新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第10講非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)(原卷版+解析)

第10講非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)一、解答題1．已知橢圓E：的離心率是，，分別為橢圓E的左右頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，的面積為直線l過(guò)點(diǎn)且與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)．求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；求面積的最大值；設(shè)直線與直線交于點(diǎn)N，證明：點(diǎn)N在定直線上，并寫(xiě)出該直線方程．2．已知A，B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，E為橢圓C的上頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，E與F關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，的面積為，過(guò)的直線交橢圓C于兩點(diǎn)M，N(異于A，B兩點(diǎn)).（1）求橢圓C的方程；（2）證明：直線與的交點(diǎn)P在一條定直線上.3．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)是，左右頂點(diǎn)是，離心率是，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q(不是左、右頂點(diǎn))，且的周長(zhǎng)是，直線與交于點(diǎn)M.(1)求橢圓的方程；(2)(ⅰ)求證直線與交點(diǎn)M在一條定直線l上；(ⅱ)N是定直線l上的一點(diǎn)，且PN平行于x軸，證明：是定值．4．已知、分別是離心率的橢圓的左右項(xiàng)點(diǎn)，P是橢圓E的上頂點(diǎn)，且.（1）求橢圓E的方程；（2）若動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).5．已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線AM與BN相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在定直線上．6．已知橢圓:的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，左、右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）求四邊形面積的最大值；（3）若直線與直線相交于點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否位于一條定直線上？若是，寫(xiě)出該直線的方程.（結(jié)論不要求證明）7．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一點(diǎn)，當(dāng)PF1⊥F1F2時(shí)，|PF2|＝2|PF1|．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過(guò)點(diǎn)Q（﹣4，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)M′，證明：直線NM′過(guò)定點(diǎn)．8．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．9．如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓（）的焦距等于其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，為橢圓的上、下頂點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于異于的兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值3．10．橢圓y2a2+x2b2=1(a>b>0)的兩頂點(diǎn)為A,B如圖，離心率為22，過(guò)其焦點(diǎn)F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點(diǎn)，并與（Ⅰ）當(dāng)|CD|=322（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于A,B兩點(diǎn)時(shí)，求證：OP?11．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．12．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且，記直線AM，BN的斜率分別為，且,求直線的方程.13．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左?右焦點(diǎn)分別為，，左?右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且，直線的斜率為，記直線AM，BN的斜率分別為，試證明:的值為定值.14．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)，（與，均不重合）.當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí)，.（1）求橢圓的方程（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.第10講非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)一、解答題1．已知橢圓E：的離心率是，，分別為橢圓E的左右頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，的面積為直線l過(guò)點(diǎn)且與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)．求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；求面積的最大值；設(shè)直線與直線交于點(diǎn)N，證明：點(diǎn)N在定直線上，并寫(xiě)出該直線方程．【答案】（1）（2）（3）見(jiàn)證明【分析】根據(jù)離心率和三角形的面積即可求出，，分兩種情況，當(dāng)PQ斜率不存在時(shí)，，當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)PQ的方程為，，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、，函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出的面積的最大值．分兩種情況，PQ斜率不存在時(shí)，易知，當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，即可整理化簡(jiǎn)可得，解得即可．【詳解】解：由題意知，，即，的面積為2，，解得，，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，斜率不存在時(shí)，易知，，此時(shí)，當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)PQ的方程為，，設(shè)，，將代入，整理可得，，，，，令，，，故面積的最大值證明斜率不存在時(shí)，易知，當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，，，解得，即N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，綜上所述，點(diǎn)N在定直線上．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓性質(zhì)、根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、考查考查推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．2．已知A，B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，E為橢圓C的上頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，E與F關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，的面積為，過(guò)的直線交橢圓C于兩點(diǎn)M，N(異于A，B兩點(diǎn)).（1）求橢圓C的方程；（2）證明：直線與的交點(diǎn)P在一條定直線上.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線MN的方程，與橢圓聯(lián)立，得到，求出AM、BN的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出結(jié)論.