寸，CD＝10寸，求直徑AB的長．解：連接OC，∵弦CD⊥AB，AB為圓O的直徑，∴E為CD的中點，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，設(shè)OC＝OA＝x寸，則AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，答：直徑AB的長為26寸．26．（8分）（2023?晉安區(qū)校級模擬）已知如圖1，在⊙O中，弦AC⊥BD于點P，AP＝3，BP＝6，PD＝4．E是的中點．（1）求BC的長．（2）求AE的長．（3）如圖2，若＝，連接FD交AB于點Q，試說明∠AQD的度數(shù)是否會發(fā)生變化，若不變請求出∠AQD的度數(shù)，并說明理由．解：（1）∵AC⊥BD，∴BP?PD＝AP?PC，∵AP＝3，BP＝6，PD＝4，∴PC＝8，∴BC＝＝10；（2）∵BC＝10，BD＝10，∴△BCD是等腰三角形，∵E是的中點，∴∠DBE＝∠CBE，∴BM⊥CD，∴BE是圓O的直徑，∴∠BAE＝90°，∵＝，∴∠ACB＝∠BEA，∵tan∠BCP＝＝，∴tan∠BEA＝＝，在Rt△ABP中，AP＝3，BP＝6，∴AB＝＝3，∴AE＝4；（3）∠AQD的度數(shù)為45°，不會發(fā)生變化，理由如下：設(shè)BE與AC的交點為G，過點G作GH⊥BC交于點H，由（2）知，∠CBE＝∠DBE，∠BA＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∴GH＝GP，∠BHG＝∠CHG＝90°，∴Rt△BHG≌Rt△BPG（HL），∴BH＝BP＝6，∴CH＝BC﹣BH＝4，設(shè)GP＝x，則GH＝x，CG＝CP﹣GP＝8﹣x，在Rt△CGH中，x2+16＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴GP＝AP＝3，∵BP⊥AG，∴BP垂直平分AG，∴AB＝GB，∴∠ABP＝∠GBP＝∠ABE，∵＝，∴∠BDF＝∠AEB，∴∠AQD＝∠ABP+∠BDF＝（∠ABE+∠AEB）＝45°．27．（8分）（2022秋?青山湖區(qū)校級期末）如圖1是小明制作的一副弓箭，點A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點，