高二數(shù)學(xué)選擇性必修二同步練習(xí)與答案解析（提高訓(xùn)練）

高二數(shù)學(xué)選擇性必修二同步練習(xí)

《4.1數(shù)列的概念》同步練習(xí)

（提高練）

選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）

3n-2,/?>10

1.若數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=<(neN"則%=（)

r~\n<9

A.27B.21C.15D.13

(、2

a

2.在數(shù)列｛4｝中，4=1,n—―(〃22,nsN"),則。4=

n—\

22

A.—B.-C.2D.6

113

3.數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式an=ncosy,其前〃項(xiàng)和為Sn,則S2015=

A.1008B.2015C.-1008D.-504

4.德國數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)如果，是偶數(shù),

就將它減半（即人）：如果t是奇數(shù)，則將它乘3加1（即3r+l）,不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算,

2

經(jīng)過有限步后，一定可以得到1.猜想的數(shù)列形式為：旬為正整數(shù)，當(dāng)〃eN*時(shí)，

3/+1,（。,-為奇數(shù)）

an=\a,、，則數(shù)列｛4,｝中必存在值為1的項(xiàng).若4=1,則%的值為

為偶數(shù)）

（）

A.1B.2C.3D.4

5.數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)，如果

是奇數(shù)，則乘3加1.如果是偶數(shù)，則除以2,得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終

總能夠得到1.對(duì)任意正整數(shù)即，記按照上述規(guī)則實(shí)施第〃次運(yùn)算的結(jié)果為%（〃￡N）,則

使%=1的劭所有可能取值的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

6.觀察數(shù)列l(wèi)n2,cos3,21,ln5,cos6,27,ln8,cos9,…，則該數(shù)列的第20

項(xiàng)等于()

A.230B.20C.In20D.cos20

7,

7.己知數(shù)列｛%｝滿足：4=1(3-“a_6)n-3,nr<(neTV*),且數(shù)列｛《J是遞增數(shù)列，則實(shí)

a,〃>7

數(shù)a的取值范圍是()

oo

A.(-,3)B.[-,3)C.(1,3)D.(2,3)

44

8.已知數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為4=/—/I”(AeR),若｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)2

的取值范圍是()

A.(-oo,3)B.(Y°,2)C.(-co,l)I).(fo,0)

9.己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“，且S”一=(〃一1)2,則數(shù)列也｝的最小項(xiàng)

為()

A.第3項(xiàng)B.第4項(xiàng)C.第5項(xiàng)D.第6項(xiàng)

10.已知數(shù)列｛4｝滿足4=Q(0vavl),4討=?！?4自，則()

21

A.當(dāng)Q=一時(shí)，。2020<1B.當(dāng)。=5時(shí)，。2020>1

C.當(dāng)。=§時(shí)，。2020<1D.當(dāng)時(shí)，。2020>1

二,填空題(共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分)

11.已知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃，a〃=cos(wr),則§2020=

12.數(shù)列｛q｝中，已知〃2=2,?！?2=%+1+?！?，若。8=34,則數(shù)列｛%｝的前6項(xiàng)和為

13.觀察下列數(shù)表：

1

35

791113

1517192123252729

設(shè)1025是該表第m行的第n個(gè)數(shù)，則加+〃=

14.已知數(shù)列｛4｝對(duì)任意的p,qeN*滿足＜+g=%,+%,且。2=-4,則，=

15.設(shè)數(shù)歹ij｛4｝的前n項(xiàng)和為S“，滿足5〃=(一1)"4(〃GN"),則4=

S?=----------

16.已知在數(shù)列｛4｝中，4=11且叫,-1）4+1=1，設(shè)—=―*—，neN*，則4=

anan+\

,數(shù)列也｝前n項(xiàng)和（=

3a?+L為奇數(shù)

17.已知數(shù)列｛/｝對(duì)任意的nGN*,都有%GN*,月.a.+產(chǎn),a牝,由必

彳,。“為偶數(shù)

①當(dāng)為=8時(shí)，a20l9=

②若存在mdN*,當(dāng)n＞m且4為奇數(shù)時(shí)，《，恒為常數(shù)P,則P=

三.解答題（共5小題，滿分64分，18—20每小題12分，21,22每小題14分）

18.數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)4+試問該數(shù)列｛““｝有沒有最大項(xiàng)？若有,

求出最大項(xiàng)；若沒有，說明理由.

