第2章 粉體粒徑分布的函數(shù)形狀指數(shù)

第2章粉末的性能與表征

2.1.2.4粒徑分布函數(shù)

1正態(tài)分布2對數(shù)正態(tài)分布3Rosin-Rammler(WEIBULL分布）第2章粉末的性能與表征（1）正態(tài)分布自然界中，凡是隨機現(xiàn)象均是許多偶然因素共同作用的總和，一切隨機現(xiàn)象都具有其必然性，即它們出現(xiàn)的頻率總是符合統(tǒng)計規(guī)律地在某個常數(shù)附近擺動，這個隨機現(xiàn)象的概率模型就是正態(tài)分布。式中:x——自變量；a——平均值；σ——標準偏差。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)（頻率分布的函數(shù)）由式（2.12）給出：（2.12）第2章粉末的性能與表征圖2.10給出了不同參數(shù)的正態(tài)分布密度函數(shù)圖形。其中：a=0，σ=1為標準正正態(tài)分布，此時的正態(tài)分布函數(shù)為式（2.13）：

（2.13）a稱為正態(tài)分布的位置參數(shù)，a愈大，函數(shù)圖形越向右側(cè)移動。

σ的大小與曲線的形狀有關(guān)，σ越小，曲線越尖陡，粒度分布取值越集中，粒度分布越窄；σ越大，則相反。通常稱σ為正態(tài)分布的形狀系數(shù)。第2章粉末的性能與表征圖2.10正態(tài)分布函數(shù)圖形第2章粉末的性能與表征用正態(tài)分布函數(shù)表征粉體粒徑分布時，x指顆粒粒徑，a為平均粒徑(Dp)，φ(x)表示顆粒x頻率分布函數(shù)，是指顆粒數(shù)、質(zhì)量或其他參數(shù)對粒徑的導(dǎo)數(shù)。若以個數(shù)為基準，粒徑正態(tài)頻率分布函數(shù)式表示為：（2.15）

式中ni——直徑為Dpi的顆粒數(shù)量；N——顆?？倲?shù)；

——與累積含量為50%時的粒徑相對應(yīng)（Q0=0.5）。

（2.14）

（2.16）其中：

第2章粉末的性能與表征（2）對數(shù)正態(tài)分布粉體的粒徑分布有時也出現(xiàn)非對稱分布，這時將正態(tài)分布函數(shù)中的Dp和σ分別用ln和lnσg取代，得到對數(shù)正態(tài)頻率分布函數(shù)式為（2.17）：（2.17）第2章粉末的性能與表征

式2.17的頻率分布函數(shù)也可轉(zhuǎn)變?yōu)槔鄯e分布函數(shù)，如式（2.18）：（2.18）幾何平均粒徑Dg和幾何標準偏差σg分別由式(2.19)和式(2.20)給出：（2.19）

（2.20）第2章粉末的性能與表征

依據(jù)表2.5數(shù)據(jù)，繪制出圖2.11粒徑的對數(shù)正態(tài)分布圖。虛線和實線分別表示以質(zhì)量為基準和以數(shù)量為基準，顯然兩者分布明顯不同。圖2.11粒徑的對數(shù)正態(tài)分布第2章粉末的性能與表征（3）Rosin-Rammler（WEIBULL）分布

粉碎后粒徑分布范圍很寬

的細粉，利用對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)計算時偏差仍然很大。Rosin、Rammler和Sperling等人通過對煤粉、水泥等物料粉碎實驗的概率和統(tǒng)計理論研究歸納出用指數(shù)函數(shù)表示的粒徑分布關(guān)系式，稱為RRS方程。累積分布表達式(2.21)為：

在此基礎(chǔ)上經(jīng)過Bennet研究，取b=，則指數(shù)一項可寫成無因次項，既得到RRB方程，累積分布表達式為（2.22）：，（2.21）第2章粉末的性能與表征當Dp

=De時，即，De定義為累積分數(shù)達63.2%時的粒徑。，（2.22）式中:n——均勻性指數(shù)，表示粒徑分布范圍的寬窄，與粉體物料的性質(zhì)及其粉碎設(shè)備有關(guān)，對于同一種粉體，n為常數(shù)；De——特征粒徑，表示顆粒宏觀上的粗細程度。第2章粉末的性能與表征

