專題40 二次函數(shù)中的面積問題(解析版)

專題40二次函數(shù)中的面積問題【題型演練】一、單選題1．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸為，過其頂點(diǎn)M的一條直線與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為．點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則△PMN的面積為（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出拋物線的解析式，并將解析式化為頂點(diǎn)式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝?3，點(diǎn)N（?1，1）是拋物線上的一點(diǎn)，∴，，解得：，，∴，∴，∵，，∴PN∥y軸，且PN＝1，∴△PMN的面積為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)對(duì)稱軸公式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北·漢川市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，虛線為其對(duì)稱軸，若將拋物線向下平移4個(gè)單位長度得拋物線，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積和為（

）A．4 B．2 C．6 D．8【答案】D【分析】連接，根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性把陰影圖形的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形面積求解即可．【詳解】設(shè)平移后的拋物線與對(duì)稱軸所在的直線交于點(diǎn)M，連接．由題意可知，，∵∴，∵拋物線是軸對(duì)稱圖形，∴圖中兩個(gè)陰影部分的面積和即為四邊形的面積，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性和陰影面積的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化陰影圖形的面積．3．（2022·廣東·江門市新會(huì)東方紅中學(xué)二模）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為P，將拋物線向右平移3個(gè)單位后得到新的拋物線，其頂點(diǎn)記為M，設(shè)兩條拋物線交于點(diǎn)C，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意過C作y軸的平行線，交PM于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)D，進(jìn)而依據(jù)兩條拋物線交于點(diǎn)C，聯(lián)立方程得出C，最后利用即可求出答案.【詳解】解：如圖過C作y軸的平行線，交PM于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)D，由題意可得，平移后拋物線的解析式為：，∵P、M分別為兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)，∴，，，∵兩條拋物線交于點(diǎn)C，∴由，可得，∴，,∵//y軸，∴，即CH為的高，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)平移的性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維分析是解題的關(guān)鍵.4．（2019·浙江·瑞安市安陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上位于軸上方的一點(diǎn)，連接AP、BP，分別以AP、BP為邊向△ABP外部作正方形APED、BPFG，連接BD、AG．點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過程中，△ABD與△ABG的面積和的變化情況是（

）A．先增大后減小 B．先減小后增大C．始終不變 D．一直增大【答案】C【分析】令求出AB的長，過點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，過點(diǎn)G作GQ⊥x軸于Q，利用一線三直角的全等模型證明，．從而利用三角形的面積公式得出，從而得解．【詳解】解：令，解得：，∴，∴．過點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，過點(diǎn)G作GQ⊥x軸于Q，∵四邊形APED是正方形，∴AD=PA，∠DAP=90°，∴，又∵DM⊥x軸，∴，∴，∵，，AD=PA，∴，∴．同理可得：．∵，∴∴△ABD與△ABG的面積和始終不變．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，三角形的面積公式等知識(shí)，涉及的模型是一線三直角的全等模型，構(gòu)造全等模型得出，是解題的關(guān)鍵．5．（2021·貴州銅仁·三模）如圖，拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)（

）（1）；（2）拋物線為：；（3）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是負(fù)數(shù)；（4）△ABC的面積為6A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】對(duì)于（1），根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式判斷即可；對(duì)于（2），根據(jù)待定系數(shù)法求出關(guān)系式判斷即可；對(duì)于（3），先求出直線的關(guān)系式，將兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立，觀察圖象可得答案；對(duì)于（4），先求出拋物線的對(duì)稱軸，進(jìn)而求出點(diǎn)C，M的坐標(biāo)，再將△ABC分成兩個(gè)三角形，求出面積即可．【詳解】.∵A（4，-3），B（0，5），∴．所以（1）正確；∵點(diǎn)A（4，-3），B（0，5）在拋物線y=-x2+ax+b的圖象上，∴，解得，∴拋物線得關(guān)系式為y=-x2+2x+5．所以（2）正確；∵點(diǎn)A（4，-3），B（0，5）在直線y=kx+b的圖象上，∴，解得，∴一次函數(shù)的關(guān)系式為y=-2x+5．將兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立，得②-①，得y2-y1=x2-4x，當(dāng)0＜x＜4時(shí)，直線在拋物線的下方，可知y2＜y1，∴y2-y1＜0，即x2-4x＜0．所以（3）正確；拋物線y=-x2+2x+5的對(duì)稱軸是，當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+2+5=6，∴C（1，6）．當(dāng)x=1時(shí)，y=-2+5=3，∴M（1，3），則CM=3，∴S△ABC=S△BCM+S△ACM==6．所以（4）正確．正確的有4個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的關(guān)系式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間的距離公式，三角形面積的求法等．6．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A是拋物線圖象在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)大于1，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，1），過點(diǎn)A作AB軸交拋物線于點(diǎn)B，過A、B作直線AE、BE分別交軸于點(diǎn)D、C，設(shè)陰影部分的面積為，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，，E（0，1），得出，再由陰影部分的面積為即可得解．【詳解】解：由題意可知，，，E（0，1），，又AB軸，且過A、B作直線AE、BE分別交軸于點(diǎn)D、C，所以由；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，坐標(biāo)系中三角形面積求法，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長度是解題關(guān)鍵．