專題13 解直角三角形之實(shí)際應(yīng)用模型（解析版）

專題13解直角三角形之實(shí)際應(yīng)用模型解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一，直角三角形邊、角關(guān)系的知識(shí)是解直角三角形的基礎(chǔ)。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵，通常是通過作高線或垂線轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，在解直角三角形時(shí)要注意三角函數(shù)的選取，避免計(jì)算復(fù)雜。在解題中，若求解的邊、角不在直角三角形中，應(yīng)先添加輔助線,構(gòu)造直角三角形。為了提高解題和得分能力，本專題重點(diǎn)講解解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用模型?！局匾Ｐ汀磕Ｐ?、背靠背模型圖1圖2圖3【模型解讀】若三角形中有已知角時(shí)，則通過在三角形內(nèi)作高CD，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊（高）CD是解題的關(guān)鍵.【重要關(guān)系】如圖1，CD為公共邊，AD+BD=AB；如圖2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如圖3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。例1．（2023年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)真題）如圖所示，小明上學(xué)途中要經(jīng)過，兩地，由于，兩地之間有一片草坪，所以需要走路線，．小明想知道，兩地間的距離，測(cè)得，，，請(qǐng)幫小明求出兩地間距離的長(zhǎng)．（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可）

【答案】【分析】過作于，求出，，在中可得，可得兩地間距離的長(zhǎng)為．【詳解】解：過作于，如圖：

在中，，，，，在中，，，，；兩地間距離的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義．例2．（2023湖南省衡陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和高度．圓圓要測(cè)量教學(xué)樓的高度，借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部米的C處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點(diǎn)C的正上方的點(diǎn)D處，測(cè)得教學(xué)樓的頂部B處的俯角為，長(zhǎng)為米．已知目高為米．

(1)求教學(xué)樓的高度．(2)若無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，求經(jīng)過多少秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開圓圓的視線．【答案】(1)教學(xué)樓的高度為米(2)無(wú)人機(jī)剛好離開視線的時(shí)間為12秒【分析】（1）過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：，米，，通過證明四邊形為矩形，得出米，進(jìn)而得出米，最后根據(jù)線段之間的和差關(guān)系可得，即可求解；（2）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，先求出米，進(jìn)而得出，則，則米，即可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：，米，，∵，，，∴四邊形為矩形，∴米，∵，，∴，∴，∴米，∵長(zhǎng)為米，∴（米），答：教學(xué)樓的高度為米．（2）解：連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，∵米，米，∴米，∵米，，∴，∴，米，∴（米），∵無(wú)人機(jī)以米/秒的速度飛行，∴離開視線的時(shí)間為：（秒），答：無(wú)人機(jī)剛好離開視線的時(shí)間為12秒．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．例3．（2020·海南中考真題）為了促進(jìn)?？谥鞒菂^(qū)與江東新區(qū)聯(lián)動(dòng)發(fā)展，文明東越江通道將于今年底竣工通車.某校數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)算該越江通道的隧道長(zhǎng)度．如圖，隧道在水平直線上，且無(wú)人機(jī)和隧道在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，無(wú)人機(jī)在距離隧道米的高度上水平飛行，到達(dá)點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的俯角為繼續(xù)飛行米到達(dá)點(diǎn)處，測(cè)得點(diǎn)的俯角為．（1）填空：__________度，_________度；（2）求隧道的長(zhǎng)度(結(jié)果精確到米)．(參考數(shù)據(jù)：)【答案】（1）30，45；（2）2729米【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求解即可；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn).在中求出AM的值，在中求出NB的值，進(jìn)而可求隧道的長(zhǎng)度.【詳解】解:（1）由題意知PQ//AB，∴∠A=30°，∠B=45°，故答案為：30，45；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn).則米，米，在中，，.在中，，，(米).答:隧道的長(zhǎng)度約為米.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)用構(gòu)建方程的思想思考問題．例4．（2023年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)真題）無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中的應(yīng)用廣泛，如圖所示，某人利用無(wú)人機(jī)測(cè)最大樓的高度，無(wú)人機(jī)在空中點(diǎn)P處，測(cè)得點(diǎn)P距地面上A點(diǎn)80米，點(diǎn)A處俯角為，樓頂C點(diǎn)處的俯角為，已知點(diǎn)A與大樓的距離為70米（點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)），求大樓的高度（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】大樓的高度為．【分析】如圖，過作于，過作于，而，則四邊形是矩形，可得，，求解，，可得，，可得．【詳解】解：如圖，過作于，過作于，而，