RRB能比較好的反應(yīng)工業(yè)上粉磨產(chǎn)品的粒徑分布特性，被廣泛使用。圖2.12粒徑的Rosin-Rammler累積分布圖依據(jù)表2.5數(shù)據(jù)，繪制出粉末顆粒的Rosin-Rammler累積分布如圖2.12所示。第2章粉末的性能與表征

2.1.3平均粒徑設(shè)顆粒群粒徑分別為：d1，d2，d3，d4，d5…di…dn組成的集合體，其物理特性可表示為函數(shù)f(d)，f(d)由組成粉體的各個粒徑函數(shù)的加成表示，關(guān)系式為(2.24)：

f(d)=f(d1)+f(d2)+f(d3)+…+

f(dn)（2.24）若將粒徑不等顆粒群想象成由平均粒徑D均一球形顆粒組成，那么其物理特性可表示為f(d)=

f(D)?；谏鲜龆x，可以推導(dǎo)出以個數(shù)為基準和質(zhì)量為基準的平均徑計算公式。第2章粉末的性能與表征【例1】設(shè)粉末由d1，d2，d3，d4，d5…di…dn顆粒組成，每種顆粒個數(shù)對應(yīng)為n1，n2，n3，n4，n5…nn，試由顆?？傞L這一特性推導(dǎo)其平均粒徑。解：顆粒群的總長可表示成式（2.25）：n1d1+n2d2+n3d3+…nidi…nndn=∑(nd)=f(d)(2.25)將全部顆粒視為粒徑為D均一顆粒，式(2.25)中的d由D代替，得:

n1D1+n2D2+n3D3+…niDi…nnDn

=∑(nD)=D∑n=f(D)

(2.26)

第2章粉末的性能與表征由f(d)=f(D)可得∑（nd）=D∑n（2.27）整理（2.27）式可得式（2.28）：

D=∑(nd)/∑n

（2.28）此粒徑即為以個數(shù)為基準的個數(shù)平均徑。【例2】設(shè)顆粒是邊長為d的立方體，顆粒群的總質(zhì)量為∑m，顆粒密度為ρp，試由比表面積的定義函數(shù)求平均粒徑。第2章粉末的性能與表征解：比表面積定義為：

f(d)=(2.29)當全部顆粒視為邊長為D的立方體時：定義函數(shù)為式為：（2.30）由f(d)=f(D)可得出式（2.31）：(2.31)

=第2章粉末的性能與表征將方程式（2.31）兩邊同乘以ρpD，整理得：

式(2.32)以質(zhì)量為基準粉體平均粒徑計算公式。

(2.32)第2章粉末的性能與表征表2.7個數(shù)基準和質(zhì)量基準的平均粒徑式序號平均徑名稱符號個數(shù)基準質(zhì)量基準物理意義（形狀系數(shù)φs、φv）平均徑1個數(shù)平均徑D1長度、個數(shù)平均2長度平均徑D23面積平均徑D3Sw=φ(ρDs)為顆粒群比面積4體積平均徑D4第2章粉末的性能與表征5平均表面積徑DsΦsDs2為平均顆粒表面積6平均體積徑Dv7體積長度徑DvdΦvDv3是平均顆粒的體積，是單位質(zhì)量含有的顆粒數(shù)8重量矩個數(shù)平均徑Dw9調(diào)和平均徑Dh平均比表面積續(xù)表2.7第2章粉末的性能與表征注：D1

D2=Ds2；D1D2D3=Dv3；D3=Dv3/Ds2；

D4=

(Dw4/Dv3)D2D3=Dvd2；

D4>D3>Dw>（D2=Dv=Dvd）>Ds>D1>Dh。上述單一粒徑和平均粒徑的計算是為著不同的實際單元操作過程或某一粉體研究需要的。各平均粒徑間的差別較大，可根據(jù)具體生產(chǎn)過程單元操作過程、粒徑范圍、粒徑應(yīng)用的目的等選擇應(yīng)用。對于分離操作系統(tǒng)的顆粒，最好選用重力沉降和離心沉降方法測定顆粒的Stokes徑，即按照沉降速度求相當徑；測量催化劑顆粒粒徑時，最好采用比表面積及比表面積平均徑。第2章粉末的性能與表征