7．（2020·浙江臺(tái)州·九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣4x與x軸交于O，A兩點(diǎn)，點(diǎn)B為x軸上一點(diǎn)且AB＝3，將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到AC，使得點(diǎn)C恰好落在拋物線上，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接AP，PC，PC⊥AC，則△PAC的面積為（）A．9 B． C． D．3【答案】D【分析】（1）先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再根據(jù)三角函數(shù)求出點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而得到△CAN、△CMP為等腰直角三角形，設(shè)PM＝CM＝m，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而求出PC長，根據(jù)直角三角形面積公式即可求解【詳解】解:把y=0代入函數(shù)y＝﹣x2﹣4x，得﹣x2﹣4x＝0，解得，故點(diǎn)A（﹣4，0），過點(diǎn)C作y軸的平行線交過點(diǎn)P與x軸的平行線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，在Rt△ACN中，CN＝AC?sin∠CAB＝ABsin45°＝×＝3＝AN，故點(diǎn)C（﹣1，3），∵∠CAN＝45°，則△ACN為等腰直角三角形，∵PC⊥AC，∴∠PCM＝45°，∴△CMP為等腰直角三角形，設(shè)PM＝CM＝m，則點(diǎn)P（﹣1﹣m，3+m），將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y＝﹣x2﹣4x并解得：m＝0（舍去）或1，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，4），由點(diǎn)P、C的坐標(biāo)得：，則△PAC的面積＝×AC?PC＝×3×＝3，故選：D【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．8．（2020·浙江杭州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．則與的面積之比是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出C和D點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式，可知S△ABC：S△ABD=BC邊上的高之比，進(jìn)而即可求解．【詳解】∵，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，?2)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(?1，?)，∵△ABC與△ABD的底相同，高線長分別為2和，∴S△ABC：S△ABD=2：=．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與平面幾何的綜合，掌握二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，是解題的關(guān)鍵．9．（2022·浙江溫州·九年級(jí)期中）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)，若與的面積比為9∶10，則c的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，，由點(diǎn)D是的中點(diǎn)，與的面積比為9∶10，得到，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，，M為頂點(diǎn)，求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，代入解析式，由縱坐標(biāo)相等得到關(guān)于c的方程，解之即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∵與的面積比為9∶10，∴，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，，∴，∵M(jìn)為頂點(diǎn)，∴，將代入得，，解得，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的面積綜合題，求得是解題的關(guān)鍵．10．（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D在該函數(shù)第四象限內(nèi)的圖象上，若的面積為，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是（

）．A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】此題根據(jù)題意先求出B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)的面積為，利用分割法表示出面積表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)聯(lián)立方程求解即可．【詳解】解：解方程解得：，則A、B的坐標(biāo)是(-1，0)和(3，0)，又，∴C的坐標(biāo)是(0，-3)設(shè)D的坐標(biāo)為（a，b），作DM⊥AB于M，如圖：則，又D在拋物線上，∴，聯(lián)立方程解得：a=，b=，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)問題中根據(jù)圖形面積求坐標(biāo)，根據(jù)圖像性質(zhì)找出相關(guān)坐標(biāo)，并利用割補(bǔ)法表示面積是關(guān)鍵，計(jì)算量較大．11．（2018·山東濟(jì)南·三模）如圖，拋物線與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．，如果直線平分四邊形的面積，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線交x軸于點(diǎn)E，交線段CD于點(diǎn)F，利用一次函數(shù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、B、C、D、E、F的坐標(biāo)，由直線平分四邊形OBDC的面積，可得出關(guān)于k的分式方程，解出k值后經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)直線交x軸于點(diǎn)E，交線段CD于點(diǎn)F，如圖所示，∵拋物線與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)A(-1，0)，點(diǎn)B(3，0)，點(diǎn)C(0，)，當(dāng)時(shí)，有，解得：，∴點(diǎn)D(2，)，∴CD＝2，∵直線交x軸于點(diǎn)E，交線段CD于點(diǎn)F，∴點(diǎn)E(，0)，點(diǎn)F(，)，∵直線平分四邊形OBDC的面積，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，符合題意．故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及梯形的面積，由直線平分四邊形OBDC的面積，找出關(guān)于k的分式方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題12．（2022·北京市師達(dá)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，則的面積為_____．【答案】8【分析】利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)、、的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式即可求出的面積．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，有，解得：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，（假設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），，．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形的面積，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)、、的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．13．（2022·安徽合肥·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（a<0）的頂點(diǎn)為A，與拋物線交于x軸上方的點(diǎn)B．（1）點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是___________（2）過點(diǎn)B作平行于x軸的直線，分別與兩條拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，C，連結(jié)AD，AC，OC，OD，則四邊形ACOD的面積為___________