19.數(shù)列｛““｝滿足：—H--H-1-----=n~+n,nGN*.

23n+\

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

,19

（2）設(shè)勿=/，數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，求滿足S”＞與的最小正整數(shù)〃.

20.數(shù)列｛4｝滿足/?！?|%+2=%+/+1+4+2（%4”產(chǎn)1，〃€"），且6=1,里=2.規(guī)

定的｛4｝通項(xiàng)公式只能用Asin?x+0）+c（A彳0,0＞0,|同＜、）的形式表示.

（1）求％的值;

(2)證明3為數(shù)列｛4｝的一個(gè)周期，并用正整數(shù)2表示①；

(3)求｛a,｝的通項(xiàng)公式.

21.數(shù)列數(shù)“｝中,4=2,(n+l)(a?+i-a?)=2(a?+n+1).

(1)求出，陽的值；

2

(2)己知數(shù)歹的通項(xiàng)公式是=〃+1,an=n+1,a“=〃2+〃中的一個(gè)，設(shè)數(shù)列

1T

｛一｝的前〃項(xiàng)和為｛。m一q｝的前葭項(xiàng)和為T,，若黃>360,求”的取值范圍.

an

22.已知數(shù)列｛q｝滿足q=f,an+i=1+—,數(shù)列｛4｝可以是無窮數(shù)列，也可以是有窮

3511

數(shù)列，如取r=i時(shí)，可得無窮數(shù)列：1,2,二，—，…；取"一一時(shí)，可得有窮數(shù)列：-一，

2322

-1，0.

(1)若為=0，求f的值；

(2)若1</<2對(duì)任意n>2,〃eN*恒成立.求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

(3)設(shè)數(shù)列也｝滿足4=-1,%=V—j-(?wN*),求證：t取數(shù)列也｝中的任何一個(gè)

數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列｛%｝.

答案解析

一.選擇題(共10小題，滿分50分，每小題5分)

,、f3n-2,n>10/

1.若數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為a”=彳3“-2〃<9(〃eN),則%=()

A.27B.21C.15D.13

【答案】A

【解析】

3n-2,n>10

所以為=3"2=33=27,

3"-2,n<9

故選：A.

r、2

2.在數(shù)列｛%｝中，4=1,=-------(H>2,neN*),則。4=

〃-1-1

22

A.—B.—C.2D.6

113

【答案】D

【解析】

22c22

a

n=^-----rCn>2,〃wN*),???a2=-----=2,a3=------=

2?〃_]-12at-12%-13

3.數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式a“="cos萬，其前〃項(xiàng)和為S“，則$20”=

A.1008B.2015C.-1008D.-504

【答案】C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的周期性可

麴、助？

帆==僦％=寓礴*施=一游福=3?蹦鎮(zhèn)一1二吼嘴=

既‘

二4，同理得哪=%%=-就叫？=卿：,4=配，可知周期為4,

二,蚪相梯=斂噴粒鵬開嗎#嗨》玨叫^^帶

器啊.界:嗯足粉=工顏幅-額竄8=一鑿蹶幅.

4.德國數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)乙如果，是偶數(shù)，

就將它減半（即,）；如果f是奇數(shù)，則將它乘3加1（即3/+1）,不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，

2

經(jīng)過有限步后，一定可以得到1.猜想的數(shù)列形式為：劭為正整數(shù)，當(dāng)“eN*時(shí)，

34I+L（4T為奇數(shù)）

a,,^\a.,、，則數(shù)列｛4,｝中必存在值為1的項(xiàng).若4=1,則生的值為

寸,（如為偶數(shù)）

、乙

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

3%+1,（%為奇數(shù)）

因?yàn)?=1,

爭(zhēng),（―為偶數(shù)）

I2

所以％=3xl+l=4,

4c

%=—=2,

2

2?