2.1.4顆粒的形狀

2.1.4.1顆粒形狀的概念

顆粒形狀是指一個顆粒的輪廓邊界或表面上各點所構(gòu)成圖像，它是除粒徑外，顆粒的另一幾何特征。顆粒的形狀對粉末體的許多性質(zhì)均有直接的影響。粉體的比表面積、流動性、壓縮性、填充性、研磨性、化學(xué)活性以及涂料的覆蓋能力等直接與粉末在混合、壓制、燒結(jié)、儲存、運輸?shù)葐卧^程行為有關(guān)。第2章粉末的性能與表征嚴格地說，所測得粒徑，只是一種定性表示。常用各種形狀因數(shù)表示顆粒形狀特征。語言術(shù)語描述顆粒形狀的方法數(shù)學(xué)術(shù)語第2章粉末的性能與表征球形spherical粒狀granular立方體cubical棒狀rodlike片狀platy，discal針狀needlelike柱狀perismoidal纖維狀fibrous鱗狀flaky樹枝狀dendritic海綿狀spongy聚集體agglomerate塊狀blocky中空hollow尖角狀sharp粗糙rough圓角狀round光滑smooth多孔porous毛絨fluffy，nappy表2.8顆粒形狀的基本術(shù)語（語言術(shù)語）第2章粉末的性能與表征

2.1.4.2形狀指數(shù)和形狀系數(shù)通常將表示顆粒外形的幾何量的各種無因次組合稱為形狀指數(shù)(ShapeIndex)。

除特殊情況需要三種尺寸以外，一般至少需要兩種數(shù)據(jù)及其組合。常使用的數(shù)據(jù)包括三軸方向顆粒大小的代表值、二維圖像投影的輪廓曲線，以及表面積和體積等立體幾何各有關(guān)數(shù)據(jù)。1）形狀指數(shù)與外形尺寸相關(guān)的形狀指數(shù)與表面積或體積相關(guān)的形狀指數(shù)與顆粒投影周長相關(guān)的形狀指數(shù)形狀指數(shù)第2章粉末的性能與表征常用的形狀指數(shù)有三種：第2章粉末的性能與表征（1）與顆粒外形尺寸相關(guān)的形狀指數(shù)

均齊度：一個不規(guī)則的顆粒放在一平面上，一般情形是顆粒的最大投影面（也就是最穩(wěn)定的平面）與支撐平面相黏合。這時顆粒具有最大的穩(wěn)定度。以長方體為顆粒的基準幾何形狀，根據(jù)長、寬、高三軸徑l、b、h之間的比值，導(dǎo)出下面形狀指數(shù)：

扁平度=短徑/高度=b/h（≥1）

(2.34)

長短度=長徑/短徑=l/b（≥1）

(2.35)第2章粉末的性能與表征（2）與表面積或體積相關(guān)的形狀指數(shù)①體積充滿度fv：表示外接長方體體積與顆粒體積Vp之比，數(shù)學(xué)表達式:fv=lbh/Vp

（≥1）（2.35）②面積充滿度fb：表示顆粒投影面積A與最小外接矩形面積之比，數(shù)學(xué)表達式為：

fb=A/lb（≤1）(2.36)③球形度φ0：表示顆粒接近球體的程度。第2章粉末的性能與表征球形度φ0是一個應(yīng)用較廣泛的形狀系數(shù)，定義為：一個與待測顆粒體積相等的球體表面積與該顆粒的表面積之比。表達式為（2.37）φ0=與顆粒體積相等的球體表面積/顆粒表面積

(2.37)