【答案】

12【分析】（1）拋物線是由拋物線向右平移3個(gè)單位得到的，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為兩條對(duì)稱軸距離的一半，即可得解；（2）利用四邊形的面積＝，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）的對(duì)稱軸為：；對(duì)稱軸為：，由圖象得：拋物線是由拋物線向右平移3個(gè)單位得到的，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為兩條對(duì)稱軸距離的一半，∴B點(diǎn)橫坐標(biāo)為：；（2）由題意得：，，∴四邊形ACOD的面積＝．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的平移，圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從圖象中獲取有效信息是解題的關(guān)鍵．14．（2022·重慶一中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知A（1，1），B（3，9）是拋物線y＝上的兩點(diǎn)，在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)△PAB的周長最小時(shí)，則此時(shí)△PAB的面積為_____．【答案】6【分析】根據(jù)拋物線y＝的性質(zhì)，作出B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交y軸于P，點(diǎn)P即為所求，再求出△PAB的面積即可．【詳解】解：如圖，作出B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，則⊥y軸于點(diǎn)H，連接交y軸于P，則點(diǎn)P就是使△PAB的周長最小時(shí)的位置．∵拋物線y＝的對(duì)稱軸是y軸，B、關(guān)于y軸對(duì)稱，∴點(diǎn)P在拋物線y＝上，且，∴，∴此時(shí)△PAB的周長最小，∵B（3，9），∴（﹣3，9），∴＝6，點(diǎn)H的坐標(biāo)是（0，9），∵A（1，1），∴點(diǎn)A到的距離為9－1＝8，設(shè)直線A的直線方程為y＝kx+b，把點(diǎn)A和點(diǎn)的坐標(biāo)代入后得到，∴，解得，∴直線A的解析式為y＝﹣2x+3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）,∴PH＝OH－OP＝6，此時(shí)，即△PAB的面積為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法求解析式，作出B的對(duì)稱點(diǎn)是本題的關(guān)鍵．15．（2022·福建·莆田擢英中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知A，B，C是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，．小華用軟件GeoGebra對(duì)△ABC的幾何特征進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)△ABC的面積是個(gè)定值，則這個(gè)定值為__________．【答案】1【分析】作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F，求得A、B、C的坐標(biāo)，即可求得AD=（a+1）2=a2+2a+1，BE=a2，CF=（a-1）2=a2-2a+1，然后根據(jù)S△ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC求得△ABC的面積是定值1．【詳解】解：如圖，作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F，∵A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為a+1，a，a-1，∴AD=（a+1）2=a2+2a+1，BE=a2，CF=（a-1）2=a2-2a+1，∴S△ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC=（a2+2a+1+a2-2a+1）×2-（a2+2a+1+a2）×1-（a2+a2-2a+1）×1=1；∴△ABC的面積是個(gè)定值，這個(gè)定值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，梯形的性質(zhì)以及梯形的面積．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三、解答題16．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，若．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求與的函數(shù)解析式：【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)為，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）令函數(shù)解析式中，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴，，∴，將點(diǎn)，，代入得，解得，∴；（2）解：由，令，即，解得：，∴，∴，依題意，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，則，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，求拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，已知正切求邊長，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，地物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求出該地物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．直接寫出的面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為，把點(diǎn)代入即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)即可求出與m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為，∵拋物線與y軸交于點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線解析式為；（2）設(shè)，連接，∴，∴∵，∴函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)，面積最大為．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知函數(shù)關(guān)系式的求法與面積問題的求解．18．（2021·新疆·烏魯木齊市第十五中學(xué)九年級(jí)期中）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)連接，，求．