“3=5=1，

4=3x14-1=4,

4,

“5=5=2,

故選：B

5.數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)，如果

是奇數(shù)，則乘3加1.如果是偶數(shù)，則除以2,得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終

總能夠得到L對(duì)任意正整數(shù)即，記按照上述規(guī)則實(shí)施第〃次運(yùn)算的結(jié)果為?（〃￡N）,則

使%=1的％所有可能取值的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

3a“_1為奇數(shù)

由題意知GN"，號(hào),為偶數(shù)

由%=1,得％=2,二.%=4,「?%=1或。4=8.

①當(dāng)4=1時(shí)，%=2,二?%=4,，q=1或q=8,二.%=2或旬=16.

②若&=8,則%=16,「.%=5或%=32,

當(dāng)4=5時(shí)，10,此時(shí)，g=3或4=20,

當(dāng)％=32時(shí)，%=64,此時(shí)，%=21或4=128,

綜上，滿足條件的4的值共有6個(gè).

故選：D.

6.觀察數(shù)列2’，ln2，cos3,24,ln5,cos6,27,ln8,cos9,…，則該數(shù)列的第20

項(xiàng)等于()

A.230B.20C.In20D.cos20

【答案】C

【解析】

觀察數(shù)列得出規(guī)律，數(shù)列中的項(xiàng)中，

指數(shù)、真數(shù)、弧度數(shù)是按正整數(shù)順序排列，

且指數(shù)、對(duì)數(shù)、余弦值以3為循環(huán)，

?.?20=6?32,

可得第20項(xiàng)為In20.

故選：C.

(3-a)n-3,?<7

7.已知數(shù)列｛4｝滿足：aH=\"6”(nwN*),且數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，則實(shí)

(a,n>7

數(shù)a的取值范圍是()

99

A.(-,3)B.[-,3)C.(1,3)D.(2,3)

44

【答案】D

【解析】

(3~a)n-3,x<7

根據(jù)題意，a?=f(n)=f/,,nSN*,要使｛a.｝是遞增數(shù)列，必有

a"6,〃>7

3-。>0a<3

<a>\,據(jù)此有：\a>\,綜上可得2〈水3.

(3-a)x7-3<a"6[.>2或4<-9

本題選擇D選項(xiàng).

8.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=/—力？(4eR),若｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)％

的取值范圍是()

A.(—8,3)B.(—co,2)C.(—8,1)D.(-8,0)

【答案】A

【解析】

-—

由已知得a“+1—cin=(〃+1)-+1)n~+An=In+1—A,

因?yàn)椋?,｝為遞增數(shù)列，所以有。川一4>0，即2〃+1—4>0恒成立，

所以」<2凡+1,所以只需；l<(2〃+l)min，即幾<2xl+l=3,

所以;1<3,

故選：A.

2"'

9.已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S“，且S”一?！?(〃一1)2,b.二不,則數(shù)列｛〃｝的最小項(xiàng)

為()

A.第3項(xiàng)B.第4項(xiàng)C.第5項(xiàng)D.第6項(xiàng)

【答案】A

【解析】

S?-an=S,i,則Si=5-1尸，即S“=IseN*),

22

/.an=77-(H-1)=2n-l.

易知”>0,

..2+1_2?/①I4

4

hn(n+1)n+1

當(dāng)屈>1時(shí)，〃〉夜+1，

n+1

...當(dāng)1W/<3時(shí)，b?>b?+l,

當(dāng)〃23時(shí)，a<〃用,

32

又&=2也8?

當(dāng)〃=3時(shí)，么有最小值.

