2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第八章 第二講 用樣本估計(jì)總體配套課件

第二講用樣本估計(jì)總體2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第八章

統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析1.總體取值規(guī)律的估計(jì)(1)繪制頻率分布直方圖的步驟①求極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.②決定組距和組數(shù)：當(dāng)樣本量不超過(guò)100時(shí)，常分成5～12組.③將數(shù)據(jù)分組：通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間.

④列頻率分布表：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.

將樣本數(shù)據(jù)分成若干個(gè)小組，每個(gè)小組內(nèi)的樣本個(gè)數(shù)稱作頻數(shù)，頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率.頻率反映各個(gè)數(shù)據(jù)在每組所占比例的大小.⑤畫頻率分布直方圖：把橫軸分成若干段，每一段對(duì)應(yīng)一個(gè)組距，然后以線段為底作一小長(zhǎng)方形，它的高等于該組的頻率組距，這樣得到一系列的長(zhǎng)方形，每個(gè)長(zhǎng)方形的面積恰好是該組的頻率.這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖，各個(gè)長(zhǎng)方形的面積總和等于1.(2)不同統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)

扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率；折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì).條形圖適用于描述離散型數(shù)據(jù)，直方圖適用于描述連續(xù)型數(shù)據(jù).2.總體百分位數(shù)的估計(jì)(1)第p百分位數(shù)的定義

一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.(2)計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計(jì)算i＝n×p%.

第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).(3)四分位數(shù)

25%，50%，75%這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).名稱概念平均數(shù)如果有n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

(x1＋x2＋…＋xn)中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，處在中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)3.總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

4.總體離散程度的估計(jì)

(1)極差

一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差. (2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差(3)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差(4)樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差【名師點(diǎn)睛】平均數(shù)、方差的公式推廣考點(diǎn)一總體百分位數(shù)的估計(jì)考向1計(jì)算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)[例1]從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中，任意抽取12顆珍珠，得到它們的質(zhì)量(單位：g)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.(1)分別求出這組數(shù)據(jù)的第25，50，95百分位數(shù)；

(2)若用第25，50，95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品，依照這個(gè)樣本的數(shù)據(jù)，給出該公司珍珠等級(jí)的劃分標(biāo)準(zhǔn).

解：(1)將所有數(shù)據(jù)從小到大排列，得 7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9.

因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù)，所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4，第95百分位數(shù)是第12個(gè)數(shù)據(jù)9.9.

(2)由(1)可知樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是8.15，第50百分位數(shù)為8.5，第95百分位數(shù)是9.9，所以質(zhì)量小于或等于8.15g的珍珠為次品，質(zhì)量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠為合格品，質(zhì)量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍珠為優(yōu)等品，質(zhì)量大于9.9g的珍珠為特優(yōu)品.

考向2根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)

[例2]某市為了了解人們對(duì)“垃圾分類”的認(rèn)知程度，對(duì)不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“垃圾分類”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分(90分及以上為認(rèn)知程度高).現(xiàn)從參賽者中抽取了x人，按年齡(單位：歲)分成5組，第一組為[20，25)，第二組為[25，30)，第三組為[30，35)，第四組為[35，40)，第五組為[40，45].得到的頻率分布直方圖如圖8-2-1所示，已知第一組有5人.圖8-2-1(1)求x的值；(2)求抽取的x人的年齡的50%分位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；

(3)從參賽者中隨機(jī)抽取10人，成績(jī)(單位：分)如下：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99.求這10人成績(jī)的20%分位數(shù)和平均數(shù)，以這兩個(gè)數(shù)據(jù)為依據(jù)，評(píng)價(jià)參賽人員對(duì)“垃圾分類”的認(rèn)知程度.解：(1)第一組頻率為0.01×5＝0.05，

(3)把這10人的成績(jī)(單位：分)按從小到大的順序排列，得88，90，92，92，95，96，96，97，98，99.

