2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章直線和圓的方程2.3.12兩條直線的交點坐標(biāo)兩點間的距離公式素養(yǎng)作業(yè)提技能含解析新人教A版選擇性必修第一冊

PAGE其次章2.32.3.1、2請同學(xué)們仔細(xì)完成練案[15]A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．直線l1：3x＋4y－2＝0與l2：2x＋y＋2＝0相交，則交點是(B)A．(2，－2) B．(－2,2)C．(－2,1) D．(－1,2)[解析]由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0,2x＋y＋2＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝2))，即l1與l2的交點坐標(biāo)為(－2,2)．2．已知A(2,1)、B(－1，b)，|AB|＝5，則b等于(C)A．－3 B．5C．－3或5 D．－1或－3[解析]由兩點間的距離公式知|AB|＝eq\r(－1－22＋b－12)＝eq\r(b2－2b＋10)，由5＝eq\r(b2－2b＋10)，解得b＝－3或b＝5．3．(2024·宜春高一檢測)直線l經(jīng)過原點，且經(jīng)過另兩條直線2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交點，則直線l的方程為(B)A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0[解析]解法1：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0,x－y－1＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－2))，∴kl＝2．∴l(xiāng)的方程為y＋2＝2(x＋1)，即2x－y＝0．解法2：設(shè)l：2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0．∵l過原點，∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴l(xiāng)方程為2x－y＝0．4．已知點A(1,2)、B(3,4)、C(5,0)則△ABC的形態(tài)為(C)A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形[解析]∵|AB|＝eq\r(4－22＋3－12)＝2eq\r(2)，|AC|＝eq\r(0－22＋5－12)＝2eq\r(5)，|BC|＝eq\r(5－32＋0－42)＝2eq\r(5)，∴|AC|＝|BC|．又∵A、B、C三點不共線，∴△ABC為等腰三角形．5．一條平行于x軸的線段長是5個單位，它的一個端點是A(2,1)，則它的另一個端點B的坐標(biāo)為(A)A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－2)或(2,7)C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5)[解析]∵AB∥x軸，∴設(shè)B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7．二、填空題6．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y＝1，和x＋ky＝0相交于一點，則k的值等于__－eq\f(1,2)__．[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝1,2x＋3y＋8＝0))，得交點(－1，－2)，代入x＋ky＝0得k＝－eq\f(1,2)．7．已知A(1，－1)、B(a,3)、C(4,5)，且|AB|＝|BC|，則a＝__eq\f(1,2)__．[解析]eq\r(a－12＋3＋12)＝eq\r(4－a2＋5－32)，解得a＝eq\f(1,2)．8．直線(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0與直線(a＋2)x＋(2a＋3)y＋2＝0不相交，則實數(shù)a＝__－2或－eq\f(2,3)__．[解析]由題意，得(a＋2)(2a＋3)－(1－a)(a＋2)＝0，解得a＝－2或－eq\f(2,3)．經(jīng)檢驗a＝－2或－eq\f(2,3)均滿意題意．三、解答題9．已知直線x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交點M在第四象限，求實數(shù)[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3m＝0,2x－y＋2m－1＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(m＋1,3),y＝\f(8m－1,3)))．∴交點M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,3)，\f(8m－1,3)))．∵交點M在第四象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,3)＞0,\f(8m－1,3)＜0))，解得－1＜m＜eq\f(1,8)．∴m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,8)))．10．說明代數(shù)式eq\r(x＋12＋1)＋eq\r(x－32＋4)的幾何意義，并求它的最小值．[解析]∵eq\r(x＋12＋1)＋eq\r(x－32＋4)＝eq\r([x－－1]2＋[0－－1]2)＋eq\r(x－32＋0－22)，∴代數(shù)式的幾何意義為x軸上的點P(x,0)到點A(－1，－1)和點B(3,2)的距離之和，易知代數(shù)式的最小值為A，B兩點間的距離，即d(A，B)＝eq\r(3＋12＋2＋12)＝5，故代數(shù)式的最小值為5．