【詳解】（1）由得，（2）由題可知，直線與x軸不重合，設(shè)為由得∴由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，交點(diǎn)必在一條垂直于x軸的直線上直線，即①直線，即②聯(lián)立①②得：直線與的交點(diǎn)P在定直線上.【點(diǎn)睛】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）"設(shè)而不求"是一種在解析幾何中常見(jiàn)的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問(wèn)題.3．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)是，左右頂點(diǎn)是，離心率是，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q(不是左、右頂點(diǎn))，且的周長(zhǎng)是，直線與交于點(diǎn)M.(1)求橢圓的方程；(2)(ⅰ)求證直線與交點(diǎn)M在一條定直線l上；(ⅱ)N是定直線l上的一點(diǎn)，且PN平行于x軸，證明：是定值．【答案】(1)(2)(ⅰ)見(jiàn)證明；(ⅱ)見(jiàn)證明【解析】【分析】(1)由題意可得，可以求出，，從而求出橢圓的方程；(2)(ⅰ)由點(diǎn)斜式分別寫(xiě)出與的方程，兩式子消去，根據(jù)韋達(dá)定理可得，的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而可以得到點(diǎn)M在一條定直線x＝2上；(ⅱ)由于，結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上，可以求出為定值?！驹斀狻?1)設(shè)橢圓的焦距是2c，據(jù)題意有：，，，則，所以橢圓的方程是.(2)(ⅰ)由(1)知，，，設(shè)直線PQ的方程是，代入橢圓方程得：，易知，設(shè)，，，則，直線的方程是：①，直線的方程是：②，設(shè)，既滿足①也滿足②，則，故直線與交點(diǎn)M在一條定直線l：x＝2上.(ⅱ)設(shè)，，，則，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓與直線的綜合問(wèn)題，考查了學(xué)生綜合分析能力及計(jì)算能力，屬于難題。4．已知、分別是離心率的橢圓的左右項(xiàng)點(diǎn)，P是橢圓E的上頂點(diǎn)，且.（1）求橢圓E的方程；（2）若動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得，再由離心率可得，然后求得，得橢圓方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，則，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后寫(xiě)出直線方程并變形后代入，可得定點(diǎn)坐標(biāo)，再驗(yàn)證直線斜率不存在時(shí)，直線也過(guò)這個(gè)定點(diǎn)即可．【詳解】解：（1）由題意得，，，則，所以，又，所以，，所以橢圓E的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，則，由，消去y得.由，得，所以，.，直線的方程為，即，因?yàn)?，，所以，直線的方程為可化為，則直線恒過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線也過(guò)點(diǎn)，綜上知直線恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問(wèn)題中的定點(diǎn)問(wèn)題．解題方法是設(shè)而不求思想方法．設(shè)出動(dòng)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，利用此結(jié)論求出直線方程，可確定定點(diǎn)坐標(biāo)．5．已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線AM與BN相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在定直線上．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）用離心率公式和列方程求得，即可得橢圓方程；（2）方法一：設(shè)直線，，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理得關(guān)系，由直線和方程聯(lián)立求解交點(diǎn)坐標(biāo)，并化簡(jiǎn)得，即可證明問(wèn)題；方法二：設(shè)，，，兩兩不等，因?yàn)镻，M，N三點(diǎn)共線，由斜率相等得到方程，同理A，M，Q三點(diǎn)共線與B，N，Q三點(diǎn)共線也得到兩方程，再結(jié)合三條方程求解，即可證明問(wèn)題.【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率，，，又，．因?yàn)?，所以，，所以橢圓C的方程為．（2）解法一：設(shè)直線，，，，可得，所以．直線AM的方程：①直線BN的方程：②由對(duì)稱(chēng)性可知：點(diǎn)Q在垂直于x軸的直線上，聯(lián)立①②可得．因?yàn)椋运渣c(diǎn)Q在直線上．解法二：設(shè)，，，兩兩不等，因?yàn)镻，M，N三點(diǎn)共線，所以，整理得：．又A，M，Q三點(diǎn)共線，有：①又B，N，Q三點(diǎn)共線，有②將①與②兩式相除得：即，將即代入得：解得（舍去）或，（因?yàn)橹本€與橢圓相交故）所以Q在定直線上．【點(diǎn)晴】求解直線與圓錐曲線定點(diǎn)定值問(wèn)題：關(guān)鍵在于運(yùn)用設(shè)而不求思想、聯(lián)立方程和韋達(dá)定理，構(gòu)造坐標(biāo)點(diǎn)方程從而解決相關(guān)問(wèn)題.6．已知橢圓:的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，左、右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）求四邊形面積的最大值；（3）若直線與直線相交于點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否位于一條定直線上？若是，寫(xiě)出該直線的方程.（結(jié)論不要求證明）【答案】（Ⅰ），離心率（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）由題意可知：m＝1，可得橢圓方程，根據(jù)離心率公式即可求出（Ⅱ）設(shè)直線CD的方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，由SACBD＝S△ACB+S△ADB，換元，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形ACBD面積的最大值．（Ⅲ）點(diǎn)M在一條定直線上，且該直線的方程為x＝4【詳解】（Ⅰ）由題意，得,解得.所以橢圓方程為.故，，.所以橢圓的離心率.（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題意，得的方程為，代入橢圓的方程，得，，又因?yàn)椋?，所以四邊形的面積.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立方程消去，得.由題意，可知恒成立，則，四邊形的面積，設(shè)，則四邊形的面積，，所以.綜上，四邊形面積的最大值為.（Ⅲ）結(jié)論：點(diǎn)在一條定直線上，且該直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，計(jì)算量大，要求能力高，屬于難題．7．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一點(diǎn)，當(dāng)PF1⊥F1F2時(shí)，|PF2|＝2|PF1|．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過(guò)點(diǎn)Q（﹣4，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)M′，證明：直線NM′過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）直線過(guò)定點(diǎn).【分析】（1）由橢圓的定義和已知條件得，又由可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中可解出，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線l的方程，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)的關(guān)系，再表示出直線的方程，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)的關(guān)系代入可得直線NM′所過(guò)的定點(diǎn).