則四邊形是矩形，∴，，由題意可得：，，，，∴，，∴，∴，∴，∴大樓的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解仰角與俯角的含義是解本題的關(guān)鍵．模型2、母子模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】若三角形中有已知角，通過在三角形外作高BC，構(gòu)造有公共直角的兩個(gè)三角形求解，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵。【重要等量關(guān)系】如圖1，BC為公共邊，AD+DC=AC；如圖2，BC為公共邊，DC-BC=DB；如圖3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如圖4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。圖5圖6圖7圖8圖9如圖5，BE+EC=BC；如圖6，EC-BC=BE；如圖7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如圖8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如圖9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1．（2023年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)真題）年月日點(diǎn)分，“神舟十六號(hào)”載人飛船在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國(guó)空間站．如圖，在發(fā)射的過程中，飛船從地面處發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)點(diǎn)時(shí)，從位于地面處的雷達(dá)站測(cè)得的距離是，仰角為；后飛船到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得仰角為．

(1)求點(diǎn)離地面的高度；(2)求飛船從處到處的平均速度．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：)【答案】(1)(2)飛船從處到處的平均速度約為【分析】（1）根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）在中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，在中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，，，，，（2）在中，，，，，在中，，，，，，飛船從處到處的平均速度．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形-俯角仰角問題，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023年內(nèi)蒙古數(shù)學(xué)真題）某數(shù)學(xué)興趣小組借助無(wú)人機(jī)測(cè)量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無(wú)人機(jī)在處測(cè)得河流左岸處的俯角為，無(wú)人機(jī)沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測(cè)得河流右岸處的俯角為，線段米為無(wú)人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)，，在同一條直線上，其中．求河流的寬度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．

【答案】河流的寬度約為64米【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別解、即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)．則四邊形是矩形．

∴，∵∴在中，∴，∴∴在中，，∴，∴，∴∴米答：河流的寬度約為64米．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于俯仰角的解直角三角形的問題．作垂線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．例3．（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖所示，為了測(cè)量百貨大樓頂部廣告牌的高度，在距離百貨大樓30m的A處用儀器測(cè)得；向百貨大樓的方向走10m，到達(dá)B處時(shí)，測(cè)得，儀器高度忽略不計(jì)，求廣告牌的高度．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】4.9m【分析】先求出BC的長(zhǎng)度，再分別在Rt△ADC和Rt△BEC中用銳角三角函數(shù)求出EC、DC，即可求解．【詳解】根據(jù)題意有AC=30m，AB=10m，∠C=90°，則BC=AC-AB=30-10=20，在Rt△ADC中，，在Rt△BEC中，，∴，即故廣告牌DE的高度為4.9m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．例4．（2023年貴州省中考數(shù)學(xué)真題）貴州旅游資源豐富．某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索道．設(shè)計(jì)示意圖如圖②所示，以山腳為起點(diǎn)，沿途修建、兩段長(zhǎng)度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂處，中途設(shè)計(jì)了一段與平行的觀光平臺(tái)為．索道與的夾角為，與水平線夾角為，兩處的水平距離為，，垂足為點(diǎn)．（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)在同一水平線上）

(1)求索道的長(zhǎng)（結(jié)果精確到）；(2)求水平距離的長(zhǎng)（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的余玄直接求解即可得到答案；（2）根據(jù)、兩段長(zhǎng)度相等及與水平線夾角為求出C到的距離即可得到答案；【詳解】（1）解：∵兩處的水平距離為，索道與的夾角為，∴；（2）解：∵、兩段長(zhǎng)度相等，與水平線夾角為，∴，，∴；