故選：A

2

10.已知數(shù)列｛4｝滿足q=a（o<a<l）,4，用=%+養(yǎng)§，〃eN*，則（)

21

A.當(dāng)〃二§時(shí)，。2020<1B.當(dāng)。=5時(shí)，％020>1

C.當(dāng)。=g時(shí)，。2020<1D.當(dāng)Q=；時(shí)，％020>1

【答案】c

【解析】

2

因?yàn)椤?，用―。“=養(yǎng)3>0,所以｛可｝遞增，從而4Na，

當(dāng)a=|時(shí)，a-a?

n+i-~—>

2019

2019

4

924

所以。2。2。>4+2019

293-9-

01

當(dāng)0<awg時(shí)，因?yàn)?019a,+1=2019%+a；=%(2019+4),

…111(111

所以--------=--------------=--------------------

2019a,川a“(2019+a“)2019(a“2019+?J

11

所以---

4+ian2019+。〃

1111

所"--------=----------->-------

?n+1%2019+%20191

從而土》（-2019?短=?22-1=1,故有限<1.

故選：C.

二.填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）

11.己知數(shù)列的｝的前"項(xiàng)和為S"，a“=cos(/vr),則S20207

【答案】0

【解析】

由an=cos(〃萬)得a“+2=cos(〃4+2萬)=cos(〃%)=an,

所以數(shù)列｛4｝以2為周期，

又①=cos乃=-1,a2-cos2萬=1,

所以S2020=1010x(q+%)=0.

故答案為：0.

12.數(shù)列｛4｝中，已知外=2,4+2=。用+4,若%=34,則數(shù)列｛4｝的前6項(xiàng)和為

【答案】32

【解析】

:數(shù)列｛%｝中,電=2,an+2=an+i+an,%=34,

%=%+q=2+q,4=%+%=2+q+2=4+q,

。5=%+。3=6+2%,4=%+。4=10+3。1,

%=%+。5=16+5。］,%=%+4=26+8“-34,

解得q=1,

???數(shù)列｛2｝的前6項(xiàng)和為：

§6=q+2+(2+4)+(4+q)+(6+2aJ+(10+3aJ=24+84=32,

故答案為：32.

13.觀察下列數(shù)表：

1

35

791113

1517192123252729

設(shè)1025是該表第m行的第n個(gè)數(shù)，則m+〃=______.

【答案】12

【解析】

根據(jù)上面數(shù)表的數(shù)的排列規(guī)律，1、3、5、7、9、…都是連續(xù)奇數(shù),

第一行1個(gè)數(shù)；

第二行2=2個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是3=2z-1.

第三行4=22個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是7=23-1;

第四行8=23個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是15=2,一1；

第10行有29個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是-1=1023,第二個(gè)數(shù)是1025,

所以1025是該表第10行的第2個(gè)數(shù)，所以加=10,n=2,則m+n=

故答案為：12.

14.已知數(shù)列｛《,｝對(duì)任意的p,qeN*滿足a°+g=%+%,且%=-4,則4=—

【答案】一12-In

【解析】

由題意，根據(jù)條件得出=4+4=T,則％=-2,而/=%+%=-6,所以

%=%+。3=-12,…，由此可知?！?一2",從而問題可得解.

15.設(shè)數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S,=(-1)%“一，)(nGN*),

$3=?

［答案］；

416

【解析】

當(dāng)〃=1時(shí)，4=一4一3，解得q=-；.

(2)當(dāng)〃22時(shí)

=(—DZ,一￡一(一1尸—+擊,

a”=S“_S“_\

11

令〃=3可得,——a+—,即2%=—,

8748

令〃=4可得,

10O

11

解得：%=一—,a?=—

16-4

…1111

則$=4+。2+。3=_7+1_而=―記

,1

16.已知在數(shù)列｛q｝中，4=11且〃4一（〃一1）%+1=1，設(shè)"=，〃wN*,則a?=

。網(wǎng)7

,數(shù)列｛"｝前n項(xiàng)和7；=

H

【答案】22—

【解析】

111

n-\nn(n-l)n-1n

也」=人」(〃22)

nnn—l〃一1

??1=/g=2(〃N2)

為常數(shù)列,

n-\n-\n—\n—\

：.an=2/7-l(n>2),〃=1,%=1適合上式.

an=2n-l,UGN*,

111

b,」==1

anan+l(2〃-1)(2〃+1)212〃-12〃+1

11111n

1—

23J2135J212〃-l2n+\22〃+1J2〃+l

故答案為：2〃-1；——-

2/7+1

3a“+1,%為奇數(shù)