對于形狀不規(guī)則顆粒，當測定其表面積比較困難時，可采用實用球形度來衡量。實用球形度用式(2.38)表示：

φ0′=與顆粒投影面積相等圓直徑/顆粒投影的最小外接圓直徑（≤1）（2.38）表2.9為理論計算的一部分形狀規(guī)則顆粒的球形度值和少數(shù)幾種物料的實測球形度值。第2章粉末的性能與表征表2.9各種顆粒的球形度顆粒形狀(物料名稱球形度φo顆粒形狀或物料名稱球形度φo球形顆粒1.000圓盤體h=r0.827八面體0.847h=r/30.594正方體0.806h=r/100.323長方體L×L×2L(單邊長)0.767天然煤粉0.650L×2L×2L0.761粉碎煤粉0.730L×2L×3L0.725粉碎玻璃0.650圓柱體(h高，r半徑)h=3r0.860參差不齊的遂石砂0.650h=10r0.691參差不齊片狀燧石砂0.430h=20r0.580接近于球體渥太華砂0.95第2章粉末的性能與表征（3）與顆粒投影周長相關(guān)的形狀指數(shù)②表面粗糙度ζ：它表示接近球體的程度，顆粒ζ越大越接近球形，數(shù)學(xué)表達式為（2.41）：

ζ=顆粒投影周長/相同面積橢圓的周長(2.41)不同形狀顆粒在圓形度和表面粗糙度坐標系中的投影如圖2.13所示。(2.40)式中①圓形度φc：表示顆粒投影與圓接近程度，顆粒圓形度越大越接近球形，數(shù)學(xué)表達式如下：φc=相同投影面積圓周長/顆粒投影周長=DH/L(2.39)第2章粉末的性能與表征圖2.13不同形狀顆粒在圓形度和表面粗糙度坐標系中的投影第2章粉末的性能與表征2）形狀系數(shù)體積形狀系數(shù)φv阻力形狀系數(shù)kv動力學(xué)形狀系數(shù)k形狀系數(shù)把與顆粒形狀有關(guān)因素概括為一個修正系數(shù)加以考慮，該修正系數(shù)即為形狀系數(shù)。實際上形狀系數(shù)是用來衡量實際顆粒形狀與球形或長方體顆粒形狀的差異程度。（1）體積形狀系數(shù)φv

第2章粉末的性能與表征顆粒的表面積Sp與平均粒徑dp的關(guān)系Sp=φsdp2

（2.44）式中：φs為表面積形狀系數(shù)

顆粒的比表面積形狀系數(shù)定義為：

φ=φs/φv

（2.45）顆粒體積Vp與平均粒徑dp的關(guān)系Vp=φvdp3

（2.43）式中：

φv為體積形狀系數(shù)球形顆粒：球體積Vp=πdp3/6，球體積形狀系數(shù)φv=π/6球體表Sp=πdp2，

球表面積形狀φs=π則：球體形狀系數(shù)φ=φs/φv=6第2章粉末的性能與表征（2）阻力形狀系數(shù)kv

用顆粒在流體中所受到的阻力來表示的顆粒形狀系數(shù)。在層流區(qū)，非球形顆粒受到黏度為μ，相對流速為u的流體阻力FD，按照Stokes定律計算，數(shù)學(xué)表達式為（2.46）：

FD=3πμu

Dpkv

（2.46）式中kv——阻力形狀系數(shù)；

Dp——可取Stokes徑Dstk、等表面積相當徑Ds或等體積相當徑Dv，而得到相應(yīng)不同的阻力形狀系數(shù)，如表2.10所示。表2.10顆粒的形狀系數(shù)顆粒形狀表面積形狀系數(shù)φs體積形狀系數(shù)φv形狀系數(shù)φ球形l=b=h=dππ/66圓板形l=b，h=dl=b，h=0.5dl=b，h=0.2dl=b，h=0.1d3π/2π7π/103π/5π/4π/8π/20π/40681424立方體形l=b=h616方柱及方板形l=bh=bh=0.5bh=0.2bh=0.1b642.82.410.50.20.1681424圓形顆粒(水沖蝕砂子等)2.7~3.40.32~0.41帶棱的顆粒(粉碎石灰石等)2.5~3.20.20~0.28薄片狀顆粒(滑石、石膏等)2.0~2.80.12~0.10極薄的片狀顆粒(云母等)1.6~1.70.01~0.03第2章粉末的性能與表征（3）動力學(xué)形狀系數(shù)k

當顆粒在流體中運動時，顆粒的動力