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形解決實(shí)際應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握幾種三角函數(shù)．模型3、擁抱模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】分別解兩個(gè)直角三角形，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵。【重要等量關(guān)系】如圖1，BC為公共邊；如圖2，BF+FC+CE=BE；如圖3，BC+CE=BE；如圖4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（2022?長(zhǎng)沙一模）長(zhǎng)沙電視塔位于長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)岳麓山峰頂，其功能集廣播電視信號(hào)發(fā)射與旅游觀光于一身，登塔可鳥瞰長(zhǎng)沙全貌．為測(cè)量電視塔的高度，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組同學(xué)先在電視塔附近一棟樓房的底端A點(diǎn)處觀測(cè)電視塔頂端C處的仰角是60°，然后在安全人員的引導(dǎo)下去該樓房頂端B點(diǎn)處觀測(cè)電視塔底部D處的俯角是30°．已知樓房高AB約是24m．（結(jié)果用根號(hào)表示）（1）求樓房與電視塔底部距離AD的長(zhǎng)；（2）求電視塔的高度．【解答】解：（1）∵頂端B點(diǎn)處觀測(cè)電視塔底部D處的俯角是30°，∴∠ADB＝30°，在Rt△ABD中，AB＝24m，∵tan∠ADB＝＝tan30°＝，∴AD＝AB＝24（m），答：樓房與電視塔底部距離AD的長(zhǎng)為24m；（2）∵在一樓房的底端A點(diǎn)處觀測(cè)電視塔頂端C處的仰角是60°，∴∠CAD＝60°，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝tan60°＝，∴CD＝AD＝×24＝72（m）．答：電視塔的高度為72m．例2．（2022?巴中模擬）如圖，小明和小亮周末到巴人廣場(chǎng)測(cè)量?jī)蓷潣茿B和CD的高度，小明將木桿EF放在樓AB和CD之間（垂直于水平面），小亮將測(cè)角儀放在G處（A、F、G三點(diǎn)在一條直線上），測(cè)得樓AB頂部的仰角∠AGB＝30°，再將測(cè)角儀放在H處（D、F、H三點(diǎn)在一條直線上），測(cè)得樓CD頂部的仰角∠DHC＝60°，同時(shí)測(cè)得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面內(nèi)，結(jié)果精確到0.1米，≈1.732）（1）求樓AB的高度；（2）求樓CD的高度．【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，∴AB＝BG?tan30°＝21×＝7≈12.1（m），∴樓AB的高度約為12.1m；（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，∴EF＝EG?tan30°＝6×＝2（m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，∴HE＝＝＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，∴DC＝HC?tan60°＝16≈27.7（m）．∴樓CD的高度約為27.7m．例3．（2022?泗陽(yáng)縣一模）如圖，某校教學(xué)樓（矩形AGHD）前是辦公樓（矩形BENM），教學(xué)樓與辦公樓之間是學(xué)生活動(dòng)場(chǎng)所（AB）和旗桿（CF），教學(xué)樓、辦公樓和旗桿都垂直于地面，在旗桿底C處測(cè)得教學(xué)樓頂?shù)难鼋菫?5°，在旗桿底C處測(cè)得辦公樓頂?shù)母┙菫?7°，已知教學(xué)樓高度AD為20m，旗桿底部（C）到辦公樓底部（B）的距離比到教學(xué)樓底部（A）的距離少4m，求辦公樓的高度EB．（參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：根據(jù)題意可知：AD⊥AC，AC⊥CF，AB⊥BE，∵∠ACD＝45°，∴∠ADC＝45°，∴AC＝AD＝20m，∵BC＝AC﹣4，∴BC＝20﹣4＝16（m），在Rt△CBE中，∠BCE＝37°，∴BE＝BC?tan37°≈16×0.75＝12（m），答：辦公樓的高度EB為12m．例4．（2023年天津市中考數(shù)學(xué)真題）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測(cè)角儀測(cè)量塔的高度．如圖，塔前有一座高為的觀景臺(tái)，已知，點(diǎn)E，C，A在同一條水平直線上．某學(xué)習(xí)小組在觀景臺(tái)C處測(cè)得塔頂部B的仰角為，在觀景臺(tái)D處測(cè)得塔頂部B的仰角為．(1)求的長(zhǎng)；(2)設(shè)塔的高度為h（單位：m）．①用含有h的式子表示線段的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，結(jié)果取整數(shù)）．