17.已知數(shù)列｛/｝對(duì)任意的nCN*,都有a“GN*,且凡+]'與，見為偶數(shù)

①當(dāng)為二8時(shí)，％019=

②若存在meN*,當(dāng)n>m且凡為奇數(shù)時(shí)，。“恒為常數(shù)P,則P=

【答案】21

【解析】

3an+1,為奇數(shù)

aM,1c，,則q=8,%=4,4=2,%=1,%=4,4=2,…

-y,a”為偶數(shù)

故從第二項(xiàng)開始形成周期為3的數(shù)列，故生,“9=2

當(dāng)凡為奇數(shù)時(shí)，4用=34+1為偶數(shù)，故。,+2=等=的產(chǎn)

什「大%r1lI3a“+1生?7、在口

右4+2為奇數(shù)，則a?=——，故an=-1,不酒足；

若可+2為偶數(shù)，則可+3=等='導(dǎo)，直到為奇數(shù)，即見=之導(dǎo)MeN"

故為=—」cN",當(dāng)A=2時(shí)滿足條件，此時(shí)4=1,即〃=1

故答案為：①2；②1

三.解答題（共5小題，滿分64分，18—20每小題12分，21,22每小題14分）

18.數(shù)列｛勺｝的通項(xiàng)+試問該數(shù)列｛4｝有沒有最大項(xiàng)？若有,

求出最大項(xiàng)；若沒有，說明理由.

【答案】最大項(xiàng)為%=%0=》

【解析】

a?>a,,..

設(shè)?！笆窃摂?shù)列的最大項(xiàng)，則、"

UN4T

解得9W〃W10

?/nwN：

：.〃=9或〃=1(),

??最大項(xiàng)為%==■']F

點(diǎn)睛：求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法

(1)可以利用不等式組彳"一["522)找到數(shù)列的最大項(xiàng)；利用不等式

[4,>an+i

"0，，''"""(n>2)找到數(shù)列的最小項(xiàng).

(2)從函數(shù)的角度認(rèn)識(shí)數(shù)列，注意數(shù)列的函數(shù)特征，利用函數(shù)的方法研究數(shù)列的最大項(xiàng)或

最小項(xiàng).

19.數(shù)列｛〃〃｝滿足：---卜；]="+*九eN1

(1)求｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

,1_9

⑵設(shè)壯力數(shù)歹四｝的前〃項(xiàng)和為S"'求滿足s”>歷的最小正整數(shù)工

【答案】(1)?！?2〃5+1)；(2)10.

【解析】

(1)?.?幺+竺+…+衛(wèi)=/+〃.

23n+1

n=l時(shí)，可得5=4,

n22時(shí)，—+—H---1--^^-=AZ—I24-n—1.

23n

與幺+&+…+衛(wèi)=〃2+〃.

23n+\

兩式相減可得」公=(2n-1)+l=2n,

n+\

a”=2〃(〃+l).n=i時(shí)，也滿足，；.

,11

(2)=—=—~N=-----------

a?2〃(〃+l)2(〃n+\)

”,1119

.*.S?=-1----1-------F...H---------=—1--------,又S“>—，可得n〉9,

21223nn+l)2(n+1)”20

可得最小正整數(shù)n為10.

20.數(shù)列何｝滿足anan+ian+2=an+an+i+??+2(+產(chǎn)1,〃wN"),且q=1,&=2.規(guī)

定的｛?！ǎ?xiàng)公式只能用Asin(a)x+/)+cAh0,6y>0,例<]的形式表示.

(1)求的的值；

(2)證明3為數(shù)列｛%｝的一個(gè)周期，并用正整數(shù)女表示刃；

(3)求｛%｝的通項(xiàng)公式.

