專題05實數(shù)章末重難點題型專訓(xùn)（原卷版）

專題05實數(shù)章末重難點題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一平方根概念的理解題型二利用算術(shù)平方根的非負性解題題型三與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題題型四立方根概念的理解題型五立方根的實際應(yīng)用題型六算術(shù)平方根與立方根綜合應(yīng)用題型七新定義下的實數(shù)運算題型八與實數(shù)運算相關(guān)的規(guī)律探索題【經(jīng)典例題一平方根概念的理解】知識點一：平方根1.（1）定義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根．2.求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方．一個正數(shù)a的正的平方根表示為“”，負的平方根表示為“﹣”．正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作a．零的算術(shù)平方根仍舊是零．【例1】一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．9【變式訓(xùn)練】【變式1】若的兩個平方根是m和n，則的值是（

）A．0 B． C．2022 D．40【變式2】若，則_______【變式3】已知正實數(shù)x的平方根是n和n+a（a>0）．(1)當(dāng)a＝6時，求n的值；(2)若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的平方根．【經(jīng)典例題二利用算術(shù)平方根的非負性解題】算術(shù)平方根正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“”。正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零?！纠?】已知實數(shù)x，y滿足，則代數(shù)式的值為（

）A．1 B． C．7 D．【變式訓(xùn)練】【變式1】已知實數(shù)滿足，那么的值是(

)A．1999 B．2000 C．2001 D．2002【變式2】已知、為實數(shù)，且，則______．【變式3】如圖，有一只螞蟻從點B沿數(shù)軸向左爬了2個單位長度到達點A，若點B表示數(shù)，設(shè)點A所表示的數(shù)為m．(1)實數(shù)m的值是_________；(2)求的值．(3)在數(shù)軸上還有C、D兩點分別表示實數(shù)c和d，且有與互為相反數(shù)，求的平方根．【經(jīng)典例題三與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題】【例3】如下表，被開方數(shù)a和它的算術(shù)平方根的小數(shù)點位置移動符合一定的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得m，n的值分別為（

）a0.06250.6256.2562.56256250625006250000.250.791mn2579.1250791A．，B．， C．， D．，【變式訓(xùn)練】【變式1】設(shè)，，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【變式2】將自然數(shù)的算術(shù)平方根如右圖排列，第3行第2列是，則第101行第100列是______．【變式3】我們知道，平方數(shù)的開平方運算可以直接求得，如等，有些數(shù)則不能直接求得，如，但可以通過計算器求得．還有一種方法可以通過一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運用規(guī)律求得，請你觀察下表：a…0.04440040000……x2yz…(1)表格中的三個值分別為：x＝；y＝；z＝；(2)用公式表示這一規(guī)律：當(dāng)a＝4×100n（n為整數(shù)）時，＝；(3)利用這一規(guī)律，解決下面的問題：已知，則①≈；②≈．【經(jīng)典例題四立方根概念的理解】知識點：立方根1.定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：．2.正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負數(shù)的立方根是負數(shù)．即任意數(shù)都有立方根．3.求一個數(shù)a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)．注意：符號中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負數(shù)都有唯一一個立方根．【例4】類比平方根和立方根，我們定義n次方根為：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整數(shù)．例如：因為，所以±3叫81的四次方根，記作：，因為，所以叫的五次方根，記作：，下列說法不正確的是（）A．負數(shù)a沒有偶數(shù)次方根 B．任何實數(shù)a都有奇數(shù)次方根C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】已知的算術(shù)平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，則和分別是（