【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）①分別在和中，利用銳角三角函數(shù)定義求得，，進(jìn)而可求解；②過點(diǎn)作，垂足為．可證明四邊形是矩形，得到，．在中，利用銳角三角函數(shù)定義得到，然后求解即可．【詳解】（1）解：在中，，∴．即的長(zhǎng)為．（2）解：①在中，，∴．在中，由，，，則.∴．即的長(zhǎng)為．②如圖，過點(diǎn)作，垂足為．根據(jù)題意，，∴四邊形是矩形．∴，．可得．在中，，，∴．即．∴．答：塔的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及含30度角的直角三角形的性質(zhì)、矩形判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，理解題意，掌握作輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題是解答的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·湖南衡陽(yáng)·中考真題）回雁峰座落于衡陽(yáng)雁峰公園，為衡山七十二峰之首．王安石曾賦詩(shī)聯(lián)“萬(wàn)里衡陽(yáng)雁，尋常到此回”．峰前開辟的雁峰廣場(chǎng)中心建有大雁雕塑，為衡陽(yáng)市城徽．某課外實(shí)踐小組為測(cè)量大雁雕塑的高度，利用測(cè)角儀及皮尺測(cè)得以下數(shù)據(jù)：如圖，，，．已知測(cè)角儀的高度為，則大雁雕塑的高度約為_________．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）【答案】10.2【分析】先根據(jù)三角形外角求得，再根據(jù)三角形的等角對(duì)等邊得出BF=DF=AE=10m，再解直角三角形求得BG即可求解．【詳解】解：∵且，∴，∴，即．∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定、解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的判定和解直角三角形的解題方法是解答的關(guān)鍵．2．（2023年廣西壯族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，焊接一個(gè)鋼架，包括底角為的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約m（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】21【分析】根據(jù)解直角三角形及等腰三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵是等腰三角形，且，∴，∵，∴，∴共需鋼材約為；故答案為21．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2023年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學(xué)真題）為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某鄉(xiāng)對(duì)地和地之間的一處垃圾填埋場(chǎng)進(jìn)行改造，把原來(lái)地去往地需要繞行到地的路線，改造成可以直線通行的公路．如圖，經(jīng)勘測(cè)，千米，，，則改造后公路的長(zhǎng)是千米（精確到千米；參考數(shù)據(jù)：，，，）．

【答案】【分析】如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別解，求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

在中，，，，∴，在中，，，，∴，∴（千米）改造后公路的長(zhǎng)是千米，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2021·湖北武漢市·中考真題）如圖，海中有一個(gè)小島，一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)測(cè)得小島在北偏東方向上；航行到達(dá)點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島在北偏東方向上．小島到航線的距離是__________（，結(jié)果用四舍五入法精確到0.1）．【答案】10.4【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，根據(jù)題意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，從而得到AC=BC=12,利用sin60°=計(jì)算AD即可【詳解】過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，根據(jù)題意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，∴∠ABC=∠CAB=30°，∴AC=BC=12,∵sin60°=，∴AD=ACsin60°=12=6≈10.4故答案為：10.4.【點(diǎn)睛】本題考查方位角，解直角三角形，準(zhǔn)確理解方位角的意義，構(gòu)造高線解直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2023年湖南省岳陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）2023年岳陽(yáng)舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組在處用儀器測(cè)得賽場(chǎng)一宣傳氣球頂部處的仰角為，儀器與氣球的水平距離為20米，且距地面高度為1.5米，則氣球頂部離地面的高度是米（結(jié)果精確到0.1米，）．

【答案】9.5【分析】通過解直角三角形，求出，再根據(jù)求出結(jié)論即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，四邊形是矩形，∴在中，∴,∴故答案為：9.5【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．此題難度適中，注意能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．6．（2023年青海省中考數(shù)學(xué)真題）為了方便觀測(cè)動(dòng)物的活動(dòng)情況，某濕地公園要鋪設(shè)一段道路．計(jì)劃從圖中，兩處分別向處鋪設(shè)，現(xiàn)測(cè)得，，，求，兩點(diǎn)間的距離．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】【分析】過點(diǎn)作，垂足為，先利用三角形內(nèi)角和定理求出，然后在中，利用含度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，即可解答．【詳解】解∶過點(diǎn)作，垂足為，