【詳解】（1）由得，，由橢圓的定義得，，，，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓的方程中有，又，，解得或，當(dāng)，，故舍去；當(dāng)，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由題意可知，直線l的斜率必然存在,故設(shè)直線l的方程為，設(shè)，則，聯(lián)立方程組，得，，解得，，，又，，設(shè)直線的方程為，，當(dāng)時(shí)，，所以直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系中直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，關(guān)鍵在于將目標(biāo)條件轉(zhuǎn)化到直線與橢圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)上去，屬于較難題.8．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【分析】(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；(Ⅱ)首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA,NA的方程確定點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo)，將線段長(zhǎng)度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問(wèn)題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得，從而可得兩線段長(zhǎng)度的比值.【詳解】(1)設(shè)橢圓方程為：，由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)設(shè)，，直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，即：，則：.直線MA的方程為：，令可得：，同理可得：.很明顯，且：，注意到：，而：，故.從而.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．9．如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓（）的焦距等于其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，為橢圓的上、下頂點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于異于的兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值3．【答案】（1）；（2）3【分析】（1）由得，再根據(jù)焦距等于其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)可求，故可得橢圓的方程.（2）設(shè)直線方程為，，【詳解】解：（1）由題意可知：,，又，有，故橢圓的方程為：．（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，用的橫坐標(biāo)表示的縱坐標(biāo)，再聯(lián)立的方程和橢圓的方程，消去得，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)的縱坐標(biāo)后可得所求的定值.設(shè)（），聯(lián)立直線方程和橢圓方程得，消去得，,，且有，又，，由得，故，整理得到，故．故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3．【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題，一般可通過(guò)聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題.10．橢圓y2a2+x2b2=1(a>b>0)的兩頂點(diǎn)為A,B如圖，離心率為22，過(guò)其焦點(diǎn)F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點(diǎn)，并與（Ⅰ）當(dāng)|CD|=322（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于A,B兩點(diǎn)時(shí)，求證：OP?【答案】（Ⅰ）y=±2x+1（Ⅱ【解析】試題分析：（I）根據(jù)ca=22,c=1，可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x試題解析：（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2由已知得：c=1,ca=22當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，C1將直線l的方程代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得(k則x1+x∴|CD|=1+=22(所以直線l的方程為y=±2（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，(k≠0,k≠±1)，C(x1,y1)，由（Ⅰ）知x1+x且直線AC的方程為y=y1x1+1將兩直線聯(lián)立，消去y得x+1x?1∵?1<x1,(x+1=1?y1∴k?1k+1與y1y2異號(hào)，x+1x?1與故Q點(diǎn)坐標(biāo)為(?k,y0)，OP點(diǎn)睛：本題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，還考查了兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查了根與系數(shù)關(guān)系與弦長(zhǎng)、向量數(shù)量積運(yùn)算的關(guān)系.直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想，另一方面要結(jié)合已知條件，從圖形角度求解．聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個(gè)常用的方法.涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．11．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．【答案】（1）＋＝1；（2）.【分析】(1)由橢圓的離心率,和點(diǎn)P在橢圓上求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為y＝kx＋1,設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2),聯(lián)立方程組消去y,再將k1＝2k2用坐標(biāo)表示,利用點(diǎn)在橢圓上和韋達(dá)定理求出直線l的斜率.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為，所以a＝2c.又因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以b＝c.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.又因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，所以＋＝1，解得c＝1.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為y＝kx＋1.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．聯(lián)立方程組消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.所以由根與系數(shù)關(guān)系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.因?yàn)閗1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.即＝.①又因?yàn)镸(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓上，所以＝(4－)，＝(4－)．②將②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.解得k＝或k＝，又因?yàn)閗>1，所以k＝.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的幾何性質(zhì),考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.12．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且，記直線AM，BN的斜率分別為，且,求直線的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率為，可求得的值，即可得答案；（2）設(shè)的方程為，，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，利用得到方程，與韋達(dá)定理聯(lián)立，求得，進(jìn)一步求得關(guān)于的方程，求出的值，即可得到直線方程.【詳解】（1）由題意，可得，，，聯(lián)立解得，，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖，由（1）知，設(shè)的方程為，，直線與橢圓的