從20%分位數(shù)和平均數(shù)來(lái)看，參賽人員對(duì)“垃圾分類”的認(rèn)知程度比較高.【題后反思】(1)計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟估計(jì)值左側(cè)的矩形面積為(2)頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的估計(jì)①確定百分位數(shù)所在的區(qū)間[a，b)；②頻率分布直方圖中矩形的面積對(duì)應(yīng)頻率，第p百分位數(shù)的【考法全練】1.(考向1)一組數(shù)據(jù)為6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36，則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是()A.15B.25C.50D.75

解析：把數(shù)據(jù)從小到大排列，可得6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49，一共11項(xiàng).因?yàn)?1×25%＝2.75，故第25百分位數(shù)是第3項(xiàng)，為15.故選A.

答案：A

2.(考向2)(2023年北京市校級(jí)期末)某校組織全體學(xué)生參加知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間)，得到的頻率分布直方圖如圖8-2-2所示.下列說(shuō)法正確的是()圖8-2-2A.直方圖中x的值為0.035B.在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間[60，70)中的學(xué)生有10人C.估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)不低于80分D.估計(jì)抽取的全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為93分解析：對(duì)于A，由圖可知(0.005＋0.010＋0.015＋0.040＋x)×10＝1，解得x＝0.030，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，成績(jī)?cè)趨^(qū)間[60，70)中的被抽中的學(xué)生人數(shù)為0.010×10×200＝20，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，由圖可知平均數(shù)為55×0.005×10＋65×0.010×10＋75×0.015×10＋85×0.030×10＋95×0.040×10＝84(分)，故C正確；0.8－0.6對(duì)于D，由圖可知樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為90＋0.04＝95(分)，故D錯(cuò)誤.

故選C.答案：C

考點(diǎn)二總體集中趨勢(shì)的估計(jì)1.(2023年南開(kāi)區(qū)校級(jí)月考)已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖)如圖8-2-3所示，則數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計(jì)值為(

圖8-2-3A.64B.65C.64.5D.66

解析：因?yàn)?0.03＋0.04)×10＝0.7＞0.5，所以中位數(shù)位于[60，70)之間，設(shè)中位數(shù)為x，則0.03×10＋(x－60)×0.04＝0.5，解得x＝65，即中位數(shù)為65.故選B.答案：B答題居民序號(hào)12345678910得分/分72836576889065909576

2.(2023年安慶市校級(jí)期中)《“健康中國(guó)2030”規(guī)劃綱要》提出，健康是促進(jìn)人的全面發(fā)展的必然要求，是經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的基礎(chǔ)條件.實(shí)現(xiàn)國(guó)民健康長(zhǎng)壽，是國(guó)家富強(qiáng)、民族振興的重要標(biāo)志，也是全國(guó)各族人民的共同愿望.為普及健康知識(shí)，某公益組織為社區(qū)居民組織了一場(chǎng)健康知識(shí)公益講座.為了解講座效果，在講座后隨機(jī)抽取了10位居民進(jìn)行健康知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查，這十位居民的得分情況如下表所示：則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.該10位居民的答卷得分的極差為30分B.該10位居民的答卷得分的中位數(shù)為94分C.該10位居民的答卷得分的中位數(shù)小于平均數(shù)D.該10位居民的答卷得分的方差為104.4解析：把得分?jǐn)?shù)據(jù)從小到大排列，可得65，65，72，76，76，83，88，90，90，95.極差為95－65＝30(分)，故A正確；＝80(分)，79.5<80，故C正確；(80－88)2＋(80－90)2＋(80－65)2＋(80－90)2＋(80－95)2＋(80－76)2]＝104.4，故D正確.故選B.答案：B