∵，，∴，在中，，∴，∴在中，，∴，兩點(diǎn)間的距離約為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．7．（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）某商店窗前計(jì)劃安裝如圖1所示的遮陽(yáng)棚，其截面圖如圖2所示．在截面圖中，墻面垂直于地面，遮陽(yáng)棚與墻面連接處點(diǎn)距地面高，即，遮陽(yáng)棚與窗戶所在墻面垂直，即．假設(shè)此地正午時(shí)太陽(yáng)光與地面的夾角恰為(若經(jīng)過點(diǎn)的光線恰好照射在地面點(diǎn)處，則)，為使正午時(shí)窗前地面上能有寬的陰影區(qū)域，即，求遮陽(yáng)棚的寬度．(結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：)

【答案】遮陽(yáng)棚的寬度約為【分析】過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)垂直定義可得，從而可得四邊形是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)可得，，，從而可得，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，，

，四邊形是矩形，，，，，在中，，，遮陽(yáng)棚的寬度約為【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．8．（2023年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，l是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米，海島C位于碼頭A北偏東方向．一艘勘測(cè)船從海島C沿北偏西方向往燈塔B行駛，沿線勘測(cè)石油資源，勘測(cè)發(fā)現(xiàn)位于碼頭A北偏東方向的D處石油資源豐富．若規(guī)劃修建從D處到海岸線的輸油管道，則輸油管道的最短長(zhǎng)度是多少千米？（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】千米【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由垂線段最短可得的長(zhǎng)即為所求，先求出，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，然后在中，解直角三角形可得的長(zhǎng)，從而可得的長(zhǎng)，最后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由垂線段最短可知，的長(zhǎng)即為所求，由題意得：，千米，，，，，是等腰直角三角形，，在中，千米，千米，千米，在中，千米，答：輸油管道的最短長(zhǎng)度是千米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、垂線段最短、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．9．（2023年遼寧省撫順市、葫蘆島市中考數(shù)學(xué)真題）小亮利用所學(xué)的知識(shí)對(duì)大廈的高度進(jìn)行測(cè)量，他在自家樓頂B處測(cè)得大廈底部的俯角是，測(cè)得大廈頂部的仰角是，已知他家樓頂B處距地面的高度為40米（圖中點(diǎn)A，B，C，D均在同一平面內(nèi)）．

(1)求兩樓之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)求大廈的高度（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)米(2)92米【分析】（1）作于點(diǎn)E，利用三角函數(shù)解即可；（2）先證四邊形是矩形，再利用三角函數(shù)解求出，進(jìn)而可求．【詳解】（1）解：如圖，作于點(diǎn)E，則，

由題意知，，，故，即兩樓之間的距離為米；（2）解：由題意知，四邊形是矩形，，，中，，，，即大廈的高度為92米．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）幾位同學(xué)在老師的指導(dǎo)下到某景區(qū)進(jìn)行戶外實(shí)踐活動(dòng)，在登山途中發(fā)現(xiàn)該景區(qū)某兩座山之間風(fēng)景優(yōu)美，但路陡難行，為了便于建議景區(qū)管理處在這兩山頂間建觀光索道，他們分別在兩山頂上取A、B兩點(diǎn)，并過點(diǎn)B架設(shè)一水平線型軌道（如圖所示），使得，從點(diǎn)B出發(fā)按方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E，即米，測(cè)得．已知，，求A、B兩點(diǎn)間的距離．

【答案】A、B兩點(diǎn)間的距離為500米．【分析】如圖，過作于，由，設(shè)，則，可得，而，可得，結(jié)合，即，再建立方程求解即可．【詳解】解：如圖，過作于，