【答案】(1)%=3(2)證明見解析；勿=等心€?4*).(3)4=-苧sin(1〃—()+2

【解析】

(1)當(dāng)ai=l,&=2,41&@3=41+@2+&3，解得@3=3；

(2)當(dāng)n=2時(shí)，6a.i=2+3+a.i,解得出=1,

當(dāng)n=3時(shí),3a5=l+3+a5,解得a5=2,

可得an+3=an,當(dāng)ai=l,a-2=2,33=3；

故3為數(shù)列｛a｝的一個(gè)周期，

則支=3,k￡N*,則啰=也僅￡?4*)；

33v7

2zr

(3)由(2)可得an=Asin(----n+6)+c,

3

2冗冗

則l=Asin(----+6)+c,2=-Asin(—+6)+c,3=Asin4)+c,

33

]

即1=A?-----cos6-A?一sind)+c,①

22

]

2=-A*——cos小-A?-sin4>+c,②

22

由①+②，可得3=-Asin4>+2c,

.\c=2,Asin=1,

①-②，可得-1=A?7JCOS6,

則tan4)=->/3,

???I6Vg,

2

工6=一-,

3

2月.(17171

=-----sm—n+2.

3

21.數(shù)列｛%｝中，4=2,(n+1)(a?+1-??)=2(a?+n+l).

(1)求。2，43的值;

2

(2)已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是=〃+1,an=n+\,〃“=/+〃中的一個(gè)，設(shè)數(shù)列

1T/

｛-｝的前〃項(xiàng)和為S“，｛。向一%｝的前〃項(xiàng)和為7；,若,>360,求〃的取值范圍.

%S.

t答案】(1)。2=6,?3=12(2)n>m且”是正整數(shù)

【解析】

⑴???(〃+1)(%-%)=2(4+〃+1),

〃+3.

?%=一7凡+2

1+3

=4+2=6

21+1

2+3

4+2=12

2+1

2

(2)由數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是=〃+1,an=n+\,%="+〃中的一個(gè)，和心=6得

數(shù)列MJ的通項(xiàng)公式是為=〃2+〃=〃(〃+1)

1_1_1

由4=〃(〃+1)可得丁

+n〃+1

11111

++…+=1———

|1n〃+1n+1

1

〃+1

???(%一弓)+(%-%)+???+(“用一)=4向一4,%=〃(〃+1)

/.(%-q)+(%一%)+…+(%+1_。")="2+3〃

同J[=/r+3n

由方>360,得“2+4〃一357>0,解得〃>17或〃<-21

是正整數(shù)，

，所求”的取值范圍為〃>17,且〃是正整數(shù)

22.已知數(shù)列｛?！埃凉M足/=，，4+1=1+',數(shù)列｛勺｝可以是無窮數(shù)列，也可以是有窮數(shù)

3511

列，如取U1時(shí)，可得無窮數(shù)列：1,2,取，=-7時(shí)，可得有窮數(shù)列：一大，

2322

-1，0.

(1)若4=。，求/的值；

(2)若1<%<2對(duì)任意”22,恒成立.求實(shí)數(shù)/的取值范圍；

⑶設(shè)數(shù)列也｝滿足〃=T,求證：/取數(shù)列也｝中的任何一個(gè)

數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列｛%｝.

3

【答案】(1)/=-|;(2)r>l；(3)證明見解析.

【解析】

,I1

(1)由4用=1+—得4=-----

1

%??+i-

,,,1213

.1[11%=-----=—t=a,=------=—

..…西=T'%=F=-5'--93，5;

1131

(2)若1<2(〃N2,〃wN")，則彳<一<1,T-<an+l=1+一<2,

''2a"2an

即1<。用<2,故只要iv4<2即可，

因?yàn)?=,,所以％=11,解得，>1；

,1,,1

(3)由%+i=；~；得匕=1+：—,

設(shè)4=/=瓦，(kwN"),則％=1+，=4.1

故｛q｝有&+1項(xiàng)，為有窮數(shù)列.

即/取數(shù)列｛4｝中的任何一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列｛%｝.