3.(多選題)(2023年福州市期中)為推動(dòng)學(xué)校體育運(yùn)動(dòng)發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極參與體育鍛煉，增強(qiáng)健康管理意識(shí)，某校根據(jù)性別比采用分層抽樣方法隨機(jī)抽取了120名男生和80名女生，調(diào)查并分別繪制出男、女生每天在校平均體育活動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖8-2-4所示)，則()圖8-2-4A.a＝0.010B.該校男生每天在校平均體育活動(dòng)時(shí)間中位數(shù)的估計(jì)值為75minC.估計(jì)該校至少有一半學(xué)生每天在校平均體育活動(dòng)時(shí)間超過(guò)1

hD.估計(jì)該校每天在校平均體育活動(dòng)時(shí)間不低于80min的學(xué)生中男、女生人數(shù)比為3∶1

解析：對(duì)于A，10a＋10×0.020＋10×0.035＋10×0.020＋10a＋10×0.005＝1，解得a＝0.010，正確；對(duì)于B，a＝0.010，前兩個(gè)小矩形面積之和為0.3，前三個(gè)小矩形面積之和為0.65，即中位數(shù)在[60，70)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為mmin，則

m－6070－60×0.035×10＋0.3＝0.5，解得m＝60＋40 7≈65.7，故該校男生每天在校平均體育活動(dòng)時(shí)間中位數(shù)的估計(jì)值為65.7min，錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)頻率分布直方圖可得，男生中每天在校平均體育活動(dòng)時(shí)間超過(guò)1h的頻率為10×(0.035＋0.020＋0.010＋0.005)＝0.700，人數(shù)為120×0.7＝84，女生中每天在校平均體育活動(dòng)時(shí)間超過(guò)1h的頻率為10×(0.030＋0.010＋0.005)＝0.450，人數(shù)為80×0.450＝36，故學(xué)生每天在校平均體育活動(dòng)時(shí)間超過(guò)1h的頻率為

＝0.6，故該校至少有一半學(xué)生每天在校平均體育活動(dòng)時(shí)間超過(guò)1h，正確；對(duì)于D，男生中每天在校平均體育活動(dòng)時(shí)間不低于80min的頻率為10×(0.010＋0.005)＝0.15，人數(shù)為120×0.15＝18，女生中每天在校平均體育活動(dòng)時(shí)間不低于80min的頻率為10×0.005＝0.050，人數(shù)為80×0.050＝4，所以該校每天在校平均體育活動(dòng)時(shí)間不低于80min的學(xué)生中男、女生人數(shù)比為18∶4＝9∶2，錯(cuò)誤.故選AC.答案：AC【題后反思】(1)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的意義

眾數(shù)描述的是在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)；中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占的頻率；平均數(shù)反映所有數(shù)據(jù)的平均水平.第p百分位數(shù)的估計(jì)值左邊的小矩形面積之和是(2)利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征的方法①眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的底邊中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)；②平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；③中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形面積的和是相等的.舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5考點(diǎn)三總體離散程度的估計(jì)考向1方差與標(biāo)準(zhǔn)差

[例3](2021年全國(guó)乙卷文科)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：解：(1)由表格中的數(shù)據(jù)易得成績(jī)y/分456789頻數(shù)3711964考向2分層隨機(jī)抽樣的方差與標(biāo)準(zhǔn)差

[例4]為調(diào)查高一、高二學(xué)生的心理健康達(dá)標(biāo)情況，某學(xué)校采用分層隨機(jī)抽樣方法，從高一、高二學(xué)生中分別抽取了50人、40人參加心理健康測(cè)試(滿分10分).經(jīng)初步統(tǒng)計(jì)，參加測(cè)試的高一學(xué)2.6，高二學(xué)生的成績(jī)yi(i＝1，2，3，…，40)的統(tǒng)計(jì)表如下：解：(1)由題意知，【題后反思】分層隨機(jī)抽樣的均值與方差分?jǐn)?shù)段/分[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)10304020考向3用頻率分布直方圖估計(jì)方差