∵，即，設(shè)，則，∴，而，∴，∵，∴，即，∴，解得：，∴（米），答：A、B兩點(diǎn)間的距離為500米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．11．（2023湖南省株洲市中考數(shù)學(xué)真題）如圖所示，在某交叉路口，一貨車在道路①上點(diǎn)A處等候“綠燈”一輛車從被山峰遮擋的道路②上的點(diǎn)B處由南向北行駛．已知，，線段的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)D．(1)求的大?。?2)若在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)O在北偏西方向上，其中米．問該轎車至少行駛多少米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車？（當(dāng)該轎車行駛至點(diǎn)D處時(shí)，正好發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車）【答案】(1)(2)轎車至少行駛24米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車【分析】（1）由得到，由得到，由得到，即可得到的大?。唬?）由得到，在中求得，由勾股定理得到，由得到，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即的大小為；（2）解：∵，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∴，即轎車至少行駛24米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形、勾股定理、垂直定義和平行線的性質(zhì)、方位角的的定義等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)和銳角三角形函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．12．（2023年四川省成都市數(shù)學(xué)中考真題）為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室墻外安裝避陽(yáng)篷，便于社區(qū)居民休憩．如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽(yáng)篷長(zhǎng)為米，與水平面的夾角為，且靠墻端離地高為米，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面的夾角為時(shí)，求陰影的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：）

【答案】米【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，在中，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，

依題意，，（米）在中，（米），（米），則（米）∵（米）∴（米）∵，∴（米）∴（米）．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)、錘煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動(dòng)．如圖，A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)，分別為點(diǎn)和點(diǎn)，行進(jìn)路線為．點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向處，點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東方向，行進(jìn)路線和所在直線的夾角為．(1)求行進(jìn)路線和所在直線的夾角的度數(shù)；(2)求檢查點(diǎn)和之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】(1)行進(jìn)路線和所在直線的夾角為(2)檢查點(diǎn)和之間的距離為【分析】（1）根據(jù)題意得，，，再由各角之間的關(guān)系求解即可；（2）過點(diǎn)A作，垂足為，由等角對(duì)等邊得出，再由正弦函數(shù)及正切函數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：如圖，根據(jù)題意得，，，，．在中，，．答：行進(jìn)路線和所在直線的夾角為．（2）過點(diǎn)A作，垂足為．，

，．,在中，，．,在中，，，．答：檢查點(diǎn)和之間的距離為．【點(diǎn)睛】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，作出相應(yīng)輔助線求解是解題關(guān)鍵．14．（2023年吉林省中考數(shù)學(xué)真題）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測(cè)量校園內(nèi)一棵古樹的高度，王朵同學(xué)帶領(lǐng)小組成員進(jìn)行此項(xiàng)實(shí)踐活動(dòng)，記錄如下：填寫人：王朵

綜合實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告

時(shí)間：2023年4月20日活動(dòng)任務(wù)：測(cè)量古樹高度活動(dòng)過程【步驟一】設(shè)計(jì)測(cè)量方案小組成員討論后，畫出如圖①的測(cè)量草圖，確定需測(cè)的幾何量．

【步驟二】準(zhǔn)備測(cè)量工具自制測(cè)角儀，把一根細(xì)線固定在半圓形量角器的圓心處，細(xì)線的另一端系一個(gè)小重物，制成一個(gè)簡(jiǎn)單的測(cè)角儀，利用它可以測(cè)量仰角或俯角，如圖②所示準(zhǔn)備皮尺．

【步驟三】實(shí)地測(cè)量并記錄數(shù)據(jù)如圖③，王朵同學(xué)站在離古樹一定距離的地方，將這個(gè)儀器用手托起，拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達(dá)古樹的最高點(diǎn)．如圖④，利用測(cè)角儀，測(cè)量后計(jì)算得出仰角．測(cè)出眼睛到地面的距離．測(cè)出所站地方到古樹底部的距離．

________．．．【步驟四】計(jì)算古樹高度．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）請(qǐng)結(jié)合圖①、圖④和相關(guān)數(shù)據(jù)寫出的度數(shù)并完成【步驟四】．【答案】，【分析】根據(jù)測(cè)角儀顯示的度數(shù)和直角三角形兩銳角互余即可求得的度數(shù)，證明四邊形是矩形得到，再解直角三角形求得的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：測(cè)角儀顯示的度數(shù)為，∴，∵，，，∴，∴四邊形是矩形，，