(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)，，或【分析】（1）把，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求解；（2）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到，（3）根據(jù)求出，代入解析式即可求解．【詳解】（1）解：把，兩點(diǎn)代入中，得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，即，∴，∵，，∴，，∴，∴，即所求面積為6；（3）解：∵，∴，∵，∴，把代入拋物線表達(dá)式得：，解得；把代入拋物線表達(dá)式得：，解得；綜述所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法及三角形的面積公式的應(yīng)用．19．（2022·廣東·江東鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2，0)，B(0，-6)兩點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)該二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，連接BA、BC，求△ABC的面積．【答案】(1)(2)6【分析】（1）將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可得出b、c的值，繼而可得出二次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）求得的解析式，可得出對(duì)稱軸，也可得出AC的長度，根據(jù)可得出答案．【詳解】（1）解：（1）將點(diǎn)A（2，0）、B（0，?6）代入得：，解得：，故這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：．（2）∵二次函數(shù)的解析式為：，∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝4，∴（4，0），B（0，?6）∴OC＝4，，∵點(diǎn)A（2，0），∴AC＝2，故．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積，要注意掌握點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長度之間的轉(zhuǎn)換．20．（2021·新疆·烏魯木齊市第五十四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知直線y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)C，對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)E，拋物線頂點(diǎn)為D．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．(2)①求拋物線的解析式；②點(diǎn)M是拋物線在第二象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得△MAB的面積最大?若存在，請(qǐng)求這個(gè)最大值并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿對(duì)稱軸向下以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？直接寫出所有符合條件的t值．【答案】(1)（﹣3，0），（0，3）；(2)①，②存在，△MAB的面積最大為，此時(shí)，(3)當(dāng)t為3或4±或4秒時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形【分析】（1）y＝x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝﹣3，即可求解；（2）①B的坐標(biāo)為：（0，3），故c＝3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：b＝﹣2，即可求解；②過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，則，求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值，以及的值，從而求得的坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意可得，進(jìn)而勾股定理分別求得，分PC＝PB、BC＝PC、BC＝PB，三種情況，分別解方程求解即可．【詳解】（1）解：y＝x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝－3，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣3，0），（0，3）；故答案為：（﹣3，0），（0，3）；（2）①B的坐標(biāo)為：（0，3），∴將點(diǎn)A的坐標(biāo)（﹣3，0）代入拋物線表達(dá)式得：，解得：b＝﹣2，∴拋物線的解析式為；②如圖，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，則∴∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，為此時(shí)∴（3）令中y＝0，則＝﹣（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x＝1或，∴C（1，0）．∵，∴D（﹣1，4），∵點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿對(duì)稱軸向下以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，∴．∵，，∴，，．①當(dāng)PC＝PB時(shí)，即解得：t＝3；②當(dāng)BC＝PC時(shí)，解得：t＝4±；③當(dāng)BC＝PB時(shí)，解得：t＝4或﹣2（舍去負(fù)值）綜上可知：當(dāng)t為3或4±或4秒時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、面積問題、兩點(diǎn)間的距離公式以及勾股定理等，解題關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間的距離公式以及勾股定理．21．（2022·山東淄博·九年級(jí)期中）如圖，拋物線與直線交于點(diǎn)，．點(diǎn)D是拋物線上A，B兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），直線與y軸平行，交直線于點(diǎn)C，連接．(1)求拋物線的解忻式；(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，(3)或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）利用，進(jìn)行求解即可；（3）分為平行四邊形的邊，和為平行四邊形的對(duì)角線，兩種情況進(jìn)行討論，利用平行四邊形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）拋物線與直線交于點(diǎn)，，，解得：，∴拋物線的解析式；（2）如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)．設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴，∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，軸，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是，∴，，，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)；（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P、Q，使以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．∵，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，軸，∴，，①當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)，設(shè)，則：如圖，當(dāng)在點(diǎn)上方時(shí)：解得，或(舍去），∴；當(dāng)在點(diǎn)下方時(shí)：，解得：或，∴或；②當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則．