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第2章粉末的性能與表征
2.1.2.4粒徑分布函數(shù)
1正態(tài)分布2對(duì)數(shù)正態(tài)分布3Rosin-Rammler(WEIBULL分布)第2章粉末的性能與表征(1)正態(tài)分布自然界中,凡是隨機(jī)現(xiàn)象均是許多偶然因素共同作用的總和,一切隨機(jī)現(xiàn)象都具有其必然性,即它們出現(xiàn)的頻率總是符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律地在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng),這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的概率模型就是正態(tài)分布。式中:x——自變量;a——平均值;σ——標(biāo)準(zhǔn)偏差。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)(頻率分布的函數(shù))由式(2.12)給出:(2.12)第2章粉末的性能與表征圖2.10給出了不同參數(shù)的正態(tài)分布密度函數(shù)圖形。其中:a=0,σ=1為標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分布,此時(shí)的正態(tài)分布函數(shù)為式(2.13):
(2.13)a稱為正態(tài)分布的位置參數(shù),a愈大,函數(shù)圖形越向右側(cè)移動(dòng)。
σ的大小與曲線的形狀有關(guān),σ越小,曲線越尖陡,粒度分布取值越集中,粒度分布越窄;σ越大,則相反。通常稱σ為正態(tài)分布的形狀系數(shù)。第2章粉末的性能與表征圖2.10正態(tài)分布函數(shù)圖形第2章粉末的性能與表征用正態(tài)分布函數(shù)表征粉體粒徑分布時(shí),x指顆粒粒徑,a為平均粒徑(Dp),φ(x)表示顆粒x頻率分布函數(shù),是指顆粒數(shù)、質(zhì)量或其他參數(shù)對(duì)粒徑的導(dǎo)數(shù)。若以個(gè)數(shù)為基準(zhǔn),粒徑正態(tài)頻率分布函數(shù)式表示為:(2.15)
式中ni——直徑為Dpi的顆粒數(shù)量;N——顆粒總數(shù);
——與累積含量為50%時(shí)的粒徑相對(duì)應(yīng)(Q0=0.5)。
(2.14)
(2.16)其中:
第2章粉末的性能與表征(2)對(duì)數(shù)正態(tài)分布粉體的粒徑分布有時(shí)也出現(xiàn)非對(duì)稱分布,這時(shí)將正態(tài)分布函數(shù)中的Dp和σ分別用ln和lnσg取代,得到對(duì)數(shù)正態(tài)頻率分布函數(shù)式為(2.17):(2.17)第2章粉末的性能與表征
式2.17的頻率分布函數(shù)也可轉(zhuǎn)變?yōu)槔鄯e分布函數(shù),如式(2.18):(2.18)幾何平均粒徑Dg和幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差σg分別由式(2.19)和式(2.20)給出:(2.19)
(2.20)第2章粉末的性能與表征
依據(jù)表2.5數(shù)據(jù),繪制出圖2.11粒徑的對(duì)數(shù)正態(tài)分布圖。虛線和實(shí)線分別表示以質(zhì)量為基準(zhǔn)和以數(shù)量為基準(zhǔn),顯然兩者分布明顯不同。圖2.11粒徑的對(duì)數(shù)正態(tài)分布第2章粉末的性能與表征(3)Rosin-Rammler(WEIBULL)分布
粉碎后粒徑分布范圍很寬
的細(xì)粉,利用對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)計(jì)算時(shí)偏差仍然很大。Rosin、Rammler和Sperling等人通過(guò)對(duì)煤粉、水泥等物料粉碎實(shí)驗(yàn)的概率和統(tǒng)計(jì)理論研究歸納出用指數(shù)函數(shù)表示的粒徑分布關(guān)系式,稱為RRS方程。累積分布表達(dá)式(2.21)為:
在此基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)Bennet研究,取b=,則指數(shù)一項(xiàng)可寫(xiě)成無(wú)因次項(xiàng),既得到RRB方程,累積分布表達(dá)式為(2.22):,(2.21)第2章粉末的性能與表征當(dāng)Dp
=De時(shí),即,De定義為累積分?jǐn)?shù)達(dá)63.2%時(shí)的粒徑。,(2.22)式中:n——均勻性指數(shù),表示粒徑分布范圍的寬窄,與粉體物料的性質(zhì)及其粉碎設(shè)備有關(guān),對(duì)于同一種粉體,n為常數(shù);De——特征粒徑,表示顆粒宏觀上的粗細(xì)程度。第2章粉末的性能與表征
RRB能比較好的反應(yīng)工業(yè)上粉磨產(chǎn)品的粒徑分布特性,被廣泛使用。圖2.12粒徑的Rosin-Rammler累積分布圖依據(jù)表2.5數(shù)據(jù),繪制出粉末顆粒的Rosin-Rammler累積分布如圖2.12所示。第2章粉末的性能與表征
2.1.3平均粒徑設(shè)顆粒群粒徑分別為:d1,d2,d3,d4,d5…di…dn組成的集合體,其物理特性可表示為函數(shù)f(d),f(d)由組成粉體的各個(gè)粒徑函數(shù)的加成表示,關(guān)系式為(2.24):
f(d)=f(d1)+f(d2)+f(d3)+…+
f(dn)(2.24)若將粒徑不等顆粒群想象成由平均粒徑D均一球形顆粒組成,那么其物理特性可表示為f(d)=
f(D)。基于上述定義,可以推導(dǎo)出以個(gè)數(shù)為基準(zhǔn)和質(zhì)量為基準(zhǔn)的平均徑計(jì)算公式。第2章粉末的性能與表征【例1】設(shè)粉末由d1,d2,d3,d4,d5…di…dn顆粒組成,每種顆粒個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)為n1,n2,n3,n4,n5…nn,試由顆粒總長(zhǎng)這一特性推導(dǎo)其平均粒徑。解:顆粒群的總長(zhǎng)可表示成式(2.25):n1d1+n2d2+n3d3+…nidi…nndn=∑(nd)=f(d)(2.25)將全部顆粒視為粒徑為D均一顆粒,式(2.25)中的d由D代替,得:
n1D1+n2D2+n3D3+…niDi…nnDn
=∑(nD)=D∑n=f(D)
(2.26)
第2章粉末的性能與表征由f(d)=f(D)可得∑(nd)=D∑n(2.27)整理(2.27)式可得式(2.28):
D=∑(nd)/∑n
(2.28)此粒徑即為以個(gè)數(shù)為基準(zhǔn)的個(gè)數(shù)平均徑?!纠?】設(shè)顆粒是邊長(zhǎng)為d的立方體,顆粒群的總質(zhì)量為∑m,顆粒密度為ρp,試由比表面積的定義函數(shù)求平均粒徑。第2章粉末的性能與表征解:比表面積定義為:
f(d)=(2.29)當(dāng)全部顆粒視為邊長(zhǎng)為D的立方體時(shí):定義函數(shù)為式為:(2.30)由f(d)=f(D)可得出式(2.31):(2.31)
=第2章粉末的性能與表征將方程式(2.31)兩邊同乘以ρpD,整理得:
式(2.32)以質(zhì)量為基準(zhǔn)粉體平均粒徑計(jì)算公式。
(2.32)第2章粉末的性能與表征表2.7個(gè)數(shù)基準(zhǔn)和質(zhì)量基準(zhǔn)的平均粒徑式序號(hào)平均徑名稱符號(hào)個(gè)數(shù)基準(zhǔn)質(zhì)量基準(zhǔn)物理意義(形狀系數(shù)φs、φv)平均徑1個(gè)數(shù)平均徑D1長(zhǎng)度、個(gè)數(shù)平均2長(zhǎng)度平均徑D23面積平均徑D3Sw=φ(ρDs)為顆粒群比面積4體積平均徑D4第2章粉末的性能與表征5平均表面積徑DsΦsDs2為平均顆粒表面積6平均體積徑Dv7體積長(zhǎng)度徑DvdΦvDv3是平均顆粒的體積,是單位質(zhì)量含有的顆粒數(shù)8重量矩個(gè)數(shù)平均徑Dw9調(diào)和平均徑Dh平均比表面積續(xù)表2.7第2章粉末的性能與表征注:D1
D2=Ds2;D1D2D3=Dv3;D3=Dv3/Ds2;
D4=
(Dw4/Dv3)D2D3=Dvd2;