《4.2等差數(shù)列》同步練習(xí)

（提高練）

一.選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）

1.在等差數(shù)列｛4｝中，首項(xiàng)4=0,公差S“是其前〃項(xiàng)和，若應(yīng)=$6,則么=（）

A.15B.16C.17D.18

2.已知遞減的等差數(shù)列｛%｝滿足d=*,則數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和取最大值時(shí)n=（）

A.4或5B.5或6C.4D.5

3.己知數(shù)列｛4｝中，4=2，%=1,若，=丁為等差數(shù)列，則q9=（）

12

A.0B.—C.-D.2

23

4.已知數(shù)列｛q｝是公差不為零的等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S“，則"S”>0,〃eN*”是“數(shù)

列｛q｝是遞增數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知數(shù)列｛%｝滿足az=%［且q=4,設(shè)｛%｝的n項(xiàng)和為S?,則使得S“取得最大

值的序號(hào)n的值為（）

A.5B.6C.5或6D.6或7

6.已知｛叫是公差為2的等差數(shù)列，5“為｛4,｝的前門項(xiàng)和，若53=4+%，則融=（）

A.10B.12C.15D.16

7.在等差數(shù)列｛風(fēng)｝中，。2+4=1°，4+3=14,則為+4=（)

A.12B.22C.24D.34

8.中國古代詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題：“九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子做盤纏,

次第每人多十七，要將第八數(shù)來言”.題意是：把996斤綿分給8個(gè)兒子作盤纏，按照年齡

從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿,那么第8個(gè)兒子分到的綿是（）

A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤

9.設(shè)等差數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S“，若兀>0,幾<0,則S“取最大值時(shí)”的值為（）

A.6B.7C.8D.13

r、/、S”〃+54

10.已知等差數(shù)列｛/｝,｛2｝的前〃項(xiàng)和分別為s“和7；,且■=歹工，則U=（）

612八1816

A.-B.—C.—D.—

7112521

二.填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）

11.已知數(shù)列｛4｝是公差d>0的等差數(shù)列，｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,4=39,S6=48,

貝IS|o=-

12.設(shè)數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，已知q+4+%=99,%+%+4=93,

若對(duì)任意〃eN*都有S,,<Sk成立，則k的值為.

13.已知等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S“，若1W/W3,3Wq+S3W6,則，■的取值范圍

是.

14.數(shù)列｛4,｝的前〃項(xiàng)和為S.,定義｛可｝的“優(yōu)值”為叫=%+2。2+???+2”%,現(xiàn)

n

已知｛可｝的“優(yōu)值"H,,=2"，則為=,Sn=.

15.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)的和為S“=〃2+〃+i,仇—?jiǎng)t數(shù)列

｛q,｝的通項(xiàng)公式為一二數(shù)列｛2｝的前5（）項(xiàng)和為一.

V11

16.己知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，數(shù)列｛」t｝是首項(xiàng)為：，公差為二的等差數(shù)列，則｛4｝

n24

的通項(xiàng)公式為；若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.5]=0,[1g499]=2,則

數(shù)列｛Uga,1｝的前2(X)0項(xiàng)的和為.

17.等差數(shù)列｛%｝中4+%+44=40+24,且%=3q,則4=.；若集合

｛”eN*|2"/i<q+a2+...+a“｝中有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù);I的取值范圍是.

三.解答題(共5小題，滿分64分，18—20每小題12分，21,22每小題14分)

18.在項(xiàng)數(shù)為2〃的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項(xiàng)之和為75,各偶數(shù)項(xiàng)之和為90,末項(xiàng)與首項(xiàng)之差

為27,求n.

19.等差數(shù)列｛%｝中，4=2且嬉=2%，求數(shù)列｛4｝的前10項(xiàng)的和小.

20.數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，4=/(x+l),4=0,0,=〃彳-1),其中/(力=%2-以+2,

求通項(xiàng)公式以及前〃項(xiàng)和s..

21.已知公差小于零的等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S“，月.滿足a3a尸117,a2+a5=22.

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)求S0的最大值.

22.在數(shù)列｛q｝中，％=1,a；-

(1)證明，數(shù)列是等差數(shù)列.