[例5]數(shù)字鄉(xiāng)村既是鄉(xiāng)村振興的戰(zhàn)略方向，也是建設(shè)數(shù)字中國(guó)的重要內(nèi)容.某公司為了助力數(shù)字鄉(xiāng)村發(fā)展，決定從100名員工中挑選30名員工組建“數(shù)字鄉(xiāng)村發(fā)展部”，對(duì)這100名員工的各項(xiàng)素質(zhì)進(jìn)行綜合評(píng)分，得到如下頻數(shù)分布表：(1)在圖8-2-5中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；圖8-2-5(2)估計(jì)這100名員工各項(xiàng)素質(zhì)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)(3)若該公司準(zhǔn)備挑選成績(jī)較好的員工組建“數(shù)字鄉(xiāng)村發(fā)展部”，則被挑選的員工的分?jǐn)?shù)不低于多少？分?jǐn)?shù)段/分頻數(shù)頻率頻率/組距[60，70)100.10.01[70，80)300.30.03[80，90)400.40.04[90，100]200.20.02解：(1)由題意可知，頻率分布表如下.所以頻率分布直方圖如圖8-2-6所示.圖8-2-6(2)由題知，平均數(shù)為x＝65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.2＝82(分)，方差為s2＝0.1×(65－82)2＋0.3×(75－82)2＋0.4×(85－82)2＋0.2×(95－82)2＝81.

(3)因?yàn)閺?00名員工中挑選30名成績(jī)較好的員工組建“數(shù)字鄉(xiāng)村發(fā)展部”，所以應(yīng)選成績(jī)大于等于第70百分位數(shù)的員工.設(shè)第70百分位數(shù)為m分，則0.1＋0.3＋(m－80)×0.04＝0.7，解得m＝87.5，所以被挑選的員工分?jǐn)?shù)不低于87.5分.【考法全練】1.(考向1)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為(

)A.0.01C.1B.0.1D.10

解析：∵樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，∴樣本數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為102×0.01＝1，故選C.

答案：C

2.(考向2)某班成立了A，B兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組，A組10人，B組30人，經(jīng)過(guò)一周的學(xué)習(xí)后進(jìn)行了一次測(cè)試，在該測(cè)試中，A組的平均成績(jī)?yōu)?30分，方差為115，B組的平均成績(jī)?yōu)?10分，方差為215.求在這次測(cè)試中全班學(xué)生的平均成績(jī)和方差.

3.(考向3)(2023年鐵嶺市校級(jí)期末)某學(xué)校為了了解高二年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，對(duì)高二年級(jí)的200名學(xué)生進(jìn)行了一次測(cè)試.已知參加此次測(cè)試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)xi(i＝1，2，3，…，200)全部介于45分到95分之間，該校將所有分?jǐn)?shù)分成5組：[45，55)，[55，65)，…，[85，95]，整理得到如圖8-2-7所示的頻率分布直方圖(同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表).(1)求m的值，并估計(jì)此次校內(nèi)測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均值x；圖8-2-7解：(1)因?yàn)?.006×10＋0.014×10＋10m＋0.036×10＋0.020×10＝1，所以m＝0.024.此次校內(nèi)測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均值的估計(jì)值為x＝0.06×50＋0.14×60＋0.24×70＋0.36×80＋0.20×90＝75(分).所以得分為52分的同學(xué)的成績(jī)沒(méi)有進(jìn)入[52.2，97.8]范圍內(nèi)，得分為94分的同學(xué)的成績(jī)進(jìn)入了[52.2，97.8]范圍內(nèi).

⊙統(tǒng)計(jì)圖表及其應(yīng)用

[例6]已知某市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖8-2-8(1)和圖8-2-8(2)所示，為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取30%的戶主進(jìn)行調(diào)查，則樣本量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為()(1)(2)圖8-2-8A.240，18B.200，20C.240，20D.200，18解析：樣本量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)為150×30%×40%＝18.答案：A

[例7](多選題)(2023年安順市期末)根據(jù)某地3月5日到3月15日的每天最高氣溫與最低氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位：℃)繪制如圖8-2-9所)示的折線圖，那么下列敘述正確的是(

圖8-2-9A.5日到15日的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差小B.5日的最高氣溫與最低氣溫的差值最大C.最高氣溫?cái)?shù)據(jù)