D4>D3>Dw>(D2=Dv=Dvd)>Ds>D1>Dh。上述單一粒徑和平均粒徑的計(jì)算是為著不同的實(shí)際單元操作過(guò)程或某一粉體研究需要的。各平均粒徑間的差別較大,可根據(jù)具體生產(chǎn)過(guò)程單元操作過(guò)程、粒徑范圍、粒徑應(yīng)用的目的等選擇應(yīng)用。對(duì)于分離操作系統(tǒng)的顆粒,最好選用重力沉降和離心沉降方法測(cè)定顆粒的Stokes徑,即按照沉降速度求相當(dāng)徑;測(cè)量催化劑顆粒粒徑時(shí),最好采用比表面積及比表面積平均徑。第2章粉末的性能與表征
2.1.4顆粒的形狀
2.1.4.1顆粒形狀的概念
顆粒形狀是指一個(gè)顆粒的輪廓邊界或表面上各點(diǎn)所構(gòu)成圖像,它是除粒徑外,顆粒的另一幾何特征。顆粒的形狀對(duì)粉末體的許多性質(zhì)均有直接的影響。粉體的比表面積、流動(dòng)性、壓縮性、填充性、研磨性、化學(xué)活性以及涂料的覆蓋能力等直接與粉末在混合、壓制、燒結(jié)、儲(chǔ)存、運(yùn)輸?shù)葐卧^(guò)程行為有關(guān)。第2章粉末的性能與表征嚴(yán)格地說(shuō),所測(cè)得粒徑,只是一種定性表示。常用各種形狀因數(shù)表示顆粒形狀特征。語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)描述顆粒形狀的方法數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)第2章粉末的性能與表征球形spherical粒狀granular立方體cubical棒狀rodlike片狀platy,discal針狀needlelike柱狀perismoidal纖維狀fibrous鱗狀flaky樹(shù)枝狀dendritic海綿狀spongy聚集體agglomerate塊狀blocky中空hollow尖角狀sharp粗糙rough圓角狀round光滑smooth多孔porous毛絨fluffy,nappy表2.8顆粒形狀的基本術(shù)語(yǔ)(語(yǔ)言術(shù)語(yǔ))第2章粉末的性能與表征
2.1.4.2形狀指數(shù)和形狀系數(shù)通常將表示顆粒外形的幾何量的各種無(wú)因次組合稱為形狀指數(shù)(ShapeIndex)。
除特殊情況需要三種尺寸以外,一般至少需要兩種數(shù)據(jù)及其組合。常使用的數(shù)據(jù)包括三軸方向顆粒大小的代表值、二維圖像投影的輪廓曲線,以及表面積和體積等立體幾何各有關(guān)數(shù)據(jù)。1)形狀指數(shù)與外形尺寸相關(guān)的形狀指數(shù)與表面積或體積相關(guān)的形狀指數(shù)與顆粒投影周長(zhǎng)相關(guān)的形狀指數(shù)形狀指數(shù)第2章粉末的性能與表征常用的形狀指數(shù)有三種:第2章粉末的性能與表征(1)與顆粒外形尺寸相關(guān)的形狀指數(shù)
均齊度:一個(gè)不規(guī)則的顆粒放在一平面上,一般情形是顆粒的最大投影面(也就是最穩(wěn)定的平面)與支撐平面相黏合。這時(shí)顆粒具有最大的穩(wěn)定度。以長(zhǎng)方體為顆粒的基準(zhǔn)幾何形狀,根據(jù)長(zhǎng)、寬、高三軸徑l、b、h之間的比值,導(dǎo)出下面形狀指數(shù):
扁平度=短徑/高度=b/h(≥1)
(2.34)
長(zhǎng)短度=長(zhǎng)徑/短徑=l/b(≥1)
(2.35)第2章粉末的性能與表征(2)與表面積或體積相關(guān)的形狀指數(shù)①體積充滿度f(wàn)v:表示外接長(zhǎng)方體體積與顆粒體積Vp之比,數(shù)學(xué)表達(dá)式:fv=lbh/Vp
(≥1)(2.35)②面積充滿度f(wàn)b:表示顆粒投影面積A與最小外接矩形面積之比,數(shù)學(xué)表達(dá)式為:
fb=A/lb(≤1)(2.36)③球形度φ0:表示顆粒接近球體的程度。第2章粉末的性能與表征球形度φ0是一個(gè)應(yīng)用較廣泛的形狀系數(shù),定義為:一個(gè)與待測(cè)顆粒體積相等的球體表面積與該顆粒的表面積之比。表達(dá)式為(2.37)φ0=與顆粒體積相等的球體表面積/顆粒表面積
(2.37)
對(duì)于形狀不規(guī)則顆粒,當(dāng)測(cè)定其表面積比較困難時(shí),可采用實(shí)用球形度來(lái)衡量。實(shí)用球形度用式(2.38)表示:
φ0′=與顆粒投影面積相等圓直徑/顆粒投影的最小外接圓直徑(≤1)(2.38)表2.9為理論計(jì)算的一部分形狀規(guī)則顆粒的球形度值和少數(shù)幾種物料的實(shí)測(cè)球形度值。第2章粉末的性能與表征表2.9各種顆粒的球形度顆粒形狀(物料名稱球形度φo顆粒形狀或物料名稱球形度φo球形顆粒1.000圓盤(pán)體h=r0.827八面體0.847h=r/30.594正方體0.806h=r/100.323長(zhǎng)方體L×L×2L(單邊長(zhǎng))0.767天然煤粉0.650L×2L×2L0.761粉碎煤粉0.730L×2L×3L0.725粉碎玻璃0.650圓柱體(h高,r半徑)h=3r0.860參差不齊的遂石砂0.650h=10r0.691參差不齊片狀燧石砂0.430h=20r0.580接近于球體渥太華砂0.95第2章粉末的性能與表征(3)與顆粒投影周長(zhǎng)相關(guān)的形狀指數(shù)②表面粗糙度ζ:它表示接近球體的程度,顆粒ζ越大越接近球形,數(shù)學(xué)表達(dá)式為(2.41):
ζ=顆粒投影周長(zhǎng)/相同面積橢圓的周長(zhǎng)(2.41)不同形狀顆粒在圓形度和表面粗糙度坐標(biāo)系中的投影如圖2.13所示。(2.40)式中①圓形度φc:表示顆粒投影與圓接近程度,顆粒圓形度越大越接近球形,數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:φc=相同投影面積圓周長(zhǎng)/顆粒投影周長(zhǎng)=DH/L(2.39)第2章粉末的性能與表征圖2.13不同形狀顆粒在圓形度和表面粗糙度坐標(biāo)系中的投影第2章粉末的性能與表征2)形狀系數(shù)體積形狀系數(shù)φv阻力形狀系數(shù)kv動(dòng)力學(xué)形狀系數(shù)k形狀系數(shù)把與顆粒形狀有關(guān)因素概括為一個(gè)修正系數(shù)加以考慮,該修正系數(shù)即為形狀系數(shù)。實(shí)際上形狀系數(shù)是用來(lái)衡量實(shí)際顆粒形狀與球形或長(zhǎng)方體顆粒形狀的差異程度。(1)體積形狀系數(shù)φv
第2章粉末的性能與表征顆粒的表面積Sp與平均粒徑dp的關(guān)系Sp=φsdp2
(2.44)式中:φs為表面積形狀系數(shù)
顆粒的比表面積形狀系數(shù)定義為:
φ=φs/φv
(2.45)顆粒體積Vp與平均粒徑dp的關(guān)系Vp=φvdp3
(2.43)式中:
φv為體積形狀系數(shù)球形顆粒:球體積Vp=πdp3/6,球體積形狀系數(shù)φv=π/6球體表Sp=πdp2,
球表面積形狀φs=π則:球體形狀系數(shù)φ=φs/φv=6第2章粉末的性能與表征(2)阻力形狀系數(shù)kv
用顆粒在流體中所受到的阻力來(lái)表示的顆粒形狀系數(shù)。在層流區(qū),非球形顆粒受到黏度為μ,相對(duì)流速為u的流體阻力FD,按照Stokes定律計(jì)算,數(shù)學(xué)表達(dá)式為(2.46):
FD=3πμu
Dpkv
(2.46)式中kv——阻力形狀系數(shù);
Dp——可取Stokes徑Dstk、等表面積相當(dāng)徑Ds或等體積相當(dāng)徑Dv,而得到相應(yīng)不同的阻力形狀系數(shù),如表2.10所示。表2.10顆粒的形狀系數(shù)顆粒形狀表面積形狀系數(shù)φs體積形狀系數(shù)φv形狀系數(shù)φ球形l=b=h=dππ/66圓板形l=b,h=dl=b,h=0.5dl=b,h=0.2dl=b,h=0.1d3π/2π7π/103π/5π/4π/8π/20π/40681424立方體形l=b=h616方柱及方板形l=bh=bh=0.5bh=0.2bh=0.1b642.82.410.50.20.1681424圓形顆粒(水沖蝕砂子等)2.7~3.40.32~0.41帶棱的顆粒(粉碎石灰石等)2.5~3.20.20~0.28薄片狀顆粒(滑石、石膏等)2.0~2.80.12~0.10極薄的片狀顆粒(云母等)1.6~1.70.01~0.03第2章粉末的性能與表征(3)動(dòng)力學(xué)形狀系數(shù)k
當(dāng)顆粒在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí),顆粒的動(dòng)力
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