(2)設(shè)勿…+G〃+i，是否存在正整數(shù)攵，使得對(duì)任意〃WN*，b“<2k恒

成立？若存在，求出左的最小值；若不存在，說明理由.

答案解析

一.選擇題(共10小題，滿分50分，每小題5分)

1.在等差數(shù)列｛4｝中，首項(xiàng)4=0,公差d#O,5“是其前〃項(xiàng)和，若4=$6,則%=()

A.15B.16C.17D.18

【答案】B

【解析】

6x5

由。￡=$6得4+(Z—l)d=6q+.-2—d,

將q=0代入得（比-1）4=15",

因?yàn)閐#0,所以Z—1=15,得k=16.

故選:B

2.已知遞減的等差數(shù)列｛q｝滿足a：=a；,則數(shù)列｛q,｝的前n項(xiàng)和取最大值時(shí)n=()

A.4或5B.5或6C.4D.5

【答案】A

【解析】

設(shè)遞減的等差數(shù)列｛%｝的公差為"(△<()),

因?yàn)?；=而，所以a：=(q+8d)2,化簡(jiǎn)得q=-44,

“一c=n(n-l),“，d2dd29d

所以S,net,H------d=-4-dnH—nn=—n------n,

"122222

9

對(duì)稱軸為〃=-,

2

因?yàn)椤癳N+，—<0,

2

所以當(dāng)〃=4或“=5時(shí)，S”取最大值,

故選：A

%=2,%=1，若---二，為等差數(shù)列，則。［9=

3.己知數(shù)列｛4｝中,）

12

A.0B.—C.-D.2

23

【答案】A

【解析】

1111

因?yàn)椋?=2,故

。3+13%+12

所以—L.=_L+”L16=，+2=I，故/"

Q[g+1/+1433

故選：A.

4.已知數(shù)列｛q｝是公差不為零的等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S“，則"S”>0,〃eN*”是“數(shù)

列｛4｝是遞增數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

VSn=nat+—^~-耳>0恒成立，d>0,二｛4｝遞增；

反之，可取則｛4｝遞增，但5<0,

所以“S,,>0,〃eN*”是“數(shù)列｛q｝是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

故選：A.

5.已知數(shù)列｛4｝滿足%+1=。“一［且4=4,設(shè)｛%｝的n項(xiàng)和為S,,,則使得S,,取得最大

值的序號(hào)n的值為（）

A.5B.6C.5或6D.6或7

【答案】C

【解析】

由已知得，??+|故｛4｝是公差為一不得等差數(shù)列，

4424

又4=4,所以%=4_q〃_1)—n-\---

令420,故〃=5或6時(shí)，S“取得最大值.

故選:C

6.已知｛凡｝是公差為2的等差數(shù)列，S,為｛凡｝的前n項(xiàng)和，若$3=4+%，則％=（）

A.10B.12C.15D.16

【答案】D

【解析】

由題意得：S3=3q+3",且q+4=24+43,

/.34+3d=2q+4d,

將d=2代入得：%=d=2,

所以q=4+7d=16.

故選：D.

7.在等差數(shù)列｛《,｝中，a2+a5=10,%+&=14,則為+4=（）

A.12B.22C.24D.34

【答案】B

【解析】

設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為a,

則（生+%）=比辿

22

故為+為=。5+4+6d=10+6x2=22.

故選：B

8.中國古代詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題：“九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子做盤纏，

次第每人多十七，要將第八數(shù)來言”.題意是：把996斤綿分給8個(gè)兒子作盤纏，按照年齡

從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿,那么第8個(gè)兒子分到的綿是（）

A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤

【答案】B

【解析】

用4,4,…表示8個(gè)兒按照年齡從大到小得到的綿數(shù)，

由題意得數(shù)列4,4,…，4是公差為17的等差數(shù)列，且這8項(xiàng)的和為996,

3x7

/.8a,+-^-xl7=996,

解得q=65.

.?.4=65+7x17=184.選B.

9.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若耳3>0,&4<0,則S〃取最大值時(shí)〃的值為（）

A.6B.7C.8D.13

【答案】B

【解析】

根據(jù)S[3>0,