在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用和矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．15．（2023年湖南省常德市中考數(shù)學(xué)真題）今年“五一”長(zhǎng)假期間，小陳、小余同學(xué)和家長(zhǎng)去沙灘公園游玩，坐在如圖的椅子上休息時(shí)，小陳感覺很舒服，激發(fā)了她對(duì)這把椅子的好奇心，就想出個(gè)問題考考同學(xué)小余，小陳同學(xué)先測(cè)量，根據(jù)測(cè)量結(jié)果畫出了圖1的示意圖（圖2）．在圖2中，已知四邊形是平行四邊形，座板與地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．這時(shí)她問小余同學(xué)，你能算出靠背頂端點(diǎn)距地面（）的高度是多少嗎？請(qǐng)你幫小余同學(xué)算出結(jié)果（最后結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】【分析】方法一：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由平行四邊形的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得，過作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一可得，進(jìn)而求得，利用求解即可；方法二：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一可得，進(jìn)而求得，，過作于，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得，根據(jù)求解即可．【詳解】解：方法一：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

四邊形是平行四邊形，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意知，，，又，，過作于點(diǎn)，，，,，靠背頂端點(diǎn)距地面高度為；方法二：如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，

又，，，，過作于，由題意知，，，又，，靠背頂端點(diǎn)距地面高度為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2023年廣東省中考數(shù)學(xué)真題）2023年5月30日，神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)駐中國(guó)空間站，如圖中的照片展示了中國(guó)空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài)，當(dāng)兩臂，兩臂夾角時(shí)，求A，B兩點(diǎn)間的距離．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，)

【答案】【分析】連接，作作于D，由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)可知，，，在中利用求出，繼而求出即可．【詳解】解：連接，作于D，

∵，，∴是邊邊上的中線，也是的角平分線，∴，，在中，，，∴，∴∴答：A，B兩點(diǎn)間的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2023年福建省中考真題數(shù)學(xué)試題）閱讀下列材料，回答問題任務(wù)：測(cè)量一個(gè)扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測(cè)量長(zhǎng)度略小于）和一臺(tái)測(cè)角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離（這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測(cè)量長(zhǎng)度）；測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大小，即在任一點(diǎn)處，對(duì)其視線可及的，兩點(diǎn)，可測(cè)得的大小，如圖3．

小明利用皮尺測(cè)量，求出了小水池的最大寬度，其測(cè)量及求解過程如下：測(cè)量過程：（?。┰谛∷赝膺x點(diǎn)，如圖4，測(cè)得，；（ⅱ）分別在，，上測(cè)得，；測(cè)得．求解過程：由測(cè)量知，，，，，∴，又∵①___________，∴，∴．又∵，∴②___________．故小水池的最大寬度為___________．(1)補(bǔ)全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；(2)小明求得用到的幾何知識(shí)是___________；(3)小明僅利用皮尺，通過5次測(cè)量，求得．請(qǐng)你同時(shí)利用皮尺和測(cè)角儀，通過測(cè)量長(zhǎng)度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識(shí)求小水池的最大寬度，寫出你的測(cè)量及求解過程．要求：測(cè)量得到的長(zhǎng)度用字母，，表示，角度用，，表示；測(cè)量次數(shù)不超過4次（測(cè)量的幾何量能求出，且測(cè)量的次數(shù)最少，才能得滿分）．【答案】(1)①；②(2)相似三角形的判定與性質(zhì)(3)最大寬度為，見解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行回答即可；（3）測(cè)量過程：在小水池外選點(diǎn)，用測(cè)角儀在點(diǎn)處測(cè)得，在點(diǎn)處測(cè)得；用皮尺測(cè)得；求解過程：過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義推得，，，根據(jù)，即可求得．【詳解】（1）∵，，，，∴，又∵，∴，∴．又∵，∴．故小水池的最大寬度為．（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求得，故答案為：相似三角形的判定與性質(zhì)．（3）測(cè)量過程：（?。┰谛∷赝膺x點(diǎn)，如圖，用測(cè)角儀在點(diǎn)處測(cè)得，在點(diǎn)處測(cè)得；

（ⅱ）用皮尺測(cè)得．求解過程：由測(cè)量知，在中，，，．過點(diǎn)作，垂足為．在中，，即，所以．同理，．在中，，即，所以．所以．故小水池的最大寬度為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．18．（2023?鐵嶺中考模擬）某小區(qū)開展了“行車安全，方便居民”的活動(dòng)，對(duì)地下車庫(kù)作了改進(jìn)．如圖，這小區(qū)原地下車庫(kù)的入口處有斜坡AC長(zhǎng)為13米，它的