）A． B．C． D．【變式2】請仔細閱讀材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．據(jù)說，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個數(shù)是59319，希望求它的立方根（提示：59319是一個整數(shù)的立方）．華羅庚脫口而出答案，鄰座的乘客十分驚奇，忙問計算的奧妙．你知道華羅庚是怎樣迅速準(zhǔn)確地計算出來的嗎？（1）由，，1，確定是______位數(shù)；（2）由59319的個位數(shù)字是9，確定的個位上的數(shù)是______；（3）如果劃去59319后面的319得到數(shù)59，而，，確定的十位上的數(shù)是______．【變式3】數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口而出：39．眾人十分驚奇，忙問計算的奧妙．你知道怎樣迅速準(zhǔn)確地計算出結(jié)果嗎？請你按下面的問題試一試：（1），你能確定59319的立方根是幾位數(shù)嗎？（2）由59319的個位數(shù)是9，你能確定59319的立方根的個位數(shù)是幾嗎？（3）如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，由此你能確定59319的立方根的十位數(shù)是幾嗎？（4）已知185193是一個整數(shù)的立方根，請按上述方法求出它的立方根．【經(jīng)典例題五立方根的實際應(yīng)用】【例5】一個幾何體由幾個大小相同的小立方塊搭成，從上面觀察這個幾何體，看到的形狀如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)．若每個小立方塊的體積為216cm3，則該幾何體的最大高度是（

）A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm【變式訓(xùn)練】【變式1】李老師想制作一個體積為的正方體教具，它的棱長大約是（結(jié)果精確到）（

）A． B． C． D．【變式2】我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾巧解開立方的智力題：一個數(shù)是59319，希望求它的立方根．解答：∵＜59319＜，∴是兩位整數(shù)；∵整數(shù)59319的末位上的數(shù)字是9，而整數(shù)0至9的立方中，只有＝729的末位數(shù)字是9，∴的末位數(shù)字是9；又∵劃去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，∴的十位數(shù)字是3；∴＝39；【應(yīng)用】＋59049＝0，其中x是整數(shù)則x的值為______．【變式3】小明在學(xué)完立方根后研究了如下問題：如何求出的立方根？他進行了如下步驟：①首先進行了估算：因為，，所以是兩位數(shù)；②其次觀察了立方數(shù)：；猜想的個位數(shù)字是7；③接著將往前移動3位小數(shù)點后約為50，因為，，所以的十位數(shù)字應(yīng)為3，于是猜想，驗證得：的立方根是；④最后再依據(jù)“負數(shù)的立方根是負數(shù)”得到，同時發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù)；反之也成立．請你根據(jù)小明的方法和結(jié)論，完成下列問題：(1)=；(2)若，則；(3)已知，且與互為相反數(shù)，求的值．【經(jīng)典例題六算術(shù)平方根與立方根的綜合應(yīng)用】總結(jié)：類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論【例6】若，，那么等于（

）A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552【變式訓(xùn)練】【變式1】若A=是m+n+3的算術(shù)平方根，B=是m+2n的立方根，則BA的立方根是（

）A．1 B．1 C．0 D．無法確定【變式2】已知=102，=0.102，則x=_________，已知=1.558，=155.8，則y=____________【變式3】觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動______位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點向______移動______位．（2）已知，，則_____；______．（3），，，……小數(shù)點的變化規(guī)律是_______________________．（4）已知，，則______．【經(jīng)典例題七新定義下的實數(shù)運算】【例7】對任意兩個實數(shù)a，b定義兩種運算：a⊕b，a?b，并且定義運算順序仍然是先做括號內(nèi)的，例如(﹣2)⊕3=3，(﹣2)?3=﹣2，[(﹣2)⊕3]?2=2，那么(⊕2)?的值為（）A．2 B． C．3 D．3【變式訓(xùn)練】【變式1】規(guī)定不超過實數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作，例如，，．下列說法：①；②；③（a為正整數(shù)）；④若n為正整數(shù)，且，則n的最小值為6，其中正確說法的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】定義為不大于的最大整數(shù)，如，則滿足的共有_____個（為正整數(shù)）【變式3】喜歡探索數(shù)學(xué)知識的小明遇到一個新的定義：對于三個互不相等的正整數(shù)，若其中任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“老根數(shù)”，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為“最小算術(shù)平方根”，最大的整數(shù)稱為“最大算術(shù)平方根”．例如1，4，9這三個數(shù)，，，，其結(jié)果2，3，6都是整數(shù)，所以1，4，9這三個數(shù)稱為“老根數(shù)”，其中“最小算術(shù)平方根”是2，“最大算術(shù)平方根”是6．(1)請證明：2，8，50這三個數(shù)是“老根數(shù)”，并求出最小算術(shù)平方根與最大算術(shù)平方根；(2)已知16，a，36這三個數(shù)是“老根數(shù)”，且任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根中，最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的2倍，求a的值．【經(jīng)典例題八與實數(shù)運算相關(guān)的規(guī)律探索題】【例8】觀察①；②；③，根據(jù)提供的信息請猜想的結(jié)果（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】將一組數(shù)，按照如圖的方式進行排列：若的位置記，的位置記為，則這組數(shù)中最大的有理數(shù)9的位置記為（