設(shè)，則，，，由得，解得，或(舍去），∴綜上：或或或時(shí)，點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．22．（2022·山東濟(jì)南·九年級(jí)期中）如圖，已知拋物線與x軸交于，，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求c、t的值；(2)若點(diǎn)P是拋物線第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)P坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式即可求出c的值，令即可求出t的值；（2）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為n，根據(jù)列出方程求出n的值，再將n的值代入拋物線表達(dá)式，求出橫坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：將代入得：，∴，令，解得：，，∴即．（2）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為n，其中，∵∴∴∵，∴，即，∴．

令，解得，（舍）故．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，會(huì)用待定系數(shù)法求解函數(shù)的表達(dá)式．23．（2022·河南洛陽·二模）如圖，拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)．(1)直接寫出，，的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)不重合），過點(diǎn)作軸的垂線，與直線交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，當(dāng)矩形的周長最大時(shí)，求的面積．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）通過解析式即可得出點(diǎn)坐標(biāo)，令，解方程得出方程的解，即可求得、的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，，矩形的周長，將配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的值，然后求得直線的解析式，把代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積．【詳解】（1）由拋物線可知點(diǎn)，令，則，解得或，點(diǎn)，，；（2）由拋物線可知，對(duì)稱軸為直線，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，矩形的周長，當(dāng)時(shí)矩形的周長最大．點(diǎn)，，設(shè)直線，代入得，解得，直線的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)，，，的面積．【點(diǎn)睛】此題主要考查了求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是求出矩形的周長為．24．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知點(diǎn)，點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若點(diǎn)M是線段下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)，面積最大值是4【分析】（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于的二元一次方程組，求得的值，從而可求得拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)M作，垂足為交于點(diǎn)D．先求得直線的解析式，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，用含a的式子表示出的面積，依據(jù)配方法可求得面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】（1）將、點(diǎn)代入拋物線的解析式得：解得：∴拋物線的解析式為．（2）如圖所示：過點(diǎn)M作，垂足為交于點(diǎn)D．令得：，解得：，．∴．設(shè)的解析式為．∵將代入得：，解得：，，∴拋物線的解析式為．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．∵，∴．∴．∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，的面積的最大值為4．∵將代入得：，∴點(diǎn)，面積最大值是4．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、配方法求二次函數(shù)的最值，列出的面積與a的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．25．（2020·新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知拋物線（b、c為常數(shù)），若此拋物線與某直線相交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為D(1)求拋物線的函數(shù)解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，H關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)落在第二象限內(nèi)，且取得最小值時(shí)，求n的值【答案】(1)；D（1，4）(2)S△APC最大；P（，）(3)【分析】（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得b，c的值，從而得到拋物線的解析式，在配成頂點(diǎn)式即可；（2）設(shè)直線的解析式為．將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得的值，從而得到直線的解析式；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（3）用n表示出的坐標(biāo)，從而表示出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值時(shí)n的值．【詳解】（1）∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，解得：．∴拋物線的解析式為．∴∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，（2）設(shè)直線的解析式為．∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得，解得．∴直線的解析式為．如圖，設(shè)點(diǎn)，∴，∴＝，∴，∴當(dāng)m時(shí)，，，∴P（，）；（3）∵落在第二象限內(nèi)，H關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為∴點(diǎn)在第一象限，即n＞0，t＞0．∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），∴，∵在拋物線上，∴，∴，∵，，∴＝＝＝＝；∴當(dāng)t時(shí)，有最小值，即有最小值，∴，解得或，∵，∴不合題意，舍去，∴n的值為．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查的了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、軸對(duì)稱路徑最短、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，難度較大，綜合性較強(qiáng)．26．（2022·甘肅·嘉峪關(guān)市明珠學(xué)校一模）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知，．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使是以為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)E