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)若兩直線l1：x＋my＋12＝0與l2：2x＋3y＋m＝0的交點在y軸上，則m的值為(AC)A．6 B．－24C．－6 D．24[解析]分別令x＝0，求得兩直線與y軸的交點分別為：－eq\f(12,m)和－eq\f(m,3)，由題意得－eq\f(12,m)＝－eq\f(m,3)，解得m＝±6．2．(多選題)已知兩點P(m,1)和Q(1,2m)之間的距離大于eq\r(10)，則實數(shù)m可以取的值是(BC)A．2 B．3C．－1 D．－eq\f(1,2)[解析]依據(jù)兩點間的距離公式|PQ|＝eq\r(m－12＋1－2m2)＝eq\r(5m2－6m＋2)＞eq\r(10)，∴5m2－6m－8＞0，∴m＜－eq\f(4,5)或m＞2．由選項可知，BC正確．3．已知直線上兩點A(a，b)，B(c，d)，且eq\r(a2＋b2)－eq\r(c2＋d2)＝0，則(D)A．原點肯定是線段AB的中點B．A，B兩點肯定都與原點重合C．原點肯定在線段AB上，但不是線段AB的中點D．原點肯定在線段AB的垂直平分線上[解析]由eq\r(a2＋b2)－eq\r(c2＋d2)＝0得eq\r(a2＋b2)＝eq\r(c2＋d2)，即A，B兩點到坐標(biāo)原點的距離相等，故選D．4．已知直線mx＋4y－2＝0與2x－5y＋n＝0相互垂直，垂足為(1，p)，則m－n＋p為(B)A．24 B．20C．0 D．－4[解析]∵兩直線相互垂直，∴k1·k2＝－1，∴－eq\f(m,4)·eq\f(2,5)＝－1，∴m＝10．又∵垂足為(1，p)，∴代入直線10x＋4y－2＝0得p＝－2，將(1，－2)代入直線2x－5y＋n＝0得n＝－12，∴m－n＋p＝20．二、填空題5．已知直線5x＋4y＝2a＋1與直線2x＋3y＝a的交點位于第四象限，則a的取值范圍是__－eq\f(3,2)＜a＜2__．[解析]解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋4y＝2a＋1,2x＋3y＝a))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2a＋3,7),y＝\f(a－2,7)))．交點在第四象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋3,7)＞0,\f(a－2,7)＜0))，解得－eq\f(3,2)＜a＜2．6．(2024·吉林檢測)已知點A(1,1)，B(4,3)，點P在x軸上，則|PA|＋|PB|的最小值為__5__．[解析]如圖所示，作點A關(guān)于x軸的對稱點A′(1，－1)，則|PA′|＝|PA|．∴|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|．∵|A′B|＝eq\r(1－42＋－1－32)＝5，∴|PA|＋|PB|≥5．故|PA|＋|PB|的最小值為5．7．(2024·河北省保定市質(zhì)檢)函數(shù)y＝eq\r(x2－2x＋3)＋eq\r(x2＋4x＋8)的值域為__eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(15＋4\r(2))，＋∞))__．[解析]將原函數(shù)解析式配方整理得y＝eq\r(x－12＋2)＋eq\r(x＋22＋4)，eq\r(x－12＋2)＝eq\r(x－12＋0－\r(2)2)表示點P(x,0)到點A(1，eq\r(2))的距離，eq\r(x＋22＋4)＝eq\r(x＋22＋[0－－2]2)表示點P(x,0)到點B(－2，－2)的距離．故y表示x軸上的點P(x,0)到兩定點A(1，eq\r(2))，B(－2，－2)的距離之和．由平面幾何學(xué)問可知，當(dāng)點P為直線AB與x軸的交點時，ymin＝d(A，B)＝eq\r(1＋22＋\r(2)＋22)＝eq\r(15＋4\r(2))．而當(dāng)點P沿x軸的正方向或負(fù)方向離直線AB與x軸的交點越來越遠(yuǎn)時，y越來越大，且趨于無窮大．所以函數(shù)的值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(15＋4\r(2))，＋∞))．三、解答題8．已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)是A(1，－1)、B(－1,3)、C(3,0)．(1)推斷△ABC的形態(tài)；(2)求△ABC的面積．[解析](1)如圖，△ABC為直角三角形，下面進(jìn)行驗證解法一：∵|AB|＝eq\r(－1－12＋[3－－1]2)＝eq\r(20)＝2eq\r(5)，|AC|＝eq\r(3－12＋[0－－1]2)＝eq\r(5)，|BC|＝eq\r([3－－1]2＋0－32)＝eq\r(25)＝5，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A為直角頂點的直角三角形．解法二：∵kAB＝eq\f(3－－1,－1－1)＝－2，kAC＝eq\f(0－－1,3－1)＝eq\f(1,2)，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A為直角頂點的直角三角形．(2)∵∠A＝90°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·|AC|＝5．9．如下圖所示，一個矩形花園里須要鋪設(shè)兩條筆直的小路，已知矩形花園的長AD＝5m，寬AB＝3m，其中一條小路定為AC，另一條小路過點D，問是否在BC上存在一點M，使得兩條小路AC與DM相互垂直？若存在，則求出小路DM的長．[解析]以B為坐標(biāo)原點，BC、BA所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．因為AD＝5m，AB＝3m，所以C(5,0)、D(5