）A．(5，2) B．(5，3) C．(6，2) D．(6，5)【變式2】觀察下列各式：①

②③根據(jù)上面三個等式，猜想的結(jié)果為______．【變式3】先觀察下列等式，再回答問題：①；②；③．(1)根據(jù)上而三個等式提供的信息，請你猜想______．(2)請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用n的式子表示的等式：______．對任何實數(shù)a可表示不超過a的最大整數(shù)，如，，計算：的值【培優(yōu)檢測】1．，，3.14，0，，0.080080008中無理數(shù)的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如下：當(dāng)輸入的x值為16時，輸出的y值是（）A．2 B． C．2 D．3．的平方根是，的立方根是2，則的值是（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣44．我們在初中已經(jīng)學(xué)會了估算的值，現(xiàn)在用表示距離最近的正整數(shù)．（n為正整數(shù)）比如：表示距離最近的正整數(shù)，∴；表示距離最近的正整數(shù)，∴；表示距離最近的正整數(shù)，∴……利用這些發(fā)現(xiàn)得到以下結(jié)論：①；②時，n的值有3個；③；④；⑤當(dāng)時，n的值為2550．五個結(jié)論中正確的結(jié)論有（

）個．A．2 B．3 C．4 D．55．若，是兩個連續(xù)的整數(shù)且，則（

）A． B． C． D．6．在一個正方形的內(nèi)部按照如圖方式放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形面積為12，重疊部分的面積為3，空白部分的面積為2﹣6，則較小的正方形面積為（）A．11 B．10 C．9 D．87．最接近的整數(shù)是______．8．規(guī)定表示小于a的最大整數(shù)，如，．現(xiàn)將37進行如下操作：．類似地，只需要進行4次操作，就能變成1的所有正整數(shù)中，最小的正整數(shù)為_____________．9．如圖所示的是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器．（1）當(dāng)輸入的x值為7時，輸出的y值為_____；（2）當(dāng)輸入x值后，經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運算，輸出的y值為時，輸入的x值為_____；（3）若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，所有滿足要求的x的值為_______．10．已知正數(shù)x的兩個不等的平方根分別是和，的立方根為；c是的整數(shù)部分，若，其中m為整數(shù)，，則_______．11．若．(1)求，的值；(2)求的值．12．規(guī)定：表示實數(shù)x的整數(shù)部分．如，，在此規(guī)定下解決下列問題．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．13．如圖所示的正方形紙板是由兩張大小相同的長方形紙板拼接而成的，已知一張長方形紙板的面積為162cm2．(1)求正方形紙板的邊長；(2)若將該正方形紙板進行裁剪，然后拼成一個體積為343cm3的正方體無蓋筆筒，請你判斷該硬紙片是否夠用？若夠用，求剩余的硬紙片的面積；若不夠用，求缺少的硬紙片的面積．14．閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，∵，∴．于是可以用來表示的小數(shù)部分，又例如：∵，即，∴的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是．請解答下列問題：(1)的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是．(2)已知a是的整數(shù)部分，b是其小數(shù)部分，求的值．15．?dāng)?shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上的乘客閱讀的雜志上有道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出“39”，鄰座的乘客十